متعدد الوجوه منتظم رباعي الأوجه

على غرار نظائرها ثلاثية الأبعاد، يمكن ترتيب متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد بشكل طبيعي حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل متعدد وجوه أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى أكبر ضمن نفس نصف القطر. ^{[ 2 ]} يحتوي متعدد الوجوه رباعي الخلايا (خماسي الخلايا) على أصغر محتوى، بينما يحتوي متعدد الوجوه ذو 120 خلية على أكبر محتوى.

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4
مجموعة التناظر	أ 4	ب 4		F 4	H 4
اسم	5 خلايا هرم رباعي الأوجه ذو 5 نقاط	16 خلية ثماني الأوجه المفرط ذو 8 نقاط	8 خلايا مكعب فائق ذو 16 نقطة	24 خلية 24 نقطة	600 خلية مجسم ذو عشرين وجهًا فائقًا ذو 120 نقطة	120 خلية مجسم ذو اثني عشر وجهًا فائقًا مكون من 600 نقطة
رمز شلافلي	{3, 3, 3}	{3، 3، 4}	{4، 3، 3}	{3، 4، 3}	{3، 3، 5}	{5، 3، 3}
مرايا كوكسيتر
زوايا ثنائية السطوح معكوسة	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠
الرسم البياني
الرؤوس	5 رباعي الأوجه	8 ثماني الأوجه	16 رباعي الأوجه	24 مكعبًا	120 شكل عشروني الوجوه	600 رباعي الأوجه
الحواف	10 مثلثات	24 مربع	32 مثلثي	96 مثلثي	720 خماسي الأضلاع	1200 مثلث
وجوه	10 مثلثات	32 مثلثًا	24 مربعًا	96 مثلثًا	1200 مثلث	720 شكل خماسي
الخلايا	5 رباعيات الأوجه	16 رباعي الأوجه	8 مكعبات	24 ثماني السطوح	600 رباعي الأوجه	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا
توري	1 رباعي الأوجه خماسي	2 رباعي الأوجه 8	2 مكعب رباعي	4 ثماني السطوح 6	20 رباعي الأوجه 30	12 مجسم ذو 10 أوجه
منقوش	120 في خلية 120	675 في 120 خلية	2 خلايا 16	3 خلايا ثمانية	25 خلية من نوع 24	10600 خلية
مضلعات رائعة		مربعان × 3	4 مستطيلات × 4	4 أشكال سداسية × 4	12 مضلعًا عشريًا × 6	100 شكل سداسي غير منتظم × 4
مضلعات بيتري	خماسي واحد × 2	1 مثمن × 3	2 مثمنات × 4	2 شكل ذو اثني عشر ضلعًا × 4	4 مضلعات 30 × 6	20 مضلعًا من 30 ضلعًا × 4
نصف قطر كبير	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
طول الحافة	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
نصف قطر قصير	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
منطقة	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
مقدار	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-المحتوى	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

يُبيّن الجدول التالي بعض خصائص ستة متعددات وجوه منتظمة محدبة رباعية الأبعاد. جميع زمر التناظر لهذه المتعددات هي زمر كوكسيتر ، وتُعطى بالترميز الموصوف في تلك المقالة. الرقم الذي يلي اسم الزمرة هو رتبتها .

الأسماء	صورة	عائلة	شلافلي كوكسيتر	V	هـ	F	ج	الشكل الرأسي	مزدوج	مجموعة التناظر
خماسي الخلايا بنتاكورون بنتاتوب 4-سيمبلكس		n -simplex ( عائلة n )	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	ذاتي الازدواجية	A 4 [3,3,3]	120
16-خلية سداسي عشري الخلايا 4-أورثوبلكس		n -orthoplex (عائلة B n )	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8 خلايا	ب 4 [4,3,3]	384
ثماني خلايا، مكعب رباعي الأبعاد، ثماني الخلايا		المكعب الفائق ذو البعد n ( عائلة B n )	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16 خلية
24-cell icositetrachoron octaplex polyoctahedron (pO)		عائلة F n	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	ذاتي الازدواجية	F 4 [3,4,3]	1152
600-cell hexacosichoron tetraplex polytetrahedron (pT)		متعدد الوجوه الخماسي ذو n ( عائلة H n )	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120 خلية	H 4 [5,3,3]	14400
120-cell hecatonicosachoron dodecacontachoron dodecaplex polydodecahedron (pD)		متعدد الوجوه الخماسي ذو n ( عائلة H n )	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600 خلية

