قانون نيوتن للجاذبية الكونية

يصف قانون نيوتن للجاذبية الكونية الجاذبية بأنها قوة ، إذ ينص على أن كل جسيم يجذب كل جسيم آخر في الكون بقوة تتناسب طرديًا مع كتلته وعكسيًا مع مربع المسافة بين مركزي كتلتيهما. فالأجسام المتباعدة والمتناظرة كرويًا تتجاذب وتنجذب كما لو كانت كتلتها كلها مركزة في مركزها . وقد عُرف نشر هذا القانون بـ" أول توحيد عظيم "، لأنه مثّل توحيدًا لظواهر الجاذبية الموصوفة سابقًا على الأرض مع السلوكيات الفلكية المعروفة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

هذا قانون فيزيائي عام مستمد من الملاحظات التجريبية من خلال ما أسماه إسحاق نيوتن بالاستدلال الاستقرائي . ^{[ 3 ]} وهو جزء من الميكانيكا الكلاسيكية وقد تمت صياغته في عمل نيوتن Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (باللاتينية: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica )، الذي نُشر لأول مرة في 5 يوليو 1687.

وبالتالي، تأخذ معادلة الجاذبية الكونية الشكل التالي: $${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$ حيث F هي قوة الجاذبية المؤثرة بين جسمين، _و m1 و m2 هما كتلتا الجسمين، _و r هي المسافة بين مركزي الكتلتين ، و G هو ثابت الجاذبية .6.674 × 10 ⁻¹¹  م ³ ⋅كغ ⁻¹ ⋅ث ⁻² ).

كان أول اختبار لقانون نيوتن للجاذبية بين الكتل في المختبر هو تجربة كافنديش التي أجراها العالم البريطاني هنري كافنديش في عام 1798. ^{[ 4 ]} وقد حدث ذلك بعد 111 عامًا من نشر كتاب نيوتن " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" وبعد حوالي 71 عامًا من وفاته.

يشبه قانون نيوتن للجاذبية قانون كولوم للقوى الكهربائية، الذي يُستخدم لحساب مقدار القوة الكهربائية الناشئة بين جسمين مشحونين. كلاهما قانونان يعتمدان على مبدأ التربيع العكسي ، حيث تتناسب القوة عكسيًا مع مربع المسافة بين الجسمين. يختلف قانون كولوم في استخدام الشحنة بدلًا من الكتلة، وفي استخدام ثابت مختلف.

تم استبدال قانون نيوتن لاحقًا بنظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين ، لكن خاصية ثبات ثابت الجاذبية لا تزال قائمة، ولا يزال القانون يُستخدم كتقريب ممتاز لتأثيرات الجاذبية في معظم التطبيقات. ولا تُصبح النسبية ضرورية إلا عند الحاجة إلى دقة متناهية، أو عند التعامل مع مجالات جاذبية قوية جدًا، كتلك الموجودة بالقرب من الأجسام الضخمة والكثيفة للغاية، أو على مسافات قصيرة (مثل مدار عطارد حول الشمس ).

قبل قانون نيوتن للجاذبية، كانت هناك العديد من النظريات التي تفسر الجاذبية. فقد لاحظ الفلاسفة سقوط الأشياء - ووضعوا نظريات تفسر سبب ذلك - منذ عهد أرسطو الذي اعتقد أن الصخور تسقط على الأرض لأن البحث عن الأرض جزء أساسي من طبيعتها. ^{[ 5 ]}

حوالي عام 1600، بدأت المنهجية العلمية تترسخ. انطلق رينيه ديكارت من جديد برؤية أكثر جوهرية، مطورًا أفكارًا عن المادة والفعل بمعزل عن اللاهوت. كتب غاليليو غاليلي عن قياسات تجريبية للأجسام الساقطة والمتدحرجة. لخصت قوانين يوهانس كيبلر لحركة الكواكب الملاحظات الفلكية لتيكو براهي . ^{[ 6 ] : 132}

