الترتيب الطوبولوجي

في الفيزياء ، يصف الترتيب الطوبولوجي ^{[ 1 ]} حالة أو طورًا للمادة ينشأ في نظام ذي تفاعلات غير محلية، مثل التشابك في ميكانيكا الكم ، والأنماط المرنة في الأنظمة المرنة. ^{[ 2 ]} بينما تتوافق أطوار المادة الكلاسيكية، كالغازات والمواد الصلبة، مع أنماط مجهرية في الترتيب المكاني للجسيمات الناجمة عن تفاعلات قصيرة المدى، فإن الترتيبات الطوبولوجية تتوافق مع أنماط التشابك الكمي طويل المدى . ^{[ 3 ]} لا يمكن للحالات ذات الترتيبات الطوبولوجية المختلفة (أو أنماط التشابك طويلة المدى المختلفة) أن تتحول إلى بعضها البعض دون انتقال طوري.

من الناحية التقنية، يحدث الترتيب الطوبولوجي عند درجة حرارة الصفر المطلق. تتميز حالات الترتيب الطوبولوجي المختلفة بخصائص مثيرة للاهتمام، مثل: (1) انحلال الحالة الأرضية ^{[ 4 ]} والإحصاءات الكسرية أو إحصاءات المجموعة غير التبادلية التي يمكن استخدامها لتحقيق حاسوب كمومي طوبولوجي ؛ (2) حالات الحافة الموصلة المثالية التي قد يكون لها تطبيقات مهمة في الأجهزة؛ (3) حقل القياس الناشئ وإحصاءات فيرمي التي تشير إلى أصل معلومات كمومي للجسيمات الأولية ؛ ^{[ 5 ]} (4) إنتروبيا التشابك الطوبولوجي التي تكشف عن أصل التشابك للترتيب الطوبولوجي، إلخ. يُعد الترتيب الطوبولوجي مهمًا في دراسة العديد من الأنظمة الفيزيائية مثل السوائل المغزلية ، ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} وتأثير هول الكمومي ، ^{[ 10 ] [ 11 ]} إلى جانب تطبيقات محتملة في الحوسبة الكمومية المقاومة للأخطاء . ^{[ 12 ]}

العوازل الطوبولوجية ^{[ 13 ]} والموصلات الفائقة الطوبولوجية (ما وراء البعد الواحد) لا تمتلك ترتيبًا طوبولوجيًا كما هو محدد أعلاه، حيث أن تشابكاتها قصيرة المدى فقط، ولكنها أمثلة على الترتيب الطوبولوجي المحمي بالتناظر .

يمكن أن تمتلك المادة المكونة من الذرات خصائص مختلفة وتظهر بأشكال متنوعة، مثل الصلبة والسائلة والميوعة الفائقة ، وغيرها. تُسمى هذه الأشكال المختلفة للمادة عادةً حالات المادة أو أطوارها . ووفقًا لفيزياء المادة المكثفة ومبدأ الظهور ، تنشأ الخصائص المختلفة للمواد عمومًا من الطرق المختلفة التي تُنظم بها الذرات داخل المادة. وتُسمى هذه التنظيمات المختلفة للذرات (أو الجسيمات الأخرى) رسميًا بالترتيبات في المواد. ^{[ 14 ]}

يمكن للذرات أن تترتب بطرق عديدة، مما يؤدي إلى ظهور أنماط وأنواع مختلفة من المواد. توفر نظرية كسر تناظر لاندو فهمًا عامًا لهذه الأنماط المختلفة، إذ تشير إلى أن الأنماط المختلفة تتوافق في الواقع مع تناظرات مختلفة في تنظيم الذرات المكونة لها. وعندما تتغير المادة من نمط إلى آخر (أي عندما تخضع المادة لانتقال طوري )، يتغير تناظر تنظيم الذرات.

على سبيل المثال، تتوزع الذرات عشوائيًا في السائل ، لذا يبقى السائل على حاله عند إزاحة الذرات مسافةً ما. نقول إن للسائل تناظرًا انتقاليًا مستمرًا . بعد التحول الطوري، يمكن أن يتحول السائل إلى بلورة . في البلورة، تنتظم الذرات في مصفوفة منتظمة ( شبكة ). تبقى الشبكة ثابتة فقط عند إزاحتها مسافةً محددة (عدد صحيح مضروب في ثابت الشبكة )، لذا فإن للبلورة تناظرًا انتقاليًا منفصلًا فقط . التحول الطوري بين السائل والبلورة هو تحول يُقلل التناظر الانتقالي المستمر للسائل إلى التناظر المنفصل للبلورة. وينطبق الأمر نفسه على التناظر الدوراني. يُسمى هذا التغير في التناظر بكسر التناظر . إذن، جوهر الفرق بين السوائل والبلورات هو أن تنظيم الذرات له تناظرات مختلفة في الطورين.

