توزيع t للطالب

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 120 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف توزيع t للطالب  (أو ببساطة توزيع t  )تν{\displaystyle t_{\nu }}هو توزيع احتمالي مستمر يعمم التوزيع الطبيعي القياسي . ومثل الأخير، فهو متماثل حول الصفر وله شكل جرس.

لكن،تν{\displaystyle t_{\nu }}لها ذيول أثقل ، ويتم التحكم في مقدار كتلة الاحتمال في الذيول بواسطة المعاملν{\displaystyle \nu }. لν=1{\displaystyle \nu =1}توزيع t للطالبتν{\displaystyle t_{\nu }}يصبح توزيع كوشي القياسي ، الذي يتميز بذيل سميك للغاية ؛ بينما بالنسبة لـν→∞{\displaystyle \nu \to \infty }يصبح التوزيع الطبيعي القياسيشمال(0،1)،{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1),}والتي لها ذيول "رفيعة" للغاية.

اسم "Student" هو اسم مستعار استخدمه ويليام سيلي جوسيت في منشوراته العلمية خلال عمله في مصنع غينيس للجعة في دبلن، أيرلندا .

يلعب توزيع t للطالب  دورًا في عدد من التحليلات الإحصائية المستخدمة على نطاق واسع، بما في ذلك اختبار t للطالب لتقييم الأهمية الإحصائية للفرق بين متوسطي عينتين، وبناء فترات الثقة للفرق بين متوسطي مجتمعين، وفي تحليل الانحدار الخطي .

في شكل توزيع t للموقع والمقياس ℓsت⁡(μ،τ2،ν){\displaystyle \operatorname {\ell st} (\mu ,\tau ^{2},\nu )}إنه يعمم التوزيع الطبيعي ويظهر أيضًا في التحليل البايزي للبيانات من عائلة طبيعية كتوزيع مركب عند التهميش على معلمة التباين.

التعريفات

دالة كثافة الاحتمال

 يُعطى توزيع t للطالب بدالة كثافة الاحتمال (PDF) على النحو التالي و(ت)=Γ(ν+12)πνΓ(ν2)(1+ت2ν)-(ν+1)/2،{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},} أينν{\displaystyle \nu }يمثل عدد درجات الحرية ، وΓ{\displaystyle \Gamma }هي دالة غاما . ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي: و(ت)=1νب(12،ν2)(1+ت2ν)-(ν+1)/2،{\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} {\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-(\nu +1)/2},} أينب{\displaystyle \mathrm {B} }هي دالة بيتا . على وجه الخصوص، بالنسبة لدرجات الحرية ذات القيم الصحيحة الموجبة ν > 1، لدينا:

ν∈شمال≥2ك={2،ν حتىπ،ν غريبΓ(ν+12)πνΓ(ν2)=(ν-1)!!كν(ν-2)!!{\displaystyle {\begin{aligned}\nu &\in \mathbb {N} \geq 2\\k&={\begin{cases}2,&\nu {\text{ زوجي}}\\\pi ,&\nu {\text{ فردي}}\\\end{cases}}\\{\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}&={\frac {(\nu -1)!!}{k{\sqrt {\nu }}(\nu -2)!!}}\\\end{aligned}}}

دالة كثافة الاحتمال متناظرة ، وشكلها العام يشبه شكل الجرس لمتغير ذي توزيع طبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 1، إلا أنها أقل ارتفاعًا وأوسع قليلًا. مع ازدياد عدد درجات الحرية، يقترب توزيع t  من التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 1. لهذا السببν{\displaystyle {\nu }}يُعرف أيضًا باسم معامل التوزيع الطبيعي. [ 2 ]

تُظهر الصور التالية كثافة توزيع t  لقيم متزايدة منν.{\displaystyle \nu .}يُظهر الخط الأزرق التوزيع الطبيعي للمقارنة. لاحظ أن توزيع t  (الخط الأحمر) يقترب من التوزيع الطبيعي كلماν{\displaystyle \nu }يزداد.

كثافة توزيع t  (باللون الأحمر) لدرجات حرية 1، 2، 3، 5، 10، و30 مقارنةً بالتوزيع الطبيعي القياسي (باللون الأزرق). الرسوم البيانية السابقة معروضة باللون الأخضر.
درجة واحدة من الحرية
درجتان من الحرية
ثلاث درجات من الحرية
خمس درجات من الحرية
عشر درجات من الحرية
30 درجة من الحرية

دالة التوزيع التراكمي

يمكن كتابة دالة التوزيع التراكمي (CDF) بدلالة I ، وهي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة . بالنسبة لـ t > 0 ،

F(ت)=∫-∞تو(u)دu = 1-12أناx(ت)(ν2،12)،{\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}{\left({\frac {\nu }{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)},}

أين

x(ت)=νت2+ν.{\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}\,.}

يمكن الحصول على قيم أخرى عن طريق التناظر. صيغة بديلة صالحة لـت2<ν،{\displaystyle t^{2}<\nu \,,}يكون

∫-∞تو(u)دu=12+تΓ(ν+12)πνΓ(ν 2 )2F1(12،ν+12؛32؛-ت2ν)،{\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t\,{\frac {\Gamma \!\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\;{}_{2}F_{1}\!\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {3}{2}};\,-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right),}

أين2F1( ، ؛ ؛ ){\displaystyle {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\  ;\ )} هي حالة خاصة من دالة الهندسة الفائقة .

للحصول على معلومات حول دالة التوزيع التراكمي العكسي، انظر دالة الكمية §  توزيع t للطالب .

حالات خاصة

قيم معينة لـ ν {\displaystyle \ \nu \ }أعطِ صيغة بسيطة لتوزيع t للطالب.

