تسلسل سيلفستر

في نظرية الأعداد ، متتالية سيلفستر هي متتالية أعداد صحيحة يكون كل حد فيها حاصل ضرب الحدود السابقة مضافًا إليه واحد. حدودها القليلة الأولى هي

2، 3، 7، 43، 1807، 3263443، 10650056950807، 113423713055421844361000443 (التسلسل A000058 في OEIS ) .

سُميت متتالية سيلفستر نسبةً إلى جيمس جوزيف سيلفستر ، الذي درسها لأول مرة عام 1880. ^{[ 1 ]} تنمو قيمها أُسّيًا مضاعفًا ، ويُشكّل مجموع مقلوباتها سلسلة من الكسور الوحدوية التي تتقارب إلى 1 أسرع من أي سلسلة أخرى من الكسور الوحدوية. ^{[ 2 ]} تسمح العلاقة التكرارية التي تُعرّف بها المتتالية بتحليل أعدادها إلى عواملها الأولية بسهولة أكبر من الأعداد الأخرى من نفس المقدار، ^{[ 3 ]} ولكن نظرًا للنمو السريع للمتتالية، فإن التحليلات الكاملة إلى عوامل أولية معروفة فقط لعدد قليل من حدودها. ^{[ 4 ]} كما استُخدمت القيم المُستمدة من هذه المتتالية لبناء تمثيلات الكسور المصرية المحدودة للعدد 1، ومتشعبات ساساكيان أينشتاين ، ^{[ 5 ]} وحالات صعبة للخوارزميات عبر الإنترنت . ^{[ 6 ]}

ويمكن تعريف تسلسل سيلفستر رسميًا بالصيغة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.}$

حاصل ضرب المجموعة الفارغة هو 1، ^{[ 8 ]} _{لذا فإن} هذه الصيغة تعطي s0 = 2، دون الحاجة إلى حالة أساسية منفصلة .

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف التسلسل من خلال التكرار ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,}$مع الحالة الأساسية s ₀ = 2.

من السهل إثبات بالاستقراء أن هذا يكافئ التعريف الآخر. ^{[ 9 ]}

تنمو أعداد سيلفستر بشكل أسي مضاعف كدالة لـ n . على وجه التحديد، يمكن إثبات أن

${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\!}$

بالنسبة للعدد E الذي يساوي تقريبًا 1.26408473530530... ^{[ 10 ]} (التسلسل A076393 في OEIS ) . تُطبَّق هذه الصيغة وفقًا للخوارزمية التالية :

s ₀ هو أقرب عدد صحيح إلى E ² ؛ s ₁ هو أقرب عدد صحيح إلى E ⁴ ؛ s ₂ هو أقرب عدد صحيح إلى E ⁸ ؛ بالنسبة إلى s _n ، خذ E ² ، وقم بتربيعه n مرة أخرى ، ثم خذ أقرب عدد صحيح.

لن تكون هذه خوارزمية عملية إلا إذا كان لدينا طريقة أفضل لحساب E إلى العدد المطلوب من المنازل بدلاً من حساب s _n وأخذ جذرها التربيعي المتكرر . ^{[ 11 ]}

إن النمو الأسي المزدوج لمتتالية سيلفستر ليس مفاجئاً إذا قارناه بمتتالية أعداد فيرما F _n ؛ وعادة ما يتم تعريف أعداد فيرما بصيغة أسية مزدوجة.${\displaystyle 2^{2^{n}}\!+1}$، ولكن يمكن تعريفها أيضًا بصيغة منتج مشابهة جدًا لتلك التي تحدد تسلسل سيلفستر: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle F_{n}=2+\prod _{i=0}^{n-1}F_{i}.}$

تُنتج الكسور الوحدوية المتكونة من مقلوب القيم في متتالية سيلفستر سلسلة لانهائية : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .}$

تأخذ المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة شكلاً بسيطاً،

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}},}$

وهي بالفعل في أبسط صورة. ^{[ 14 ]} يمكن إثبات ذلك بالاستقراء، أو بشكل مباشر أكثر من خلال ملاحظة أن التكرار يستلزم أن

