الدوال الزائدية

في الرياضيات ، الدوال الزائدية هي نظائر للدوال المثلثية العادية ، ولكن يتم تعريفها باستخدام القطع الزائد وليس الدائرة . وكما تشكل النقاط (cos t , sin t ) دائرة بنصف قطر وحدة ، تشكل النقاط (cosh t , sinh t ) النصف الأيمن من القطع الزائد الوحدة . وبالمثل، على غرار كيفية كون مشتقات sin( t ) و cos( t ) هي cos( t ) و- sin( t ) على التوالي، فإن مشتقات sinh( t ) و cosh( t ) هي cosh( t ) و +sinh( t ) على التوالي.

تحدث الدوال الزائدية في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية . كما تحدث في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (مثل المعادلة التي تحدد السلسلة )، والمعادلات التكعيبية ، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية . تعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء ، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية ، وانتقال الحرارة ، وديناميكيات الموائع ، والنسبية الخاصة .

الدوال الزائدية الأساسية هي: ^[1]

• الجيب الزائدي " سينه " ( / ˈsɪŋ , ˈsɪntʃ , ˈʃaɪn / ) ^، [ 2 ]​​​​​
• جيب التمام الزائدي " cosh " ( / ˈkɒʃ , ˈkoʊʃ / ) ، [ ³ ]

والتي اشتق منها: ^[4]

• الظل الزائدي " تانه " ( / ˈtæŋ ، ˈtæntʃ ، ˈθæn / ) ، [ ⁵ ]​​​​​
• ظل التمام الزائدي " coth " ( / ˈkɒθ ، ˈkoʊθ / ) ، [ 6 ] ^{[ 7} ]
• القاطع الزائدي " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ) ، ^[8]
• قاطع التمام الزائدي " csch " أو " cosech " ( / ˈkoʊsɛtʃ , ˈkoʊʃɛk / [ ³ ] )​​​

المقابلة للوظائف المثلثية المشتقة.

الدوال الزائدية العكسية هي:

• مساحة الجيب الزائدي " أرسينه " (يشار إليها أيضًا باسم " سينه ⁻¹ " أو " أسينه " أو في بعض الأحيان " أركسينه ") ^{[9] [10] [11]}
• مساحة جيب التمام الزائدي " arcosh " (يشار إليها أيضًا باسم " cosh ⁻¹ " أو " acosh " أو في بعض الأحيان " arccosh ")
• مساحة الظل الزائدي " artanh " (يشار إليها أيضًا باسم " tanh ⁻¹ " أو " atanh " أو في بعض الأحيان " arctanh ")
• مساحة ظل التمام الزائدي " arcoth " (يشار إليها أيضًا باسم " coth ⁻¹ " أو " acoth " أو أحيانًا " arcoth ")
• منطقة القطع الزائد " arsech " (يشار إليها أيضًا باسم " sech ⁻¹ " أو " asech " أو في بعض الأحيان " arcsech ")
• مساحة قاطع التمام الزائدي " arcsch " (يشار إليها أيضًا باسم " arcosech " أو " csch ⁻¹ " أو " cosech ⁻¹ " أو " acsch " أو " acosech " أو في بعض الأحيان " arccsch " أو " arccosech ")

تأخذ الدوال الزائدية وسيطة حقيقية تسمى الزاوية الزائدية . حجم الزاوية الزائدية يساوي ضعف مساحة قطاعها الزائدي . يمكن تعريف الدوال الزائدية من حيث أضلاع المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.

في التحليل المركب ، تنشأ الدوال الزائدية عند تطبيق دوال الجيب وجيب التمام العادية على زاوية وهمية. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي عبارة عن دوال كاملة . ونتيجة لذلك، تكون الدوال الزائدية الأخرى متماثلة في المستوى المركب بأكمله.

وفقًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس ، فإن الدوال الزائدية لها قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للحجة. ^[12]

تم تقديم الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينسينزو ريكاتي ويوهان هاينريش لامبرت . ^[13] استخدم ريكاتي Sc. و Cc. ( جيب/جيب التمام الدائري ) للإشارة إلى الدوال الدائرية و Sh. و Ch. ( جيب/جيب التمام الزائد ) للإشارة إلى الدوال الزائدية. تبنى لامبرت الأسماء، لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم. ^[14] تُستخدم أيضًا الاختصارات sh و ch و th و cth حاليًا، اعتمادًا على التفضيل الشخصي.

هناك طرق مختلفة متكافئة لتعريف الدوال الزائدية.

من حيث الدالة الأسية : ^{[1] [4]}

• الجيب الزائدي: الجزء الفردي من الدالة الأسية، أي،$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• جيب التمام الزائدي: الجزء الزوجي من الدالة الأسية، أي،$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• المماس الزائدي:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• ظل التمام الزائدي: عندما x ≠ 0 ،$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• القاطع الزائدي:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• قاطع الجيب الزائدي: عندما x ≠ 0 ،$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

يمكن تعريف الدوال الزائدية على أنها حلول للمعادلات التفاضلية : الجيب الزائدي وجيب التمام هما الحل ( s ، c ) للنظام مع الظروف الأولية. الظروف الأولية تجعل الحل فريدًا؛ بدونها سيكون أي زوج من الدوال حلاً. $${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x ) و cosh( x ) هما أيضًا الحل الوحيد لمعادلة f  ″( x ) = f  ( x ) ، بحيث f  (0) = 1 ، f  ′(0) = 0 لجيب التمام الزائدي، و f  (0) = 0 ، f  ′(0) = 1 للجيب الزائدي.

يمكن أيضًا استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية ذات الحجج المعقدة :

• الجيب الزائدي: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• جيب التمام الزائدي: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• المماس الزائدي:$${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• ظل التمام الزائدي:$${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• القاطع الزائدي:$${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• قاطع الجيب الزائدي:$${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

حيث i هي الوحدة التخيلية مع i ² = −1 .

ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية من خلال صيغة أويلر (انظر § الدوال الزائدية للأعداد المركبة أدناه).

يمكن إظهار أن المساحة الواقعة أسفل منحنى جيب التمام الزائدي (على فترة زمنية محدودة) تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة: ^[15] $${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

المماس الزائدي هو الحل (الفريد) للمعادلة التفاضلية f  ′ = 1 − f  ² ، حيث f  (0) = 0. [ ^{16] [17]}

تفي الدوال الزائدية بالعديد من الهويات، وكلها متشابهة في الشكل مع الهويات المثلثية . في الواقع، تنص قاعدة أوزبورن ^[18] على أنه يمكن تحويل أي هوية مثلثية (حتى sinhs أو sinhs الضمنية من الدرجة الرابعة ولكن لا تشملها) لـ ، أو ، أو و إلى هوية زائدية، عن طريق توسيعها بالكامل من حيث القوى التكاملية للجيب وجيب التمام، وتغيير الجيب إلى sinh وجيب التمام إلى cosh، وتبديل إشارة كل حد يحتوي على حاصل ضرب sinhين. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

الدوال الفردية والزوجية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن cosh x و sech x دالتان زوجية ؛ والأخرى دالتان فرديتان .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

الجيب الزائدي وجيب التمام يلبيان: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$$

والأخير منها يشبه متطابقة فيثاغورس المثلثية .

واحد لديه أيضا $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

بالنسبة للوظائف الأخرى.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$ خصوصًا $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

أيضًا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

أيضا: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

حيث sgn هي دالة الإشارة .

إذا x ≠ 0 ، إذن ^[20]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

تعتبر المتباينة التالية مفيدة في الإحصاء: ^[21] $${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

يمكن إثبات ذلك عن طريق مقارنة متسلسلة تايلور للدالتين حدًا بحد.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

كل من الدوال sinh و cosh تساوي المشتقة الثانية لها ، أي: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

جميع الدوال التي تمتلك هذه الخاصية هي عبارة عن تركيبات خطية من sinh و cosh ، وخاصة الدوال الأسية و . ^[22]${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

يمكن إثبات التكاملات التالية باستخدام التعويض الزائدي : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

حيث C هو ثابت التكامل .