 ν {\displaystyle \ \nu \ }ملف PDFصندوق الدفاع المدنيملحوظات
11π(1+ت2){\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}}12+1πدالة الظل العكسي⁡(ت){\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t)}انظر توزيع كوشي
2122(1+ت22)3/2{\displaystyle {\frac {1}{2\,{\sqrt {2}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{2}}\right)^{3/2}}}}12+ت221+ت22{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{2}}}}}}}
32π3(1+ت23)2{\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {3}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{3}}\right)^{2}}}}12+1π[ت31+ت23+دالة الظل العكسي⁡ت3]{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {\frac {t}{\sqrt {3}}}{1+{\frac {t^{2}}{3}}}}+\arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}}\right]}
438(1+ت24)5/2{\displaystyle {\frac {3}{8\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)^{5/2}}}}12+38[ت1+ت24][1-ت212(1+ت24)]{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}\left[{\frac {t}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{4}}}}}\right]\left[1-{\frac {t^{2}}{12\left(1+{\frac {t^{2}}{4}}\right)}}\right]}
583π5(1+ت25)3{\displaystyle {\frac {8}{3\pi {\sqrt {5}}\,\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)^{3}}}}12+1π[ت5(1+ت25)(1+23(1+ت25))+دالة الظل العكسي⁡ت5]{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {t}{{\sqrt {5}}\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\left(1+{\frac {2}{3\left(1+{\frac {t^{2}}{5}}\right)}}\right)+\arctan {\frac {t}{\sqrt {5}}}\right]}
 ∞ {\displaystyle \ \infty \ }12πهـ-ت2/2{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-t^{2}/2}}12[1+قطعة أرض⁡(ت2)]{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {t}{\sqrt {2}}}\right)\right]}انظر التوزيع الطبيعي ، دالة الخطأ

ملكيات

لحظات

لν>1{\displaystyle \nu >1}، العزوم الخام لتوزيع t  هي

هـ⁡{تيك}={0ك غريب ،0<ك<ν،1πΓ(ν2)[Γ(ك+12)Γ(ν-ك2)νك2]ك حتى ،0<ك<ν.{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \,,\\[2ex]{\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left[\Gamma \!\left({\frac {k+1}{2}}\right)\,\Gamma \!\left({\frac {\nu -k}{2}}\right)\,\nu ^{\frac {k}{2}}\right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu \,.\end{cases}}}

لحظات النظام ν {\displaystyle \ \nu \ }أو أعلى من ذلك غير موجودة. [ 3 ]

مصطلح لـ0<ك<ν{\displaystyle 0<k<\nu }يمكن تبسيط ، k زوجي، باستخدام خصائص دالة جاما إلى

هـ⁡{تيك}=νك2∏ج=1ك/22ج-1ν-2جك حتى،0<ك<ν .{\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{T^{k}\right\}=\nu ^{\frac {k}{2}}\,\prod _{j=1}^{k/2}{\frac {2j-1}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}

بالنسبة لتوزيع t  معν{\displaystyle \nu }درجات الحرية، القيمة المتوقعة هي0{\displaystyle 0}لوν>1،{\displaystyle \nu >1\,,}وتباينها هو​νν-2{\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}لوν>2.{\displaystyle \nu >2\,.}يكون معامل الالتواء صفرًا إذاν>3{\displaystyle \nu >3}والفرط في التفرطح هو6ν-4{\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}لوν>4.{\displaystyle \nu >4\,.}

كيف ينشأ توزيع t  (التوصيف)

كتوزيع إحصائية اختبار

توزيع t للطالب معν{\displaystyle \nu }يمكن تعريف درجات الحرية على أنها توزيع المتغير العشوائي T مع [ 4 ] [ 5 ]

تي=ZV/ν=ZνV،{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}

أين

يُعرَّف التوزيع المختلف بأنه توزيع المتغير العشوائي المُعرَّف، لثابت مُعطى μ ، بواسطة  (Z+μ)νV.{\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.} يتبع هذا المتغير العشوائي توزيع t غير مركزي بمعامل لا مركزي μ . ويُعد هذا التوزيع مهمًا في دراسات قوة اختبار t للطالب .

الاشتقاق

لنفترض أن X1 ، ... ، Xn هي تحققات مستقلة للمتغير العشوائي X ذي التوزيع الطبيعي، والذي له قيمة متوقعة μ وتباين σ2 .

X¯ن=1ن(X1+⋯+Xن){\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}

ليكن متوسط ​​العينة، و

s2=1ن-1∑أنا=1ن(Xأنا-X¯ن)2{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}

يمكن أن يكون تقديرًا غير متحيز للتباين من العينة. ويمكن إثبات أن المتغير العشوائي

V=(ن-1)s2σ2{\displaystyle V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}}

يتبع توزيع كاي تربيع معν=ن-1{\displaystyle \nu =n-1}درجات الحرية (بحسب نظرية كوكران ). [ 6 ] من السهل إثبات أن الكمية

Z=(X¯ن-μ)نσ{\displaystyle Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}

يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 1، لأن متوسط ​​العينةX¯ن{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وتباين σ² / n . علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن هذين المتغيرين العشوائيين (المتغير Z ذو التوزيع الطبيعي والمتغير V ذو التوزيع كاي تربيع ) مستقلان. وبالتالي، فإن الكمية المحورية

تي≡ZV/ν=(X¯ن-μ)نs،{\displaystyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},}

يختلف هذا عن Z في أن الانحراف المعياري الدقيق σ يُستبدل بخطأ العينة المعياري s ، وله توزيع t للطالب كما هو مُعرّف أعلاه. لاحظ أن تباين المجتمع المجهول σ² لا يظهر في T ، لأنه كان موجودًا في كل من البسط والمقام، لذا تم حذفه. وقد حصل جوسيت بشكل حدسي على دالة كثافة الاحتمال المذكورة أعلاه، معν{\displaystyle \nu }يساوي n  −  1، وقد أثبت فيشر ذلك في عام 1925. [ 7 ]

يعتمد توزيع إحصائية الاختبار T علىν{\displaystyle \nu }، ولكن ليس μ أو σ ؛ إن عدم الاعتماد على μ و σ هو ما يجعل توزيع t مهمًا في كل من النظرية والتطبيق.

التوزيع الاحتمالي لإحصائية t

ينشأ توزيع t كتوزيع معاينة لإحصائية t . فيما يلي مناقشة إحصائية t لعينة واحدة ، أما إحصائية t المقابلة لعينتين، فراجع اختبار t للطالب .    