${\displaystyle {\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}={\frac {1}{s_{i}}},}$

لذا فإن مجموع التلسكوبات ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}=\sum _{i=0}^{j-1}\left({\frac {1}{s_{i}-1}}-{\frac {1}{s_{i+1}-1}}\right)={\frac {1}{s_{0}-1}}-{\frac {1}{s_{j}-1}}=1-{\frac {1}{s_{j}-1}}.}$

بما أن هذه المتتالية من المجاميع الجزئية ( s _j − 2)/( s _j − 1) تتقارب إلى واحد، فإن السلسلة الكلية تشكل تمثيلاً كسرياً مصرياً لانهائياً للعدد واحد:

${\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}+\cdots .}$

يمكن إيجاد تمثيلات كسرية مصرية محدودة للعدد واحد، بأي طول، عن طريق اقتطاع هذه السلسلة وطرح واحد من المقام الأخير:

${\displaystyle 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{42}},\quad 1={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{1806}},\quad \dots .}$

يُقدّم مجموع أول k حدًا من المتسلسلة اللانهائية أقرب تقدير ممكن للعدد 1 بأقل من قيمته الحقيقية، وذلك باستخدام أي كسر مصري مكون من k حدًا . ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، مجموع الحدود الأربعة الأولى يساوي 1805/1806، وبالتالي فإن أي كسر مصري لعدد في الفترة المفتوحة (1805/1806، 1) يتطلب خمسة حدود على الأقل.

من الممكن تفسير متتالية سيلفستر على أنها نتيجة لخوارزمية جشعة للكسور المصرية ، والتي تختار في كل خطوة أصغر مقام ممكن يجعل المجموع الجزئي للمتتالية أقل من واحد. ^{[ 15 ]}

كما لاحظ سيلفستر نفسه، يبدو أن متتالية سيلفستر فريدة من نوعها في امتلاكها قيمًا متزايدة بسرعة، وفي الوقت نفسه تحتوي على سلسلة من المقلوبات التي تتقارب إلى عدد نسبي . تُقدّم هذه المتتالية مثالًا يُبيّن أن النمو الأسي المزدوج لا يكفي لجعل متتالية الأعداد الصحيحة متتالية غير نسبية . ^{[ 16 ]}

ولزيادة دقة هذا الأمر، يتبين من نتائج باديا (1993) أنه إذا كانت متتالية من الأعداد الصحيحة${\displaystyle a_{n}}$ينمو بسرعة كافية بحيث

${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1,}$

وإذا كانت السلسلة

${\displaystyle A=\sum {\frac {1}{a_{i}}}}$

إذا تقاربت المتتالية إلى عدد نسبي A ، فإنه بالنسبة لجميع قيم n بعد نقطة معينة، يجب تعريف هذه المتتالية بنفس العلاقة التكرارية.

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$

يمكن استخدام ذلك لتحديد تسلسل سيلفستر. ^{[ 17 ]}

افترض إردوس وغراهام (1980) أنه في نتائج من هذا النوع، يمكن استبدال عدم المساواة التي تحد من نمو المتتالية بشرط أضعف، ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1.}$

يستعرض باديا (1995) التقدم المحرز فيما يتعلق بهذا التخمين ؛ انظر أيضًا براون (1979) . ^{[ 19 ]}

إذا كان i < j ، فإنه يتبع من التعريف أن s _j ≡ 1 (mod s _i ). لذلك، كل عددين في متتالية سيلفستر أوليان فيما بينهما . يمكن استخدام هذه المتتالية لإثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، حيث أن أي عدد أولي يقسم عددًا واحدًا على الأكثر في المتتالية. وبشكل أدق، لا يمكن لأي عامل أولي لأي عدد في المتتالية أن يكون متطابقًا مع 5 بتردد 6، ويمكن استخدام المتتالية لإثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية المتطابقة مع 7 بتردد 12. ^{[ 20 ]} لا يمكن لأي حد أن يكون قوة كاملة . ^{[ 21 ]}

