قائمة متعددات الوجوه المنتظمة

متعددات الوجوه المنتظمة المختارة
المضلعات المنتظمة (ثنائية الأبعاد)
محدب	نجم
{5}	{5/2}
المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة (ثلاثية الأبعاد)
محدب	نجم
{5,3}	{5/2,5}
متعددات الوجوه رباعية الأبعاد منتظمة
محدب	نجم
{5,3,3}	{5/2,5,3}
التبليطات ثنائية الأبعاد المنتظمة
إقليدي	القطع الزائد
{4,4}	{5,4}
تبليطات ثلاثية الأبعاد منتظمة
إقليدي	القطع الزائد
{4,3,4}	{5,3,4}

تسرد هذه المقالة المضلعات المنتظمة في الفضاءات الإقليدية والكروية والزائدية .

ملخص

يُظهر هذا الجدول ملخصًا لعدد الأشكال متعددة الأوجه المنتظمة حسب الرتبة.

رتبة	محدود						لا نهائي
	إقليدي / كروي					خلاصة	إقليدي				القطع الزائد			خلاصة
	إقليدي / كروي						إقليدي				صغير الحجم		شبه مضغوط
	محدب	نجم	الانحراف				محدب	الانحراف			محدب	نجم	محدب
	محدب	نجم	$د$ = $ر$ ^{[ 1 ]}	$د$ = $ر$ + 1	$د$ = $ر$ +2		محدب	$د$ = $ر$ -1^{[ 1 ]}	$د$ = $ر$	$د$ = $ر$ + 1	محدب	نجم	محدب
1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	$\infty$	$\infty$	0	$\infty$	$\infty$	$\infty$	1	0	1	$\infty$	1	0	0	1
3	5	4	9	$\infty$	$\infty$	$\infty$	3	3	24 ^{[ 2 ]}	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
4	6	10	18	؟	$\infty$	$\infty$	1	7	؟	$\infty$	4	0	11	$\infty$
5	3	0	3	؟	$\infty$	$\infty$	3	15	؟	$\infty$	5	4	2	$\infty$
6	3	0	3	؟	$\infty$	$\infty$	1	7	؟	$\infty$	0	0	5	$\infty$
7+	3	0	3	؟	$\infty$	$\infty$	1	7	؟	$\infty$	0	0	0	$\infty$

1-متعددات الوجوه

	يُمثل مخطط كوكسيتر " المستويات" المتناظرة كعُقد، ويضع حلقة حول العقدة إذا لم تكن النقطة على المستوى. ويُمثل الديون { }، النقطة $p$ وصورتها المتناظرة $p'$ ، والقطعة المستقيمة الواصلة بينهما.

يوجد متعدد سطوح واحد فقط من الرتبة 1 (متعدد سطوح 1)، وهو قطعة مستقيمة مغلقة محصورة بين طرفيها. كل تمثيل لهذا المتعدد السطوح 1 منتظم. وله رمز شلافلي { }، ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} أو مخطط كوكسيتر بعقدة حلقية واحدة . يسميه نورمان جونسون ديون ^{[ 5 ]} ويعطيه رمز شلافلي { }.

على الرغم من بساطته كشكل متعدد السطوح، إلا أنه يظهر كحواف للمضلعات وغيرها من الأشكال متعددة السطوح ذات الأبعاد الأعلى. ^{[ 6 ]} ويُستخدم في تعريف الموشورات المنتظمة مثل رمز شلافلي { }×{p}، أو مخطط كوكسيتر كحاصل ضرب ديكارتي لقطعة مستقيمة ومضلع منتظم. ^[⁷^]

2- المضلعات (المضلعات)

تُسمى المضلعات من الرتبة 2 (المضلعات ثنائية الأبعاد) بالمضلعات . المضلعات المنتظمة متساوية الأضلاع ودائرية . يُرمز للمضلع المنتظم ذي $p ضلعًا$ بالرمز شلافلي {p}.

تقتصر العديد من المصادر على دراسة المضلعات المحدبة فقط ، ولكن المضلعات النجمية ، مثل النجمة الخماسية ، يمكن أن تكون منتظمة أيضاً. فهي تستخدم نفس رؤوس الأشكال المحدبة، ولكنها تتصل بشبكة بديلة تمر حول الدائرة أكثر من مرة لإكمالها.

محدب

يمثل رمز شلافلي {p} مضلعًا منتظمًا مكونًا من $p$ ضلعًا .

اسم	تسعة أضلاع (تسعة أضلاع)	العشاري	أحد عشر ضلعًا	اثنا عشر مضلعًا	ثلاثي عشر الأضلاع	رباعي عشر الأضلاع
اسم	المثلث ( ثنائي الأبعاد )	مربع ( مربع ثنائي )( مكعب ثنائي )	الخماسي ( متعدد الوجوه الخماسي الثنائي )	مسدس	سباعي الأضلاع	مثمن
شلافلي	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
التناظر	D ₃ , [3]	D ₄ , [4]	D ₅ , [5]	D ₆ , [6]	D ₇ , [7]	D ₈ , [8]
كوكسيتر
صورة
شلافلي	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
التناظر	D ₉ , [9]	D ₁₀ , [10]	D ₁₁ , [11]	D ₁₂ , [12]	D ₁₃ , [13]	D ₁₄ , [14]
كوكسيتر
صورة
اسم	خماسي عشري	سداسي عشري	سباعي عشري	ثماني عشري	إينيديكاتون	مضلع عشروني	بي-جون
شلافلي	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ p }
التناظر	D ₁₅ , [15]	D ₁₆ , [16]	D ₁₇ , [17]	D ₁₈ , [18]	D ₁₉ , [19]	D ₂₀ , [20]	D _p , [p]
كوكسيتر
صورة

كروي

يمكن اعتبار المضلع الثنائي المنتظم {2} مضلعًا منتظمًا منحطًا . ويمكن تمثيله بشكل غير منحط في بعض الفضاءات غير الإقليدية، مثل سطح الكرة أو السطح الحلقي . على سبيل المثال، يمكن تمثيل المضلع الثنائي بشكل غير منحط كهلال كروي . كما يمكن تمثيل المضلع الأحادي {1} على الكرة كنقطة واحدة تمر بها دائرة عظمى. ^{[ 8 ]} مع ذلك، لا يُعد المضلع الأحادي متعدد سطوح تجريديًا صالحًا لأن ضلعه الوحيد متصل برأس واحد فقط بدلًا من رأسين.

اسم	مونوغون	ديجون
رمز شلافلي	{1}	{2}
التناظر	D ₁ , [ ]	D ₂ , [2]
مخطط كوكسيتر	أو
صورة

النجوم

توجد أعداد لا نهائية من متعددات الوجوه النجمية المنتظمة في بعدين، والتي تتكون رموز شلافلي الخاصة بها من أعداد نسبية ${n / m}$ . وتسمى هذه المضلعات بالمضلعات النجمية ، وتشترك في نفس ترتيبات الرؤوس مع المضلعات المنتظمة المحدبة.

بشكل عام، لأي عدد طبيعي $n$ ، توجد نجوم منتظمة ذات $n$ رأسًا برموز شلافلي ${n / m}$ لكل $m$ بحيث $m < n /2$ (وبالتحديد ${n / m} = {n /(n - m)}$ )، ويكون $m$ و $n$ عددين أوليين فيما بينهما (وبالتالي، فإن جميع أشكال النجوم لمضلع ذي عدد أولي من الأضلاع ستكون نجومًا منتظمة). يمكن استخدام الرموز التي لا يكون فيها $m$ و $n$ أوليين فيما بينهما لتمثيل المضلعات المركبة .

اسم	نجمة خماسية	الرسوم البيانية السباعية		ثمانية الأجرام	أنماط الشخصية التسعة		ديكاجرام	... n-grams
شلافلي	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
التناظر	D ₅ , [5]	D ₇ , [7]		D ₈ , [8]	D ₉ ، [9]،		D ₁₀ , [10]	D _p , [ p ]
كوكسيتر
صورة

المضلعات النجمية المنتظمة التي يصل عدد أضلاعها إلى 20 ضلعًا
{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

قد توجد مضلعات نجمية لا يمكن أن توجد إلا على شكل تبليط كروي، على غرار المضلع الأحادي والمضلع الثنائي (على سبيل المثال: {3/2}، {5/3}، {5/4}، {7/4}، {9/5})، ومع ذلك لم تتم دراسة هذه بالتفصيل.

توجد أيضًا أشكال نجمية فاشلة، مثل المثلث المثلثي ، والتي لا تغطي سطح الدائرة عددًا محدودًا من المرات. ^{[ 9 ]}

المضلعات المائلة

بالإضافة إلى المضلعات المنتظمة المستوية، يوجد عدد لا نهائي من المضلعات المنتظمة المائلة . ويمكن إنشاء المضلعات المائلة من خلال عملية المزج.

يمكن إنشاء مزيج المضلعين $P$ و $Q$ ، ويكتب $P # Q ، على النحو التالي:$

خذ حاصل الضرب الديكارتي لرؤوسها $V P \times V Q.$
أضف الحواف $(p 0 \times q 0 ، p 1 \times q 1)$ حيث $(p 0 ، p 1)$ هي حافة من $P$ و $(q 0 ، q 1)$ هي حافة من $Q$ .
اختر مكونًا متصلًا عشوائيًا من النتيجة.

بدلاً من ذلك، يكون المزيج هو المضلع $⟨ ρ 0 σ 0, ρ 1 σ 1 ⟩$ حيث $ρ$ و $σ$ هما المرآتان المولدتان لـ $P$ و $Q$ موضوعتان في فضاءات فرعية متعامدة. ^{[ 10 ]} عملية المزج تبديلية، وتجميعية، ومتساوية القوة.

يمكن التعبير عن كل مضلع منتظم منحرف كمزيج من مجموعة فريدة ^{[ i ]} من المضلعات المستوية. ^{[ 10 ]} إذا لم يكن للمضلعين $P$ و $Q$ أي عوامل مشتركة، فإن $بُعد (P \neq Q) يساوي بُعد (P) + بُعد (Q)$ .

في مساحة 3

المضلعات المنتظمة المحدودة في ثلاثة أبعاد هي مزيج من المضلعات المستوية (بعدين) مع المضلع الثنائي (بعد واحد). رؤوسها إما منشور ( $حيث n$ $عدد$ $فردي$ ) $أو$ $مضاد$ $منشور$ ( $حيث$ n $عدد$ $زوجي$ $) . جميع المضلعات في الفضاء ثلاثي الأبعاد لها عدد زوجي$ $من$ الرؤوس والأضلاع $.$

يظهر العديد منها على شكل مضلعات بيتري للمجسمات المنتظمة.

في مساحة 4

المضلعات المنتظمة المحدودة في أربعة أبعاد هي بالضبط المضلعات الناتجة عن دمج مضلعين مستويين مختلفين. تقع رؤوسها على سطح كليفورد الحلقي وترتبط ببعضها البعض عن طريق إزاحة كليفورد . على عكس المضلعات ثلاثية الأبعاد، يمكن أن تحتوي المضلعات المائلة في الدوران المزدوج على عدد فردي من الأضلاع.

3-متعددات الوجوه (متعددات السطوح)

تُسمى متعددات الوجوه ذات البعد 3 بالمجسمات متعددة السطوح :

المجسم المنتظم ذو رمز شلافلي ${p, q}$ ، مخططات كوكسيتر ، له نوع وجه منتظم ${$ $p$ $} ،$ وشكل رأس منتظم ${$ $q$ $}$ .

الشكل الرأسي (للمجسم متعدد السطوح) هو مضلع يُرى من خلال توصيل الرؤوس التي تبعد ضلعًا واحدًا عن رأس معين. بالنسبة للمجسمات المنتظمة ، يكون هذا الشكل الرأسي دائمًا مضلعًا منتظمًا (ومستويًا).

