الجبر الهندسي القائم على المستوى

الجبر الهندسي المستوي هو تطبيق لجبر كليفورد لنمذجة المستويات والخطوط والنقاط والتحويلات الصلبة . يهدف هذا التطبيق عمومًا إلى حل المسائل التطبيقية التي تتضمن هذه العناصر وتقاطعاتها وإسقاطاتها وزواياها في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ^{[ 1 ]} نشأ هذا الجبر في الأصل من أبحاث مجموعات الدوران ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} وطُوِّر مع وضع تطبيقاته في مجال الروبوتات في الاعتبار. ^{[ 4 ] [ 5 ]} ومنذ ذلك الحين، طُبِّق في مجالات التعلم الآلي، ^{[ 6 ]} وديناميكيات الأجسام الصلبة ، ^{[ 7 ]} وعلوم الحاسوب ، ^{[ 8 ]} وخاصةً رسومات الحاسوب . ^{[ 8 ] [ 9 ]} وعادةً ما يُدمج مع عملية الازدواجية في نظام يُعرف باسم "الجبر الهندسي الإسقاطي"، انظر أدناه.

تعتمد الجبر الهندسي المستوي على الانعكاسات المستوية كعناصر أساسية، وتُنشئ منها جميع التحويلات والأشكال الهندسية الأخرى. وبصورة رسمية: يُعرّف الجبر الهندسي المستوي الانعكاسات المستوية بأنها عناصر الدرجة الأولى في جبر كليفورد، أي العناصر التي تُكتب برمز سفلي واحد مثل "${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$باستثناءات نادرة موصوفة أدناه، فإن الجبر يكون دائمًا تقريبًا Cl _3,0,1 ( R ) ( نسخة إسقاطية من جبر الفضاء الفيزيائي )، مما يعني أنه يحتوي على ثلاثة عناصر أساسية من الدرجة 1 مربعها يساوي${\displaystyle 1}$وعنصر أساسي واحد مربعه هو${\displaystyle 0}$.

يشمل الخوارزمية الجينية القائمة على المستويات عددًا كبيرًا من البنى الجبرية المستخدمة في الهندسة، بما في ذلك تمثيل الدورانات باستخدام المحور والزاوية، وتمثيل الدورانات والانتقالات باستخدام الكواترنيون والكواترنيون المزدوج ، وتمثيل الخطوط باستخدام طريقة بلوكر ، وتمثيل المستويات باستخدام متجهات النقاط العمودية ، والتمثيل المتجانس للنقاط. وتتيح الكواترنيونات المزدوجة بناء نموذج البرغي والالتواء واللف في الميكانيكا الكلاسيكية. ^{[ 7 ]}

يمكن مقارنة النهج الهندسي القائم على المستوى بالنهج الذي يستخدم الضرب الاتجاهي ، حيث تُنمذج النقاط والانتقالات ومحاور الدوران والمتجهات العمودية على المستوى على أنها "متجهات". ومع ذلك، يتطلب استخدام المتجهات في مسائل الهندسة المتقدمة غالبًا تمييزًا دقيقًا بين أنواع المتجهات المختلفة، بما في ذلك متجهات جيبس ​​والمتجهات الزائفة والمتجهات المتغايرة . في الخوارزمية الجينية القائمة على المستوى، يرتبط النوع الأخير بمفهومي "محور الدوران" و"النقطة"، ويُوضح التمييز بينهما من خلال الترميز: محاور الدوران مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$يتم دائمًا تدوين (مؤشرين سفليين) بشكل مختلف عن النقاط مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$(ثلاثة مؤشرات أدنى).

نادراً ما تكون الكائنات المذكورة أدناه "متجهات" بالمعنى الذي يمكن من خلاله تصورها بشكل مفيد كأسهم (أو حساب حاصل ضربها الاتجاهي)، ولكنها جميعاً " متجهات" بالمعنى التقني الدقيق، أي أنها عناصر في فضاءات متجهة . لذا، ولتجنب التضارب في الدلالات الجبرية والبصرية المختلفة لكلمة "متجه"، تتجنب هذه المقالة استخدام هذه الكلمة.

