دالة ويرشتراس الإهليلجية

في الرياضيات ، الدوال الإهليلجية لوييرستراس هي دوال إهليلجية تأخذ شكلًا بسيطًا بشكل خاص. وقد سميت على اسم كارل ويييرستراس . يُشار إلى هذه الفئة من الدوال أيضًا باسم الدوال ℘ ، وعادةً ما يُشار إليها بالرمز ℘، وهو نص فريد من نوعه p . تلعب دورًا مهمًا في نظرية الدوال الإهليلجية، أي الدوال متعددة الأشكال التي تكون دورية مزدوجة . يمكن استخدام الدالة ℘ مع مشتقها لتحديد معلمات المنحنيات الإهليلجية وتولد مجال الدوال الإهليلجية بالنسبة إلى شبكة فترة معينة.

لا يمكن تحديد معلمات مكعب من النموذج ، حيث هي أعداد مركبة مع ، بشكل منطقي . ^[1] ومع ذلك، لا يزال المرء يريد إيجاد طريقة لتحديد معلماته. ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

بالنسبة للدائرة التربيعية ، الدائرة الوحدوية ، يوجد معلمة (غير نسبية) باستخدام دالة الجيب ومشتقتها دالة جيب التمام: نظرًا لدورية الجيب وجيب التمام، يتم اختيار المجال، وبالتالي تكون الدالة ثنائية التقابل. ${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).}$$${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

وبطريقة مماثلة، يمكن الحصول على معلمة لـ عن طريق الدالة الدورية المزدوجة (انظر القسم "العلاقة بالمنحنيات الإهليلجية"). هذه المعلمة لها المجال ، وهو مكافئ طوبولوجيًا للطور . [ ^2]${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \mathbb {C} /\لامدا }$

هناك تشبيه آخر للدوال المثلثية. فكر في الدالة التكاملية ويمكن تبسيطها عن طريق استبدال و : وهذا يعني . لذا فإن دالة الجيب هي دالة عكسية لدالة تكاملية. ^[3]$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$${\displaystyle y=\sin t}$${\displaystyle s=\arcsin x}$$${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$

الدوال الإهليلجية هي الدوال العكسية للتكاملات الإهليلجية . وعلى وجه الخصوص، لنفترض أن: عندئذٍ يكون امتداد إلى المستوى المركب يساوي الدالة -. ^[4] تُستخدم هذه القدرة على العكس في التحليل المركب لتوفير حل لبعض المعادلات التفاضلية غير الخطية التي تلبي خاصية بينليفيه ، أي تلك المعادلات التي تقبل الأقطاب باعتبارها تفرداتها المتحركة الوحيدة . ^[5]$${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

ليكن عددان مركبان مستقلان خطيًا وليكن الشبكة الدورية الناتجة عن هذين العددين. عندئذٍ يتم تعريف الدالة - على النحو التالي :${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}: م،ن\في \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).}$

تتقارب هذه السلسلة محليًا بشكل موحد مطلقًا في الحلقة المعقدة . ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

من الشائع استخدام و في النصف العلوي من المستوى كمولدات للشبكة . يقوم القسمة على بربط الشبكة بشكل متماثل بالشبكة مع . لأنه يمكن استبداله بـ ، دون فقدان العمومية يمكننا افتراض ، ثم تعريف . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\textstyle \omega _{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

• ${\displaystyle \wp }$هي دالة متعددة الأشكال ذات قطب من الدرجة 2 في كل فترة في .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ${\displaystyle \wp }$هي دالة زوجية. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع ، والذي يمكن رؤيته بالطريقة التالية:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

تنطبق المساواة قبل الأخيرة لأن . وبما أن المجموع يتقارب بشكل مطلق فإن إعادة الترتيب هذه لا تغير الحد.${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• المشتقة تعطى بواسطة: ^[6]${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$وتكون دورية مزدوجة مع الفترات و . ^[6] وهذا يعني: أنه يتبع ذلك أن و لكل .${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

دع . إذن بالنسبة للدالة - يكون لها توسع لوران التالي حيث بالنسبة لما يسمى بمتسلسلة آيزنشتاين . ^[6]${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$$${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$${\displaystyle n\geq 3}$