إن وجود متعدد السطوح المنتظم ${p, q}$ مقيد بمتباينة، تتعلق بنقص زاوية شكل الرأس : ${\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}$

من خلال تعداد التباديل ، نجد خمسة أشكال محدبة، وأربعة أشكال نجمية، وثلاثة تبليطات مستوية، وكلها بمضلعات ${p}$ و ${q}$ محدودة إلى: {3}، {4}، {5}، {5/2}، و {6}.

خارج الفضاء الإقليدي، توجد مجموعة لا نهائية من التبليطات الزائدية المنتظمة.

محدب

تُسمى المجسمات المنتظمة الخمسة المحدبة بالأجسام الأفلاطونية . ويُعطى شكل الرأس مع عدد الرؤوس. جميع هذه المجسمات لها خاصية أويلر ( $\chi$ ) من 2.

اسم	Schläfli ${p, q}$	الوجوه ${p}$	الحواف	الرؤوس ${q}$	التناظر	مزدوج
رباعي الأوجه ( ثلاثي بسيط )	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T _d [3,3] (*332)	(نفسه)
مكعب سداسي الأوجه ( مكعب ثلاثي الأبعاد )	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O _h [4,3] (*432)	المجسم الثماني
ثماني السطوح ( 3-أورثوبلكس )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O _h [4,3] (*432)	مكعب
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	{5,3}	12 {5}	30	20 {3}	أنا _h [5,3] (*532)	المجسم العشري الوجوه
المجسم العشري الوجوه	{3,5}	20 {3}	30	12 {5}	أنا _h [5,3] (*532)	مجسم ذو اثني عشر وجهًا

كروي

في الهندسة الكروية ، توجد متعددات وجوه كروية منتظمة ( تبليطات للكرة ) كانت ستُعتبر لولا ذلك متعددات وجوه متحللة. هذه هي متعددات الوجوه {2,n} ومتعددات الوجوه الثنائية {n,2}. يُطلق كوكسيتر على هذه الحالات اسم "التبليطات غير الصحيحة". ^[¹¹^]

الحالات القليلة الأولى (من 2 إلى 6) مدرجة أدناه.

هوسوهيدرا
اسم	Schläfli {2,p}	الوجوه {2} _{π /p}	الحواف	الرؤوس {p}	التناظر	مزدوج
مجسم ثنائي الأوجه	{2,2}	2 {2} _{π /2}	2	2 {2} _{π /2}	D _2h [2,2] (*222)	الذات
مجسم ثلاثي الأضلاع	{2,3}	3 {2} _{π /3}	3	2 {3}	D _3h [2,3] (*322)	ثنائي السطوح الثلاثي
مجسم مربع ذو وجهين	{2,4}	4 {2} _{π /4}	4	2 {4}	D _4h [2,4] (*422)	ثنائي السطوح المربع
مجسم خماسي الأضلاع	{2,5}	5 {2} _{π /5}	5	2 {5}	D _5h [2,5] (*522)	ثنائي السطوح الخماسي
مجسم سداسي الأضلاع	{2,6}	6 {2} _{π /6}	6	2 {6}	D _6h [2,6] (*622)	ثنائي السطوح سداسي

ديهيدرا
اسم	Schläfli {p,2}	الوجوه {p}	الحواف	الرؤوس {2}	التناظر	مزدوج
ثنائي السطوح ثنائي القطر	{2,2}	2 {2} _{π /2}	2	2 {2} _{π /2}	D _2h [2,2] (*222)	الذات
ثنائي السطوح الثلاثي	{3,2}	2 {3}	3	3 {2} _{π /3}	D _3h [3,2] (*322)	مجسم ثلاثي الأضلاع
ثنائي السطوح المربع	{4,2}	2 {4}	4	4 {2} _{π /4}	D _4h [4,2] (*422)	مجسم مربع ذو وجهين
ثنائي السطوح الخماسي	{5,2}	2 {5}	5	5 {2} _{π /5}	D _5h [5,2] (*522)	مجسم خماسي الأضلاع
ثنائي السطوح سداسي	{6,2}	2 {6}	6	6 {2} _{π /6}	D _6h [6,2] (*622)	مجسم سداسي الأضلاع

توجد أيضًا الأشكال النجمية ثنائية السطوح والأشكال المتجانسة ${p / q, 2}$ و ${2, p / q}$ لأي مضلع نجمي ${p / q}$ .

النجوم

تُسمى المجسمات النجمية المنتظمة بمجسمات كيبلر-بوانسو ، وهناك أربعة منها، بناءً على ترتيبات رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهًا {5,3} والمجسم ذي العشرين وجهًا {3,5}:

تتداخل هذه الأشكال النجمية، باعتبارها تبليطًا كرويًا ، مع الكرة عدة مرات، وهو ما يُعرف بكثافتها ، والتي تبلغ 3 أو 7 لهذه الأشكال. تُظهر صور التبليط وجهًا واحدًا لمضلع كروي باللون الأصفر.

اسم	شلفلي ${ص ، ف}$ وكوكسيتر	الوجوه ${p}$	الحواف	الرؤوس ${q}$ verf.	χ	كثافة	التناظر	مزدوج
مجسم صغير ذو اثني عشر وجهًا نجميًا	{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	أنا _h [5,3] (*532)	مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا
مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا	{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	أنا _h [5,3] (*532)	مجسم صغير ذو اثني عشر وجهًا نجميًا
مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا	{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	أنا _h [5,3] (*532)	مجسم عشريني الوجوه عظيم
مجسم عشريني الوجوه عظيم	{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	أنا _h [5,3] (*532)	مجسم نجمي كبير ذو اثني عشر وجهًا

يوجد عدد لا نهائي من المجسمات النجمية الفاشلة. وهي أيضًا تبليطات كروية تحتوي على مضلعات نجمية في رموز شلافلي الخاصة بها، لكنها لا تغطي الكرة عددًا محدودًا من المرات. ومن الأمثلة على ذلك: {5/2,4}، {5/2,9}، {7/2,3}، {5/2,5/2}، {7/2,7/3}، {4,5/2}، و{3,7/3}.

متعددات السطوح المائلة

تُعد المجسمات المائلة المنتظمة تعميمات لمجموعة المجسمات المنتظمة التي تشمل إمكانية وجود أشكال رؤوس غير مستوية .

بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه المائلة رباعية الأبعاد، قدم كوكسيتر رمز شلافلي معدلاً {l,m|n} لهذه الأشكال، حيث يشير {l,m} إلى شكل الرأس ، و m من الأضلاع ذات الطول l حول الرأس، و n من الثقوب ذات الأضلاع $n$ . أشكال رؤوسها عبارة عن مضلعات مائلة ، متعرجة بين مستويين.

تتبع المجسمات المائلة المنتظمة، الممثلة بـ {l,m|n}، هذه المعادلة:

$2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

يمكن رؤية أربعة منها في أربعة أبعاد كمجموعة فرعية من وجوه أربعة متعددات وجوه منتظمة رباعية الأبعاد ، تشترك في نفس ترتيب الرؤوس وترتيب الحواف :

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4 \| 3}

4-متعددات الوجوه (متعددة الألوان)

4 بوليتوبات عادية مع رمز Schläfli $\{p,q,r\}$ تحتوي على خلايا من النوع $\{p,q\}$ ، أنواع الخطوط $\{p\}$ أشكال الحواف $\{r\}$ ، وأشكال الرؤوس $\{q,r\}$ .

الشكل الرأسي (للمضلع الرباعي) هو متعدد السطوح، يُرى من خلال ترتيب الرؤوس المجاورة حول رأس معين. بالنسبة للمضلعات الرباعية المنتظمة، يكون هذا الشكل الرأسي متعدد سطوح منتظم.
الشكل الحافي هو مضلع، يُرى من خلال ترتيب الأوجه حول حافته. بالنسبة للمضلعات المنتظمة ذات الأبعاد 4، سيكون هذا الشكل الحافي دائمًا مضلعًا منتظمًا.

وجود متعدد الوجوه المنتظم رباعي الأبعاد $\{p,q,r\}$ يتقيد ذلك بوجود المجسمات المنتظمة $\{p,q\},\{q,r\}$ . الاسم المقترح للأجسام متعددة الأوجه الرباعية هو "بوليكورون". ^{[ 12 ]}

سيوجد كل منها في حيز يعتمد على هذا التعبير:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)

>0

: قرص عسل كروي فائق ثلاثي الأبعاد أو متعدد الأوجه رباعي الأبعاد

=0

: قرص عسل إقليدي ثلاثي الأبعاد

<0

: قرص عسل ذو ثلاثة فراغات زائدية

تسمح هذه القيود بـ 21 شكلاً: 6 منها محدبة، و10 غير محدبة، وواحد عبارة عن قرص عسل إقليدي ثلاثي الأبعاد، و4 عبارة عن أقراص عسل زائدية.

محدب

يوضح الجدول أدناه الأشكال الرباعية المنتظمة المحدبة الستة . جميع هذه الأشكال الرباعية لها خاصية أويلر ( $\chi$ ) من 0.

اسم	Schläfli {p,q,r}	الخلايا {p,q}	الوجوه {p}	الحواف {r}	الرؤوس {q,r}	ثنائي {r,q,p}
5-خلية ( 4-سيمبلكس )	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(نفسه)
8 خلايا ( 4 مكعبات ) (تيسيراكت)	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	16 خلية
16 خلية ( 4-أورثوبلكس )	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	تيسيراكت
24 خلية	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(نفسه)
120 خلية	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 خلية
600 خلية	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 خلية

5 خلايا	8 خلايا	16 خلية	24 خلية	120 خلية	600 خلية
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
إسقاطات متعامدة مائلة ( مضلع بيتري )

إسقاطات متعامدة صلبة
غلاف رباعي الأوجه ( مركزه الخلية/ الرأس)	غلاف مكعب (مركزه خلية)	غلاف مكعب (مركزه خلية)	غلاف مكعب ثماني الأوجه (مركز الخلية)	غلاف ثلاثي الأضلاع معيني مقطوع (مركز الخلية)	غلاف خماسي عشروني الوجوه (مركزه الرأس)
مخططات شليغل الهيكلية ( إسقاط منظوري )
(مركز الخلية)	(مركز الخلية)	(مركز الخلية)	(مركز الخلية)	(مركز الخلية)	(مركزية الرأس)
إسقاطات مجسمة هيكلية سلكية ( كروية فائقة )

كروي

توجد الأشكال ثنائية الأبعاد رباعية الأبعاد والأشكال ثنائية الأبعاد رباعية الأبعاد على شكل فسيفساء منتظمة للكرة ثلاثية الأبعاد .

تشمل الأشكال الرباعية المنتظمة ثنائية السطوح (ذات وجهين): {3،3،2}، {3،4،2}، {4،3،2}، {5،3،2}، {3،5،2}، {p،2،2}، وأشكالها الرباعية ثنائية السطوح ( ذات رأسين): {2،3،3}، {2،4،3}، {2،3،4}، {2،3،5}، {2،5،3}، {2،2، p }. وتُعدّ الأشكال الرباعية متعددة السطوح من الشكل {2، p ،2} مماثلةً للشكل {2،2، p }. وهناك أيضًا الحالات { p ،2، q } التي تحتوي على خلايا ثنائية السطوح وأشكال رؤوس متماثلة السطوح.

خلايا النحل المنتظمة ذات الأربع قمم على شكل خلايا نحل ثلاثية الكرات
Schläfli {2, p , q }	الخلايا {2، p } _{π / q}	الوجوه {2} _{π / p ، π / q}	الحواف	الرؤوس	شكل الرأس { p , q }	التناظر	مزدوج
{2,3,3}	4 {2,3} _{π /3}	6 {2} _{π /3, π /3}	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4} _{π /3}	12 {2} _{π /4, π /3}	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2، 3، 4}	8 {2,3} _{π /4}	12 {2} _{π /3, π /4}	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5} _{π /3}	30 {2} _{π /5, π /3}	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3} _{π /5}	30 {2} _{π /3, π /5}	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

النجوم

توجد عشرة أشكال نجمية منتظمة رباعية الأبعاد ، تُسمى أشكال شلافلي-هيس رباعية الأبعاد . وتستند رؤوسها إلى الشكل المحدب ذي 120 خلية {5،3،3} والشكل ذي 600 خلية {3،3،5} .