تقدير التباين غير المتحيز

يترك x1،...،xن∼شمال(μ،σ2) {\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\ }لتكن عينات مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا من توزيع طبيعي بمتوسطμ{\displaystyle \mu }والتباين σ2 .{\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}يُعطى متوسط ​​العينة وتباين العينة غير المتحيز بالصيغة التالية:

x¯= x1+⋯+xن ن ،s2=1 ن-1  ∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2 .{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}

تُعطى إحصائية t الناتجة (لعينة واحدة) بالصيغة التالية: 

ت=x¯-μ s/ن  ∼تن-1 .{\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ s/{\sqrt {n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.}

ويتم توزيعها وفقًا لتوزيع t للطالب  مع ن-1 {\displaystyle \ n-1\ }درجات الحرية.

لذا، ولأغراض الاستدلال، تُعد إحصائية t " كمية محورية  " مفيدة في حالة المتوسط ​​والتباين(μ،σ2){\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}هي معلمات مجتمعية غير معروفة، بمعنى أن إحصائية t  لها توزيع احتمالي لا يعتمد على أي منهماμ{\displaystyle \mu }ولا σ2 .{\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}

تقدير التباين باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى

بدلاً من التقدير غير المتحيز s2 {\displaystyle \ s^{2}\ }يمكننا أيضًا استخدام تقدير الاحتمال الأقصى  sمل2= 1 ن ∑أنا=1ن(xأنا-x¯)2 {\displaystyle \ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ } مما ينتج عنه الإحصائية  تمل=x¯-μsمل2/ن =نن-1  ت .{\displaystyle \ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.}يتم توزيع هذا وفقًا لتوزيع t للموقع والمقياس  : تمل∼ℓsت⁡(0، τ2=ن/(ن-1)، ن-1) .{\displaystyle t_{\mathsf {ML}}\sim \operatorname {\ell st} (0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.}

التوزيع المركب للتوزيع الطبيعي مع توزيع جاما المعكوس

ينتج توزيع t للموقع والمقياس  عن تركيب توزيع غاوسي ( توزيع طبيعي) بمتوسط μ {\displaystyle \ \mu \ }وتباين غير معروف ، مع توزيع جاما معكوس موضوع على التباين بمعاملاتأ=ν2{\textstyle a={\frac {\nu }{2}}}وب=ντ22.{\textstyle b={\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\,.}بمعنى آخر، يُفترض أن يكون للمتغير العشوائي X توزيع غاوسي مع تباين غير معروف موزع على شكل غاما معكوسة، ثم يتم تهميش التباين (دمجه).

وبصورة مكافئة، ينتج هذا التوزيع عن دمج توزيع غاوسي مع توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس ذي معلماتν{\displaystyle \nu }و τ2 .{\displaystyle \ \tau ^{2}~.}إن توزيع كاي تربيع المعكوس المُقاس هو نفس توزيع جاما المعكوس تمامًا، ولكن بمعاملات مختلفة، أيν=2أ،τ2=بأ.{\displaystyle \nu =2a,\;\tau ^{2}={\frac {b}{a}}\,.}

تكمن فائدة هذا التوصيف في أن توزيع غاما المعكوس في الإحصاء البايزي هو التوزيع المسبق المترافق لتباين التوزيع الغاوسي. ونتيجة لذلك، ينشأ توزيع t  للموقع والمقياس بشكل طبيعي في العديد من مسائل الاستدلال البايزي. [ 8 ]

توزيع أقصى إنتروبيا

يُعد توزيع t للطالب توزيع الاحتمالية ذو الإنتروبيا القصوى لمتغير عشوائي X له قيمة معينة لـ هـ⁡{ln⁡(ν+X2)}{\textstyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ln(\nu +X^{2})\right\}}[ 9 ] أي، بالنسبة لقيمة ثابتةνتوزيعtللطالببدرجات حريةνPν{\textstyle P_{\nu }}، هو التوزيع الفريد الذي يزيد من الإنتروبيا التفاضلية مع مراعاة قيمة ثابتة لـهـ[ln⁡(ν+X2)].{\textstyle \mathbb {E} [\ln(\nu +X^{2})].}وبشكل أدق،

Pν=أرزمأxP∈P ح(P)،رهناً بـهـP[ln⁡(ν+X2)]=ج،{\displaystyle P_{\nu }={\underset {P\in {\mathcal {P}}}{\operatorname {arg\,max} }}\ H(P),\quad {\text{subject to}}\quad \mathbb {E} _{P}[\ln(\nu +X^{2})]=C,}

بالنسبة لثابت ما C ( ستعتمد قيمة C على ν )، حيثP{\textstyle {\mathcal {P}}}يشير إلى مجموعة جميع التوزيعات علىR{\textstyle \mathbb {R} }ذات إنتروبيا تفاضلية محدودة ، و H ( P ) هي الإنتروبيا التفاضلية لـ P. وينتج هذا مباشرةً من ملاحظة أنه يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال في شكل عائلة أسية معν+X2{\displaystyle \nu +X^{2}}كإحصائية كافية.

تكامل دالة كثافة الاحتمال للطالب وقيمة p

الدالة A ( t | ν ) هي تكامل دالة كثافة الاحتمال لـ Student، f ( t ) ، بين -t و t ، حيث t ≥ 0. وبالتالي ، فهي تعطي احتمال حدوث قيمة t أقل من القيمة المحسوبة من البيانات المرصودة بالصدفة. لذلك، يمكن استخدام الدالة A ( t | ν ) عند اختبار ما إذا كان الفرق بين متوسطي مجموعتين من البيانات ذا دلالة إحصائية، وذلك بحساب قيمة t المقابلة واحتمال حدوثها إذا تم سحب المجموعتين من نفس المجتمع الإحصائي. يُستخدم هذا في العديد من الحالات، وخاصة في اختبارات t . بالنسبة للإحصائية t ، ذات ν درجة حرية، فإن A ( t | ν ) هي احتمال أن تكون t أقل من القيمة المرصودة إذا كان المتوسطان متساويين (بشرط طرح المتوسط ​​الأصغر من الأكبر، بحيث يكون t ≥ 0 ). يمكن حسابها بسهولة من دالة التوزيع التراكمي F ν ( t ) لتوزيع t :   

أ(ت|ν)=Fν(ت)-Fν(-ت)=1-أناνν+ت2(ν2،12)،{\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}

حيث I x ( a , b ) هي دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة .

تُستخدم هذه الدالة في اختبار الفرضيات الإحصائية لإنشاء قيمة p .

على العموم

  • يُعمم توزيع t غير المركزي توزيع  t  ليشمل معامل اللامركزية. وعلى عكس توزيعات t  غير المعيارية ، فإن التوزيعات غير المركزية ليست متناظرة (الوسيط ليس هو نفسه المنوال).
  • يتم تعريف توزيع Student 's t  المنفصل من خلال دالة كتلة الاحتمال الخاصة به عند r والتي تتناسب مع: [ 10 ]∏ج=1ك1(ر+ج+أ)2+ب2ر=...،-1،0،1،... .{\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}هنا ، a و b و k هي معلمات. ينشأ هذا التوزيع من بناء نظام من التوزيعات المنفصلة المشابهة لتوزيعات بيرسون للتوزيعات المستمرة. [ 11 ]
  • يمكن توليد عينات Student A ( t | ν ) بأخذ نسبة المتغيرات من التوزيع الطبيعي والجذر التربيعي لتوزيع χ² . إذا استخدمنا توزيعًا آخر بدلًا من التوزيع الطبيعي، مثل توزيع إيروين-هول ، نحصل إجمالًا على توزيع متماثل ذي أربعة معلمات، يشمل التوزيع الطبيعي، والتوزيع المنتظم ، والتوزيع المثلثي ، وتوزيع Student t ، وتوزيع كوشي . كما أن هذا التوزيع أكثر مرونة من بعض التعميمات المتماثلة الأخرى للتوزيع الطبيعي.  
  • يُعد توزيع t  مثالاً على توزيعات النسبة .
  • يتم توزيع مربع متغير عشوائي موزع t n كتوزيع Snedecor's F F 1, n .

توزيع t حسب الموقع والمقياس

تحويل الموقع والنطاق

يمكن تعميم توزيع t للطالب ليشمل توزيع t للموقع والمقياس  ذي المعلمات الثلاث ℓsت⁡(μ، τ2، ν) {\displaystyle \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\ }عن طريق إدخال معلمة الموقع μ {\displaystyle \ \mu \ }ومعامل قياس τ .{\displaystyle \ \tau ~.}مع  تي∼تν {\displaystyle \ T\sim t_{\nu }\ }وتحول الأسرة على نطاق الموقع X=μ+τ تي {\displaystyle \ X=\mu +\tau \ T\ } نحصل X∼ℓsت⁡(μ، τ2، ν) .{\displaystyle X\sim \operatorname {\ell st} (\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.}

يُطلق على التوزيع الناتج أيضًا اسم توزيع t للطالب غير المعياري  .

الكثافة واللحظتان الأوليان

يتم تعريف كثافة توزيع t للموقع والمقياس على النحو التالي: [ 12 ]

ص(x|ν،μ،τ)=Γ(ν+12)Γ(ν2)τπν(1+1ν(x-μτ)2)-(ν+1)/2{\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}\tau {\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\tau }}\right)^{2}\right)^{-(\nu +1)/2}}

وبصورة مكافئة، يمكن كتابة الكثافة بدلالةτ2{\displaystyle \tau ^{2}}:

ص(x|ν،μ،τ2)=Γ(ν+12)Γ(ν2)πντ2(1+1ν(x-μ)2τ2)-(ν+1)/2{\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau ^{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {\pi \nu \tau ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\tau ^{2}}}\right)^{-(\nu +1)/2}}

ومن الخصائص الأخرى لهذا الإصدار من التوزيع ما يلي: [ 12 ]

هـ⁡{ X }=μ ل ν>1 ،متغير⁡{ X }=τ2νν-2 ل ν>2 ،وضع⁡{ X }=μ .{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}}

حالات خاصة

  • لوX{\displaystyle X}يتبع توزيع t للموقع والمقياس X∼ℓsت⁡(μ،τ2،ν){\displaystyle X\sim \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\,\tau ^{2},\,\nu \right)}ثم لـν→∞{\displaystyle \nu \to \infty }،X{\displaystyle X}يتم توزيعها توزيعاً طبيعياًX∼شمال(μ،τ2){\displaystyle X\sim \mathrm {N} {\left(\mu ,\tau ^{2}\right)}}مع المتوسطμ{\displaystyle \mu }والتباينτ2.{\displaystyle \tau ^{2}\,.}
  • توزيع t للموقع والمقياس  ℓsت⁡(μ، τ2، ν=1) {\displaystyle \ \operatorname {\ell st} \left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\ }بدرجة من الحريةν=1{\displaystyle \nu =1}وهو ما يعادل توزيع كوشيجأu(μ،τ) .{\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.}
  • توزيع t للموقع والمقياس ℓsت⁡(μ=0، τ2=1، ν) {\displaystyle \operatorname {\ell st} \left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\ }معμ=0{\displaystyle \mu =0}و τ2=1 {\displaystyle \ \tau ^{2}=1\ }يُختزل إلى توزيع t للطالب  تν .{\displaystyle \ t_{\nu }~.}

التواجد والتطبيقات

في الاستدلال الإحصائي التكراري

يُستخدم توزيع t للطالب  في العديد من مسائل التقدير الإحصائي، حيث يكون الهدف هو تقدير معلمة مجهولة، مثل القيمة المتوسطة، في سياق تُلاحظ فيه البيانات بأخطاء تراكمية . إذا كان الانحراف المعياري لهذه الأخطاء غير معروف (كما هو الحال في معظم الأعمال الإحصائية العملية)، ويتعين تقديره من البيانات، فغالبًا ما يُستخدم توزيع t  لمراعاة عدم اليقين الإضافي الناتج عن هذا التقدير. في معظم هذه المسائل، إذا كان الانحراف المعياري للأخطاء معروفًا، يُستخدم التوزيع الطبيعي بدلًا من توزيع t  .