يبدأ الجبر الهندسي القائم على المستويات بالمستويات، ثم يبني منها أشكالًا أخرى. ويتكون أساسه المتعارف عليه من المستوى الذي...${\displaystyle x=0}$، والذي يحمل علامة${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$، ال${\displaystyle y=0}$طائرة تحمل علامة${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$و${\displaystyle z=0}$طائرة،${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$يمكن الحصول على مستويات أخرى كمجموعات خطية (مجموعات مرجحة) من المستويات الأساسية. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}$سيكون المستوى في منتصف المسافة بين المستويين y و z.

بشكل عام، ينتج عن جمع عنصرين في الخوارزمية الجينية القائمة على المستوى دائمًا متوسط ​​مرجح لهما. لذا، فإن جمع النقاط يعطي نقطة بينهما؛ وجمع الخطوط المستوية يعطي الخط الواصل بينهما؛ حتى الدورانات يمكن جمعها للحصول على دوران يكون محوره وزاويته، بشكل عام، بين محور وزاوية العناصر المجمعة.

تُعدّ عملية الضرب الهندسي عملية أساسية كالجمع . على سبيل المثال:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{123}}$

هنا نأخذ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$، وهو انعكاس مستوٍ في${\displaystyle x=0}$طائرة، و${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$وهي عبارة عن دوران بزاوية 180 درجة حول المحور السيني. حاصل ضربهما الهندسي هو${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$، وهو انعكاس نقطي في الأصل - لأن هذا هو التحويل الناتج عن دوران 180 درجة متبوعًا بانعكاس مستوٍ في مستوى متعامد مع محور الدوران.

لأي زوج من العناصر${\textstyle A}$و${\displaystyle B}$، ناتجهم الهندسي${\textstyle A}$${\displaystyle B}$التحول${\displaystyle B}$ثم التحول${\textstyle A}$لاحظ أن تركيب التحويل ليس تطبيقًا للتحويل ؛ على سبيل المثال${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}}$ليس "​${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$تم تحويله بواسطة${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$بل هو التحول${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$ثم التحويل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$يتم تنفيذ تطبيق التحويل باستخدام منتج الساندويتش ، انظر أدناه.

عادةً ما يتم دمج هذا التفسير الهندسي مع التأكيد التالي:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}=1\qquad \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}=1\qquad \mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=1\qquad \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$

التفسير الهندسي للمعادلات التعريفية الثلاث الأولى هو أنه إذا أجرينا نفس الانعكاس المستوي مرتين، فإننا نعود إلى حيث بدأنا؛ على سبيل المثال، أي عنصر من الدرجة 1 (مستوى) مضروبًا في نفسه ينتج عنه دالة الوحدة ، "${\displaystyle 1}$البيان الذي${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$الأمر أكثر دقة - مثل أي متجه أحادي آخر، العنصر الجبري${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$يمثل مستوى، ولكنه المستوى الموجود في اللانهاية .

العناصر عند اللانهاية

المستوى عند اللانهاية${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$يتصرف بشكل مختلف عن أي مستوى آخر. في ثلاثة أبعاد،${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$يمكن تصورها على أنها السماء - مستوى بعيد بلا حدود، يمكن الاقتراب منه ولكن لا يمكن الوصول إليه أبدًا. في حين أن الانعكاس في أي مستوى آخر له معنى، فإن الانعكاس في السماء لا معنى له، وهو ما يرمز إليه هذا البيان.${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$تقع داخل السماء نقاط تسمى " نقاط التلاشي "، أو بدلاً من ذلك "النقاط المثالية"، أو "النقاط في اللانهاية". ويمكن القول إن الخطوط المتوازية تلتقي عند هذه النقاط.

توجد خطوط عند اللانهاية أيضًا؛ فمجرة درب التبانة تظهر كخط عند اللانهاية، وخط الأفق مثال آخر. بالنسبة لمراقب يقف على مستوى، فإن جميع المستويات الموازية للمستوى الذي يقف عليه تلتقي عند خط الأفق. جبريًا، إذا أخذنا${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$أن تكون الأرض، إذن${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+5\mathbf {e} _{0}}$سيكون هناك مستوى موازٍ للأرض (مزاحًا عنها مسافة 5 أمتار). يلتقي هذان المستويان المتوازيان عند خط اللانهاية.${\displaystyle \mathbf {e} _{02}}$.