لقد كانت نظرية كسر تناظر لانداو نظرية ناجحة للغاية. لفترة طويلة، اعتقد الفيزيائيون أن نظرية لانداو تصف جميع الترتيبات الممكنة في المواد، وجميع التحولات الطورية (المستمرة) الممكنة.

مع ذلك، ومنذ أواخر ثمانينيات القرن الماضي، بات من الواضح تدريجيًا أن نظرية كسر التناظر لاندو قد لا تصف جميع الترتيبات الممكنة. وفي محاولة لتفسير الموصلية الفائقة عند درجات الحرارة العالية ^{[ 15 ]،} تم تقديم حالة الدوران الكيرالي. [ ^{6 ] [ 7 ] في} البداية، رغب الفيزيائيون في استخدام نظرية كسر التناظر لاندو لوصف حالة الدوران الكيرالي. وقد حددوا حالة الدوران الكيرالي على أنها حالة تكسر تناظري انعكاس الزمن والتكافؤ، ولكن ليس تناظر دوران الدوران. وكان من المفترض أن يكون هذا نهاية المطاف وفقًا لوصف لاندو لكسر التناظر للترتيبات. إلا أنه سرعان ما أُدرك وجود العديد من حالات الدوران الكيرالي المختلفة التي لها نفس التناظر تمامًا، لذا فإن التناظر وحده لا يكفي لتوصيف حالات الدوران الكيرالي المختلفة. وهذا يعني أن حالات الدوران الكيرالي تحتوي على نوع جديد من الترتيب يتجاوز وصف التناظر المعتاد. ^{[ 16 ]} وقد سُمي هذا النوع الجديد المقترح من الترتيب "الترتيب الطوبولوجي". ^{[ 1 ]} يُستمد مصطلح "الترتيب الطوبولوجي" من نظرية الطاقة المنخفضة الفعّالة لحالات الدوران الكيرالية، وهي نظرية حقل كمومي طوبولوجي (TQFT). ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} وقد طُرحت أعداد كمومية جديدة، مثل انحلال الحالة الأرضية ^{[ 16 ]} (الذي يمكن تعريفه على فضاء مغلق أو فضاء مفتوح ذي حدود ذات فجوة طاقة، ويشمل كلاً من الترتيبات الطوبولوجية الأبيلية ^{[ 20 ] [ 21 ]} والترتيبات الطوبولوجية غير الأبيلية ^{[ 22 ] [ 23 ]} ) والطور الهندسي غير الأبيلي للحالات الأرضية المنحلة، ^{[ 1 ]} لتوصيف وتحديد الترتيبات الطوبولوجية المختلفة في حالات الدوران الكيرالية. ومؤخرًا، تبيّن أنه يمكن أيضًا توصيف الترتيبات الطوبولوجية بواسطة الإنتروبيا الطوبولوجية . ^{[ 24 ] [ 25 ]}

لكن سرعان ما أشارت التجارب إلى أن حالات الدوران الكيرالية لا تصف الموصلات الفائقة ذات درجة الحرارة العالية، وأصبحت نظرية الترتيب الطوبولوجي نظريةً بلا تطبيق تجريبي. مع ذلك، فإن التشابه بين حالات الدوران الكيرالية وحالات هول الكمومية يسمح باستخدام نظرية الترتيب الطوبولوجي لوصف حالات هول الكمومية المختلفة. ^{[ 4 ]} وكما هو الحال في حالات الدوران الكيرالية، فإن جميع حالات هول الكمومية المختلفة لها نفس التناظر وتقع خارج نطاق وصف كسر تناظر لاندو. وقد وُجد أن الترتيبات المختلفة في حالات هول الكمومية المختلفة يمكن وصفها بالفعل بالترتيبات الطوبولوجية، وبالتالي فإن الترتيب الطوبولوجي له تطبيقات تجريبية.