لا يزال الكثير مجهولاً حول تحليل الأعداد في متتالية سيلفستر. على سبيل المثال، ليس من المعروف ما إذا كانت جميع الأعداد في المتتالية خالية من المربعات ، على الرغم من أن جميع الحدود المعروفة خالية منها. ^{[ 22 ]}

كما يوضح فاردي (1991) ، من السهل تحديد أي عدد سيلفستر (إن وجد) يقسمه عدد أولي معين p : ببساطة، احسب العلاقة التكرارية التي تُعرّف الأعداد بتردد p حتى تجد إما عددًا يطابق الصفر (mod p ) أو تجد قيمة ترددية متكررة. ^{[ 3 ]} باستخدام هذه التقنية، وجد أن 1166 من بين أول ثلاثة ملايين عدد أولي هي قواسم لأعداد سيلفستر، ^{[ 23 ]} وأنه لا يوجد من بين هذه الأعداد الأولية مربع يقسم عددًا من أعداد سيلفستر. مجموعة الأعداد الأولية التي يمكن أن تظهر كعوامل لأعداد سيلفستر ذات كثافة صفرية في مجموعة جميع الأعداد الأولية: ^{[ 24 ]} في الواقع، عدد هذه الأعداد الأولية الأقل من x هو${\displaystyle O(\pi (x)/\log \log \log x)}$[ ^{25 ]​}

يوضح الجدول التالي التحليلات المعروفة لهذه الأعداد (باستثناء s ₀ ... s ₃ ، وهي جميعها أعداد أولية): ^{[ 4 ]}

وكما هو معتاد، يرمز P _n و C _n إلى الأعداد الأولية والأعداد المركبة غير المحللة المكونة من n خانة.

استخدم بوير، وغاليكي، وكولار (2005) خصائص متتالية سيلفستر لتعريف أعداد كبيرة من متعددات ساساكيان أينشتاين التي تمتلك الطوبولوجيا التفاضلية للكرات ذات الأبعاد الفردية أو الكرات الغريبة . وقد أظهروا أن عدد مقاييس ساساكيان أينشتاين المتميزة على كرة طوبولوجية ذات بُعد 2n - 1 يتناسب على الأقل مع sn ، وبالتالي ينمو نموًا أُسّيًا مزدوجًا مع _n . ^{[ 5 ]} 

كما وصف غالامبوس وويجينجر (1995) ، استخدم براون (1979) وليانغ (1980) قيمًا مستمدة من متتالية سيلفستر لإنشاء أمثلة للحد الأدنى لخوارزميات تعبئة الصناديق عبر الإنترنت . ^{[ 6 ]} وبالمثل، استخدم سيدن وويجينجر (2005) المتتالية للحد الأدنى لأداء خوارزمية قطع المخزون ثنائية الأبعاد. ^{[ 26 ]}

تتعلق مسألة زنام بمجموعات من الأعداد بحيث يقسم كل عدد في المجموعة حاصل ضرب جميع الأعداد الأخرى زائد واحد، ولكنه لا يساويه. بدون شرط عدم المساواة، يمكن حل المسألة باستخدام قيم متتالية سيلفستر؛ أما مع هذا الشرط، فلها حلول أخرى مستمدة من علاقات تكرارية مشابهة لتلك التي تحدد متتالية سيلفستر. تُستخدم حلول مسألة زنام في تصنيف حالات التفرد السطحي (برينتون وهيل، 1988) وفي نظرية الأوتوماتا المحدودة غير الحتمية . ^{[ 27 ]}

يصف كورتيس (1922) تطبيقًا لأقرب التقريبات إلى واحد بواسطة مجاميع k من حدود الكسور الوحدوية، في الحد الأدنى لعدد قواسم أي عدد كامل ، ويستخدم ميلر (1919) نفس الخاصية للحد الأعلى لحجم مجموعات معينة . ^{[ 28 ]}

• ثابت كاهين
• العدد شبه الكامل الأولي
• رقم ليوناردو

• اللاعقلانية في المجاميع التربيعية ، من صفحات الرياضيات لـ KS Brown.
• وايسستين، اريك دبليو “تسلسل سيلفستر” . عالم الرياضيات .