معظم الخطوط، على سبيل المثال${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$يمكن أن تعمل هذه الخطوط كمحاور للدوران ؛ بل يمكن اعتبارها كواترنيونات تخيلية . لكن الخطوط التي تقع في المستوى اللانهائي${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$مثل السطر${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$لا يمكن أن تعمل هذه المحاور كمحاور "للدوران". بدلاً من ذلك، فهي محاور للانتقالات، وبدلاً من أن يكون لها جبر يشبه الأعداد المركبة أو الكواترنيونات، فإن سلوكها الجبري هو نفسه سلوك الأعداد الثنائية ، لأن مربعها يساوي صفرًا. بدمج خطوط الأساس الثلاثة المارة بنقطة الأصل${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$،${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$،${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$، والتي تربيع إلى${\displaystyle -1}$، مع وجود خطوط الأساس الثلاثة عند اللانهاية${\displaystyle \mathbf {e} _{10}}$،${\displaystyle \mathbf {e} _{20}}$،${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$يُعطي العناصر اللازمة لإحداثيات ( بلوكر ) للخطوط.

بما أن الضرب الهندسي قد عُرِّف على أنه تركيب تحويلي، فهناك العديد من العمليات المفيدة عمليًا التي يمكن تعريفها باستخدامه (على غرار تعريف الضرب القياسي والضرب الاتجاهي في ضرب الكواترنيون ). وتشمل هذه العمليات ما يلي:

1. يمثل تقاطع أو التقاء أي جسمين أعلى مستوى من حاصل ضربهما الهندسي. على سبيل المثال، تقاطع المستوى${\displaystyle P}$(الصف الأول) مع السطر${\displaystyle L}$(الدرجة 2) هي نقطة (الدرجة 3). يُرمز لهذه العملية برمز الوتد.${\displaystyle P\wedge L}$.
2. إن حساب معكوس أي دوران أو إزاحة أو انعكاس دوراني أمرٌ بسيط؛ إذ يكفي ببساطة عكس إشارة الجزء الخطي أو الجزء النقطي. تُعرف هذه العملية باسم "العكس"؛ عكس${\textstyle T}$يُشار إليه بـ${\textstyle {\tilde {T}}}$لدينا${\textstyle T^{-1}={\tilde {T}}}$في الحالة التي ${\textstyle T}$مُعَيَّر ، أي أن معياره يساوي واحدًا:${\displaystyle \|T\|={\sqrt {T{\tilde {T}}}}=1}$.
3. الدوران أو الانتقال أو الحركة اللولبية من أي نقطة/خط/مستوى معياري${\displaystyle A}$إلى أي نقطة/خط/مستوى معياري${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle 1+B{\tilde {A}}}$.
4. الزاوية​${\displaystyle \theta _{AB}}$بين أي كائنين مُعَيَّرين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(خطان، مستويان، أو خط ومستوى) هو${\displaystyle \theta _{AB}=\arccos(\lVert A\cdot B\rVert )}$. هنا${\displaystyle \cdot }$هو الضرب الداخلي ، وهو تعميم للضرب القياسي . وكما أن الضرب الخارجي هو أعلى جزء ممكن من الضرب الهندسي لجسمين، فإن الضرب الداخلي يساوي أدنى جزء.
5. تدوير أو نقل أو عكس أي جسم${\textstyle A}$مع التحول المختار${\textstyle T}$يكون${\textstyle TA{\tilde {T}}}$هذا هو اقتران المجموعة ، ويُعرف بالعامية باسم "الضرب الشطيري". وبما أن الجبر الهندسي هو جبر فائق ، فينبغي نفي النتيجة في الحالة (النادرة نسبيًا) التي${\textstyle A}$و${\textstyle T}$كلاهما من الدرجات الفردية.
6. أخذ إسقاط لجسم ما${\displaystyle A}$على جسم${\displaystyle B}$يكون${\displaystyle (A\cdot B){\tilde {B}}}$– هذه الصيغة صحيحة سواء كانت الأجسام نقاطًا أو خطوطًا أو مستويات.
7. تتناسب المسافة بين الأجسام المعيارية مع مقدار الجزء ذي أعلى درجة ممكنة من حاصل ضربها الهندسي. مع ذلك، فإن استخراج هذا المقدار يعتمد على الثنائية ، التي سيتم شرحها لاحقًا. تُستخدم الثنائية أيضًا لتحديد وصلة أو امتداد الأجسام، مثل الخط الذي يضم نقطتين أو المستوى الذي يضم نقطة وخطًا.
8. كما أن حساب المشتقات بالنسبة للزمن أمرٌ بسيط؛ إذا${\textstyle A}$هو لوغاريتم التحويل الذي يخضع له الكائن${\displaystyle B}$، المشتق بالنسبة للزمن${\displaystyle {\dot {B}}}$سيكون ${\textstyle {\dot {B}}={\frac {1}{2}}(AB-BA)}$هذا هو قوس لي ، وهو هنا مطابق لقوس بواسون .