في حوالي عام 1666، طور إسحاق نيوتن فكرة أن قوانين كبلر تنطبق أيضًا على مدار القمر حول الأرض، ومن ثم على جميع الأجسام على سطح الأرض. تطلب التحليل افتراض أن قوة الجاذبية تعمل كما لو أن كتلة الأرض بأكملها مُركزة في مركزها، وهو افتراض لم يكن مثبتًا في ذلك الوقت. كانت حساباته لزمن دوران القمر حول الأرض دقيقة بنسبة 16% من القيمة المعروفة. وبحلول عام 1680، حسّنت القيم الجديدة لقطر الأرض من دقة حساباته لزمن الدوران إلى 1.6%، ولكن الأهم من ذلك أن نيوتن وجد دليلًا على صحة افتراضه السابق. ^{[ 7 ] : 201}

في عام 1687، نشر نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (برينسيبيا )، الذي جمع فيه قوانينه للحركة مع تحليل رياضي جديد لتفسير نتائج كبلر التجريبية. ^{[ 6 ] : 134} وقد تم اختصار صياغة نيوتن لاحقًا في قانون التربيع العكسي.$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$حيث F هي القوة، _و m1 و m2 هما كتلتا الجسمين المتفاعلين، و r هي المسافة بين مركزي الكتلتين، و _G هو ثابت الجاذبية6.674 × 10⁻¹¹ م³ كجم⁻¹ ^{ث⁻² .  [ 8 ]} على الرغم من أن G يُسمى أيضًا ثابت نيوتن ، إلا ^أن نيوتن لم يستخدم هذا الثابت أو هذه الصيغة، بل ناقش التناسب فقط. [ ^{9 ] : 31 كان ذلك} كافيًا لإثبات أن جاذبية الأرض على القمر هي نفسها جاذبية الأرض على تفاحة.$${\displaystyle M_{\text{earth}}\propto a_{\text{apple}}R_{\text{radius of earth}}^{2}=a_{\text{moon}}R_{\text{lunar orbit}}^{2}}$$باستخدام القيم المعروفة آنذاك، تمكن نيوتن من التحقق من هذا الشكل من قانونه. وقد قاس هنري كافنديش قيمة ثابت الجاذبية (G) في عام 1797. ^{[ 9 ] : 31}

أجرى نيوتن تحليلًا كميًا استنادًا إلى هذه الصيغة حوالي عام 1665، آخذًا في الاعتبار دورة القمر ومسافته حول الأرض، وتوقيت سقوط الأجسام عليها. لم ينشر نيوتن هذه النتائج في ذلك الوقت لأنه لم يستطع إثبات أن جاذبية الأرض تعمل كما لو كانت كتلتها كلها مركزة في مركزها . استغرق منه هذا الإثبات عشرين عامًا. ^{[ 10 ] : 13} عندما قدم نيوتن الكتاب الأول من النص غير المنشور إلى الجمعية الملكية في أبريل 1686 ، ادعى روبرت هوك أن نيوتن قد حصل على قانون التربيع العكسي منه ، وهو اتهام لا أساس له في نهاية المطاف. ^{[ 7 ] : 204}

ينص القانون باللغة الحديثة على ما يلي:

تجذب كل كتلة نقطية كل كتلة نقطية أخرى بقوة تؤثر على طول الخط الواصل بين النقطتين. تتناسب هذه القوة طرديًا مع الكتلةين وعكسيًا مع مربع المسافة بينهما: [ 17 ]
$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$$ أين F هي القوة بين الجسمين؛ G هو ثابت نيوتن للجاذبية (6.674 × 10 −11  م 3 ⋅كغ −1 ⋅ث −2 ); m 1 هي كتلة الجسم الأول؛ m 2 هي كتلة الجسم الثاني؛ r هي المسافة بين مركزي الكتلتين.

بافتراض استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات ، تُقاس القوة _{F بالنيوتن (N)، والمسافة m1 والمسافة m2} بالكيلوغرام ( kg ) _، ونصف القطر r بالمتر ( m )، والثابت G هو6.674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  م ³ ⋅كغ ⁻¹ ⋅ثس ⁻² . ^{[ 8 ]} تم تحديد قيمة الثابت G بدقة لأول مرة من نتائج تجربة كافنديش التي أجراها العالم البريطاني هنري كافنديش عام 1798، على الرغم من أن كافنديش لم يحسب بنفسه قيمة عددية لـ G. ^{[ 4 ]} كانت هذه التجربة أيضًا أول اختبار لنظرية نيوتن للجاذبية بين الكتل في المختبر. وقد أُجريت بعد 111 عامًا من نشر كتاب نيوتن " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (Principia) وبعد 71 عامًا من وفاة نيوتن، لذا لم يكن بإمكان أي من حسابات نيوتن استخدام قيمة G ؛ بل كان بإمكانه فقط حساب قوة نسبية لقوة أخرى.

