الجنس (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 30 صور
الموسوعة الحرة
سطح من النوع 2

في الرياضيات ، للجنس ( جمعه : أجناس ) عدة معانٍ مختلفة، ولكنها وثيقة الصلة. وبشكل بديهي، الجنس هو عدد "الثقوب" في سطح ما . [ 1 ] الكرة جنسها صفر، بينما الطارة جنسها واحد.

الطوبولوجيا

الأسطح القابلة للتوجيه

كل من فنجان القهوة والدونات الموضحين في هذا الرسم المتحرك ينتميان إلى الجنس الأول.

جنس السطح المتصل والقابل للتوجيه هو عدد صحيح يمثل الحد الأقصى لعدد القطوع على طول منحنيات مغلقة بسيطة غير متقاطعة دون فصل السطح الناتج . [ 2 ] وهو يساوي عدد نقاط الوصول إليه. ويمكن تعريفه أيضًا بدلالة خاصية أويلر .χ{\displaystyle \chi }، من خلال العلاقةχ=2-2ز{\displaystyle \chi =2-2g}بالنسبة للأسطح المغلقة ، حيثز{\displaystyle g}هو الجنس. للأسطح ذاتب{\displaystyle b}مكونات الحدود ، كما تنص المعادلةχ=2-2ز-ب{\displaystyle \chi =2-2g-b}.

ببساطة، يُشير الجنس إلى عدد "الثقوب" الموجودة في الجسم (الثقوب هنا بمعنى ثقوب الدونات؛ فالكرة المجوفة تُعتبر خالية من الثقوب بهذا المعنى). [ 3 ] يحتوي السطح الحلقي على ثقب واحد، بينما لا يحتوي السطح الكروي على أي ثقوب. السطح الأخضر الموضح أعلاه يحتوي على ثقبين من هذا النوع.

على سبيل المثال:

  • المجال​S2{\displaystyle S^{2}}والقرص كلاهما من النوع صفر.
  • للحلقة جنس واحد، وكذلك سطح كوب القهوة ذي المقبض.

تم تقديم البناء الصريح لأسطح الجنس g في المقالة المتعلقة بالمضلع الأساسي .

أسطح غير قابلة للتوجيه

الجنس غير الموجه ، أو الجنس النصفي ، أو جنس أويلر لسطح مغلق متصل وغير موجه، هو عدد صحيح موجب يمثل عدد الأغطية المتقاطعة المتصلة بالكرة . ويمكن تعريفه، بدلاً من ذلك، لسطح مغلق بدلالة خاصية أويلر χ، من خلال العلاقة χ = 2 − k ، حيث k هو الجنس غير الموجه.

على سبيل المثال:

عقدة

يُعرَّف جنس العقدة K بأنه أصغر جنس لجميع أسطح سيفرت الخاصة بـ K. [ 5 ] مع ذلك ، فإن سطح سيفرت للعقدة هو متعدد الشعب ذو حدود ، وهذه الحدود هي العقدة نفسها، أي متماثلة شكليًا مع دائرة الوحدة . يُعرَّف جنس هذا السطح بأنه جنس متعدد الشعب الثنائي، والذي يُحصل عليه بلصق قرص الوحدة على طول الحدود.

مقبض

جنس جسم المقبض ثلاثي الأبعاد هو عدد صحيح يمثل الحد الأقصى لعدد القطع على طول الأقراص المدمجة دون فصل المشعب الناتج. وهو يساوي عدد المقابض الموجودة عليه .

على سبيل المثال:

  • الكرة من النوع 0.
  • الحلقة الصلبة D 2 × S 1 لها جنس 1.

نظرية الرسم البياني

جنس الرسم البياني هو أصغر عدد صحيح n بحيث يمكن رسم الرسم البياني دون أن يتقاطع مع نفسه على كرة ذات n مقابض (أي سطح موجه من الجنس n ). وبالتالي، فإن الرسم البياني المستوي جنسه 0، لأنه يمكن رسمه على كرة دون أن يتقاطع مع نفسه.

الجنس غير القابل للتوجيه للرسم البياني هو أصغر عدد صحيح n بحيث يمكن رسم الرسم البياني دون أن يتقاطع مع نفسه على كرة ذات n غطاء متقاطع (أي سطح غير قابل للتوجيه من الجنس n ). (يُسمى هذا العدد أيضًا الجنس الجزئي ).

جنس أويلر هو أصغر عدد صحيح n بحيث يمكن رسم الرسم البياني دون أن يتقاطع مع نفسه على كرة ذات n غطاء متقاطع أو على كرة ذات n/2 مقبض. [ 6 ]

في نظرية المخططات الطوبولوجية، توجد عدة تعريفات لجنس المجموعة . وقد قدم آرثر تي. وايت المفهوم التالي: جنس المجموعة G هو أصغر جنس لمخطط كايلي (متصل وغير موجه) للمجموعة G.

تُعتبر مسألة جنس الرسم البياني مسألة NP- كاملة . [ 7 ]

الهندسة الجبرية

يوجد تعريفان مترابطان لجنس أي مخطط جبري إسقاطيX{\displaystyle X}الجنس الحسابي والجنس الهندسي . [ 8 ] عندماX{\displaystyle X}هو منحنى جبري مجال تعريفه الأعداد المركبة ، وإذاX{\displaystyle X}إذا لم يكن للسطح نقاط شاذة ، فإن هذه التعريفات تتفق وتتطابق مع التعريف الطوبولوجي المطبق على سطح ريمان لـX{\displaystyle X}( مجموعة نقاطها المركبة). على سبيل المثال، تعريف المنحنى الإهليلجي من الهندسة الجبرية هو منحنى إسقاطي غير شاذ من النوع 1 مرتبط بنقطة نسبية معينة عليه .