ضع و . ثم تحقق الدالة - المعادلة التفاضلية ^[6] ويمكن التحقق من هذه العلاقة من خلال تكوين تركيبة خطية من قوى و لإزالة القطب عند . وهذا ينتج عنه دالة إهليلجية كاملة يجب أن تكون ثابتة وفقًا لنظرية ليوفيل . ^[6]${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$ $${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

تُعرف معاملات المعادلة التفاضلية أعلاه g ₂ و g _{3 باسم} الثوابت . ولأنها تعتمد على الشبكة، فيمكن اعتبارها دوال في و . ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

يشير توسيع السلسلة إلى أن g ₂ و g ₃ عبارة عن وظائف متجانسة من الدرجة −4 و−6. وهذا ينطبق على ^[7] بالنسبة إلى . $${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$ $${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

إذا تم اختيار و بطريقة تجعل g 2 _و g 3 _يمكن تفسيرهما كدالتين على النصف العلوي من المستوى . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

دع . يكون لدينا: ^[8] وهذا يعني أن g ₂ و g ₃ لا يمكن قياسهما إلا من خلال القيام بذلك. تُعرف الدوال Set و As في ما يلي بالأشكال المعيارية.${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ $${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$ $${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$$${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

يتم إعطاء سلسلة فورييه لـ و على النحو التالي: ^[9] حيث هي دالة القاسم و هي الاسم . ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$ $${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

يتم تعريف المميز النمطي Δ على أنه المميز للحدود المميزة للمعادلة التفاضلية على النحو التالي: المميز هو شكل نمطي للوزن 12. أي أنه تحت تأثير المجموعة النمطية ، فإنه يتحول على النحو التالي حيث مع ad  −  bc = 1. ^[10]$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

لاحظ أن حيث توجد دالة إيتا لـ Dedekind . ^[11]${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

بالنسبة لمعاملات فورييه ، انظر دالة رامانوجان تاو . ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle e_{1}}$، وعادة ما يتم استخدامها للإشارة إلى قيم الدالة - في نصف الفترات. وهي مميزة في أزواج وتعتمد فقط على الشبكة وليس على مولداتها. ^[12]${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$$${\displaystyle e_{1}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{2}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle e_{3}\equiv \wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$، و هي جذور كثيرة الحدود المكعبة و مرتبطة بالمعادلة: و لأن تلك الجذور متميزة فإن المميز لا يختفي في النصف العلوي من المستوى. ^[13] و الآن يمكننا إعادة كتابة المعادلة التفاضلية: و هذا يعني أن نصف الفترات هي أصفار لـ . ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$$${\displaystyle \Delta }$$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3}).}$$${\displaystyle \wp '}$

يمكن التعبير عن الثوابت و من حيث هذه الثوابت بالطريقة التالية: ^[14] ، و مرتبطة بدالة لامدا المعيارية : ${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$ $${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$$ $${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$$ ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$$

بالنسبة للعمل العددي، من المناسب غالبًا حساب دالة ويرشتراس الإهليلجية من حيث دوال جاكوبي الإهليلجية .

العلاقات الأساسية هي: ^[15] حيث و هي الجذور الثلاثة الموضحة أعلاه و حيث معامل k لوظائف جاكوبي يساوي وحجتها w تساوي $${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$${\displaystyle e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$$${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

يمكن تمثيل الوظيفة بواسطة وظائف ثيتا لجاكوبي : حيث هو الاسم و هي نسبة الفترة . ^[16] وهذا يوفر أيضًا خوارزمية سريعة جدًا لحساب . ${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$$${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$${\displaystyle \wp (z,\tau )}$

ضع في اعتبارك تضمين المنحنى المكعب في المستوى الإسقاطي المعقد

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

لا يوجد معلمة منطقية لهذا المكعب، إذا . ^[1] في هذه الحالة يُطلق عليه أيضًا منحنى إهليلجي. ومع ذلك، يوجد معلمة في الإحداثيات المتجانسة تستخدم الدالة - ومشتقها : ^[17]${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

الآن أصبحت الخريطة ثنائية الاتجاه وتحدد معلمات المنحنى الإهليلجي . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$هي مجموعة أبيلية ومساحة طوبولوجي ، مجهزة بطوبولوجيا الحاصل .