تم اكتشاف حالة هول الكمومية الكسرية (FQH) عام 1982 [ 10 ^{] [ 11 ] قبل ظهور} مفهوم الترتيب الطوبولوجي عام 1989. إلا أن حالة FQH ليست أول حالة مرتبة طوبولوجية يتم اكتشافها تجريبياً. فالموصل الفائق ، الذي اكتُشف عام 1911، هو أول حالة مرتبة طوبولوجية يتم اكتشافها تجريبياً؛ إذ يتميز بترتيب طوبولوجي _{من الرتبة} Z² . ^{[ ملاحظة 1 ]}

على الرغم من أن الحالات المرتبة طوبولوجيًا تظهر عادةً في أنظمة البوزونات/الفيرميونات ذات التفاعلات القوية، إلا أن نوعًا بسيطًا من الترتيب الطوبولوجي قد يظهر أيضًا في أنظمة الفيرميونات الحرة. يتوافق هذا النوع من الترتيب الطوبولوجي مع حالة هول الكمومية الصحيحة، والتي يمكن وصفها برقم تشيرن لحزمة الطاقة الممتلئة إذا اعتبرنا حالة هول الكمومية الصحيحة على شبكة. وقد اقترحت حسابات نظرية إمكانية قياس أرقام تشيرن هذه تجريبيًا لنظام فيرميونات حرة. ^{[ 29 ] [ 30 ]} ومن المعروف أيضًا أنه يمكن قياس رقم تشيرن هذا (ربما بشكل غير مباشر) بواسطة حالات الحافة .

يُعدّ أهمّ ما يُميّز الترتيبات الطوبولوجية هو الإثارات المجزأة الكامنة (مثل الأنيونات ) وإحصاءات اندماجها وإحصاءات تضفيرها (التي قد تتجاوز الإحصاءات الكمومية للبوزونات أو الفرميونات ). تُظهر الأبحاث الحالية وجود إثارات شبيهة بالحلقات والأوتار في الترتيبات الطوبولوجية في الزمكان ثلاثي الأبعاد (3+1 ) ، وتُعدّ إحصاءات تضفير الحلقات/الأوتار المتعددة مؤشرات حاسمة لتحديد هذه الترتيبات. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} ويمكن تمثيل إحصاءات تضفير الحلقات/الأوتار المتعددة للترتيبات الطوبولوجية ثلاثية الأبعاد (3+1) بواسطة ثوابت الربط لنظرية حقل كمومي طوبولوجي مُحدّدة في أربعة أبعاد زمكانية. ^{[ 33 ]}

تتحقق فئة واسعة من الترتيبات الطوبولوجية ثنائية الأبعاد بالإضافة إلى بُعد واحد (2+1D) من خلال آلية تُسمى تكثيف الشبكة الخيطية . ^{[ 34 ]} يمكن أن تحتوي هذه الفئة من الترتيبات الطوبولوجية على حافة ذات فجوة، ويتم تصنيفها وفقًا لنظرية فئة الاندماج الوحدوية (أو الفئة المونيدية ). وقد وُجد أن تكثيف الشبكة الخيطية يُمكن أن يُولّد عددًا لا نهائيًا من أنواع الترتيبات الطوبولوجية المختلفة، مما قد يُشير إلى وجود العديد من أنواع المواد الجديدة التي لم يتم اكتشافها بعد.

تُؤدي الحركات الجماعية للأوتار المكثفة إلى إثارات أعلى من حالات التكثيف الشبكية للأوتار. وتُعرف هذه الإثارات باسم بوزونات القياس . أما نهايات الأوتار فهي عيوب تُقابل نوعًا آخر من الإثارات. هذه الإثارات هي شحنات القياس ، ويمكنها أن تحمل إحصاءات فيرمي أو إحصاءات كسرية . ^{[ 35 ]}

تؤدي تكثفات الأجسام الممتدة الأخرى مثل " الأغشية " ^{[ 36 ]} و "شبكات الأغشية" ^{[ 37 ]} والكسور الهندسية أيضًا إلى أطوار مرتبة طوبولوجيًا ^{[ 38 ]} و"الزجاج الكمومي". ^{[ 39 ] [ 40 ]}

نعلم أن نظرية الزمر هي الأساس الرياضي لترتيبات كسر التناظر. ما هو الأساس الرياضي للترتيب الطوبولوجي؟ وُجد أن فئة فرعية من الترتيبات الطوبولوجية ثنائية الأبعاد (2+1D) - وهي الترتيبات الطوبولوجية الأبيلية - يمكن تصنيفها باستخدام مصفوفة K. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} يشير تكثيف شبكة الأوتار إلى أن فئة الموتر (مثل فئة الاندماج أو الفئة المونيدية ) هي جزء من الأساس الرياضي للترتيب الطوبولوجي في ^بُعدين (2+1D). تشير الأبحاث الحديثة إلى أنه (حتى الترتيبات الطوبولوجية القابلة للعكس والتي لا تحتوي على إثارات مجزأة):