فترات الثقة واختبارات الفرضيات هما إجراءان إحصائيان يتطلبان كميات التوزيع الاحتمالي لإحصائية معينة (مثل الدرجة المعيارية ). في أي حالة تكون فيها هذه الإحصائية دالة خطية للبيانات ، مقسومة على التقدير المعتاد للانحراف المعياري، يمكن إعادة قياس القيمة الناتجة وتوسيطها لتتبع توزيع t للطالب . تؤدي التحليلات الإحصائية التي تتضمن المتوسطات، والمتوسطات المرجحة، ومعاملات الانحدار إلى إحصائيات بهذا الشكل. 

في كثير من الأحيان، تُعامل مسائل الكتب الدراسية الانحراف المعياري للمجتمع كما لو كان معلومًا، وبالتالي تتجنب الحاجة إلى استخدام توزيع t  للطالب . وتنقسم هذه المسائل عمومًا إلى نوعين: (1) مسائل يكون فيها حجم العينة كبيرًا جدًا بحيث يمكن التعامل مع تقدير التباين المستند إلى البيانات كما لو كان مؤكدًا، و(2) مسائل توضح الاستدلال الرياضي، حيث يتم تجاهل مسألة تقدير الانحراف المعياري مؤقتًا لأنها ليست النقطة التي يشرحها المؤلف أو المدرس.

اختبار الفرضيات

يمكن إثبات أن العديد من الإحصاءات تتبع توزيع t  لعينات متوسطة الحجم في ظل الفرضيات الصفرية ذات الأهمية، بحيث يشكل توزيع t  أساسًا لاختبارات الدلالة الإحصائية. على سبيل المثال، يمكن تقريب توزيع معامل ارتباط رتبة سبيرمان ρ ، في حالة الفرضية الصفرية (ارتباط صفري)، بتوزيع t بشكل جيد لأحجام العينات التي تزيد عن 20 تقريبًا.

فترات الثقة

لنفترض أن العدد A تم اختياره بحيث

 P⁡{ -أ<تي<أ }=0.9 ،{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<T<A\ \right\}=0.9\ ,}

عندما يكون لـ T توزيع t بدرجات حرية n − 1. وبالتماثل، هذا يُعادل القول بأن A تحقق 

 P⁡{ تي<أ }=0.95 ،{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,}

إذن، A هي "النسبة المئوية الخامسة والتسعون" لهذا التوزيع الاحتمالي، أو أ=ت(0.05،ن-1) .{\displaystyle \ A=t_{(0.05,n-1)}~.}ثم

 P⁡{ -أ< X¯ن-μ Sن/ن <أ }=0.9 ،{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {-A}<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,}

حيث S <sub>n</sub> هو الانحراف المعياري للعينة للقيم المرصودة. وهذا يعادل

 P⁡{ X¯ن-أSن ن  <μ<X¯ن+أ Sن ن   }=0.9.{\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.}

لذلك، فإن الفترة التي تقع نهايتاها هما

 X¯ن ±أ Sن ن   {\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ }

يمثل فاصل ثقة بنسبة 90% لـ μ. لذلك، إذا وجدنا متوسط ​​مجموعة من الملاحظات التي يمكننا أن نتوقع بشكل معقول أن يكون لها توزيع طبيعي، فيمكننا استخدام توزيع t  لفحص ما إذا كانت حدود الثقة على هذا المتوسط ​​تتضمن قيمة متوقعة نظريًا - مثل القيمة المتوقعة في فرضية العدم .

هذه هي النتيجة التي تستخدم في اختبارات t للطالب  : بما أن الفرق بين متوسطات العينات من توزيعين طبيعيين يتم توزيعه بشكل طبيعي، فيمكن استخدام توزيع t  لفحص ما إذا كان من المعقول افتراض أن هذا الفرق يساوي صفرًا.

إذا كانت البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا، فيمكن حساب الحد الأعلى للثقة أحادي الجانب (1 − α ) للمتوسط ​​باستخدام المعادلة التالية:

يوجل1-α=X¯ن+تα،ن-1 Sن ن   .{\displaystyle {\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.}

ستكون قيمة الحد الأعلى للتحكم (UCL) الناتجة هي أكبر قيمة متوسطة يمكن الحصول عليها لفترة ثقة معينة وحجم مجتمع محدد. بعبارة أخرى،X¯ن{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}بما أن متوسط ​​مجموعة الملاحظات، فإن احتمال أن يكون متوسط ​​التوزيع أقل من الحد الأعلى للتحكم 1 − α يساوي مستوى الثقة 1 − α .

فترات التنبؤ

يمكن استخدام توزيع t  لإنشاء فترة تنبؤ لعينة غير مرصودة من توزيع طبيعي بمتوسط ​​وتباين غير معروفين.

في الإحصاء البايزي

يُعدّ توزيع t للطالب  ، وخاصةً في نسخته ذات المعلمات الثلاث (الموقع والمقياس)، شائعًا في الإحصاء البايزي نظرًا لارتباطه بالتوزيع الطبيعي. فعندما يكون تباين متغير عشوائي ذي توزيع طبيعي غير معروف، ويُطبّق عليه توزيع مسبق مترافق يتبع توزيع غاما العكسي ، فإن التوزيع الهامشي الناتج للمتغير سيتبع توزيع t  للطالب . وتتضمن الصيغ المكافئة التي تُعطي النتائج نفسها توزيع كاي تربيع معكوس مُقاس مترافق على التباين، أو توزيع غاما مترافق على الدقة . وإذا وُضع توزيع مسبق غير مناسب يتناسب مع 1 / σ² على التباين، فسيظهر توزيع t  أيضًا. وينطبق هذا بغض النظر عما إذا كان متوسط ​​المتغير ذي التوزيع الطبيعي معروفًا، أو غير معروف موزعًا وفقًا لتوزيع مسبق طبيعي مترافق ، أو غير معروف موزعًا وفقًا لتوزيع مسبق ثابت غير مناسب.