وجد لودفيج شلايفلي أربعة منها وتخطى الستة الأخيرة لأنه لم يسمح بالنماذج التي فشلت في خاصية أويلر على الخلايا أو الأشكال الرأسية (للتوري ذو الفتحة الصفرية: F+V−E=2). أكمل إدموند هيس (1843–1903) القائمة الكاملة للعشرة في كتابه الألماني Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (1883).

توجد 4 ترتيبات حواف فريدة و7 ترتيبات وجوه فريدة من هذه الأشكال النجمية المنتظمة ذات 4 أوجه، معروضة كإسقاطات متعامدة :

اسم	Schläfli {p, q, r} Coxeter	الخلايا {p، q}	الوجوه {p}	الحواف {r}	الرؤوس {q, r}	كثافة	χ	مجموعة التناظر	ثنائي {r, q,p}
مجسم ذو عشرين وجهاً مكون من 120 خلية (مجسم ذو 600 وجه)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H ₄ [5,3,3]	خلية صغيرة نجمية الشكل مكونة من 120 خلية
خلية صغيرة نجمية الشكل مكونة من 120 خلية	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	-480	H ₄ [5,3,3]	عشروني الوجوه ذو 120 خلية
خلية رائعة مكونة من 120 خلية	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H ₄ [5,3,3]	ذاتي الازدواجية
جراند 120 خلية	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H ₄ [5,3,3]	خلية نجمية رائعة مكونة من 120 خلية
خلية نجمية رائعة مكونة من 120 خلية	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H ₄ [5,3,3]	جراند 120 خلية
خلية نجمية كبيرة مكونة من 120 خلية	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H ₄ [5,3,3]	ذاتي الازدواجية
خلية عظيمة 120	{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	-480	H ₄ [5,3,3]	120 خلية عشرينية الوجوه عظيمة
مجسم عشريني الوجوه عظيم ذو 120 خلية (مجسم ذو أوجه عظيمة ذو 600 خلية)	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H ₄ [5,3,3]	خلية عظيمة 120
جراند 600 خلية	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H ₄ [5,3,3]	خلية نجمية كبيرة مكونة من 120 خلية
خلية نجمية كبيرة مكونة من 120 خلية	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H ₄ [5,3,3]	جراند 600 خلية

توجد 4 تباديل فاشلة محتملة لمضلعات النجوم المنتظمة ذات 4 أوجه: {3، 5/2، 3}، {4، 3، 5/2}، {5/2، 3، 4}، {5/2، 3، 5/2}. خلاياها وأشكال رؤوسها موجودة، لكنها لا تغطي كرة فائقة بعدد محدود من التكرارات.

متعددات الوجوه المائلة 4

إضافةً إلى الأشكال الرباعية المستوية الستة عشر المذكورة أعلاه، يوجد ثمانية عشر شكلاً مائلاً محدوداً. ^{[ 13 ]} يُحصل على أحد هذه الأشكال باعتباره الشكل الثنائي لـ"بيتري" للتيسيراكت، ويمكن تكوين الأشكال السبعة عشر الأخرى بتطبيق عملية "كابا" على الأشكال المستوية والشكل الثنائي لـ"بيتري" للتيسيراكت.

البعد الخامس وما فوق

يمكن إعطاء الرموز 5-polytopes الرمز $\{p,q,r,s\}$ أين $\{p,q,r\}$ هو النوع ذو الأربعة أوجه، $\{p,q\}$ هو نوع الخلية، $\{p\}$ نوع الوجه، و $\{s\}$ هو شكل الوجه، $\{r,s\}$ هو الشكل الطرفي، و $\{q,r,s\}$ هو شكل الرأس.

الشكل الرأسي (للمضلع الخماسي) هو مضلع رباعي، كما يتضح من ترتيب الرؤوس المجاورة لكل رأس.

الشكل الحافي (للمتعدد الوجوه الخماسي) هو متعدد السطوح، ويُرى من خلال ترتيب الوجوه حول كل حافة.

الشكل الوجهي (للمضلع الخماسي) هو مضلع، يُرى من خلال ترتيب الخلايا حول كل وجه.

متعدد الوجوه منتظم مكون من 5 أجزاء $\{p,q,r,s\}$ لا يوجد إلا إذا $\{p,q,r\}$ و $\{q,r,s\}$ هي متعددات الوجوه المنتظمة ذات 4 أوجه.

يعتمد الحيز الذي يناسبه على التعبير التالي:

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}

<1

: تبليط كروي رباعي الأبعاد أو متعدد السطوح خماسي الأبعاد

=1

: تبليط الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد

>1

: تجزئة الفضاء الزائدي رباعي الأبعاد

ينتج عن تعداد هذه القيود 3 متعددات وجوه محدبة، ولا توجد متعددات وجوه نجمية، و3 تبليطات للفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، و 5 تبليطات للفضاء الزائدي شبه المضغوط رباعي الأبعاد. متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة الوحيدة للرتب 5 وما فوق هي متعددة الوجوه المائلة.

محدب

في الأبعاد 5 وما فوق، لا يوجد سوى ثلاثة أنواع من متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة. ^{[ 14 ]}

اسم	رمز شلفلي {ص ₁ ,...,ص _{ن −1} }	كوكسيتر	`k` -faces	نوع الوجه	شكل الرأس	مزدوج
n -simplex	{3 ^{n −1} }	...	${{n+1} \choose {k+1}}$	{3 ^{n −2} }	{3 ^{n −2} }	ذاتي الازدواجية
مكعب من الرتبة `n`	{4,3 ^{n −2} }	...	$2^{n-k}{n \choose k}$	{4,3 ^{n −3} }	{3 ^{n −2} }	`n` -orthoplex
`n` -orthoplex	{3 ^{n −2} ,4}	...	$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$	{3 ^{n −2} }	{3 ^{n −3} ,4}	مكعب من الرتبة `n`

توجد أيضًا حالات غير صحيحة يكون فيها عددٌ ما في رمز شلافلي يساوي 2. على سبيل المثال، تُعدّ المجموعة {p,q,r,...2} متعددة سطوح كروية منتظمة غير صحيحة عندما تكون المجموعة {p,q,r...} متعددة سطوح كروية منتظمة، وتُعدّ المجموعة {2,...p,q,r} متعددة سطوح كروية منتظمة غير صحيحة عندما تكون المجموعة {...p,q,r} متعددة سطوح كروية منتظمة. يمكن أيضًا استخدام هذه المضلعات كأوجه، مما يُنتج أشكالًا مثل {p,q,...2...y,z}.

الأبعاد الخمسة

اسم	رمز شلايفلي {p,q,r,s} كوكستر	الأوجه {p,q,r}	الخلايا {p,q}	الوجوه {p}	الحواف	الرؤوس	شكل الوجه {s}	شكل الحافة {r,s}	شكل الرأس {q,r,s}
5-simplex	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5 مكعبات	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-أورثوبلكس	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

5-simplex	5 مكعبات	5-أورثوبلكس

6 أبعاد

اسم	شلافلي	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
6 مكعبات	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-أورثوبلكس	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

6-simplex	6 مكعبات	6-أورثوبلكس

7 أبعاد

اسم	شلافلي	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
مكعب 7	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-أورثوبلكس	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex	مكعب 7	7-أورثوبلكس

8 أبعاد

اسم	شلافلي	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه	سبعة وجوه
8-simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
8 مكعبات	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
8-أورثوبلكس	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simplex	8 مكعبات	8-أورثوبلكس

9 أبعاد

اسم	شلافلي	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه	سبعة وجوه	ثمانية وجوه	χ
9-simplex	{3 ⁸ }	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
مكعب 9	{4,3 ⁷ }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-أورثوبلكس	{3 ⁷ ,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simplex	مكعب 9	9-أورثوبلكس

10 أبعاد

اسم	شلافلي	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه	سبعة وجوه	ثمانية وجوه	تسعة وجوه
10-simplex	{3 ⁹ }	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
مكعب ذو 10 خانات	{4,3 ⁸ }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20
10-orthoplex	{3 ⁸ ,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simplex	مكعب ذو 10 خانات	10-orthoplex

متعددات الوجوه النجمية

لا توجد متعددات وجوه نجمية منتظمة من الرتبة 5 أو أعلى، باستثناء متعددات الوجوه المنحلة التي تم إنشاؤها بواسطة الضرب النجمي لمتعددات الوجوه النجمية ذات الرتبة الأدنى، على سبيل المثال متعددات الوجوه المتماثلة ومتعددات الوجوه الثنائية.

متعددات الوجوه الإسقاطية المنتظمة

يوجد متعدد السطوح المنتظم الإسقاطي $(n +1)$ عندما يكون التبليط الكروي المنتظم الأصلي من الرتبة $n$ ، {p,q,...}، متناظرًا مركزيًا . يُسمى هذا النوع من متعدد السطوح بنصف-{p,q,...}، وتحتوي على نصف عدد العناصر. يعطي كوكسيتر الرمز {p,q,...}/2، بينما يكتب ماكمولين {p,q,...} _h/2 حيث h هو عدد كوكسيتر . ^{[ 15 ]}

المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية لها مضلعات إسقاطية نصفية مكونة من 2n ضلعًا ، {2p}/2.

هناك 4 أشكال متعددة السطوح إسقاطية منتظمة مرتبطة بـ 4 من أصل 5 أجسام أفلاطونية .

يمكن تعميم نصف المكعب ونصف ثماني السطوح على شكل نصف مكعبات من الرتبة $n$ ونصف هياكل متعامدة من الرتبة $n$ إلى أي رتبة.

المجسمات الإسقاطية المنتظمة

الرتبة 3 من متعددات الوجوه النصفية المنتظمة
اسم	كوكسيتر ماكمولين	وجوه	الحواف	الرؤوس	χ	مخطط هيكلي
نصف مكعب	{4,3}/2 {4,3} ₃	3	6	4	1	ك ₄
نصف ثماني الأوجه	{3,4}/2 {3,4} ₃	4	6	3	1	_{K 3} ذو حدين
نصف اثني عشر وجهًا	{5,3}/2 {5,3} ₅	6	15	10	1	G(5,2)
نصف عشرين وجه	{3,5}/2 {3,5} ₅	10	15	6	1	K ₆

متعددات الوجوه الإسقاطية المنتظمة ذات 4 أوجه

خمسة من أصل ستة من متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة المحدبة متناظرة مركزياً، وهي متعددة وجوه رباعية إسقاطية مولدة. الحالات الخاصة الثلاث هي: نصف خلية مكونة من 24 خلية، ونصف خلية مكونة من 600 خلية، ونصف خلية مكونة من 120 خلية.