إذا كانت الأجسام المعنية ذات امتداد مكاني (بدلاً من كونها كتلًا نقطية)، فإن قوة الجاذبية بينها تُحسب بجمع مساهمات الكتل النقطية الافتراضية التي تُكوّن الأجسام. وفي النهاية، عندما تصبح الكتل النقطية المكونة "صغيرة جدًا"، يستلزم ذلك تكامل القوة (بصيغة متجهة، انظر أدناه) على امتداد الجسمين .

وبهذه الطريقة، يمكن إثبات أن الجسم ذو التوزيع الكروي المتناظر للكتلة يمارس نفس قوة الجذب الثقالي على الأجسام الخارجية كما لو كانت كتلة الجسم بأكملها مركزة في نقطة واحدة في مركزه. ^{[ 17 ]} (لا ينطبق هذا عمومًا على الأجسام غير المتناظرة كرويًا).

بالنسبة للنقاط الواقعة داخل توزيع كروي متناظر للمادة، يمكن استخدام نظرية نيوتن للأغلفة لإيجاد قوة الجاذبية. توضح لنا النظرية كيف تؤثر أجزاء مختلفة من توزيع الكتلة على قوة الجاذبية المقاسة عند نقطة تقع على مسافة ^r₀ من مركز توزيع الكتلة: ^[ ₁₈ ^]

• إن الجزء من الكتلة الموجود عند نصف القطر r < r ₀ يسبب نفس القوة عند نصف القطر r ₀ كما لو أن كل الكتلة المحصورة داخل كرة نصف قطرها r ₀ مركزة في مركز توزيع الكتلة (كما هو مذكور أعلاه).
• _لا يؤثر الجزء من الكتلة الواقع عند نصف قطر r > r₀ بقوة جاذبية محصلة عند نصف القطر r₀ من المركز. أي أن قوى الجاذبية الفردية المؤثرة على نقطة عند نصف القطر r₀ _من عناصر الكتلة الواقعة خارج نصف القطر _r₀ تلغي بعضها بعضًا _.

ونتيجة لذلك، على سبيل المثال، لا يوجد تسارع جاذبي صافٍ في أي مكان داخل الكرة المجوفة داخل غلاف ذي سمك وكثافة منتظمين .

يمكن كتابة قانون نيوتن للجاذبية الكونية كمعادلة متجهة لتوضيح اتجاه قوة الجاذبية ومقدارها. في هذه الصيغة، تمثل الكميات المكتوبة بخط غامق متجهات. $${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$ أين

• F ₂₁ هي القوة المؤثرة على الجسم 2 والتي يبذلها الجسم 1،
• G هو ثابت الجاذبية ،
• m1 _و m2 هما كتلتا الجسمين 1 و 2 على _{التوالي} ،
• يمثل r ₂₁ = r ₂ − r ₁ متجه الإزاحة بين الجسمين 1 و 2، و
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$هو متجه الوحدة من الجسم 1 إلى الجسم 2. ^{[ 19 ]}

يتضح أن الصيغة المتجهة للمعادلة هي نفسها الصيغة العددية المذكورة سابقًا، باستثناء أن F أصبحت كمية متجهة ، وأن الطرف الأيمن مضروب في متجه الوحدة المناسب. كما يتضح _أن F₁₂ = -F₂₁ _.

المجال الجاذبي هو مجال متجه يصف قوة الجاذبية التي تؤثر على جسم ما في أي نقطة معينة في الفضاء، لكل وحدة كتلة. وهو في الواقع يساوي تسارع الجاذبية عند تلك النقطة.

هو تعميم للصيغة المتجهة، ويصبح مفيدًا بشكل خاص عند وجود أكثر من جسمين (مثل صاروخ بين الأرض والقمر). بالنسبة لجسمين (مثلًا، الجسم 2 هو صاروخ، والجسم 1 هو الأرض)، نكتب ببساطة _r بدلًا من r₁₂ و m بدلًا من m₂ _، ونُعرّف مجال الجاذبية g ( r ) على النحو التالي: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$$ حتى نتمكن من الكتابة: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$$

تعتمد هذه الصيغة على الأجسام المسببة للمجال. للمجال بُعد التسارع؛ وفي النظام الدولي للوحدات ، وحدته هي م/ ^ث² .