الحالات ذات الصلة التي تنتج أيضًا توزيع t  هي:

نمذجة بارامترية قوية

يُستخدم توزيع t  غالبًا كبديل للتوزيع الطبيعي كنموذج للبيانات التي غالبًا ما يكون لها ذيول أثقل مما يسمح به التوزيع الطبيعي؛ انظر على سبيل المثال Lange et al. [ 13 ]. كان النهج التقليدي هو تحديد القيم الشاذة (باستخدام اختبار Grubbs مثلاً ) واستبعادها أو تقليل وزنها بطريقة ما. ومع ذلك، ليس من السهل دائمًا تحديد القيم الشاذة (خاصة في الأبعاد العالية )، ويُعد توزيع t  خيارًا طبيعيًا كنموذج لمثل هذه البيانات، كما أنه يوفر نهجًا بارامتريًا للإحصاءات القوية .

يمكن الاطلاع على شرح بايزي في دراسة جيلمان وآخرون [ 14 ] . يتحكم معامل درجات الحرية في تفرطح التوزيع، وهو مرتبط بمعامل المقياس. قد يحتوي الاحتمال على عدة قيم عظمى محلية، ولذلك، غالبًا ما يكون من الضروري تثبيت درجات الحرية عند قيمة منخفضة نسبيًا وتقدير المعاملات الأخرى مع الأخذ بهذه القيمة كمعطى. يشير بعض الباحثين إلى أن القيم بين 3 و9 غالبًا ما تكون خيارات جيدة. ويقترح فينابلز وريبلي أن القيمة 5 غالبًا ما تكون خيارًا جيدًا.

عملية الطالب ​

لتلبية احتياجات الانحدار والتنبؤ العملية ، تم تقديم عمليات t للطالب  ، وهي تعميمات لتوزيعات t للطالب للدوال. تُبنى عملية t  للطالب من توزيعات t للطالب كما تُبنى العملية الغاوسية من التوزيعات الغاوسية . بالنسبة للعملية الغاوسية ، فإن جميع مجموعات القيم لها توزيع غاوسي متعدد الأبعاد. وبالمثل،  X(ت){\displaystyle X(t)}هي عملية Student t  على فترة زمنيةأنا=[أ،ب]{\displaystyle I=[a,b]}إذا كانت القيم المقابلة للعملية X(ت1)، ... ،X(تن) {\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }(تأنا∈أنا{\displaystyle t_{i}\in I}[ 15 ] تُستخدم هذه العمليات في الانحدار والتنبؤ والتحسين البايزي والمسائل ذات الصلة. في الانحدار متعدد المتغيرات والتنبؤ متعدد المخرجات، تُستخدم عمليات توزيع t للطالب  متعدد المتغيرات . [ 16 ] 

جدول القيم المختارة

يُبيّن الجدول التالي قيم توزيعات t  ذات درجات حرية ν لمجموعة من المناطق الحرجة أحادية الجانب أو ثنائية الجانب. يُمثّل العمود الأول قيمة ν ، بينما تُمثّل النسب المئوية في الأعلى مستويات الثقة. α ،{\displaystyle \ \alpha \ ,}والأرقام الموجودة في متن الجدول هيتα،ن-1{\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}العوامل الموضحة في قسم فترات الثقة .

يُعطي الصف الأخير ذو قيمة ν اللانهائية نقاطًا حرجة للتوزيع الطبيعي، لأن توزيع t  ذو عدد لا نهائي من درجات الحرية هو توزيع طبيعي. (انظر التوزيعات ذات الصلة أعلاه).

من جانب واحد75%80%85%90%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%
ذو وجهين50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%99.9%
11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657127.321318.309636.619
20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.92514.08922.32731.599
30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.8417.45310.21512.924
40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.6045.5987.1738.610
50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.0324.7735.8936.869
60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.7074.3175.2085.959
70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.4994.0294.7855.408
80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.3553.8334.5015.041
90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.2503.6904.2974.781
100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.1693.5814.1444.587
110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.1063.4974.0254.437
120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.0553.4283.9304.318
130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.0123.3723.8524.221
140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.9773.3263.7874.140
150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.9473.2863.7334.073
160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.9213.2523.6864.015
170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.8983.2223.6463.965
180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.8783.1973.6103.922
190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.8613.1743.5793.883
200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.8453.1533.5523.850
210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.8313.1353.5273.819
220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.8193.1193.5053.792
230.6850.8581.0601.3191.7142.06925002.8073.1043.4853.767
240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.7973.0913.4673.745
250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.7873.0783.4503.725
260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.7793.0673.4353.707
270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.7713.0573.4213.690
280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.7633.0473.4083.674
290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.7563.0383.3963.659
300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.7503.0303.3853.646
400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.7042.9713.3073.551
500.6790.8491.0471.2991.6762.0092.4032.6782.9373.2613.496
600.6790.8481.0451.2961.67120002.3902.6602.9153.2323.460
800.6780.8461.0431.2921.6641.9902.3742.6392.8873.1953.416
1000.6770.8451.0421.2901.6601.9842.3642.6262.8713.1743.390
1200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.6172.8603.1603.373
∞0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.5762.8073.0903.291
من جانب واحد75%80%85%90%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%
ذو وجهين50%60%70%80%90%95%98%99%99.5%99.8%99.9%
حساب فترة الثقة

لنفترض أن لدينا عينة بحجم  11، ومتوسطها  10، وتباينها  2. عند مستوى ثقة 90% ودرجات حرية 10 ، تكون قيمة t  أحادية الجانب من الجدول 1.372 . ثم باستخدام فترة الثقة المحسوبة من  

X¯ن±تα،νSنن،{\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\,{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\,,}

نحدد بثقة 90% أن المتوسط ​​الحقيقي يقع أسفل

10+1.372211=10.585.{\displaystyle 10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.585\,.}

بمعنى آخر، في 90% من الحالات التي يتم فيها حساب الحد الأعلى بهذه الطريقة من عينات معينة، يتجاوز هذا الحد الأعلى المتوسط ​​الحقيقي.

وبثقة بنسبة 90%، لدينا متوسط ​​حقيقي يقع في الأعلى

 10-1.372 2  11  =9.414 .{\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}

بمعنى آخر، في 90% من الحالات التي يتم فيها حساب عتبة دنيا بهذه الطريقة من عينات معينة، تقع هذه العتبة الدنيا أسفل المتوسط ​​الحقيقي.

