مجموعة منتهية

في الرياضيات ، المجموعة المنتهية هي مجموعة طوبولوجية يتم تجميعها بمعنى معين من نظام من المجموعات المنتهية .

تكمن فكرة استخدام الزمرة شبه المنتهية في توفير رؤية "موحدة" أو "شاملة" لنظام كامل من الزمر المنتهية. وبشكل عام، تُعد خصائص الزمرة شبه المنتهية خصائص موحدة للنظام. على سبيل المثال، تكون الزمرة شبه المنتهية مولدة توليداً منتهياً (كزمرة طوبولوجية) إذا وفقط إذا وُجد${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$بحيث يمكن إنشاء كل مجموعة في النظام بواسطة${\displaystyle d}$^{[ 1 ]} يمكن تعميم العديد من النظريات المتعلقة بالمجموعات المنتهية بسهولة على المجموعات شبه المنتهية؛ ومن الأمثلة على ذلك نظرية لاغرانج ونظريات سيلو . ^{[ 2 ]}

لبناء زمرة شبه منتهية، نحتاج إلى نظام من الزمر المنتهية وتشاكلات الزمر بينها. وبدون فقدان للعمومية، يمكن افتراض أن هذه التشاكلات شاملة ، وفي هذه الحالة ستظهر الزمر المنتهية كزمر خارج القسمة للزمرة شبه المنتهية الناتجة؛ بمعنى ما، تُقارب هذه الزمر شبه المنتهية الزمرة شبه المنتهية.

من الأمثلة المهمة على الزمر المنتهية الزمر الجمعية لـ${\displaystyle p}$الأعداد الصحيحة -adic ومجموعات غالوا لامتدادات الحقول ذات الدرجة اللانهائية .

كل زمرة منتهية هي زمرة متراصة ومنفصلة تمامًا . ومن التعميمات غير المتراصة لهذا المفهوم الزمر المتراصة محليًا . أما الزمر المنفصلة تمامًا فهي أكثر عمومية .

يمكن تعريف المجموعات المنتهية بطريقتين متكافئتين.

• تكون المجموعات المنتهية مجموعات منتهية، إذا أعطيت لها الطوبولوجيا المنفصلة .
• مجموعة${\displaystyle p}$الأعداد الصحيحة -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$تحت عملية الجمع، تكون المجموعة منتهية (في الواقع ، دورية ). وهي النهاية العكسية للمجموعات المنتهية.${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$أين${\displaystyle n}$نطاقات تشمل جميع الأعداد الطبيعية والخرائط الطبيعية${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ل${\displaystyle n\geq m.}$إن الطوبولوجيا على هذه المجموعة المنتهية هي نفسها الطوبولوجيا الناشئة من${\displaystyle p}$التقييم -adic على${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• مجموعة الأعداد الصحيحة المنتهية${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$هو الإتمام النهائي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$بالتفصيل، هي النهاية العكسية للمجموعات المنتهية${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$أين${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$باستخدام خرائط المودولو${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ل${\displaystyle m\,|\,n.}$هذه المجموعة هي نتاج جميع المجموعات${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$وهي مجموعة غالوا المطلقة لأي حقل منتهٍ .
• تُنتج نظرية غالوا لامتدادات الحقول ذات الدرجة اللانهائية بشكل طبيعي مجموعات غالوا المنتهية. على وجه التحديد، إذا${\displaystyle L/K}$هو امتداد غالوا ، ضع في اعتبارك المجموعة${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$يتألف من جميع التشاكلات الذاتية للحقول لـ${\displaystyle L}$التي تحافظ على جميع عناصر${\displaystyle K}$ثابتة. هذه المجموعة هي النهاية العكسية للمجموعات المنتهية${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$أين${\displaystyle F}$تتراوح على جميع الحقول الوسيطة بحيث${\displaystyle F/K}$هو امتداد غالوا محدود . بالنسبة لعملية النهاية، فإن تشاكلات التقييد${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$تُستخدم، حيث${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$الطوبولوجيا التي تم الحصول عليها على${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$تُعرف باسم طوبولوجيا كرول نسبةً إلى فولفغانغ كرول . وقد بيّن ووترهاوس (1974) أن كل زمرة منتهية متماثلة مع زمرة ناشئة عن نظرية غالوا لحقل ما .${\displaystyle K,}$لكن لا يمكن للمرء (حتى الآن) التحكم في أي مجال${\displaystyle K}$سيكون الأمر كذلك في هذه الحالة. في الواقع، بالنسبة للعديد من المجالات${\displaystyle K}$لا يُعرف بشكل عام أي المجموعات المنتهية تظهر كمجموعات غالوا على وجه التحديد${\displaystyle K.}$هذه هي مسألة غالوا العكسية لحقل ما ${\displaystyle K.}$(في بعض المجالات)${\displaystyle K}$تم حل مسألة غالوا العكسية، مثل حقل الدوال الكسرية في متغير واحد على الأعداد المركبة.) لا تظهر كل مجموعة منتهية كمجموعة غالوا مطلقة لحقل ما. ^{[ 6 ]}
• تُعتبر الزمر الأساسية الإيتالية التي تُدرس في الهندسة الجبرية زمرًا منتهية، وذلك لأن الجبر لا يستطيع "رؤية" سوى الأغطية المنتهية لتنوع جبري . أما الزمر الأساسية في الطوبولوجيا الجبرية ، فهي عمومًا ليست منتهية: فلكل زمرة مُحددة، يوجد مُركب CW ثنائي الأبعاد تُساوي زمرته الأساسية تلك الزمرة.
• مجموعة التشاكل الذاتي لشجرة جذرية محدودة محليًا هي مجموعة محدودة.