• يتم تصنيف الترتيبات الطوبولوجية البوزونية ثنائية الأبعاد وأحادية الأبعاد بواسطة فئات الموتر المعياري الوحدوي.
• يتم تصنيف الترتيبات الطوبولوجية البوزونية ثنائية الأبعاد وأحادية الأبعاد ذات التناظر G بواسطة فئات الموتر المتقاطعة G.
• تُصنَّف الترتيبات الطوبولوجية البوزونية/الفيرميونية ثنائية الأبعاد (2+1D) ذات التناظر G بواسطة فئات اندماج مضفرة أحادية فوق فئة اندماج متناظرة، والتي لها امتدادات معيارية. فئة الاندماج المتناظرة هي Rep(G) للأنظمة البوزونية و sRep(G) للأنظمة الفيرميونية.

قد يرتبط الترتيب الطوبولوجي في الأبعاد العليا بنظرية الفئات المتعددة. ويُعدّ جبر المؤثرات الكمومية أداة رياضية بالغة الأهمية في دراسة الترتيبات الطوبولوجية.

ويشير البعض أيضاً إلى أن الترتيب الطوبولوجي يتم وصفه رياضياً بواسطة التناظر الكمي الممتد . ^{[ 45 ]}

كان للمواد التي وصفتها نظرية كسر التناظر لانداو تأثير كبير على التكنولوجيا. فعلى سبيل المثال، يمكن استخدام المواد المغناطيسية الحديدية التي تكسر تناظر الدوران المغزلي كوسائط لتخزين المعلومات الرقمية. إذ يمكن لمحرك أقراص صلبة مصنوع من هذه المواد تخزين غيغابايتات من المعلومات. كما تجد البلورات السائلة التي تكسر التناظر الدوراني للجزيئات تطبيقات واسعة في تقنية العرض. وتؤدي البلورات التي تكسر تناظر الانتقال إلى نطاقات إلكترونية محددة جيدًا ، مما يسمح لنا بصنع أجهزة شبه موصلة مثل الترانزستورات . وتُعد أنواع الترتيبات الطوبولوجية المختلفة أكثر ثراءً من أنواع ترتيبات كسر التناظر المختلفة، مما يشير إلى إمكاناتها في تطبيقات جديدة.

تُعدّ نظرية كسر تناظر لاندو حجر الزاوية في فيزياء المادة المكثفة ، حيث تُستخدم لتحديد نطاق أبحاثها. ويبدو أن وجود الترتيب الطوبولوجي يُشير إلى أن الطبيعة أغنى بكثير مما أشارت إليه نظرية كسر تناظر لاندو حتى الآن. لذا، يفتح الترتيب الطوبولوجي آفاقًا جديدة في فيزياء المادة المكثفة، آفاقًا جديدة للمادة الكمومية شديدة التشابك. نُدرك أن الأطوار الكمومية للمادة (أي أطوار المادة عند درجة حرارة الصفر المطلق) يُمكن تقسيمها إلى فئتين: حالات التشابك طويلة المدى وحالات التشابك قصيرة المدى. ^{[ 3 ]} يُعرّف الترتيب الطوبولوجي بأنه نمط التشابكات طويلة المدى. أما حالات التشابك قصيرة المدى فهي بسيطة لأنها تنتمي جميعها إلى طور واحد. مع ذلك، في ظل وجود التناظر، حتى حالات التشابك قصيرة المدى تُصبح غير بسيطة، وقد تنتمي إلى أطوار مختلفة. ويُقال إن هذه الأطوار تحتوي على ترتيب طوبولوجي-طوبولوجي (SPT) . ^{[ 56 ]} يعمم ترتيب SPT مفهوم العازل الطوبولوجي ليشمل الأنظمة المتفاعلة.

يشير البعض إلى أن الترتيب الطوبولوجي (أو بشكل أدق، تكثيف شبكة الأوتار ) في نماذج البوزونات المحلية (اللف المغزلي) لديه القدرة على توفير أصل موحد للفوتونات والإلكترونات والجسيمات الأولية الأخرى في كوننا. ^{[ 5 ]}