دافع جون كونواي عن استخدام الأسماء التالية: سيمبلكس، أورثوبليكس، تيسيراكت، أوكتابليكس أو متعدد الأوجه الثمانية (pO)، تيترابلكس أو متعدد الأوجه الرباعية (pT)، ودوديكابلكس أو متعدد الأوجه الاثني عشرية (pD). ^{[ 3 ]}

دافع نورمان جونسون عن تسمية "الخلية n" أو "الخماسي"، و"السداسي عشري"، و"الرباعي" أو "الثماني"، و"العشروني رباعي"، و"السداسي عشري"، و"الثماني عشري سداسي" (أو "الاثنا عشري عشري"). وقد صاغ مصطلح " المتعدد " تشبيهًا رباعي الأبعاد للمجسم ثلاثي الأبعاد، و"المضلع" ثنائي الأبعاد، المشتق من الكلمتين اليونانيتين " poly" (كثير) و " choros " (غرفة) أو "فضاء". ^{[ 4 ] [ 5 ]}

خاصية أويلر لجميع متعددات الوجوه ذات البعد 4 تساوي صفرًا، وبالتالي لدينا النظير رباعي الأبعاد لصيغة أويلر متعددة السطوح:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

حيث يشير N _k إلى عدد الوجوه k في متعدد الوجوه (الرأس هو وجه 0، والحافة هي وجه 1، وما إلى ذلك).

يتم تحديد طوبولوجيا أي متعدد الوجوه رباعي الأبعاد من خلال أرقام بيتي ومعاملات الالتواء الخاصة به . ^{[ 6 ]}

يمكن وصف متعدد السطوح الرباعي المنتظم وصفًا كاملًا كمصفوفة تكوين تحتوي على عدد عناصره المكونة. تمثل الصفوف الرؤوس، والأعمدة الحواف، والوجوه، والخلايا. تشير الأرقام القطرية (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في متعدد السطوح الرباعي. أما الأرقام غير القطرية فتشير إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. على سبيل المثال، يوجد رأسان في كل حافة (لكل حافة رأسان )، وتلتقي خليتان عند كل وجه (لكل وجه خليتان )، في أي متعدد سطوح رباعي منتظم. يمكن الحصول على تكوين متعدد السطوح الثنائي بتدوير المصفوفة بمقدار 180 درجة. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

5-خلية {3،3،3}	16 خلية {3،3،4}	8 خلايا {4،3،3}	24 خلية {3،4،3}	600 خلية {3،3،5}	120 خلية {5،3،3}
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

يُبيّن الجدول التالي بعض الإسقاطات ثنائية الأبعاد لهذه المجسمات الرباعية. ويمكن الاطلاع على تمثيلات مرئية أخرى متنوعة في الروابط الخارجية أدناه. كما تُعرض رسوم كوكسيتر-دينكين البيانية أسفل رمز شلافلي .

A 4 = [3,3,3]	B 4 = [4,3,3]		F 4 = [3,4,3]	H 4 = [5,3,3]
5 خلايا	16 خلية	8 خلايا	24 خلية	600 خلية	120 خلية
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
إسقاطات ثلاثية الأبعاد صلبة متعامدة
غلاف رباعي الأوجه (مركزه الخلية/الرأس)	غلاف مكعب (متمركز حول الخلية)	غلاف مكعب (متمركز حول الخلية)	غلاف مكعب ثماني الأوجه (مركز الخلية)	غلاف خماسي عشروني الوجوه (مركزه الرأس)	غلاف ثلاثي الأضلاع معيني الشكل مقطوع (مركز الخلية)
مخططات شليغل الهيكلية ( إسقاط منظوري )
مركز الخلية	مركز الخلية	مركز الخلية	مركز الخلية	مركزي الرأس	مركز الخلية
إسقاطات مجسمة بإطار سلكي ( كرة ثلاثية الأبعاد )

أطلق جون كونواي هذه الأسماء ، موسعًا بذلك أسماء كايلي لمجسمات كبلر-بوانسو : فإلى جانب كلمتي "نجمي" و "عظيم" ، أضاف كونواي صفة "عظيم" . وقدّم كونواي هذه التعريفات العملية:

