الرنين الصوتي

يوضح الجدول أدناه موجات الإزاحة في أسطوانة مغلقة من كلا الطرفين. لاحظ أن جزيئات الهواء القريبة من الطرفين المغلقين لا تتحرك، بينما تتحرك الجزيئات القريبة من مركز الأنبوب بحرية. في التوافقي الأول، يحتوي الأنبوب المغلق على نصف موجة مستقرة (عقدة - بطن عقدة - عقدة). عند النظر إلى موجة الضغط في هذا الترتيب، يمثل الطرفان المغلقان بطني عقدة لتغير الضغط Δp ؛ لذلك، عند كلا الطرفين، يجب أن يكون لتغير الضغط Δp أقصى سعة (أو يحقق المعادلة ∂(Δp)/∂x = 0 بصيغة ستورم-ليوفيل )، مما يعطي معادلة موجة الضغط:${\displaystyle \Delta p(x,t)=p_{\text{max}}\cos \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t)}$يكمن المنطق وراء شرط الحدّ ∂(Δp)/∂x = 0 عند x = 0 و x = L في أن ضغط الأطراف المغلقة سيتبع ضغط النقطة المجاورة لها. بتطبيق شرط الحدّ ∂(Δp)/∂x = 0 عند x = L، نحصل على أطوال موجات الموجات المستقرة.

${\displaystyle \lambda ={\frac {2L}{n}};n=1,2,3,...}$

والترددات الرنانة هي

${\displaystyle f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {nv}{2L}}.}$

تكرار	طلب	الاسم 1	الاسم 2	الاسم 3	تمثيل الموجة	التمثيل الجزيئي
1 · f = 440 هرتز	ن = 1	الجزء الأول	النغمة الأساسية	التوافقي الأول
2 · f = 880 هرتز	ن = 2	الجزء الثاني	النغمة التوافقية الأولى	التوافقي الثاني
3 · f = 1320  هرتز	ن = 3	الجزء الثالث	النغمة التوافقية الثانية	التوافقي الثالث
4 · f = 1760  هرتز	ن = 4	الجزء الرابع	النغمة التوافقية الثالثة	التوافقي الرابع

في الأسطوانات المفتوحة الطرفين، تتحرك جزيئات الهواء القريبة من الطرفين بحرية داخل وخارج الأنبوب. ينتج عن هذه الحركة عقد إزاحة في الموجة المستقرة. تميل العقد إلى التكوّن داخل الأسطوانة، بعيدًا عن الطرفين. في التوافقي الأول، يحتوي الأنبوب المفتوح على نصف موجة مستقرة تمامًا (عقدة-عقدة-عقدة). وبالتالي، تُحسب توافقيات الأسطوانة المفتوحة بنفس طريقة حساب توافقيات الأسطوانة المغلقة.

تُشرح فيزياء الأنبوب المفتوح من كلا الطرفين في موقع "Physics Classroom" . لاحظ أن الرسوم البيانية في هذا المرجع تُظهر موجات إزاحة، مشابهة لتلك الموضحة أعلاه. وتختلف هذه الموجات اختلافًا كبيرًا عن موجات الضغط الموضحة قرب نهاية هذه المقالة.

عن طريق النفخ الزائد في أنبوب مفتوح، يمكن الحصول على نغمة أعلى بأوكتاف من التردد أو النغمة الأساسية للأنبوب. على سبيل المثال، إذا كانت النغمة الأساسية لأنبوب مفتوح هي دو1، فإن النفخ الزائد في الأنبوب ينتج دو2، وهي أعلى بأوكتاف من دو1. ^{[ 5 ]}

ترن الأنابيب الأسطوانية المفتوحة عند الترددات التقريبية التالية:

${\displaystyle f={nv \over 2L}}$

حيث n عدد صحيح موجب (1، 2، 3، ...) يمثل عقدة الرنين، وL طول الأنبوب، و v سرعة الصوت في الهواء (والتي تبلغ حوالي 343 مترًا في الثانية [770 ميلًا في الساعة] عند 20 درجة مئوية [68 درجة فهرنهايت] ). تُستمد هذه المعادلة من شروط الحدود لموجة الضغط، والتي تُعامل الأطراف المفتوحة كعقد ضغط حيث يجب أن يكون التغير في الضغط Δp مساويًا للصفر.    

فيما يلي معادلة أكثر دقة تأخذ في الاعتبار تصحيح النهاية :

${\displaystyle f={nv \over 2(L+0.6d)}}$

حيث يمثل r نصف قطر أنبوب الرنين. تعوض هذه المعادلة حقيقة أن النقطة الدقيقة التي تنعكس عندها الموجة الصوتية عند الطرف المفتوح لا تقع تمامًا عند نهاية الأنبوب، بل على مسافة صغيرة خارجه.

نسبة الانعكاس أقل بقليل من 1؛ الطرف المفتوح لا يتصرف مثل مقاومة صوتية متناهية الصغر ؛ بل له قيمة محدودة تسمى مقاومة الإشعاع، والتي تعتمد على قطر الأنبوب، والطول الموجي، ونوع لوحة الانعكاس التي ربما تكون موجودة حول فتحة الأنبوب.