• كل حاصل ضرب (عدد غير محدود) من الزمر المنتهية هو زمرة منتهية؛ وتتوافق الطوبولوجيا الناشئة عن الانتهائية مع طوبولوجيا الضرب . النهاية العكسية لنظام عكسي من الزمر المنتهية ذات دوال الانتقال المتصلة هي زمرة منتهية، ودالة النهاية العكسية دقيقة على فئة الزمر المنتهية. علاوة على ذلك، فإن الانتهائية خاصية امتداد.
• كل زمرة جزئية مغلقة من زمرة منتهية هي زمرة منتهية بحد ذاتها؛ وتتوافق الطوبولوجيا الناشئة عن كونها منتهية مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي .${\displaystyle N}$هي زمرة جزئية طبيعية مغلقة من زمرة منتهية${\displaystyle G,}$ثم مجموعة العوامل${\displaystyle G/N}$هي محدودة؛ والطوبولوجيا الناشئة عن عدم التحديد تتفق مع طوبولوجيا القسمة .
• بما أن كل مجموعة منتهية${\displaystyle G}$إذا كانت هاوسدورف متراصة، فإنه يوجد مقياس هار على${\displaystyle G,}$مما يسمح لنا بقياس "حجم" مجموعات فرعية من${\displaystyle G,}$حساب احتمالات معينة ، وتكامل الدوال على${\displaystyle G.}$
• تكون المجموعة الفرعية من مجموعة منتهية مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ولها دليل منتهٍ .
• وفقًا لنظرية نيكولاي نيكولوف ودان سيغال ، في أي زمرة شبه منتهية مولدة طوبولوجيًا (أي زمرة شبه منتهية لها زمرة جزئية كثيفة مولدة طوبولوجيًا)، تكون الزمر الجزئية ذات الدليل المحدود مفتوحة. وهذا تعميم لنتيجة مماثلة سابقة لجان بيير سير للزمر شبه المنتهية المولدة طوبولوجيًا .${\displaystyle p}$المجموعات . يستخدم البرهان تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية .
• كنتيجة سهلة لنتيجة نيكولوف-سيغال المذكورة أعلاه، فإن أي تشاكل مجموعة منفصلة شاملة${\displaystyle \varphi :G\to H}$بين المجموعات المحدودة${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$يكون مستمراً طالما${\displaystyle G}$هي مولدة طوبولوجيًا بشكل منتهٍ. في الواقع، أي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle H}$لها دليل محدود، لذا فإن صورتها العكسية في${\displaystyle G}$كما أن لها فهرسًا محدودًا، وبالتالي يجب أن تكون مفتوحة.
• يفترض${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$هي زمر منتهية مولدة طوبولوجيًا ومتماثلة كزمر منفصلة بواسطة تماثل${\displaystyle \iota .}$ثم${\displaystyle \iota }$تكون الدالة تقابلية ومستمرة وفقًا للنتيجة المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك،${\displaystyle \iota ^{-1}}$وهي متصلة أيضًا، لذا${\displaystyle \iota }$هو تماثل شكلي . لذلك فإن الطوبولوجيا على مجموعة منتهية طوبولوجيًا يتم تحديدها بشكل فريد من خلال بنيتها الجبرية .