1. التشكّل النجمي – يستبدل الحواف بحواف أطول في نفس الخطوط. (مثال: يتحوّل الشكل الخماسي إلى شكل نجمي خماسي )
2. التكبير – استبدال الأوجه بأوجه كبيرة في نفس المستويات. (مثال: يتحول المجسم العشري الوجوه إلى مجسم عشري الوجوه كبير )
3. التكبير – استبدال الخلايا بخلايا أكبر في نفس المساحات الثلاثية. (مثال: يتم تكبير خلية مكونة من 600 خلية لتصبح خلية كبيرة مكونة من 600 خلية )

يُسمّي جون كونواي الأشكال العشرة من ثلاثة متعددات وجوه منتظمة الخلايا ذات أربعة أبعاد: pT = متعدد رباعي الأوجه {3,3,5} (رباعي الأوجه ذو 600 خلية )، و pI = متعدد عشريني الأوجه {3,5, 5/2 } ( عشروني الأوجه ذو 120 خلية )، وpD = متعدد اثني عشري الأوجه {5,3,3} (اثنا عشري الأوجه ذو 120 خلية )، مع إضافة البادئات g و a و s للدلالة على: كبير ، و (ag) ضخم، ونجمي. ويحتوي الشكل النجمي الأخير، وهو متعدد اثني عشري الأوجه النجمي الضخم، على جميع هذه الأشكال تحت مسمى gaspD .

تتمتع جميع الأشكال العشرة متعددة الألوان بتناظر سداسي الألوان [3,3,5] ( H4 ₎ . وهي مُولَّدة من 6 مجموعات تناظر ذات ترتيب عقلاني من رباعيات وجوه جورسات ذات صلة : [3,5,5/2]، [5,5/2,5]، [5,3,5/2]، [5/2,5,5/2]، [5,5/2,3]، و[3,3,5/2].

تحتوي كل مجموعة على نجمتين متعددتي الألوان منتظمتين، باستثناء مجموعتين ذاتيتين التناظر، تحتوي كل منهما على نجمة واحدة فقط. لذا، يوجد 4 أزواج ثنائية وشكلان ذاتيان التناظر من بين النجوم العشرة متعددة الألوان المنتظمة.

ملحوظة:

• يوجد ترتيبان فريدان للرؤوس ، يتطابقان مع ترتيبات الخلايا المكونة من 120 خلية والخلايا المكونة من 600 خلية .
• هناك 4 ترتيبات حواف فريدة ، والتي تظهر على شكل إسقاطات متعامدة سلكية .
• توجد سبعة ترتيبات فريدة للوجوه ، معروضة على شكل إسقاطات متعامدة صلبة (ملونة الوجوه). (مع ذلك، فإن الشكل العشري الوجوه ذو 120 خلية له نفس ترتيب الوجوه الموجود في الشكل المحدب ذي 600 خلية).

يتم تحديد الخلايا (المجسمات متعددة الأوجه)، ووجوهها (المضلعات)، وأشكال حواف المضلعات ، وأشكال رؤوس المجسمات متعددة الأوجه بواسطة رموز شلافلي الخاصة بها .

الاسم: كونواي (اختصار)	الإسقاط المتعامد	شلافلي كوكسيتر	C {p, q}	F {p}	إي {ر}	V {q, r}	دينس.	χ
متعدد الوجوه ذو 120 خلية (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2 }	120 {5,5/2}	4	480
مجسم نجمي صغير مكون من 120 خلية (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	- 480
مجسم متعدد الأوجه ذو 120 خلية (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
مجسم متعدد الأوجه ذو 120 خلية (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
مجسم نجمي كبير ذو 120 خلية متعدد الأوجه نجمي كبير (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
مجسم نجمي كبير ذو 120 خلية متعدد السطوح نجمي كبير (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
الجد الأكبر ذو الـ 120 خلية، متعدد الأوجه ذو الـ 120 خلية (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	- 480
مجسم عشريني الوجوه عظيم ذو 120 خلية (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
مجسم متعدد الأوجه كبير مكون من 600 خلية (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
مجسم نجمي كبير ذو 120 خلية، متعدد السطوح النجمي الكبير (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0