يُطلق على جبر جميع التحويلات التي تحافظ على المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد اسم المجموعة الإقليدية .${\displaystyle E(3)}$. بحسب نظرية كارتان-ديودونيه ، يمكن كتابة أي عنصر منها، والذي يشمل الدوران والانتقالات، كسلسلة من الانعكاسات في المستويات.

في الخوارزمية الجينية القائمة على المستويات، يمكن اعتبار جميع الأشكال الهندسية تقريبًا بمثابة تحويل. المستويات مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$هي انعكاسات مستوية، نقاط مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$هي انعكاسات نقطية ، وخطوط مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$هي انعكاسات خطية - والتي تُعادل في الفضاء ثلاثي الأبعاد دورانًا بزاوية 180 درجة. التحويل المحايد هو الكائن الوحيد الذي يتكون من انعكاسات معدومة. جميع هذه العناصر هي عناصر من${\displaystyle E(3)}$.

بعض عناصر${\displaystyle E(3)}$فعلى سبيل المثال، لا يوجد شكل هندسي محدد يُستخدم لتمثيل الدورانات بأي زاوية غير 180 درجة؛ ومع ذلك، يمكن دائمًا اعتبارها مكونة من انعكاسات، ويمكن دائمًا تمثيلها كتركيبة خطية لبعض عناصر الأشكال في الجبر الهندسي المستوي. على سبيل المثال،${\displaystyle 0.8+0.6\mathbf {e} _{12}}$هو دوران طفيف حول${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$المحور، ويمكن كتابته كحاصل ضرب هندسي (تركيب تحويلي) لـ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$و${\displaystyle 0.8\mathbf {e} _{1}+0.6\mathbf {e} _{2}}$وكلاهما عبارة عن انعكاسات مستوية تتقاطع عند الخط${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$.

في الواقع، يمكن كتابة أي دوران على أنه تركيب لانعكاسين مستويين يمران عبر محوره؛ ولذلك يُسمى انعكاسًا ثنائيًا . ^{[ 10 ]} كما يمكن كتابة الانعكاسات الدورانية ، والانعكاسات الانزلاقية ، والانعكاسات النقطية دائمًا على أنها تركيب لثلاثة انعكاسات مستوية، ولذلك تُسمى انعكاسات ثلاثية. الحد الأعلى لهذا في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو الحركة اللولبية ، وهي انعكاس رباعي. لهذا السبب، عند دراسة الحركات اللولبية، من الضروري استخدام عنصر الدرجة الرابعة في الخوارزمية الجينية ثلاثية الأبعاد القائمة على المستوى.${\displaystyle \mathbf {e} _{1230}}$وهو العنصر الأعلى جودة.

التفسير الهندسي للمنتج الهندسي على أنه "إلغاء" للانعكاسات

لا يُحدث الانعكاس في مستوى، ثم الانعكاس في نفس المستوى، أي تغيير. التفسير الجبري لهذه الهندسة هو أن عناصر الدرجة الأولى مثل${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$مربع يساوي 1. يمكن استخدام هذه الحقيقة البسيطة لإعطاء تفسير هندسي للسلوك العام للضرب الهندسي كأداة تحل المسائل الهندسية عن طريق "إلغاء المرايا". ^{[ 10 ]}

