شكل الرأس

قم بعمل قطع في زاوية المجسم، قاطعًا جميع الحواف المتصلة بالرأس. السطح المقطوع هو شكل الرأس ( شكل مستوٍ ). ربما يكون هذا هو النهج الأكثر شيوعًا والأسهل فهمًا. يختلف المؤلفون في موضع القطع. يقوم وينينجر (2003) بقطع كل حافة على بُعد وحدة واحدة من الرأس، كما فعل كوكسيتر (1948). بالنسبة للمجسمات المنتظمة، يقطع بناء دورمان لوك كل حافة متصلة عند منتصفها. يقوم مؤلفون آخرون بالقطع عبر الرأس عند الطرف الآخر لكل حافة. ^{​​[ 1 ] [ 2 ]}

بالنسبة للمجسمات غير المنتظمة، قد يؤدي قطع جميع الحواف المتصلة برأس معين على مسافات متساوية منه إلى شكل لا يقع في مستوى. أما النهج الأكثر عمومية، والذي ينطبق على المجسمات المحدبة ذات الشكل العشوائي، فهو إجراء القطع على طول أي مستوى يفصل الرأس المعطى عن جميع الرؤوس الأخرى، ويكون هذا المستوى عشوائيًا فيما عدا ذلك. يحدد هذا البناء البنية التوافقية لشكل الرأس، على غرار مجموعة من الرؤوس المتصلة (انظر أدناه)، ولكنه لا يحدد هندسته الدقيقة؛ ويمكن تعميمه على المجسمات المحدبة في أي بُعد. مع ذلك، بالنسبة للمجسمات غير المحدبة، قد لا يوجد مستوى قريب من الرأس يقطع جميع الأوجه المتصلة به.

يُشكّل كرومويل (1999) شكل الرأس بتقاطع المجسم متعدد السطوح مع كرة مركزها الرأس، صغيرة بما يكفي لتقاطعها فقط مع الحواف والوجوه الواقعة على الرأس. يمكن تصور ذلك على أنه قطع كروي أو تجويف مركزه الرأس. وبالتالي، يكون سطح القطع أو شكل الرأس عبارة عن مضلع كروي مُحدد على هذه الكرة. إحدى مزايا هذه الطريقة هي ثبات شكل شكل الرأس (حتى حجم الكرة)، بينما قد تُنتج طريقة التقاطع مع مستوى أشكالًا مختلفة تبعًا لزاوية المستوى. إضافةً إلى ذلك، تُناسب هذه الطريقة المجسمات غير المحدبة.

تتعامل العديد من المناهج التوافقية والحسابية (مثل سكيلينج، 1975) مع شكل الرأس على أنه مجموعة مرتبة (أو مرتبة جزئيًا) من النقاط لجميع الرؤوس المجاورة (المتصلة عبر حافة) للرأس المعطى.

في نظرية متعددات الوجوه المجردة ، يتكون شكل الرأس عند رأس معين V من جميع العناصر الواقعة على الرأس؛ الحواف والوجوه وما إلى ذلك. وبشكل أكثر رسمية، هو المقطع ( _{n -} 1 ) Fn / V ، حيث Fn هو أكبر وجه.

تُعرف هذه المجموعة من العناصر في مكان آخر باسم نجمة الرؤوس . ويمكن فهم شكل الرؤوس الهندسي ونجمة الرؤوس على أنهما تجسيدان متميزان لنفس المقطع المجرد.

تُعد أشكال الرؤوس ذات أهمية خاصة بالنسبة للمضلعات المنتظمة وغيرها من المضلعات متساوية الزوايا (المضلعات المتعدية على الرؤوس) لأن شكل رأس واحد يمكن أن يحدد المضلع بأكمله.

بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه ذات الوجوه المنتظمة، يمكن تمثيل شكل الرأس باستخدام ترميز تكوين الرأس ، وذلك بسرد الوجوه بالتسلسل حول الرأس. على سبيل المثال، 3.4.4.4 هو رأس يحتوي على مثلث واحد وثلاثة مربعات، وهو يُعرّف مجسمًا ثماني الأوجه مكعبًا معينيًا منتظمًا .

إذا كان متعدد السطوح متساوي الزوايا، فسيكون شكل الرأس موجودًا في سطح مستوٍ فائق للفضاء n .

من خلال مراعاة اتصال هذه الرؤوس المتجاورة، يمكن إنشاء شكل رأسي لكل رأس من رؤوس متعدد السطوح:

• يتطابق كل رأس من رؤوس الشكل الرأسي مع رأس من رؤوس متعدد السطوح الأصلي.
• يوجد كل ضلع من أضلاع الشكل الرأسي على أو داخل وجه من أوجه متعدد السطوح الأصلي الذي يربط بين رأسين متبادلين من وجه أصلي.
• يوجد كل وجه من أوجه شكل الرأس على أو داخل خلية من خلايا متعدد السطوح الأصلي n (لـ n > 3).
• ... وهكذا إلى عناصر ذات رتبة أعلى في متعددات الوجوه ذات الرتبة الأعلى.

بالنسبة للمجسم متعدد السطوح المنتظم، يمكن إيجاد وجه المجسم متعدد السطوح المزدوج من شكل رأس المجسم متعدد السطوح الأصلي باستخدام بناء " دورمان لوك ".

إذا كان متعدد الأوجه منتظمًا، فيمكن تمثيله برمز شلافلي ويمكن استخراج كل من الخلية وشكل الرأس بسهولة من هذا الترميز.

بشكل عام، يكون للمضلع المنتظم ذي رمز شلافلي { a , b , c ,..., y , z } خلايا مثل { a , b , c ,..., y }، وأشكال الرؤوس مثل { b , c ,..., y , z }.

1. بالنسبة للمجسم المنتظم { p , q }، يكون شكل الرأس هو { q }، وهو مضلع ذو q ضلع.
   • مثال، شكل رأس المكعب {4،3} هو المثلث {3}.
2. بالنسبة للشكل المنتظم ذي 4 أوجه أو التبليط الذي يملأ الفراغ { p , q , r }، يكون شكل الرأس هو { q , r }.
   • مثال، شكل الرأس لمكعب فائق {4,3,3}، شكل الرأس هو رباعي الأوجه منتظم {3,3}.
   • كما أن شكل الرأس لقرص العسل المكعب {4,3,4} هو شكل ثماني السطوح منتظم {3,4}.

بما أن متعدد السطوح الثنائي لمتعدد السطوح المنتظم يكون منتظمًا أيضًا، ويُمثَّل برموز شلافلي معكوسة المؤشرات، فمن السهل ملاحظة أن ثنائي شكل الرأس هو خلية متعدد السطوح الثنائي. بالنسبة لمتعددات السطوح المنتظمة، تُعد هذه حالة خاصة من بناء دورمان لوك .

• إتش إس إم كوكستر ، بوليتوبس العادية ، Hbk (1948)، ppbk (1973).
• HSM Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 246 A (1954) pp.  401–450.
• ب. كرومويل، متعددات السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، غلاف ورقي (1999).
• HM Cundy and AP Rollett, Mathematical Models , Oxford Univ. Press (1961).
• J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans . 278 A (1975) pp.  111–135.
• م. وينينجر، النماذج المزدوجة ، مطبعة جامعة كامبريدج، غلاف مقوى (1983)، غلاف ورقي (2003).
• تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5، (ص 289 أشكال الرؤوس).