من الممكن التعبير صراحة عن متسلسلة تايلور عند الصفر (أو متسلسلة لوران ، إذا لم تكن الدالة معرفة عند الصفر) للدوال المذكورة أعلاه.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ هذه السلسلة متقاربة لكل قيمة مركبة لـ x . ونظرًا لأن الدالة sinh x فردية ، فإن الأسس الفردية فقط لـ x تظهر في سلسلة تايلور الخاصة بها.

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$ هذه السلسلة متقاربة لكل قيمة مركبة لـ x . ونظرًا لأن الدالة cosh x زوجية ، فإن الأسس الزوجية فقط لـ x تظهر في سلسلة تايلور الخاصة بها.

مجموع المتتاليتين sinh و cosh هو تعبير السلسلة اللانهائية للدالة الأسية .

تتبع السلسلة التالية وصفًا لمجموعة فرعية من مجال تقاربها ، حيث تكون السلسلة متقاربة ومجموعها يساوي الدالة. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

أين:

• ${\displaystyle B_{n}}$هو رقم برنولي رقم n
• ${\displaystyle E_{n}}$هو رقم أويلر رقم n

التوسعات التالية صالحة في المستوى المعقد بأكمله:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

تمثل الدوال الزائدية توسعًا في علم المثلثات يتجاوز الدوال الدائرية . يعتمد كلا النوعين على وسيطة ، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية .

نظرًا لأن مساحة القطاع الدائري بنصف قطر r وزاوية u (بالراديان) هي r ² u / 2 ، فسوف تساوي u عندما r = √ 2 . في الرسم البياني، تكون هذه الدائرة مماسًا للقطع الزائد xy = 1 عند (1,1). يصور القطاع الأصفر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، تصور المنطقتان الصفراء والحمراء معًا قطاعًا زائديًا بمساحة تتوافق مع مقدار الزاوية الزائدية.

أضلاع المثلثين القائمين اللذين يقع الوتر في الشعاع الذي يحدد الزوايا يبلغ طولها √ 2 أضعاف الدالة الدائرية والزائدية.

الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت فيما يتعلق بتخطيط الضغط ، تمامًا كما أن الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران. ^[23]

تعطي الدالة الجوديرمانية علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

الرسم البياني للدالة a cosh( x / a ) هو السلسلة المتسلسلة ، المنحنى الذي يتكون من سلسلة مرنة منتظمة، معلقة بحرية بين نقطتين ثابتتين تحت تأثير جاذبية منتظمة.

يؤدي تحلل الدالة الأسية إلى أجزائها الزوجية والفردية إلى المتطابقات وعند دمجها مع صيغة أويلر نحصل على الدالة الأسية المعقدة العامة . $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$$${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$$${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

بالإضافة إلى ذلك، $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

الدوال الزائدية في المستوى المركب

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

نظرًا لأنه يمكن تعريف الدالة الأسية لأي وسيطة مركبة ، فيمكننا أيضًا توسيع تعريفات الدوال الزائدية لتشمل الوسطاء المركبين. وبالتالي تكون الدالتان sinh z و cosh z متماثلتين .

يتم تحديد العلاقات مع الدوال المثلثية العادية بواسطة صيغة أويلر للأعداد المركبة: لذا: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

وبالتالي، تكون الدوال الزائدية دورية بالنسبة للمكون التخيلي، مع فترة ( للظل الزائدي وظل التمام). ${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \pi i}$

• هـ (الثابت الرياضي)
• نظرية الدوائر المتساوية ، المبنية على sinh
• الوظائف الزائدية
• النمو الزائدي
• الدوال الزائدية العكسية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• دوامات بوينسو
• وظيفة سيجما
• قام Soboleva بتعديل الظل الزائدي
• الدوال المثلثية

• "الدوال الزائدية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• الدوال الزائدية على PlanetMath
• GonioLab: تصور الدائرة الوحدوية والدوال المثلثية والزائدية ( Java Web Start )
• حاسبة الدوال الزائدية على شبكة الإنترنت