لإعطاء مثال على فائدة ذلك، لنفترض أننا نريد إيجاد مستوى متعامد مع خط معين L في الفضاء ثلاثي الأبعاد ويمر بنقطة معينة P. L هو انعكاس ثنائي الأبعاد و${\displaystyle P}$هو انعكاس ثلاثي، لذا فإن ضربهما الهندسي PL ينتج عنه، بمعنى ما، انعكاس خماسي؛ ومع ذلك، كما هو موضح في الصورة أدناه، يلغي اثنان من هذه الانعكاسات بعضهما بعضًا، تاركين انعكاسًا ثلاثيًا (يُعرف أحيانًا بالانعكاس الدوراني ). في تدوين الجبر الهندسي القائم على المستوى، يمكن اعتبار هذا الانعكاس الدوراني انعكاسًا مستويًا "مضافًا" إلى انعكاس نقطي. الجزء المستوي من هذا الانعكاس الدوراني هو المستوى المتعامد مع الخط L والنقطة الأصلية P. يمكن استخدام إجراء مماثل لإيجاد الخط المتعامد مع مستوى ويمر بنقطة، أو تقاطع خط مع مستوى، أو خط تقاطع مستوى مع مستوى آخر.

الدوران والانتقال كجبر فرعي زوجي

الدوران والانتقال تحويلات تحافظ على المسافات والاتجاه ( الكيرالية ) ، فعند تطبيقها على مجموعات من الأجسام، لا تتغير المسافات النسبية بين هذه الأجسام، ولا يتغير اتجاهها، أي أن قفازًا مصممًا لليمين لا يتحول إلى قفاز مصمم لليسار. جميع التحويلات في الجبر الهندسي ثلاثي الأبعاد القائم على المستوى الإقليدي تحافظ على المسافات، لكن الانعكاسات، والانعكاسات الدورانية، والانعكاسات الانتقالية لا تحافظ على الاتجاه.

تحافظ الدورانات والانتقالات على اتجاه الدوران، مما يعني في الخوارزمية الجينية ثلاثية الأبعاد القائمة على المستويات أنه يمكن كتابتها كتركيب لعدد زوجي من الانعكاسات. يمكن اعتبار الدوران انعكاسًا في مستوى ما، يليه انعكاس في مستوى آخر غير موازٍ للأول ( الرباعيات ، التي تم تحديدها في سياق الخوارزمية الجينية القائمة على المستويات أعلاه). إذا كانت المستويات متوازية، فإن تركيب انعكاساتها سيعطي انتقالًا.

الدوران والانتقال حالتان خاصتان من حركات اللولب ، مثل الدوران حول خط في الفضاء متبوعًا بانتقال على طول الخط نفسه. تُسمى هذه المجموعة عادةً SE(3) ، وهي مجموعة التحويلات الإقليدية الخاصة (الحافظة للاتجاه) (الحافظة للمسافة) في ثلاثة أبعاد. لهذه المجموعة تمثيلان شائعان يسمحان باستخدامها في الجبر والحساب، أحدهما مصفوفات الأعداد الحقيقية 4×4، والآخر الكواترنيونات الثنائية . تمثيل الكواترنيون الثنائي (مثل الكواترنيونات العادية) هو في الواقع غطاء مزدوج لـ SE(3). ولأن الكواترنيونات الثنائية مغلقة تحت عمليتي الضرب والجمع، ومكونة من عدد زوجي من عناصر الأساس، تُسمى الجبر الفرعي الزوجي للجبر الهندسي الإقليدي ثلاثي الأبعاد (المستوي). يُستخدم مصطلح " سبينور " أحيانًا لوصف هذا الجبر الفرعي. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

كان وصف التحويلات الصلبة باستخدام المستويات هدفًا رئيسيًا في عمل كاميل جوردان ^{[ 13} ] وميشيل ^{شاسل [ 14 ]} لأنه يسمح بأن تكون المعالجة مستقلة عن الأبعاد.

• الفضاء الإسقاطي - طرق تضمين العناصر عند اللانهاية
• جبر الزمكان — الجبر المستخدم في فضاء مينكوفسكي ذي الأبعاد (1+3)
• جبر الفضاء الفيزيائي — الجبر المستخدم في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد
• الجبر الهندسي المطابق - الجبر الهندسي للتحويلات المطابقة