الرتبة 4 من متعددات الوجوه النصفية المنتظمة
اسم	رمز كوكسيتر	رمز ماكمولين	الخلايا	وجوه	الحواف	الرؤوس	الرسم البياني الهيكلي
نصف مسنن	{4,3,3}/2	{4,3,3} ₄	4	12	16	8	ك _4،4
نصف- 16 خلية	{3,3,4}/2	{3,3,4} ₄	8	16	12	4	_{K 4} ذو حدين
نصف -24 خلية	{3,4,3}/2	{3,4,3} ₆	12	48	48	12
نصف- 120 خلية	{5,3,3}/2	{5,3,3} ₁₅	60	360	600	300
نصف- 600 خلية	{3,3,5}/2	{3,3,5} ₁₅	300	600	360	60

متعددات الوجوه الإسقاطية المنتظمة ذات 5 أوجه

اثنان فقط من أصل ثلاثة متعددات وجوه كروية منتظمة متناظرة مركزياً للرتب 5 أو أعلى. متعددات الوجوه الإسقاطية المنتظمة المقابلة هي النسخ النصفية من المكعب الفائق المنتظم والمتعدد الوجوه المتعامد. وهي موضحة في الجدول أدناه للرتبة 5، على سبيل المثال:

اسم	شلافلي	أربعة أوجه	الخلايا	وجوه	الحواف	الرؤوس	χ	الرسم البياني الهيكلي
نصف خماسي التفاعل	{4,3,3,3}/2	5	20	40	40	16	1	هيكل المكعب الفائق + 8 أقطار مركزية
نصف خماسي	{3,3,3,4}/2	16	40	40	20	5	1	_{K 5} ذو حدين

أبيروتوب

المضلع اللانهائي أو متعدد السطوح اللانهائي هو متعدد سطوح له عدد لا نهائي من الأوجه . المضلع اللانهائي من الرتبة $n$ هو متعدد سطوح لانهائي من الرتبة $n$ : المضلع اللانهائي من الرتبة 2 أو المضلع اللانهائي هو مضلع لانهائي، والمضلع اللانهائي من الرتبة 3 أو المجسم اللانهائي هو متعدد سطوح لانهائي، وهكذا.

يوجد نوعان رئيسيان من الأشكال الهندسية اللانهائية: ^{[ 16 ]}

خلايا النحل المنتظمة في أبعاد $n$ ، والتي تملأ تمامًا مساحة ذات أبعاد $n$ .
الأشكال المائلة المنتظمة ، التي تتألف من متعدد الأبعاد $n$ في فضاء أعلى.

2-أبيروتوب (أبيروجون)

الشكل الخطي اللانهائي هو تبليط منتظم للخط، يقسمه إلى عدد لا نهائي من القطع المتساوية. له عدد لا نهائي من الرؤوس والحواف. رمزه في شلافلي هو {∞}، ومخطط كوكسيتر الخاص به هو .

... ...

وهي موجودة كحد للمضلع ذي $p$ ضلع عندما يؤول $p$ إلى اللانهاية، كما يلي:

اسم	مونوغون	ديجون	مثلث	مربع	البنتاغون	مسدس	سباعي الأضلاع	بي-جون	أبيروجون
شلافلي	{1}	{2}	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{ p }	{∞}
التناظر	D ₁ , [ ]	D ₂ , [2]	D ₃ , [3]	D ₄ , [4]	D ₅ , [5]	D ₆ , [6]	D ₇ , [7]	[p]
كوكسيتر	أو
صورة

يمكن أن يكون للمضلعات اللانهائية في المستوى الزائدي ، وخاصة المضلع اللانهائي المنتظم ، {∞}، انحناء تمامًا مثل المضلعات المحدودة في المستوى الإقليدي، حيث تكون الرؤوس محاطة بحلقات أفقية أو حلقات فائقة بدلاً من الدوائر .

الأشكال الهندسية المنتظمة التي يتم قياسها لتتقارب عند اللانهاية لها الرمز {∞} وتوجد على الدورات الأفقية، بينما بشكل عام يمكن أن توجد على الدورات الفائقة.

{∞}	{iπ/λ}
أبيروجون على دراجة هوائية	أبيروجون في دورة فائقة

أعلاه شكلان زائديان منتظمان في نموذج قرص بوانكاريه ، ويظهر الشكل الأيمن خطوط انعكاس عمودية لمجالات أساسية متباعدة ، مفصولة بطول λ.

انحرافات لا نهائية

يشكّل المضلع غير المنتظم المائل في بعدين خطاً متعرجاً في المستوى. إذا كان الخط المتعرج زوجياً ومتناظراً، فإن المضلع يكون منتظماً.

يمكن إنشاء الأشكال المائلة غير المنتظمة في أي عدد من الأبعاد. في ثلاثة أبعاد، يرسم الشكل المائل المنتظم حلزونًا لولبيًا، وقد يكون يساريًا أو يمينيًا.

بعدان	ثلاثة أبعاد
متعرج	Helix apeirogon

3-أبيروتوب (أبيروهيدرا)

التبليطات الإقليدية

هناك ستة أشكال منتظمة للفسيفساء في المستوى: الثلاثة المدرجة أدناه، والبتريلات المقابلة لها.

اسم	التبليط المربع (الكوادريل)	التبليط المثلثي (دلتيل)	التبليط السداسي (هيكستيل)
التناظر	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
مخطط كوكسيتر
صورة

هناك نوعان من التبليط المنتظم غير الصحيح: {∞,2}، وهو ثنائي السطوح غير المتماثل ، مصنوع من شكلين غير متماثلين ، كل منهما يملأ نصف المستوى؛ وثانيًا، ثنائيته، {2,∞}، وهو شكل متماثل غير متماثل ، يُنظر إليه على أنه مجموعة لانهائية من الخطوط المتوازية.

{∞,2} ,	{2,∞} ,

تبليطات النجوم الإقليدية

لا توجد تبليطات مستوية منتظمة للمضلعات النجمية . هناك العديد من التعدادات التي تتناسب مع المستوى (1/ p + 1/ q = 1/2)، مثل {8/3,8}، {10/3,5}، {5/2,10}، {12/5,12}، إلخ، ولكن لا يوجد أي منها يتكرر دوريًا.

التبليط الزائدي

تُعرف تبليطات الفضاء الزائدي ثنائي الأبعاد بالتبليط الزائدي . يوجد عدد لا نهائي من التبليطات المنتظمة في H² ^. وكما ذُكر سابقًا، فإن كل زوج من الأعداد الصحيحة الموجبة { p , q } بحيث يكون 1/ p + 1/ q < 1/2 يُشكل تبليطًا زائديًا. في الواقع، بالنسبة لمثلث شوارتز العام ( p , q , r )، ينطبق الأمر نفسه حيث يكون 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

توجد عدة طرق لعرض المستوى الزائدي، منها نموذج قرص بوانكاريه الذي يرسم المستوى على شكل دائرة، كما هو موضح أدناه. تجدر الإشارة إلى أن جميع أوجه المضلعات في التبليطات أدناه متساوية الحجم، ولا تبدو أصغر حجماً إلا بالقرب من الحواف نتيجةً للإسقاط المُطبق، وهو تأثير مشابه جداً لتأثير عدسة عين السمكة في الكاميرا .

يوجد عدد لا نهائي من الأشكال المسطحة المنتظمة ثلاثية الأبعاد (الأبيروهيدرا) كتبليط منتظم للمستوى الزائدي، على شكل {p,q}، حيث p+q<pq/2.

{3,7}، {3,8}، {3,9} ... {3,∞}
{4، 5}، {4، 6}، {4، 7} ... {4، ∞}
{5,4}، {5,5}، {5,6} ... {5,∞}
{6,4}، {6,5}، {6,6} ... {6,∞}
{7,3}، {7,4}، {7,5} ... {7,∞}
{8,3}، {8,4}، {8,5} ... {8,∞}
{9,3}، {9,4}، {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

عينة:

طاولة تبليط زائدية منتظمة v ت هـ
التبليطات الكروية (غير الصحيحة / الأفلاطونية) / الإقليدية / الزائدية (قرص بوانكاريه: مضغوطة / شبه مضغوطة / غير مضغوطة ) مع رمز شلافلي الخاص بها
ص \ ق	2	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
2	{2 , 2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}		{2, ∞ }		{2,iπ/λ}
3	{3,2}	( رباعي الأوجه ) {3،3}	( ثماني الأوجه ) {3،4}	( عشرون وجهًا ) {3،5}	( دلتيه ) {3،6}	{3,7}	{3,8}		{3, ∞ }		{3,iπ/λ}
4	{4,2}	( مكعب ) {4،3}	( رقصة الكوادرية ) {4،4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4, ∞ }		{4,iπ/λ}
5	{5,2}	( مجسم ذو اثني عشر وجهًا ) {5،3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5, ∞ }		{5,iπ/λ}
6	{6,2}	( هيكستيل ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6, ∞ }		{6,iπ/λ}
7	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7, ∞ }		{7,iπ/λ}
8	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8, ∞ }		{8,iπ/λ}
...
∞	{ ∞ ,2}	{ ∞ ,3}	{ ∞ ,4}	{ ∞ ,5}	{ ∞ ,6}	{ ∞ ,7}	{ ∞ ,8}		{ ∞ , ∞ }		{ ∞ ,iπ/λ}
...
iπ/λ	{iπ/λ,2}	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}		{iπ/λ, ∞ }		{iπ/λ, iπ/λ}

تتميز التبليطات {p, ∞} برؤوس مثالية ، تقع على حافة نموذج قرص بوانكاريه. أما تبليطاتها الثنائية {∞, p} فلها وجوه مثالية غير مضلعة ، أي أنها محصورة داخل دوائر أفقية . ويمكن التوسع أكثر (كما هو موضح في الجدول أعلاه) لإيجاد تبليطات ذات رؤوس فائقة المثالية، خارج قرص بوانكاريه، وهي ثنائية للتبليطات المحصورة داخل دوائر فائقة ؛ ففي ما يُرمز إليه بـ {p, iπ/λ} أعلاه، لا يزال عدد لا نهائي من التبليطات يحيط بكل رأس فائق المثالية. ^{[ 17 ]} (تلتقي الخطوط المتوازية في الفضاء الزائدي الممتد عند نقطة مثالية؛ وتلتقي الخطوط فائقة التوازي عند نقطة فائقة المثالية.) ^{[ 18 ]}

تبليطات النجوم الزائدية

هناك شكلان لانهائيان من التبليط الزائدي الذي تكون وجوهه أو أشكال رؤوسه عبارة عن مضلعات نجمية: { m /2, m } وثنائياتها { m , m /2} مع m = 7, 9, 11, ... ^{[ 19 ]} تبليطات { m /2, m } هي تجليات نجمية لتبليطات { m , 3} بينما تبليطات { m , m /2} الثنائية هي أوجه لتبليطات {3, m } وتكبيرات [ ^{ii ] لتبليطات} { m , 3}.

تستمر الأنماط { m /2, m } و{ m , m /2} للأعداد الفردية m < 7 على شكل متعددات وجوه : فعندما m = 5، نحصل على المجسم النجمي الصغير ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم النجمي الكبير ذي الاثني عشر وجهًا ، ^{[ 19 ]} وعندما m = 3، يتحول الشكل إلى رباعي الأوجه . أما متعددات وجوه كيبلر-بوانسو الأخرى ( المجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا الكبير ) فلا يوجد لها نظائر منتظمة في التبليط الزائدي. إذا كان m زوجيًا، فبحسب كيفية تعريفنا لـ { m /2}، يمكننا الحصول إما على أغطية مزدوجة متدهورة لتبليطات أخرى أو تبليطات مركبة .

اسم	شلافلي	نوع الوجه {p}	شكل الرأس {q}	كثافة	التناظر	مزدوج
تبليط سباعي الرتبة 7	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	تبليط سباعي الأضلاع ذو ترتيب سباعي
تبليط سباعي الأضلاع ذو ترتيب سباعي	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	تبليط سباعي الرتبة 7
التبليط الإينياغرامي من الرتبة التاسعة	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	التبليط التساعي ذو الترتيب الإينياغرامي
التبليط التساعي ذو الترتيب الإينياغرامي	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	التبليط الإينياغرامي من الرتبة التاسعة
الترتيب 11 تبليط هيندياغرامي	{11/2,11}	{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	تبليط ذو ترتيب هينديكاجرامي هينديكاجوني
تبليط ذو ترتيب هينديكاجرامي هينديكاجوني	{11,11/2}	{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	الترتيب 11 تبليط هيندياغرامي
الترتيب - p p - التبليط النحوي	{ p /2, p }	{ p /2}	{ p }	3	* ص 32 [ص،3]	ترتيب القواعد p التبليط p -gonal
ترتيب القواعد p التبليط p -gonal	{ p , p /2}	{ p }	{ p /2}	3	* ص 32 [ص،3]	الترتيب - p p - التبليط النحوي

المجسمات اللانهائية المائلة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد

توجد ثلاثة أشكال هندسية منتظمة مائلة غير منتظمة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، ذات وجوه مستوية. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} وهي تشترك في نفس ترتيب الرؤوس وترتيب الحواف لثلاثة أشكال قرص العسل المحدبة المنتظمة .