وبالتالي، عند مستوى ثقة 80% (محسوب من 100%  -  2  ×  (1  -  90%) = 80%)، يكون لدينا متوسط ​​حقيقي يقع ضمن الفترة

(10-1.372211،10+1.372211)=(9.414،10.585).{\displaystyle \left(10-1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},\,10+1.372\,{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\right)=(9.414,\,10.585)\,.}

إن القول بأن 80% من المرات التي يتم فيها حساب العتبات العليا والسفلى بهذه الطريقة من عينة معينة، يكون المتوسط ​​الحقيقي أقل من العتبة العليا وأعلى من العتبة السفلى لا يعني أن هناك احتمالًا بنسبة 80% أن المتوسط ​​الحقيقي يقع بين زوج معين من العتبات العليا والسفلى التي تم حسابها بهذه الطريقة؛ انظر فترة الثقة ومغالطة المدعي العام .

في الوقت الحاضر، تقوم البرامج الإحصائية، مثل لغة البرمجة R ، والوظائف المتاحة في العديد من برامج جداول البيانات بحساب قيم توزيع t  ومعكوسه بدون جداول.

الأساليب الحسابية

أخذ العينات بطريقة مونت كارلو

توجد طرقٌ عديدةٌ لإنشاء عيناتٍ عشوائيةٍ من توزيع t للطالب  . ويعتمد الأمر على ما إذا كانت العينات مطلوبةً بشكلٍ مستقل، أو سيتم إنشاؤها بتطبيق دالة كمية على عيناتٍ منتظمة ؛ كما هو الحال في التطبيقات متعددة الأبعاد لأساس التبعية الاقترانية . في حالة أخذ العينات بشكلٍ مستقل، يُمكن بسهولة استخدام امتداد طريقة بوكس-مولر وصيغتها القطبية . [ 17 ] وتتميز هذه الطريقة بأنها تُطبَّق بكفاءةٍ متساويةٍ على جميع درجات الحرية الحقيقية الموجبة ، ν ، بينما تفشل العديد من الطرق الأخرى المرشحة إذا كانت ν قريبةً من الصفر. [ 17 ]

تاريخ

الإحصائي ويليام سيلي جوسيت ، المعروف باسم "الطالب"

في الإحصاء، تم اشتقاق توزيع t لأول مرة كتوزيع لاحق في عام 1876 على يد هيلمرت [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] ولوروث [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] . وبذلك، يُعد توزيع t الخاص بـ Student مثالاً على قانون ستيجلر للتسمية . كما ظهر توزيع t بصيغة أكثر عمومية كتوزيع بيرسون من النوع الرابع في ورقة كارل بيرسون البحثية عام 1895 [ 24 ] .   

في الأدبيات الإنجليزية، يُستمد اسم هذا التوزيع من ورقة بحثية نشرها ويليام سيلي جوسيت عام 1908 في مجلة Biometrika تحت اسم مستعار "Student" أثناء عمله في مصنع غينيس للجعة في دبلن، أيرلندا . [ 25 ] إحدى الروايات حول أصل هذا الاسم المستعار هي أن صاحب عمل جوسيت كان يُفضل أن يستخدم الموظفون أسماءً مستعارة عند نشر الأوراق العلمية بدلاً من أسمائهم الحقيقية، لذا استخدم اسم "Student" لإخفاء هويته. رواية أخرى تقول إن شركة غينيس لم ترغب في أن يعرف منافسوها أنها تستخدم اختبار t  لتحديد جودة المواد الخام. [ 26 ] [ 27 ]