تُعتبر الحقول الجاذبية محافظة أيضاً ؛ أي أن الشغل المبذول بواسطة الجاذبية من موضع إلى آخر لا يعتمد على المسار. ويترتب على ذلك وجود حقل جهد جاذبي V ( r ) بحيث $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$$

إذا _كانت m1 كتلة نقطية أو كتلة كرة ذات توزيع كتلة متجانس، فإن مجال القوة g ( r ) خارج الكرة يكون متناحياً، أي أنه يعتمد فقط على المسافة r من مركز الكرة. في هذه الحالة $${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$$

بحسب قانون جاوس ، يمكن إيجاد المجال في جسم متناظر من خلال المعادلة الرياضية التالية:

${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

أين${\displaystyle \partial V}$هو سطح مغلق و${\displaystyle M_{\text{enc}}}$هي الكتلة المحصورة داخل السطح.

وبالتالي، بالنسبة للكرة المجوفة ذات نصف القطر${\displaystyle R}$والكتلة الكلية${\displaystyle M}$، $${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$$

بالنسبة لكرة صلبة منتظمة نصف قطرها${\displaystyle R}$والكتلة الكلية${\displaystyle M}$، $${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{إذا كان }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{إذا كان }}r\geq R\end{cases}}}$$

يُعد وصف نيوتن للجاذبية دقيقًا بما يكفي للعديد من الأغراض العملية، ولذلك يُستخدم على نطاق واسع. وتكون الانحرافات عنه صغيرة عندما تكون الكميات عديمة الأبعاد${\displaystyle \phi /c^{2}}$و${\displaystyle (v/c)^{2}}$كلاهما أقل بكثير من واحد، حيث${\displaystyle \phi }$هو الجهد التثاقلي ،${\displaystyle v}$هي سرعة الأجسام قيد الدراسة، و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ 21 ]} على سبيل المثال، توفر جاذبية نيوتن وصفًا دقيقًا لنظام الأرض/الشمس، لأن $${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$$ أين${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$هو نصف قطر مدار الأرض حول الشمس.

في الحالات التي يكون فيها أي من المعاملات عديمة الأبعاد كبيرًا، يجب استخدام النسبية العامة لوصف النظام. وتختزل النسبية العامة إلى جاذبية نيوتن في حالة الجهد المنخفض والسرعات المنخفضة، ولذلك يُقال غالبًا أن قانون نيوتن للجاذبية هو الحد الأدنى للجاذبية في النسبية العامة.

في السنوات الأخيرة، تم إجراء مساعي البحث عن الحدود غير التربيعية العكسية في قانون الجاذبية بواسطة قياس التداخل النيوتروني . ^{[ 23 ]}

تُعرف مسألة التنبؤ بحركة n جسمًا خاضعة للجاذبية بمسألة الأجسام n . وقد تم حل مسألة الجسمين حلاً كاملاً، ولكن بالنسبة لأكثر من جسم، يكون الحل فوضويًا بشكل عام ولا يمكن الحصول عليه إلا عدديًا . أما الحالة الأكثر دراسة فهي مسألة الأجسام الثلاثة ، والتي تُعرف لها عدة حلول لحالات خاصة، مثل تلك التي تُنتج نقاط لاغرانج .

• مفارقة بنتلي – مفارقة كونية تتعلق بالجاذبية 
• قانون جاوس للجاذبية – إعادة صياغة قانون نيوتن للجاذبية الكونية 
• إطارا جوردان وأينشتاين - متغيرات المجال 
• مدار كبلر – مدار سماوي يكون مساره مقطعًا مخروطيًا في مستوى المدار 
• تجربة نيوتن المدفعية – تجربة فكرية حول الجاذبية 
• قوانين نيوتن للحركة – قوانين في الفيزياء تتعلق بالقوة والحركة 
• الجاذبية الاجتماعية – النظرية الاجتماعية 
• القوى الساكنة وتبادل الجسيمات الافتراضية – التفاعل الفيزيائي في الفيزياء ما بعد الكلاسيكية 

• وسائط متعلقة بقانون نيوتن للجاذبية الكونية على ويكيميديا ​​كومنز
• Feather and Hammer Drop on Moon on YouTube
• حاسبة قانون نيوتن للجاذبية الكونية (باستخدام جافا سكريبت)