ستة مربعات حول كل رأس: {4،6|4}
4 أشكال سداسية حول كل رأس: {6,4|4}
6 أشكال سداسية حول كل رأس: {6,6|3}

متعددات السطوح المائلة المنتظمة ذات الوجوه المستوية
المكعب الصغير
المجسم الثماني السطوح
الموترتراهيدرون

مع الأخذ في الاعتبار الأوجه المائلة، يوجد 30 شكلاً لا نهائياً منتظماً في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 25 ]} وتشمل هذه الأشكال 12 شكلاً لا نهائياً ممزوجاً ناتجاً عن مزجها مع الأشكال اللا نهائية المستوية الإقليدية، و18 شكلاً لا نهائياً نقياً، لا يمكن التعبير عنها كمزيج غير تافه يشمل الأشكال اللا نهائية المستوية والأشكال اللا نهائية ثلاثية الأبعاد الثلاثة المذكورة أعلاه.

الأشكال ثلاثية الأبعاد النقية غير المتجانسة هي:

${4,6|4}$ ، مكعب الميو
${\infty,6} 4,4$ ، بتريل المكعب المخاطي
${6,6|3}$ ، رباعي الأوجه
${\infty,6} 6,3$ ، بتريل الهرم الرباعي السطوح
${6,4|4}$ ، المجسم الثماني السطوح
${\infty,4} 6,4$ ، البتريا للمجسم المجسم
${6,6} 4$ ، تقسيم مكعب الميو إلى النصف
${4,6} 6$ ، البتريل لـ ${6,6} 4$
${\infty,4} \cdot,*3$ ، انحراف المجسم الثماني السطوح
${6,4} 6$ ، انحراف ${\infty,4} 6,4$
${\infty,3} (أ)$
${\infty,3} (ب)$

المجسمات اللانهائية المائلة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد

يوجد 31 شكلًا منتظمًا من الأشكال غير المنتظمة ذات الوجوه المحدبة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد مع تناظر مضغوط أو شبه مضغوط: ^{[ 26 ]}

14 مجموعة مضغوطة: {8,10|3}، {10,8|3}، {10,4|3}، {4,10|3}، {6,4|5}، {4,6|5}، {10,6|3}، {6,10|3}، {8,8|3}، {6,6|4}، {10,10|3}، {6,6|5}، {8,6|3}، و{6,8|3}.
17 منها متراصة بشكل شبه كامل: {12,10|3}، {10,12|3}، {12,4|3}، {4,12|3}، {6,4|6}، {4,6|6}، {8,4|4}، {4,8|4}، {12,6|3}، {6,12|3}، {12,12|3}، {6,6|6}، {8,6|4}، {6,8|4}، {12,8|3}، {8,12|3}، و{8,8|4}.

4-أبيروتوب

تبليطات الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد

يوجد فقط تبليط منتظم غير منحط واحد للفضاء ثلاثي الأبعاد ( خلايا النحل )، {4، 3، 4}: ^{[ 27 ]}

اسم	Schläfli {p,q,r}	كوكسيتر	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الحافة {r}	شكل الرأس {q,r}	χ	مزدوج
قرص العسل المكعب	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	ذاتي الازدواجية

تبليطات غير صحيحة للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد

توجد ستة أشكال تبليط منتظمة غير منتظمة، وهي أزواج مبنية على ثلاثة أشكال تبليط إقليدية منتظمة. خلاياها وأشكال رؤوسها جميعها عبارة عن أشكال متماثلة منتظمة {2,n}، وأشكال ثنائية {n,2}، وتبليط إقليدي. ترتبط هذه الأشكال التبليطية المنتظمة غير المنتظمة بنيويًا بأشكال قرص العسل المنشورية المنتظمة من خلال عمليات القطع. وهي نظائر ذات أبعاد أعلى للتبليط غير المتماثل من الرتبة 2 والمجسم المتماثل غير المتماثل .

Schläfli {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الحافة {r}	شكل الرأس {q,r}
{2,4,4}	{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}	{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}	{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}	{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}	{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}	{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

تبليطات الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد

يوجد 15 قرص عسل مسطح منتظم من الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد:

أربع منها مجموعات متراصة: {3،5،3}، {4،3،5}، {5،3،4}، و{5،3،5}
بينما 11 هي مجموعات متراصة: {3,3,6}، {6,3,3}، {3,4,4}، {4,4,3}، {3,6,3}، {4,3,6}، {6,3,4}، {4,4,4}، {5,3,6}، {6,3,5}، و{6,3,6}.

4 خلايا نحل عادية مضغوطة
{5,3,4}	{5,3,5}
{4,3,5}	{3,5,3}

4 من 11 قرص عسل عادي مضغوط
{3,4,4}	{3,6,3}
{4,4,3}	{4,4,4}

يمكن تسمية تبليطات الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد بخلايا النحل الزائدية . يوجد 15 خلية نحل زائدية في الفضاء الزائدي ^{ثلاثي الأبعاد} ، منها 4 خلايا مضغوطة و11 خلية شبه مضغوطة.

4 خلايا نحل عادية مضغوطة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الحافة {r}	شكل الرأس {q,r}	مزدوج
قرص العسل ذو العشرين وجهًا	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	ذاتي الازدواجية
طلب 5 أقراص عسل مكعبة	{4,3,5}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
قرص العسل ذو الشكل الاثني عشري من الرتبة الرابعة	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{4,3,5}
قرص العسل ذو الشكل الاثني عشري من الرتبة 5	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	ذاتي الازدواجية

يوجد أيضًا 11 قرص عسل شبه مضغوط من النوع H3 ⁽ تلك التي تحتوي على خلايا لا نهائية (إقليدية) و/أو أشكال رأسية): {3,3,6}، {6,3,3}، {3,4,4}، {4,4,3}، {3,6,3}، {4,3,6}، {6,3,4}، {4,4,4}، {5,3,6}، {6,3,5}، و{6,3,6}.

11 قرص عسل عادي مضغوط
اسم	رمز شلافلي {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الحافة {r}	شكل الرأس {q,r}	مزدوج
قرص العسل رباعي الأوجه من الرتبة 6	{3,3,6}	{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	{6,3,3}
بلاط سداسي على شكل قرص العسل	{6,3,3}	{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	{3,3,6}
قرص العسل ثماني الأوجه من الرتبة الرابعة	{3,4,4}	{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	{4,4,3}
بلاط مربع على شكل خلية نحل	{4,4,3}	{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,4}
بلاط مثلث الشكل على شكل قرص العسل	{3,6,3}	{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	ذاتي الازدواجية
الطلب - 6 أقراص عسل مكعبة	{4,3,6}	{4,3}	{4}	{4}	{3,6}	{6,3,4}
تبليط سداسي من الدرجة الرابعة على شكل قرص العسل	{6,3,4}	{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	{4,3,6}
اطلب 4 بلاطات مربعة على شكل خلية نحل	{4,4,4}	{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل ذو الشكل الاثني عشري من الرتبة السادسة	{5,3,6}	{5,3}	{5}	{5}	{3,6}	{6,3,5}
ترتيب 5 بلاط سداسي على شكل قرص العسل	{6,3,5}	{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	{5,3,6}
بلاط سداسي الشكل من الدرجة السادسة	{6,3,6}	{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	ذاتي الازدواجية

توجد الحلول غير المتراصة على شكل مجموعات كوكسيتر لورنتزية ، ويمكن تمثيلها بمجالات مفتوحة في الفضاء الزائدي (حيث يمتلك رباعي الأوجه الأساسي رؤوسًا مثالية للغاية). جميع الأشكال السداسية ذات الخلايا الزائدية أو أشكال الرؤوس والتي لا تحتوي على الرقم 2 في رمز شلافلي الخاص بها هي حلول غير متراصة.

خلايا نحل كروية (غير مناسبة / أفلاطونية) / إقليدية / زائدية ( مضغوطة / شبه مضغوطة / غير مضغوطة) {p,3,r}
	{3, r }	{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,4}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	... {3, ∞ }
{ p ,3}	p \ r	2	3	4	5	6	7	8	... ∞
{2,3}	2	{2,3,2}	{2,3,3}	{2، 3، 4}	{2,3,5}	{2,3,6}	{2,3,7}	{2,3,8}	{2,3, ∞ }
{3,3}	3	{3,3,2}	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3, ∞ }
{4,3}	4	{4,3,2}	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3, ∞ }
{5,3}	5	{5,3,2}	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3, ∞ }
{6,3}	6	{6,3,2}	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3, ∞ }
{7,3}	7	{7,3,2}	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3, ∞ }
{8,3}	8	{8,3,2}	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3, ∞ }
... { ∞ ,3}	... ∞	{ ∞ ,3,2}	{ ∞ ,3,3}	{ ∞ ,3,4}	{ ∞ ,3,5}	{ ∞ ,3,6}	{ ∞ ,3,7}	{ ∞ ,3,8}	{ ∞ ,3, ∞ }

{p,4,r}
	{4, r }	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4, ∞ }
{ p ,4}	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2,4}	2	{2,4,2}	{2,4,3}	{2,4,4}	{2,4,5}	{2,4,6}	{2,4, ∞ }
{3,4}	3	{3,4,2}	{3,4,3}	{3,4,4}	{3، 4، 5}	{3،4،6}	{3,4, ∞ }
{4,4}	4	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	{4,4, ∞ }
{5,4}	5	{5,4,2}	{5,4,3}	{5,4,4}	{5,4,5}	{5,4,6}	{5,4, ∞ }
{6,4}	6	{6,4,2}	{6,4,3}	{6,4,4}	{6,4,5}	{6,4,6}	{6,4, ∞ }
{ ∞ ,4}	∞	{ ∞ ,4,2}	{ ∞ ,4,3}	{ ∞ ,4,4}	{ ∞ ,4,5}	{ ∞ ,4,6}	{ ∞ ,4, ∞ }

{p,5,r}
	{5, r }	{5,2}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5, ∞ }
{ p ,5}	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2,5}	2	{2,5,2}	{2,5,3}	{2,5,4}	{2,5,5}	{2,5,6}	{2,5, ∞ }
{3,5}	3	{3,5,2}	{3,5,3}	{3، 5، 4}	{3,5,5}	{3، 5، 6}	{3,5, ∞ }
{4,5}	4	{4,5,2}	{4، 5، 3}	{4,5,4}	{4,5,5}	{4، 5، 6}	{4,5, ∞ }
{5,5}	5	{5,5,2}	{5,5,3}	{5,5,4}	{5,5,5}	{5,5,6}	{5,5, ∞ }
{6,5}	6	{6,5,2}	{6,5,3}	{6,5,4}	{6,5,5}	{6,5,6}	{6,5, ∞ }
{ ∞ ,5}	∞	{ ∞ ,5,2}	{ ∞ ,5,3}	{ ∞ ,5,4}	{ ∞ ,5,5}	{ ∞ ,5,6}	{ ∞ ,5, ∞ }