عمل جوسيت في شركة غينيس وكان مهتمًا بمشاكل العينات الصغيرة، مثل الخصائص الكيميائية للشعير حيث قد لا يتجاوز حجم العينة 3. تشير ورقة جوسيت البحثية إلى التوزيع باسم "توزيع التكرار للانحرافات المعيارية للعينات المسحوبة من مجتمع طبيعي". وقد اشتهر هذا التوزيع بفضل عمل رونالد فيشر ، الذي أطلق عليه اسم "توزيع ستودنت" ورمز لقيمة الاختبار بالحرف t . [ 7 ] [ 28 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ هيرست، سيمون. "الدالة المميزة لتوزيع t للطالب " . تقرير بحثي في ​​الرياضيات المالية. تقرير بحثي في ​​الإحصاء رقم  SRR044-95. مؤرشف من الأصل في 18 فبراير 2010.
  2. ↑ كروشكي، جيه كيه (2015). إجراء تحليل البيانات البايزي ( الطبعة الثانية). دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN  9780124058880. OCLC 959632184 . 
  3. ↑ كاسيلا جي، بيرغر آر إل (1990). الاستدلال الإحصائي . مركز دوكسبوري للموارد. ص 56. ISBN  9780534119584.
  4. ↑ جونسون، ن. ل.، كوتز، س.، بالاكريشنان، ن. (1995). "الفصل 28". التوزيعات أحادية المتغير المستمرة . المجلد 2 ( الطبعة الثانية). وايلي. ISBN   9780471584940.
  5. ↑ هوغ، آر. في. ، وكريغ، إيه. تي. (1978). مقدمة في الإحصاء الرياضي ( الطبعة الرابعة). نيويورك: ماكميلان. ASIN B010WFO0SA . القسمان 4.4 و4.8  {{cite book}}: CS1 maint: postscript ( link )
  6. ↑ كوكران، دبليو جي (1934). "توزيع الأشكال التربيعية في نظام طبيعي، مع تطبيقات على تحليل التغاير". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 30 (2): 178-191 . Bibcode : 1934PCPS...30..178C . doi : 10.1017/S0305004100016595 . S2CID 122547084 . 
  7. 1 2 فيشر، ر. أ. (1925). "تطبيقات توزيع 'الطالب'" (ملف PDF) . مترون . 5 : 90-104 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 5 مارس 2016.
  8. ↑ جيلمان، أ.ب.، كارلين، ج.س.، روبين، د.ب.، ستيرن، هـ.س. (1997). تحليل البيانات البايزي ( الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان وهال، ص 68. ISBN   9780412039911.
  9. ↑ بارك إس واي، بيرا إيه كيه (2009). "نموذج الانحدار الذاتي الشرطي ذو التباين غير المتجانس ذو الإنتروبيا القصوى". مجلة الاقتصاد القياسي . 150 (2): 219-230 . doi : 10.1016/j.jeconom.2008.12.014 .
  10. ↑ أورد، جيه كيه (1972). عائلات التوزيعات التكرارية . لندن، المملكة المتحدة: غريفين. الجدول 5.1. ISBN  9780852641378.
  11. ↑ أورد، جيه كيه (1972). عائلات التوزيعات التكرارية . لندن، المملكة المتحدة: غريفين. الفصل 5. ISBN  9780852641378.
  12. 1 2 جاكمان، س. (2009). التحليل البايزي للعلوم الاجتماعية . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء. وايلي. ص 507. doi : 10.1002 /9780470686621 . ISBN  9780470011546.
  13. ↑ لانج، ك. ل.، ليتل، ر. ج.، تايلور، ج. م. (1989). "النمذجة الإحصائية القوية باستخدام توزيع t " (ملف PDF) . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 84 (408): 881-896 . doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 . JSTOR 2290063 . 
  14. ↑ جيلمان إيه بي، كارلين جيه بي، ستيرن إتش إس، وآخرون (2014). "محاكاة سلسلة ماركوف ذات الكفاءة الحسابية". تحليل البيانات البايزية . بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ص 293. ISBN   9781439898208.
  15. ↑ شاه، عمار؛ ويلسون، أندرو جوردون؛ غراماني، زوبين (2014). "عمليات t للطالب كبدائل لعمليات غاوس" (ملف PDF) . مجلة JMLR . 33 (وقائع المؤتمر الدولي السابع عشر حول الذكاء الاصطناعي والإحصاء (AISTATS) 2014، ريكيافيك، أيسلندا): 877-885 . arXiv : 1402.4306 . 
  16. ↑ تشين، زيكسون؛ وانغ، بو؛ غوربان، ألكسندر ن. (2019). "الانحدار متعدد المتغيرات باستخدام التوزيع الغاوسي وعملية t للطالب للتنبؤ متعدد المخرجات" . الحوسبة العصبية وتطبيقاتها . 32 (8): 3005-3028 . arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 . 
  17. 1 2 بيلي، ر. و. (1994). " التوليد القطبي للمتغيرات العشوائية باستخدام توزيع t ". رياضيات الحساب . 62 (206): 779-781 . Bibcode : 1994MaCom..62..779B . doi : 10.2307/2153537 . JSTOR 2153537. S2CID 120459654 .   
  18. ^ هيلمرت FR (1875). "Über die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (باللغة الألمانية). 20 : 300 – 303.
  19. ^ هيلمرت FR (1876). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (باللغة الألمانية). 21 : 192 - 218.
  20. ^ هيلمرت FR (1876). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit" [ دقة صيغة بيترز لحساب خطأ المراقبة المحتمل للملاحظات المباشرة بنفس الدقة ] . Astronomische Nachrichten (في المانيا). 88 ( 8– 9): 113– 132. بيب كود : 1876AN.....88..113H . دوى : 10.1002/asna.18760880802 .
  21. ^ لوروث جي (1876). "Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers" . Astronomische Nachrichten (في المانيا). 87 (14): 209– 220. بيب كود : 1876AN .....87..209L . دوى : 10.1002/asna.18760871402 .
  22. ↑ بفانزاغل ج، شينين أ (1996). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء. الجزء الرابع والأربعون: مقدمة لتوزيع t ". Biometrika . 83 (4): 891-898 . doi : 10.1093/biomet/83.4.891 . MR 1766040 .  
  23. ↑ شينين، أو (1995). "أعمال هيلمرت في نظرية الأخطاء". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 49 (1): 73-104 . doi : 10.1007/BF00374700 . S2CID 121241599 . 
  24. ↑ بيرسون، ك. (1895). "مساهمات في النظرية الرياضية للتطور. الجزء الثاني: التباين المنحرف في المادة المتجانسة" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 186 (374): 343-414 . رمز Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . ISSN 1364-503X . 
  25. ↑ «الطالب» [ اسم مستعار: ويليام سيلي جوسيت ] (1908). «الخطأ المحتمل للمتوسط» (ملف PDF) . Biometrika . 6 (1): 1–25 . doi : 10.1093/biomet/6.1.1 . hdl : 10338.dmlcz/143545 . JSTOR 2331554 . {{cite journal}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  26. ↑ ويندل، م. س. (2016). "شهرة باسم مستعار". مجلة ساينس . 351 (6280): 1406. رمز Bibcode : 2016Sci...351.1406W . doi : 10.1126/science.351.6280.1406 . PMID 27013722 . 
  27. ↑ مورتيمر ، ر. ج. (2005). الرياضيات للكيمياء الفيزيائية ( الطبعة الثالثة). بيرلينجتون، ماساتشوستس: إلسيفير. ص 326. ISBN   9780080492889. OCLC 156200058 . 
  28. ↑ والبول، ر. إي.، مايرز، ر.، مايرز، س.، يي، ك. (2006). الاحتمالات والإحصاء للمهندسين والعلماء ( الطبعة السابعة). نيودلهي، الهند: بيرسون. ص 237. ISBN   9788177584042. OCLC 818811849 . 

مراجع

  • سين، س.؛ ريتشاردسون، و. (1994). "أول اختبار t ". الإحصاء في الطب . 13 (8): 785-803 . doi : 10.1002/sim.4780130802 . PMID 8047737 .  
  • هوغ آر في ، كريغ إيه تي (1978). مقدمة في الإحصاء الرياضي (  الطبعة الرابعة). نيويورك: ماكميلان. ASIN B010WFO0SA . 
  • فينابلز، دبليو إن؛ ريبلي، بي دي (2002). الإحصاء التطبيقي الحديث باستخدام S (  الطبعة الرابعة). سبرينغر.
  • جيلمان، أندرو؛ جون ب. كارلين؛ هال س. ستيرن؛ دونالد ب. روبين (2003). تحليل البيانات البايزي (الطبعة الثانية  ). سي آر سي/تشابمان آند هول. رقم ISBN 1-58488-388-X.