توزيعات t المطوية ونصف t

في الإحصاء، يتم اشتقاق توزيعات t المطوية ونصف t من توزيع t الخاص بـ Student من خلال أخذ القيم المطلقة للمتغيرات. وهذا يشبه اشتقاق التوزيعات الإحصائية المطوية الطبيعية ونصف الطبيعية من التوزيع الطبيعي .

توزيع t غير الموحد المطوي هو توزيع القيمة المطلقة لتوزيع t غير الموحد بدرجات الحرية؛ وتعطى دالة كثافة الاحتمال الخاصة به بواسطة: ^{[ بحاجة لمصدر ]}${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}\left\lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}$.

تنتج توزيعات النصف t كحالة خاصة لـ ، والإصدار الموحد كحالة خاصة لـ . ${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

إذا ، فإن توزيع t المطوي يتقلص إلى الحالة الخاصة لتوزيع نصف t . ثم يتم تبسيط دالة كثافة الاحتمال الخاصة به إلى${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {2\;\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}$.

يتم إعطاء اللحظتين الأوليين لتوزيع نصف t ( التوقع والتباين ) بواسطة: [ ^1]

${\displaystyle \operatorname {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1) }{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1}$,

و

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\;=\;\sigma ^{2}\left({\frac {\nu }{\nu -2}}-{\frac {4\nu }{\ باي (\nu -1)^{2}}}\left({\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }) 2}})}}\يمين)^{2}\يمين)\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >2}$.

تُعمم التوزيعات المطوية- t ونصف- t التوزيعات الطبيعية المطوية ونصف الطبيعية من خلال السماح بدرجات حرية محدودة ( تشكل النظائر الطبيعية الحالات المحدودة لدرجات الحرية اللانهائية). ونظرًا لأن توزيع كوشي يشكل الحالة الخاصة لتوزيع ستودنت- t بدرجة حرية واحدة، فإن عائلات التوزيعات المطوية ونصف- t تشمل توزيع كوشي المطوي وتوزيعات نصف-كوشي لـ . ${\displaystyle \nu =1}$

• التوزيع الطبيعي المطوي
• توزيع نصف طبيعي
• توزيع نصف طبيعي معدّل
• التوزيع اللوجستي النصفي

• Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990). "توزيع t المطوي". Communications in Statistics - Theory and Methods . 19 (7): 2717–2734. doi :10.1080/03610929008830342. S2CID  121332770.
• جلمان، أ. (2006). "التوزيعات المسبقة لمعلمات التباين في النماذج الهرمية". التحليل البايزي . 1 (3): 515-534. doi : 10.1214/06-BA117A .
• Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021)، "حول التوزيعات الأولية ذات المعلومات الضعيفة لمعامل التباين في التحليل التلوي للتأثيرات العشوائية البايزية"، Research Synthesis Methods ، 12 (4): 448–474، arXiv : 2007.08352 ، doi :10.1002/jrsm.1475، PMID  33486828، S2CID  220546288
• Wiper, MP; Girón, FJ; Pewsey, Arthur (2008). "Objective Bayesian Inference for the Half-Normal and Half-t Distributions". Communications in Statistics - Theory and Methods . 37 (20): 3165–3185. doi :10.1080/03610920802105184. S2CID  117937250.
• تانكريدي، أ. (2002). “المحاسبة عن ذيول ثقيلة في نماذج الحدود العشوائية”. ورقة عمل (7325). جامعة الدراسات في بادوفا. {{cite journal}}: تتطلب المجلة الاستشهاد بها |journal=( مساعدة )

• تتوفر وظائف لتقييم توزيعات نصف t في العديد من حزم R ، على سبيل المثال [1] [2] [3].