{p,6,r}
	{6, r }	{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6, ∞ }
{ ص ,6}	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2,6}	2	{2,6,2}	{2,6,3}	{2,6,4}	{2,6,5}	{2,6,6}	{2,6, ∞ }
{3,6}	3	{3,6,2}	{3,6,3}	{3,6,4}	{3,6,5}	{3,6,6}	{3,6, ∞ }
{4,6}	4	{4,6,2}	{4,6,3}	{4,6,4}	{4،6،5}	{4,6,6}	{4,6, ∞ }
{5,6}	5	{5,6,2}	{5,6,3}	{5,6,4}	{5,6,5}	{5,6,6}	{5,6, ∞ }
{6,6}	6	{6,6,2}	{6,6,3}	{6,6,4}	{6,6,5}	{6,6,6}	{6,6, ∞ }
{ ∞ ,6}	∞	{ ∞ ,6,2}	{ ∞ ,6,3}	{ ∞ ,6,4}	{ ∞ ,6,5}	{ ∞ ,6,6}	{ ∞ ,6, ∞ }

{ p ,7, r }
	{7, r }	{7,2}	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7, ∞ }
{ ص ,7}	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2,7}	2	{2,7,2}	{2,7,3}	{2,7,4}	{2,7,5}	{2,7,6}	{2,7, ∞ }
{3,7}	3	{3,7,2}	{3,7,3}	{3,7,4}	{3,7,5}	{3,7,6}	{3,7, ∞ }
{4,7}	4	{4,7,2}	{4,7,3}	{4,7,4}	{4,7,5}	{4,7,6}	{4,7, ∞ }
{5,7}	5	{5,7,2}	{5,7,3}	{5,7,4}	{5,7,5}	{5,7,6}	{5,7, ∞ }
{6,7}	6	{6,7,2}	{6,7,3}	{6,7,4}	{6,7,5}	{6,7,6}	{6,7, ∞ }
{ ∞ ,7}	∞	{ ∞ ,7,2}	{ ∞ ,7,3}	{ ∞ ,7,4}	{ ∞ ,7,5}	{ ∞ ,7,6}	{ ∞ ,7, ∞ }

{p,8,r}
	{8, r }	{8,2}	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8, ∞ }
{ ص ,8}	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2,8}	2	{2,8,2}	{2,8,3}	{2,8,4}	{2,8,5}	{2,8,6}	{2,8, ∞ }
{3,8}	3	{3,8,2}	{3,8,3}	{3,8,4}	{3,8,5}	{3,8,6}	{3,8, ∞ }
{4,8}	4	{4,8,2}	{4,8,3}	{4,8,4}	{4,8,5}	{4,8,6}	{4,8, ∞ }
{5,8}	5	{5,8,2}	{5,8,3}	{5,8,4}	{5,8,5}	{5,8,6}	{5,8, ∞ }
{6,8}	6	{6,8,2}	{6,8,3}	{6,8,4}	{6,8,5}	{6,8,6}	{6,8, ∞ }
{ ∞ ,8}	∞	{ ∞ ,8,2}	{ ∞ ,8,3}	{ ∞ ,8,4}	{ ∞ ,8,5}	{ ∞ ,8,6}	{ ∞ ,8, ∞ }

{p, ∞ ,r}
	{ ∞ , r }	{ ∞ ,2}	{ ∞ ,3}	{ ∞ ,4}	{ ∞ ,5}	{ ∞ ,6}	{ ∞ , ∞ }
{ p , ∞ }	p \ r	2	3	4	5	6	∞
{2, ∞ }	2	{2, ∞ ,2}	{2, ∞ ,3}	{2, ∞ ,4}	{2, ∞ ,5}	{2, ∞ ,6}	{2, ∞ , ∞ }
{3, ∞ }	3	{3, ∞ ,2}	{3, ∞ ,3}	{3, ∞ ,4}	{3, ∞ ,5}	{3, ∞ ,6}	{3, ∞ , ∞ }
{4, ∞ }	4	{4, ∞ ,2}	{4, ∞ ,3}	{4, ∞ ,4}	{4, ∞ ,5}	{4, ∞ ,6}	{4, ∞ , ∞ }
{5, ∞ }	5	{5, ∞ ,2}	{5, ∞ ,3}	{5, ∞ ,4}	{5, ∞ ,5}	{5, ∞ ,6}	{5, ∞ , ∞ }
{6, ∞ }	6	{6, ∞ ,2}	{6, ∞ ,3}	{6, ∞ ,4}	{6, ∞ ,5}	{6, ∞ ,6}	{6, ∞ , ∞ }
{ ∞ , ∞ }	∞	{ ∞ , ∞ ,2}	{ ∞ , ∞ ,3}	{ ∞ , ∞ ,4}	{ ∞ , ∞ ,5}	{ ∞ , ∞ ,6}	{ ∞ , ∞ , ∞ }

لا توجد أشكال منتظمة مضغوطة أو شبه مضغوطة على شكل خلايا نحل نجمية زائدية في H3 ^: جميع الأشكال التي تحتوي على متعدد السطوح النجمي المنتظم كخلية أو شكل رأس أو كليهما تنتهي بأن تكون كروية.

تظهر الرؤوس المثالية عندما يكون شكل الرأس تبليطًا إقليديًا، ليصبح قابلاً للرسم داخل كرة أفقية بدلاً من كرة. وهي ثنائية للخلايا المثالية (التبليطات الإقليدية بدلاً من المجسمات متعددة السطوح المحدودة). مع ازدياد الرقم الأخير في رمز شلافلي، يصبح شكل الرأس زائديًا، وتصبح الرؤوس فائقة المثالية (بحيث لا تتقاطع الحواف داخل الفضاء الزائدي). في خلايا النحل {p, q, ∞}، تتقاطع الحواف مع كرة بوانكاريه في نقطة مثالية واحدة فقط؛ أما باقي الحافة فقد أصبح فائق المثالية. سيؤدي الاستمرار إلى حواف فائقة المثالية تمامًا، سواء لخلية النحل أو للبسيط الأساسي (مع ذلك، سيظل عدد لا نهائي من {p, q} يتقاطع عند هذه الحواف). بشكل عام، عندما يصبح الرقم الأخير في رمز شلافلي ∞، تتقاطع وجوه البعد المشترك 2 مع كرة بوانكاريه الفائقة في نقطة مثالية واحدة فقط. ^{[ 17 ]}

5-أبيروتوب

تبليطات الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد

هناك ثلاثة أنواع من التبليطات المنتظمة اللانهائية ( خلايا النحل ) التي يمكنها تبليط الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد:

3 خلايا نحل إقليدية منتظمة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r,s}	نوع الوجه {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الوجه {s}	شكل الحافة {r,s}	شكل الرأس {q,r,s}	مزدوج
قرص العسل المتشعب	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل ذو 16 خلية	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
قرص العسل ذو 24 خلية	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

الجزء المتوقع من {4,3,3,4} (قرص العسل الفسيفسائي)	الجزء المتوقع من {3,3,4,3} (قرص العسل ذو 16 خلية)	الجزء المتوقع من {3,4,3,3} (قرص العسل ذو 24 خلية)

وهناك أيضًا الحالتان غير الصحيحتين {4,3,4,2} و {2,4,3,4}.

توجد ثلاث خلايا نحل مسطحة منتظمة من الفضاء الإقليدي ذي 4 أبعاد: ^{[ 27 ]}

{4,3,3,4}، {3,3,4,3}، و {3,4,3,3}.

هناك سبعة أقراص عسل مسطحة منتظمة محدبة من الفضاء الزائدي 4: ^{[ 19 ]}

خمسة عناصر متراصة: {3،3،3،5}، {5،3،3،3}، {4،3،3،5}، {5،3،3،4}، {5،3،3،5}
2 منها متراصة جزئياً: {3,4,3,4} و {4,3,4,3}.

هناك أربعة أشكال قرص العسل النجمي المنتظم المسطح من الفضاء الزائدي 4: ^{[ 19 ]}

{5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5}, و {5,5/2,5,3}.

تبليطات الفضاء الزائدي رباعي الأبعاد

يوجد في فضاء H ^{4 سبعة}أشكال قرص عسل منتظمة محدبة وأربعة أشكال قرص عسل نجمية . ^[²⁸^] خمسة منها محدبة ومضغوطة، واثنان منها شبه مضغوطة.

خمسة خلايا نحل منتظمة مضغوطة في H ⁴ :

5 خلايا نحل عادية مضغوطة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r,s}	نوع الوجه {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الوجه {s}	شكل الحافة {r,s}	شكل الرأس {q,r,s}	مزدوج
الطلب رقم 5: قرص عسل مكون من 5 خلايا	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
قرص العسل ذو 120 خلية	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
قرص عسل رباعي الطبقات من الدرجة الخامسة	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
الطلب رقم 4، قرص العسل ذو 120 خلية	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
الطلب رقم 5، قرص العسل ذو 120 خلية	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	ذاتي الازدواجية

قرصا العسل المنتظمان شبه المضغوطين H ⁴ هما: {3,4,3,4}، {4,3,4,3}.

قرصان من خلايا النحل العادية شبه المدمجة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r,s}	نوع الوجه {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الوجه {s}	شكل الحافة {r,s}	شكل الرأس {q,r,s}	مزدوج
الطلب الرابع - قرص العسل ذو 24 خلية	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
قرص العسل المكعب	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

توجد الحلول غير المتراصة على شكل مجموعات كوكسيتر لورنتزية ، ويمكن تمثيلها بصريًا باستخدام نطاقات مفتوحة في الفضاء الزائدي (حيث تحتوي الخلية الأساسية ذات الخمس خلايا على أجزاء غير قابلة للوصول إليها بعد اللانهاية). جميع الأشكال السداسية غير الموضحة في مجموعة الجداول أدناه والتي لا تحتوي على الرقم 2 في رمز شلافلي الخاص بها هي أشكال غير متراصة.

خلايا النحل الكروية / الإقليدية / الزائدية ( المضغوطة / شبه المضغوطة / غير المضغوطة ) {p,q,r,s}

q=3، s=3
p \ r	3	4	5
3	{3,3,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,5,3}
4	{4,3,3,3}	{4,3,4,3}	{4,3,5,3}
5	{5,3,3,3}	{5,3,4,3}	{5,3,5,3}

q=3، s=4
p \ r	3	4
3	{3,3,3,4}	{3,3,4,4}
4	{4,3,3,4}	{4,3,4,4}
5	{5,3,3,4}	{5,3,4,4}

q=3، s=5
p \ r	3	4
3	{3,3,3,5}	{3,3,4,5}
4	{4,3,3,5}	{4,3,4,5}
5	{5,3,3,5}	{5,3,4,5}

q=4، s=3
p \ r	3	4
3	{3,4,3,3}	{3,4,4,3}
4	{4,4,3,3}	{4,4,4,3}

q=4، s=4
p \ r	3	4
3	{3,4,3,4}	{3,4,4,4}
4	{4,4,3,4}	{4,4,4,4}

q=4، s=5
p \ r	3	4
3	{3,4,3,5}	{3,4,4,5}
4	{4,4,3,5}	{4,4,4,5}

q=5، s=3
p \ r	3	4
3	{3,5,3,3}	{3,5,4,3}
4	{4,5,3,3}	{4,5,4,3}

تبليطات نجمية للفضاء الزائدي رباعي الأبعاد

توجد أربعة أشكال منتظمة على شكل خلايا نحل نجمية في فضاء H ⁴ ، وكلها مضغوطة:

4 خلايا نحل نجمية منتظمة مضغوطة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r,s}	نوع الوجه {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الوجه {s}	شكل الحافة {r,s}	شكل الرأس {q,r,s}	مزدوج	كثافة
قرص عسل صغير نجمي الشكل مكون من 120 خلية	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3}	{5/2,5}	{5/2}	{3}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
قرص عسل من رتبة خماسية مكون من 600 خلية	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
قرص عسل من الرتبة الخامسة، ذو شكل عشريني الوجوه، مكون من 120 خلية	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2,5}	{5,5/2,5}	{5,5/2,5,3}	10
قرص عسل رائع مكون من 120 خلية	{5,5/2,5,3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	10

6-أبيروتوب

يوجد شكل قرص عسل مسطح منتظم واحد فقط في الفضاء الإقليدي ذي 5 أبعاد: ( المذكور أعلاه سابقًا باسم التبليط) ^{[ 27 ]}

{4,3,3,3,4}

هناك خمسة أشكال قرص العسل المسطحة المنتظمة المنتظمة من الفضاء الزائدي 5، وكلها متراصة: ( المدرجة سابقًا أعلاه على أنها فسيفساء) ^{[ 19 ]}

{3,3,3,4,3}، {3,4,3,3,3}، {3,3,4,3,3}، {3,4,3,3,4}، و{4,3,3,4,3}

تبليطات الفضاء الإقليدي ذي الخمسة أبعاد

يُعد قرص العسل المكعب الفائق العائلة الوحيدة من أقراص العسل المنتظمة التي يمكنها تبليط كل بُعد، خمسة أو أعلى، تتكون من أوجه مكعبة فائقة ، أربعة حول كل حافة .