يوجد مفهوم المجموعة غير المنتهية ، وهو المفهوم المقابل للمجموعات غير المنتهية؛ أي مجموعة${\displaystyle G}$تكون المجموعة ذات حدّ استقرائي منتهٍ إذا كانت النهاية المباشرة لنظام استقرائي من الزمر المنتهية. (وبالتحديد، هي زمرة ذات حدّ استقرائي ). المصطلحات الشائعة مختلفة: زمرة${\displaystyle G}$يُطلق عليها اسم "محلية منتهية" إذا كانت كل مجموعة جزئية مولدة نهائياً منتهية. وهذا يكافئ، في الواقع، كونها "منتهية-مستقلة".

بتطبيق ازدواجية بونترياجين ، يمكن ملاحظة أن الزمر الأبيلية المنتهية متماثلة مع الزمر الأبيلية المنفصلة ذات النهاية المحلية. وهذه الأخيرة هي ببساطة زمر الالتواء الأبيلية .

المجموعة المنتهية هييكون قابلاً للإسقاط إذا كان يتمتعبخاصية الرفعلكل امتداد. وهذا يعادل القول بأن${\displaystyle G}$تكون إسقاطية إذا كان لكل تشاكل شامل من مجموعة منتهية${\displaystyle H\to G}$يوجد قسم${\displaystyle G\to H.}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

خاصية الإسقاط لمجموعة منتهية${\displaystyle G}$يعادل أيًا من الخاصيتين التاليتين: ^{[ 7 ]}

• البعد الكوهومولوجي${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• لكل عدد أولي${\displaystyle p}$سيلو${\displaystyle p}$- مجموعات فرعية من${\displaystyle G}$خدمات مجانية${\displaystyle p}$-مجموعات.

يمكن تمثيل كل زمرة إسقاطية منتهية كزمرة غالوا مطلقة لحقل شبه مغلق جبريًا . هذه النتيجة تعود إلى ألكسندر لوبوتزكي ولو فان دن دريس . ^{[ 9 ]}

مجموعة منتهية${\displaystyle G}$يكوندورية إذا تم توليدها طوبولوجيًا بواسطة عنصر واحد${\displaystyle \sigma$ أي إذا${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$إغلاق المجموعة الفرعية${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$^{[ 10 ]}

مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$تكون الدورة متقدمة إذا وفقط إذا${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$أين${\displaystyle p}$نطاقات على مجموعة من الأعداد الأولية${\displaystyle S}$و${\displaystyle G_{p}}$متماثل مع إما${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$أو${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$^{[ 11 ]}

• إتمام هاوسدورف
• مجموعة حلقية محلية
• مجموعة مؤيدة​
• العدد الصحيح المنتهي – مفهوم في نظرية الأعداد 
• الخاصية المتبقية (الرياضيات)
• الزمرة المتبقية المنتهية – نوع من الزمر الرياضية 

• فرايد، مايكل د . جاردن، موشيه (2008). الحساب الميداني . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. المجلد.  11 (  الطبعة الثالثة المنقحة). سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 . 
• نيكولوف، نيكولاي؛ سيغال، دان (2007)، "حول المجموعات البروفينيتية المولدة نهائيًا، الجزء الأول: الاكتمال القوي والحدود المنتظمة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 165 (1): 171-238 ، arXiv : math.GR/0604399 ، doi : 10.4007/annals.2007.165.171.
• نيكولوف، نيكولاي؛ سيغال، دان (2007)، "حول الزمر شبه المنتهية المولدة نهائيًا، الجزء الثاني: المنتجات في الزمر شبه البسيطة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 165 (1): 239-273 ، arXiv : math.GR/0604400 ، doi : 10.4007/annals.2007.165.239.
• لينسترا، هندريك (2003)، المجموعات Profinite (PDF) ، محاضرة ألقاها في Oberwolfach.
• لوبوتزكي، ألكسندر (2001)، "مراجعة كتاب"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 38 (4): 475-479 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4مراجعة لعدة كتب حول المجموعات المنتهية.
• سيري ، جان بيير (1994)، Cohomologie galoisienne ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (بالفرنسية)، المجلد.  5 (5  ed.)، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-58002-7، MR 1324577 ، Zbl 0812.12002  . سيري ، جان بيير (1997)، علم تشابه جالوا ، ترجمة باتريك إيون، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-61990-9، Zbl 0902.12004 
• ووترهاوس، ويليام سي. (1974)، "المجموعات المنتهية هي مجموعات غالوا"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 42 (2)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 639-640 ، doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0325587-3 ، JSTOR 2039560 ، Zbl 0281.20031  .