يمكن إثبات أن كل مكعب وايرشتراس معطى بهذه الطريقة. أي أنه لكل زوج مع يوجد شبكة ، بحيث ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$و . ^[18]${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

العبارة التي تنص على أن المنحنيات الإهليلجية يمكن تحديد معلماتها على ، تُعرف باسم نظرية الوحدات النمطية . وهي نظرية مهمة في نظرية الأعداد . وكانت جزءًا من إثبات أندرو وايلز (1995) لنظرية فيرما الأخيرة . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

دع ، بحيث . إذن لدينا: ^[19]${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$ $${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w).}$$

وكذلك صيغة التكرار: ^[19] $${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z).}$$

تحتوي هذه الصيغ أيضًا على تفسير هندسي، إذا نظرنا إلى المنحنى الإهليلجي مع التعيين كما في القسم السابق. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

يمكن ترجمة هيكل المجموعة إلى المنحنى ويمكن تفسيره هندسيًا هناك: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

مجموع ثلاث نقاط مختلفة في أزواج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت تقع على نفس الخط في . ^[20]${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

وهذا يعادل: حيث و . [ 21 ^]$${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0,}$$${\displaystyle \wp (u)=a}$${\displaystyle \wp (v)=b}$${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

عادة ما تُكتب دالة ويرشتراس الإهليلجية بحرف صغير خاص ℘، وهو تدوين ويرشتراس الخاص الذي قدمه في محاضراته في الفترة من 1862 إلى 1863. ^{[حاشية 1]} لا ينبغي الخلط بينه وبين الحروف الرياضية العادية P و𝒫 و𝓅.

في الحوسبة، يتوفر الحرف ℘ كما هو الحال \wpفي TeX . وفي Unicode، تكون نقطة الرمز هي U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P ( ℘, ℘ )، مع الاسم المستعار الأكثر صحة weierstrass elliptic function . ^{[حاشية 2]} وفي HTML ، يمكن الإفلات منه على هيئة . ℘

معلومات عن الشخصية

معاينة	℘
اسم يونيكود	حرف كبير في النص P / دالة ويرشتراس الإهليلجية
الترميزات	عشري	عرافة
يونيكود	8472	يو+2118
UTF-8	226 132 152	ه2 84 98
مرجع الأحرف الرقمية	"	℘
مرجع الأحرف المسماة	&وييرب;، &ووب;

• وظائف ويرشتراس
• دوال جاكوبي الإهليلجية
• الدوال الإهليلجية

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 18". دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة مع تصحيحات إضافية للطبعة الأصلية العاشرة مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 627. رقم ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• NI Akhiezer ، عناصر نظرية الدوال الإهليلجية ، (1970) موسكو، مترجم إلى الإنجليزية تحت عنوان AMS Translations of Mathematical Monographs، المجلد 79 (1990)، AMS، رود آيلاند، ISBN 0-8218-4532-2 
• توم م. أبوستول ، الدوال المعيارية وسلسلة دي ريتشليت في نظرية الأعداد، الطبعة الثانية (1990)، سبرينغر، نيويورك ISBN 0-387-97127-0 (انظر الفصل الأول). 
• K. Chandrasekharan، الوظائف الإهليلجية (1980)، Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 
• كونراد كنوب ، نظرية الوظائف الثانية (1947)، منشورات دوفر؛ أعيد نشرها بالترجمة الإنجليزية تحت عنوان نظرية الوظائف (1996)، منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-69219-1 
• سيرج لانج ، الدوال الإهليلجية (1973)، أديسون ويسلي، ISBN 0-201-04162-6 
• ET Whittaker و GN Watson ، دورة في التحليل الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 1952، الفصلان 20 و 21

• "الدوال الإهليلجية لـ Weierstrass"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وظائف ويرشتراس الإهليلجية على Mathworld.
• الفصل 23، وظائف ويرشتراس الإهليلجية والوحداتية في DLMF ( المكتبة الرقمية للوظائف الرياضية ) بقلم WP Reinhardt و PL Walker.
• دالة Weierstrass P ومشتقها تم تنفيذها بلغة C بواسطة David Dumas