بحسب نظرية ريمان-روخ ، فإن منحنى مستوي غير قابل للاختزال من الدرجةد{\displaystyle d}معطى بواسطة الموضع المتلاشي للقطاعs∈Γ(P2،ياP2(د)){\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}له جنس هندسي

ز=(د-1)(د-2)2-s،{\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}

أينs{\displaystyle s}هو عدد النقاط الشاذة عند حسابها بشكل صحيح.

الهندسة التفاضلية

في الهندسة التفاضلية ، جنس من متعدد الشعب الموجهم{\displaystyle M}يمكن تعريفها على أنها عدد مركبΦ(م){\displaystyle \Phi (M)}رهناً بالشروط

  • Φ(م1⨿م2)=Φ(م1)+Φ(م2){\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}
  • Φ(م1×م2)=Φ(م1)⋅Φ(م2){\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}
  • Φ(م1)=Φ(م2){\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}لوم1{\displaystyle M_{1}}وم2{\displaystyle M_{2}}متزامنة .​

بعبارة أخرى،Φ{\displaystyle \Phi }هو تشاكل حلقيR→ج{\displaystyle R\to \mathbb {C} }، أينR{\displaystyle R}هي حلقة التماثل الموجه لثوم . [ 9 ]

الجنسΦ{\displaystyle \Phi }تكون دالة ضربية لجميع الحزم على مشعبات سبينور ذات بنية مدمجة متصلة إذاسجلΦ{\displaystyle \log _{\Phi }}هو تكامل إهليلجي مثلسجلΦ⁡(x)=∫0x(1-2دلتات2+εت4)-1/2دت{\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}بالنسبة للبعضدلتا،ε∈ج.{\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}يُطلق على هذا الجنس اسم الجنس الإهليلجي.

خاصية أويلرχ(م){\displaystyle \chi (M)}لا يُعتبر جنسًا بهذا المعنى لأنه ليس ثابتًا فيما يتعلق بالتشابهات.

علم الأحياء

يمكن أيضًا حساب الجنس للرسم البياني الذي تشكله شبكة التفاعلات الكيميائية في الأحماض النووية أو البروتينات . وعلى وجه الخصوص، يمكن دراسة نمو الجنس على طول السلسلة. تُظهر هذه الدالة (التي تُسمى أثر الجنس) التعقيد الطوبولوجي وبنية النطاقات للجزيئات الحيوية. [ 10 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. ^ بوبيسكو بامبو 2016 ، ص. الثالث عشر، مقدمة.
  2. ^ بوبيسكو بامبو 2016 ، ص. الرابع عشر، مقدمة.
  3. ^ فايسشتاين، إي دبليو “جنس” . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع في 4 يونيو 2021 .
  4. 1 2 3 4 غرب 2000 .
  5. ↑ آدامز، كولين (2004)، كتاب العقد: مقدمة تمهيدية لنظرية العقد الرياضية ، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-3678-1
  6. ↑ إليس-موناغان، جوانا أ.؛ موفات، إيان (2013). الرسوم البيانية على الأسطح: الازدواجيات، كثيرات الحدود، والعقد . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4614-6971-1 . ISBN 978-1-4614-6970-4.
  7. ^ توماسن، كارستن (1989). “مشكلة جنس الرسم البياني هي NP-كاملة”. مجلة الخوارزميات . 10 (4): 568–576 . دوى : 10.1016/0196-6774(89)90006-0 . ردمك 0196-6774 . زبل 0689.68071 .  
  8. ↑ هيرزبروش، فريدريش (1995) [1978]. الأساليب الطوبولوجية في الهندسة الجبرية . كلاسيكيات في الرياضيات. ترجمة من الألمانية والملحق الأول بقلم آر. إل. إي. شوارزنبرغر. الملحق الثاني بقلم أ. بوريل (إعادة طبع الطبعة الثانية، طبعة مصححة من الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN  978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009 . 
  9. ↑ تشارلز رزق - علم التماثل الإهليلجي والمنحنيات الإهليلجية (محاضرات فيليكس كلاين، بون 2015. قسم الرياضيات، جامعة إلينوي، أوربانا، إلينوي)
  10. ↑ سولكوفسكي، بيوتر؛ سولكوفسكا، جوانا إي .؛ دابروفسكي-تومانسكي، باويل؛ أندرسن، إيبي سلوث؛ جيري، كودي؛ زاجاك، سيباستيان (2018-12-03). "يكشف تتبع الجنس عن التعقيد الطوبولوجي وبنية نطاقات الجزيئات الحيوية" . التقارير العلمية . 8 (1): 17537. Bibcode : 2018NatSR...817537Z . doi : 10.1038/ s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . PMC 6277428. PMID 30510290 .   

مراجع

  • بوبيسكو-بامبو، باتريك (2016). ما هو الجنس؟ . سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-3-319-42312-8.
  • ويست، دوغلاس برنت (2000). "أسطح من جنس أعلى". مقدمة في نظرية الرسم البياني . الصفحات 266-269 . ISBN  978-0130144003.