اسم	شلفلي { ص ₁ , ص ₂ , ..., ص _{n − 1} }	نوع الوجه	شكل الرأس	مزدوج
تبليط مربع	{4,4}	{4}	{4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل المكعب	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل المتشعب	{4,3 ² ,4}	{4,3 ² }	{3 ² ,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل ذو 5 مكعبات	{4,3 ³ ,4}	{4,3 ³ }	{3 ³ ,4}	ذاتي الازدواجية
قرص عسل مكون من 6 مكعبات	{4,3 ⁴ ,4}	{4,3 ⁴ }	{3 ⁴ ,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل ذو 7 مكعبات	{4,3 ⁵ ,4}	{4,3 ⁵ }	{3 ⁵ ,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل ذو 8 مكعبات	{4,3 ⁶ ,4}	{4,3 ⁶ }	{3 ⁶ ,4}	ذاتي الازدواجية
قرص العسل المكعب الفائق n	{4,3 ⁿ⁻² ,4}	{4,3 ⁿ⁻² }	{3 ⁿ⁻² ,4}	ذاتي الازدواجية

في E ⁵ ، توجد أيضًا الحالات غير الصحيحة {4,3,3,4,2}، {2,4,3,3,4}، {3,3,4,3,2}، {2,3,3,4,3}، {3,4,3,3,2}، و{2,3,4,3,3}. في E ⁿ ، تُعتبر {4,3 ⁿ⁻³ ,4,2} و{2,4,3 ⁿ⁻³ ,4} دائمًا تبليطات إقليدية غير صحيحة.

تبليطات الفضاء الزائدي ذي الخمسة أبعاد

يوجد 5 خلايا نحل منتظمة في H ⁵ ، جميعها متراصة بشكل متوازي، والتي تتضمن أوجهًا لا نهائية (إقليدية) أو أشكال رؤوس: {3,4,3,3,3}، {3,3,4,3,3}، {3,3,3,4,3}، {3,4,3,3,4}، و {4,3,3,4,3}.

لا توجد تبليطات منتظمة مضغوطة في الفضاء الزائدي ذي البعد 5 أو أعلى، ولا توجد تبليطات منتظمة شبه مضغوطة في الفضاء الزائدي ذي البعد 6 أو أعلى.

5 أقراص عسل عادية مضغوطة
اسم	رمز شلافلي {p,q,r,s,t}	نوع الوجه {p,q,r,s}	النوع ذو 4 أوجه {p,q,r}	نوع الخلية {p,q}	نوع الوجه {p}	شكل الخلية {t}	شكل الوجه {s,t}	شكل الحافة {r,s,t}	شكل الرأس {q,r,s,t}	مزدوج
قرص العسل 5-أورثوبلكس	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
قرص العسل ذو 24 خلية	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
قرص العسل ذو 16 خلية	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	ذاتي مزدوج
الطلب رقم 4، قرص عسل مكون من 24 خلية	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4}	{4,3,3,4,3}
قرص العسل المتشعب	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

بما أنه لا توجد أشكال نجمية منتظمة من النوع n لـ n ≥ 5 ، والتي يمكن أن تكون خلايا كامنة أو أشكال رؤوس، فلا توجد المزيد من خلايا النحل النجمية الزائدية في H ⁿ لـ n ≥ 5.

أبيروتوب من الرتبة 7 أو أكثر

تبليطات الفضاء الزائدي ذي الستة أبعاد وما فوق

لا توجد تبليطات منتظمة مضغوطة أو شبه مضغوطة للفضاء الزائدي ذي البعد 6 أو أعلى. مع ذلك، فإن أي رمز شلافلي من الشكل {p,q,r,s,...} غير المذكور أعلاه (حيث p,q,r,s,... أعداد طبيعية أكبر من 2، أو اللانهاية) سيشكل تبليطًا غير مضغوط للفضاء الزائدي ذي البعد n . ^{[ 17 ]}

متعددات الوجوه المجردة

نشأت متعددات الوجوه المجردة من محاولة لدراسة متعددات الوجوه بمعزل عن الفضاء الهندسي الذي تُضمّن فيه. وهي تشمل تبليط الفضاء الكروي والإقليدي والزائدي، بالإضافة إلى تبليطات أخرى متعددة الشعب . يوجد عدد لا نهائي من كل رتبة أكبر من 1. انظر هذا الأطلس للاطلاع على مثال. من الأمثلة البارزة على متعددات الوجوه المنتظمة المجردة التي لا تظهر في أي مكان آخر في هذه القائمة، متعدد الوجوه ذو 11 خلية ، {3، 5، 3}، ومتعدد الوجوه ذو 57 خلية ، {5، 3، 5}، واللذان يحتويان على متعددات وجوه إسقاطية منتظمة كخلايا وأشكال رؤوس.

عناصر المجسم المجرد هي جسمه (العنصر الأعظم)، ووجوهه، وحوافه، ورؤوسه، والمجسم الصفري أو المجموعة الفارغة. يمكن تمثيل هذه العناصر المجردة في الفضاء العادي أو تجسيدها كأشكال هندسية. بعض المجسمات المجردة لها تجسيدات دقيقة أو مطابقة ، بينما لا يمتلك البعض الآخر ذلك. العلم هو مجموعة متصلة من عناصر كل رتبة - بالنسبة للمجسم، هو الجسم، ووجه، وحافة الوجه، ورأس الحافة، والمجسم الصفري. يُقال إن المجسم المجرد منتظم إذا كانت تناظراته التوافقية متعدية على أعلامه - أي أنه يمكن تمثيل أي علم على أي علم آخر وفقًا لتناظر المجسم. لا تزال المجسمات المنتظمة المجردة مجالًا نشطًا للبحث.

حدد إتش إس إم كوكسيتر خمسة أشكال متعددة السطوح منتظمة مجردة، لا يمكن تمثيلها بدقة وتناظر، في كتابه " الأشكال متعددة السطوح المنتظمة " (1977)، ثم حددها جيه إم ويلز في بحثه "الأشكال متعددة السطوح المنتظمة توافقيًا ذات المؤشر 2" (1987). ^{[ 29 ]} جميعها مكافئة طوبولوجيًا للأشكال الحلقية . ويمكن تكرار بنائها، بترتيب n وجهًا حول كل رأس، إلى ما لا نهاية كتبليط للمستوى الزائدي . في الرسوم البيانية أدناه، تتطابق ألوان صور التبليط الزائدي مع ألوان صور الأشكال متعددة السطوح.

متعدد الأوجه	مجسم ثلاثي الأضلاع معيني وسطي	مجسم ذو اثني عشر وجهًا	مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأضلاع متوسط	مجسم ثنائي الأضلاع ذو اثني عشر وجهًا.	مجسم ذو اثني عشر وجهاً تم استخراجه
شكل الرأس	{5}, {5/2}	(5.5/2) ²	{5}, {5/2}	(5.5/3) ³
وجوه	30 معينًا	12 شكلًا خماسيًا 12 نجمة خماسية	20 شكل سداسي	12 شكلًا خماسيًا 12 نجمة خماسية	20 شكلًا سداسيًا
تبليط	{4، 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5، 6}	{6, 6}
χ	-6	-6	-16	-16	-20

تظهر هذه على شكل أزواج مزدوجة كما يلي:

المجسم المعيني الوسطي ثلاثي الأوجه والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا متناظران مع بعضهما البعض.
المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع المتوسط والمجسم الاثني عشري الوجوه ثلاثي الأضلاع متناظران مع بعضهما البعض.
المجسم ذو الاثني عشر وجهاً المستخرج هو مجسم مزدوج ذاتياً.

انظر أيضاً

قائمة المركبات متعددة الأوجه المنتظمة
مضلع
متعدد الأوجه
الأجسام الأفلاطونية
مواد كيبلر-بوينسو الصلبة
4-متعدد الوجوه
4 بوليتوب عادية (16 بوليتوب عادية 4، 4 محدبة و 10 نجوم (Schläfli–Hess))
التبليط
تبليط المضلعات المنتظمة
قرص عسل محدب وموحد
الخريطة المنتظمة (نظرية الرسم البياني)

ملحوظات

↑ (حتى الهوية والقدرة على التكرار)
↑ في تصنيفٍ قدّمه كونواي واعتمده كوكسيتر ،^{[ 20 ]} يشير مصطلح "التشكيل النجمي" إلى امتداد الحواف، و "التكبير" إلى امتداد الأوجه؛ أما مصطلح "التكبير" فيُستخدم لامتداد الخلايا (في الأشكال متعددة الألوان)، على الرغم من أنه يبدو أقل شيوعًا.^{[ 21 ]}

مراجع

1 2 McMullen (2004) harvcoltxt خطأ: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen2004 ( مساعدة )
↑ خطأ في برنامج McMullen harvcoltxt: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen ( مساعدة )
↑ كوكسيتر (1973) ، ص 129.
^ مكمولين وشولت (2002) ، ص. 30.
↑ جونسون، ن. و. (2018). "الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة". الهندسات والتحويلات . مطبعة جامعة كامبريدج. 11.1 متعددات الوجوه وخلايا النحل، ص 224. ISBN 978-1-107-10340-5.
↑ كوكسيتر (1973) ، ص 120.
↑ كوكسيتر (1973) ، ص 124.
↑ كوكسيتر، متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ، ص 9
↑ دنكان، هيو (28 سبتمبر 2017). "بين صخرة مربعة وخماسي صلب: المضلعات الكسرية" . chalkdust . مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2018. تم الاسترجاع في 24 ديسمبر 2018 .
1 2 McMullen & Schulte 2002 .
↑ كوكسيتر (1973) ، ص 66-67.
↑ ملخصات (ملف PDF) . الأشكال متعددة الأوجه المحدبة والمجردة (19-21 مايو 2005) ويوم الأشكال متعددة الأوجه في كالجاري (22 مايو 2005). مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 29 نوفمبر 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 فبراير 2015 .
↑ McMullen (2004) . خطأ في sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen2004 ( مساعدة )
↑ Coxeter (1973) ، الجدول الأول: متعددات الوجوه المنتظمة، (iii) متعددات الوجوه المنتظمة الثلاثة في $n$ أبعاد (n>=5)، ص 294-295.
↑ McMullen & Schulte (2002) , "6C Projective Regular Polytopes" ص. 162–165 .
^ جرونبوم ، ب. (1977). “متعددات الوجوه العادية – القديمة والجديدة”. المعادلات الرياضية . 16 ( 1 – 2): 1 – 20. دوى : 10.1007 / BF01836414 . S2CID 125049930 .
1 2 3 رويس نيلسون وهنري سيجرمان، تصوير خلايا النحل الزائدية. مؤرشف بتاريخ 30 نوفمبر 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
↑ إيرفينغ أدلر، نظرة جديدة على الهندسة (طبعة دوفر 2012)، ص 233
1 2 3 4 5 كوكسيتر (1999) ، "الفصل 10".
↑ كوكسيتر، إتش إم إس (1975). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 46-47 . ISBN 9780521201254.
↑ انظر: إنشبالد، جاي (9 سبتمبر 2024). "التشكيل النجمي والتقسيم إلى أوجه - تاريخ موجز" . صفحة جاي متعددة الأوجه . مؤرشفة من الأصل في 20 مايو 2024.
↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1938). "المجسمات المائلة المنتظمة في ثلاثة وأربعة أبعاد". وقائع جمعية لندن الرياضية . 2. 43 : 33-62 . doi : 10.1112/plms/s2-43.1.33 .
^ كوكيتر، إتش إس إم (1985). “polytopes العادية وشبه العادية II”. الرياضيات Zeitschrift . 188 (4): 559-591 . دوى : 10.1007 / BF01161657 . S2CID 120429557 .
↑ كونواي، جون هـ.؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستراوس، حاييم (2008). "الفصل 23: الأجسام ذات التناظر الأساسي، متعددات السطوح الأفلاطونية اللانهائية". تناظرات الأشياء . تايلور وفرانسيس. ص 333-335 . ISBN 978-1-568-81220-5.
↑ McMullen & Schulte (2002) ، القسم 7E.
↑ غارنر، سي دبليو إل (1967). "مجسمات متعددة السطوح منتظمة مائلة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد" . المجلة الكندية للرياضيات 19 : 1179-1186 . doi : 10.4153 /CJM-1967-106-9 . S2CID 124086497 . ملاحظة: تقول ورقته أن هناك 32، لكن واحد منها مزدوج ذاتيًا، مما يترك 31.
1 2 3 كوكسيتر (1973) ، الجدول الثاني: خلايا النحل المنتظمة، ص 296.
↑ Coxeter (1999) ، "الفصل 10" الجدول الرابع، ص 213.
↑ ديفيد أ. ريختر. "المجسمات المنتظمة (ذات المؤشر اثنين)" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2015 .