إذن عندما تكون قيمة n تساوي 1:

${\displaystyle f={v \over 2(L+0.6d)}}$

${\displaystyle {f(2(L+0.6d))}=v}$

${\displaystyle {f\lambda }=v}$

${\displaystyle \lambda ={2(L+0.6d)}}$

حيث v هي سرعة الصوت، و L هو طول الأنبوب الرنيني، و d هو قطر الأنبوب، و f هو تردد الصوت الرنيني، و λ هو الطول الموجي الرنيني.

عند استخدامها في آلة الأرغن، تُسمى الأنبوبة المغلقة من أحد طرفيها "أنبوبة مغلقة". تتميز هذه الأنابيب بتردد أساسي، ولكن يمكن نفخها بشكل مفرط لإنتاج ترددات أو نغمات أعلى. ويمكن ضبط هذه النغمات المنفوخة بشكل مفرط باستخدام درجات مختلفة من التناقص المخروطي. يرنّ الأنبوب المغلق عند نفس التردد الأساسي للأنبوب المفتوح الذي يبلغ ضعف طوله، بطول موجي يساوي أربعة أضعاف طوله. في الأنبوب المغلق، تظهر دائمًا عقدة إزاحة ، أو نقطة انعدام الاهتزاز، عند الطرف المغلق، وإذا كان الأنبوب يرنّ، فسيكون له بطن إزاحة ، أو نقطة أقصى اهتزاز، عند النقطة فاي (الطول × 0.618) بالقرب من الطرف المفتوح.

عن طريق النفخ الزائد في أنبوب أسطواني مغلق، يمكن الحصول على نغمة أعلى بمقدار 12 درجة تقريبًا من النغمة الأساسية للأنبوب، أو بمقدار 5 درجات أعلى من أوكتاف النغمة الأساسية. على سبيل المثال، إذا كانت النغمة الأساسية لأنبوب مغلق هي دو1 (C1)، فإن النفخ الزائد في الأنبوب يُنتج نغمة صول2 (G2)، وهي أعلى بمقدار 12 درجة من دو1. أو يمكننا القول إن صول2 أعلى بمقدار 5 درجات من دو2 (C2) - الأوكتاف الأعلى من دو1. يُمكن ضبط التوافقي الثاني أو النغمة المنفوخة بشكل زائد بالقرب من موضع الأوكتاف أو الدرجة الثامنة عن طريق ضبط مخروط الأنبوب المتناقص. ^{[ 6 ]} يؤدي فتح "فتحة مكبر صوت" صغيرة عند نقطة فاي، أو موضع "الموجة/العقدة" المشترك، إلى إلغاء التردد الأساسي وإجبار الأنبوب على الرنين عند 12 درجة أعلى من التردد الأساسي. تُستخدم هذه التقنية في آلة التسجيل عن طريق فتح فتحة الإبهام الظهرية. بتحريك هذه الفتحة الصغيرة للأعلى، بالقرب من موضع الصوت، ستصبح "فتحة صدى" (تعديل على مسجل دولمتش) تُصدر نصف نغمة دقيقة أعلى من النغمة الأساسية عند فتحها. ملاحظة: يلزم تعديل طفيف في الحجم أو القطر للوصول إلى تردد نصف النغمة بدقة. ^{[ 5 ]}

سيكون للأنبوب المغلق ترددات رنين تقريبية كالتالي:

${\displaystyle f={nv \over 4L}}$

حيث "n" هنا عدد فردي (1، 3، 5، ...). يُنتج هذا النوع من الأنابيب توافقيات فردية فقط، ويكون تردده الأساسي أقل بأوكتاف من تردد الأسطوانة المفتوحة (أي نصف التردد). هذه المعادلة مستمدة من الشروط الحدية لموجة الضغط، والتي تُعامل الطرف المغلق كعقد ضغط حيث يجب أن يكون لتغير الضغط Δp أقصى سعة، أو أن يحقق المعادلة ∂(Δp)/∂x = 0 بصيغة ستورم-ليوفيل . يكمن التفسير البديهي لهذا الشرط الحدي ∂(Δp)/∂x = 0 عند x = L في أن ضغط الطرف المغلق سيتبع ضغط النقطة المجاورة له.

فيما يلي معادلة أكثر دقة تأخذ في الاعتبار تصحيح النهاية :

${\displaystyle f={nv \over 4(L+0.3d)}}$.

ومرة أخرى، عندما تكون قيمة n تساوي 1:

${\displaystyle f={v \over 4(L+0.3d)}}$

${\displaystyle {f(4(L+0.3d))}=v}$

${\displaystyle {f\lambda }=v}$

${\displaystyle \lambda ={4(L+0.3d)}}$

حيث v هي سرعة الصوت، و L هو طول الأنبوب الرنيني، و d هو قطر الأنبوب، و f هو تردد الصوت الرنيني، و λ هو الطول الموجي الرنيني.

يوضح الشكلان أدناه الرنينات الثلاثة الأولى لموجة الضغط في أنبوب أسطواني، مع وجود عقد عند الطرف المغلق للأنبوب. في الشكل 1، الأنبوب مفتوح من كلا الطرفين. في الشكل 2، الأنبوب مغلق من أحد طرفيه. يمثل المحور الأفقي الضغط. لاحظ أنه في هذه الحالة، يمثل الطرف المفتوح للأنبوب عقدة ضغط، بينما يمثل الطرف المغلق عقدة ضغط.

• 
  1
• 
  2