الاقتباسات

كوكسيتر، إتش إس إم (1999)، "الفصل 10: خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي"، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة ، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ص 199-214 ، رقم ISBN 0-486-40919-8، LCCN 99035678 ، MR 1717154 انظر على وجه الخصوص الجداول الموجزة II و III و IV و V، الصفحات 212 – 213.
- نُشرت هذه الدراسة في الأصل في كتاب كوكسيتر، HSM (1956)، بعنوان "خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي" (ملف PDF) ، ضمن وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات، 1954، أمستردام ، المجلد الثالث، أمستردام: دار نشر نورث هولاند، الصفحات 155-169 ، MR 0087114 ، وتمت أرشفتها من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2015-04-02. .
كوكسيتر، إتش إس إم (1973) [1948]. متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 0-486-61480-8. MR 0370327 . OCLC 798003 . انظر على وجه الخصوص الجدولين الأول والثاني: متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل، الصفحات 294-296 .
جونسون، نورمان و. (2012)، "المضلعات العكسية المنتظمة" (ملف PDF) ، المؤتمر الدولي حول رياضيات المسافات وتطبيقاتها (2-5 يوليو 2012، فارنا، بلغاريا) ، الصفحات 85-95 ، الورقة رقم 27 ، مؤرشفة (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 8 أغسطس 2017 ، تم استرجاعها بتاريخ 12 يناير 2015
مكمولين، بيتر ؛ شولت، إيغون (2002)، متعددات الوجوه المنتظمة المجردة ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 92، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/CBO9780511546686 ، ISBN 0-521-81496-0، MR 1965665 ، S2CID 115688843
مكمولين، بيتر (2018)، "مركبات منتظمة جديدة من متعددات الوجوه الرباعية"، اتجاهات جديدة في الهندسة الحدسية ، دراسات جمعية بولياي الرياضية، المجلد 27، الصفحات 307-320 ، doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12 ، ISBN 978-3-662-57412-6.
نيلسون، رويس؛ سيجرمان، هنري (2015). "تصور خلايا النحل الزائدية". arXiv : 1511.02851 [ math.HO ].hyperbolichoneycombs.org/ مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في Wayback Machine
سومرفيل، دي إم واي (1958)، مقدمة في هندسة الأبعاد $n$ ، نيويورك: منشورات دوفر، MR 0100239 إعادة طبع طبعة عام 1930، التي نشرتها دار نشر إي بي داتون. انظر على وجه الخصوص الفصل العاشر: متعددات الوجوه المنتظمة.

روابط خارجية

الأجسام الأفلاطونية
متعددات وجوه كيبلر-بوينسو
مجسمات قابلة للطي رباعية الأبعاد عادية
مسرد متعدد الأبعاد (ابحث عن Hexacosichoron و Hecatonicosachoron )
عارض متعدد الأوجه
متعددات الوجوه والتعبئة المثلى لنقاط p في كرات ذات n بُعد
أطلس للمضلعات المنتظمة الصغيرة
المجسمات المنتظمة عبر الزمن ، بقلم: هوبارد، المجسمات المتعددة، الخرائط وتناظراتها
النجم العادي بوليتوبس ، نان ما

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E ²	تبليط موحد	0 _[3]	δ ₃	h δ ₃	q δ ₃	سداسي
E ³	قرص العسل المحدب المنتظم	0 _[4]	δ ₄	h δ ₄	q δ ₄
E ⁴	قرص عسل رباعي منتظم	0 _[5]	δ ₅	h δ ₅	q δ ₅	قرص العسل ذو 24 خلية
E ⁵	قرص عسل موحد من 5	0 _[6]	δ ₆	h δ ₆	q δ ₆
E ⁶	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 _[7]	δ ₇	h δ ₇	q δ ₇	2 ₂₂
E ⁷	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 _[8]	δ ₈	h δ ₈	q δ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 _[9]	δ ₉	h δ ₉	q δ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	قرص عسل موحد مكون من 9 خلايا	0 _[10]	δ ₁₀	h δ ₁₀	q δ ₁₀
E ¹⁰	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 _[11]	δ ₁₁	h δ ₁₁	q δ ₁₁
E ^{n −1}	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 _{[ ن ]}	δ _n	h δ _n	q δ _n	1 _{كيلو 2} • 2 _{كيلو 1} • كيلو ₂₁

[11] (حتى الهوية والقدرة على التكرار)

[23] في تصنيفٍ قدّمه كونواي واعتمده كوكسيتر ،^{[ 20 ]} يشير مصطلح "التشكيل النجمي" إلى امتداد الحواف، و "التكبير" إلى امتداد الأوجه؛ أما مصطلح "التكبير" فيُستخدم لامتداد الخلايا (في الأشكال متعددة الألوان)، على الرغم من أنه يبدو أقل شيوعًا.^{[ 21 ]}

[RegPolyFull-1] 1 2 McMullen (2004) harvcoltxt خطأ: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen2004 ( مساعدة )

[2] خطأ في برنامج McMullen harvcoltxt: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen ( مساعدة )

[FOOTNOTECoxeter1973129-3] كوكسيتر (1973) ، ص 129.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte200230-4] مكمولين وشولت (2002) ، ص. 30.

[5] جونسون، ن. و. (2018). "الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة". الهندسات والتحويلات . مطبعة جامعة كامبريدج. 11.1 متعددات الوجوه وخلايا النحل، ص 224. ISBN 978-1-107-10340-5.

[FOOTNOTECoxeter1973120-6] كوكسيتر (1973) ، ص 120.

[FOOTNOTECoxeter1973124-7] كوكسيتر (1973) ، ص 124.

[8] كوكسيتر، متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ، ص 9

[:0-9] دنكان، هيو (28 سبتمبر 2017). "بين صخرة مربعة وخماسي صلب: المضلعات الكسرية" . chalkdust . مؤرشف من الأصل في 23 ديسمبر 2018. تم الاسترجاع في 24 ديسمبر 2018 .

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002-10] 1 2 McMullen & Schulte 2002 .

[FOOTNOTECoxeter197366–67-12] كوكسيتر (1973) ، ص 66-67.

[13] ملخصات (ملف PDF) . الأشكال متعددة الأوجه المحدبة والمجردة (19-21 مايو 2005) ويوم الأشكال متعددة الأوجه في كالجاري (22 مايو 2005). مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 29 نوفمبر 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 فبراير 2015 .

[FOOTNOTEMcMullen2004-14] McMullen (2004) . خطأ في sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFMcMullen2004 ( مساعدة )

[FOOTNOTECoxeter1973Table_I:_Regular_polytopes,_(iii)_The_three_regular_polytopes_in_<span_class="texhtml_mvar"_style="font-style:italic;">n</span>_dimensions_(n>=5),_pp._294–295-15] Coxeter (1973) ، الجدول الأول: متعددات الوجوه المنتظمة، (iii) متعددات الوجوه المنتظمة الثلاثة في $n$ أبعاد (n>=5)، ص 294-295.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002[httpsbooksgooglecombooksidJfmlMYe6MJgCpgPA162_"6C_Projective_Regular_Polytopes"_pp._162–165]-16] McMullen & Schulte (2002) , "6C Projective Regular Polytopes" ص. 162–165 .

[17] جرونبوم ، ب. (1977). “متعددات الوجوه العادية – القديمة والجديدة”. المعادلات الرياضية . 16 ( 1 – 2): 1 – 20. دوى : 10.1007 / BF01836414 . S2CID 125049930 .

[hyphon-18] 1 2 3 رويس نيلسون وهنري سيجرمان، تصوير خلايا النحل الزائدية. مؤرشف بتاريخ 30 نوفمبر 2020 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).

[19] إيرفينغ أدلر، نظرة جديدة على الهندسة (طبعة دوفر 2012)، ص 233

[FOOTNOTECoxeter1999"Chapter_10"-20] 1 2 3 4 5 كوكسيتر (1999) ، "الفصل 10".

[21] كوكسيتر، إتش إم إس (1975). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 46-47 . ISBN 9780521201254.

[22] انظر: إنشبالد، جاي (9 سبتمبر 2024). "التشكيل النجمي والتقسيم إلى أوجه - تاريخ موجز" . صفحة جاي متعددة الأوجه . مؤرشفة من الأصل في 20 مايو 2024.

[24] كوكسيتر، إتش إس إم (1938). "المجسمات المائلة المنتظمة في ثلاثة وأربعة أبعاد". وقائع جمعية لندن الرياضية . 2. 43 : 33-62 . doi : 10.1112/plms/s2-43.1.33 .

[25] كوكيتر، إتش إس إم (1985). “polytopes العادية وشبه العادية II”. الرياضيات Zeitschrift . 188 (4): 559-591 . دوى : 10.1007 / BF01161657 . S2CID 120429557 .

[26] كونواي، جون هـ.؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستراوس، حاييم (2008). "الفصل 23: الأجسام ذات التناظر الأساسي، متعددات السطوح الأفلاطونية اللانهائية". تناظرات الأشياء . تايلور وفرانسيس. ص 333-335 . ISBN 978-1-568-81220-5.

[FOOTNOTEMcMullenSchulte2002Section_7E-27] McMullen & Schulte (2002) ، القسم 7E.

[28] غارنر، سي دبليو إل (1967). "مجسمات متعددة السطوح منتظمة مائلة في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد" . المجلة الكندية للرياضيات 19 : 1179-1186 . doi : 10.4153 /CJM-1967-106-9 . S2CID 124086497 . ملاحظة: تقول ورقته أن هناك 32، لكن واحد منها مزدوج ذاتيًا، مما يترك 31.

[FOOTNOTECoxeter1973Table_II:_Regular_honeycombs,_p.&nbsp;296-29] 1 2 3 كوكسيتر (1973) ، الجدول الثاني: خلايا النحل المنتظمة، ص 296.

[FOOTNOTECoxeter1999"Chapter_10"_Table_IV,_p._213-30] Coxeter (1999) ، "الفصل 10" الجدول الرابع، ص 213.

[31] ديفيد أ. ريختر. "المجسمات المنتظمة (ذات المؤشر اثنين)" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 مارس 2015 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 10 ]

[ i ]

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

ii ] لتبليطات

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ 29 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