الصيغة الثنائية الخطية

كل شكل ثنائي الخطية B على V يُعرّف زوجًا من التطبيقات الخطية من V إلى فضائه الثنائي V ^* . عرّف B1 _و B2 : V → V ^* كما يلي _:

يُشار إلى هذا غالبًا باسم

حيث تشير النقطة (⋅) إلى الفتحة التي سيتم وضع وسيط الدالة الخطية الناتجة فيها (انظر Currying ).

في فضاء متجهي V _ذي أبعاد منتهية ، إذا كان أي من B1 أو B2 متماثلاً، فإن كليهما متماثل، ويُقال إن الشكل الثنائي الخطي B غير منحل . وبشكل أكثر تحديدًا، في فضاء متجهي _ذي أبعاد منتهية، يعني عدم الانحلال أن كل عنصر غير صفري يقترن بشكل غير تافه مع عنصر آخر.

${\displaystyle B(x,y)=0}$للجميع${\displaystyle y\in V}$وهذا يعني أن x = 0 و

${\displaystyle B(x,y)=0}$للجميع${\displaystyle x\in V}$وهذا يعني أن y = 0 .

المفهوم المقابل لوحدة نمطية على حلقة تبديلية هو أن الشكل الثنائي الخطي هوتكون الوحدة أحادية النمط إذا كان V → V ^* تشاكلاً. وبالنظر إلى وحدة مولدة نهائياً على حلقة تبديلية، قد يكون الاقتران حقنياً (وبالتالي "غير منحل" بالمعنى المذكور أعلاه) ولكنه ليس أحادي النمط. على سبيل المثال، على مجموعة الأعداد الصحيحة، يكون الاقتران B ( x , y ) = 2xy غير منحل ولكنه ليس أحادي النمط، لأن التطبيق المستحث من V = Z إلى V ^* = Z هو ضرب في 2.

إذا كانت V ذات أبعاد منتهية _، فيمكن تعريف V على أنها ثنائيتها المزدوجة V ^** . ويمكن حينها إثبات أن B2 هي منقولة التطبيق الخطي B1 (إذا كانت V ذات أبعاد غير منتهية، فإن B2 هي منقولة B1 مقيدة بصورة V في V ** ) _. وبمعرفة B ، يمكن _تعريف منقولة B ^بأنها _الصيغة الثنائية الخطية المعطاة بـ

الجذر الأيسر والجذر الأيمن من الشكل B هما نواتا B 1 و B ₂ على التوالي؛ ^[ ₂ ^] وهما متجهان متعامدان على الفضاء بأكمله من اليسار ومن اليمين ^{. [ 3 ]}

إذا كان الفضاء V محدود الأبعاد، فإن _رتبة B₁ تساوي رتبة B₂ _{. إذا كانت} هذه الرتبة تساوي بُعد V ، فإن B₁ و B₂ هما تماثلان خطيان من V إلى V ^* . في هذه الحالة، يكون B غير منحل. وبحسب نظرية الرتبة-العدمية ، فإن هذا يكافئ شرط أن يكون الجذر الأيسر، والجذر الأيمن المكافئ له _، تافهين. بالنسبة للفضاءات محدودة الأبعاد، يُعتبر هذا غالبًا تعريفًا لعدم الانحلال.

بفرض أي تطبيق خطي A  : V → V ^∗، يمكن الحصول على شكل ثنائي الخطية B على V عبر

سيكون هذا الشكل غير منحل إذا وفقط إذا كان A متماثلاً.

إذا كانت V ذات أبعاد منتهية ، فإن الشكل الثنائي الخطي، بالنسبة إلى أساس معين لـ V ، يكون منحلاً إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة المرتبطة به يساوي صفرًا. وبالمثل، فإن الشكل غير المنحل هو الشكل الذي يكون فيه محدد المصفوفة المرتبطة به غير صفري (أي أن المصفوفة غير منفردة ). هذه العبارات مستقلة عن الأساس المختار. بالنسبة لوحدة نمطية على حلقة تبديلية، فإن الشكل أحادي الوحدة هو الشكل الذي يكون فيه محدد المصفوفة المرتبطة به يساوي واحدًا (على سبيل المثال 1)، ومن هنا جاء المصطلح؛ لاحظ أن الشكل الذي يكون محدد مصفوفته غير صفري ولكنه ليس واحدًا سيكون غير منحل ولكنه ليس أحادي الوحدة، على سبيل المثال B ( x , y ) = 2xy على الأعداد الصحيحة.

نُعرّف الشكل الثنائي الخطي على النحو التالي:

• متناظر إذا كان B ( v , w ) = B ( w , v ) لجميع v , w في V ؛
• بالتناوب إذا كان B ( v , v ) = 0 لجميع v في V ؛
• متماثل معكوس أومضاد للتناظر إذا كان B ( v , w ) = − B ( w , v )لجميع v , w فيV؛

  اقتراح

  كل شكل متناوب يكون متناظرًا بشكل معكوس.

  دليل

  ويمكن ملاحظة ذلك من خلال توسيع B ( v + w , v + w ) .

إذا لم تكن خاصية K تساوي 2 ، فإن العكس صحيح أيضًا: كل شكل متناظر معكوس يكون متناوبًا. مع ذلك، إذا كانت خاصية K تساوي 2، فإن الشكل المتناظر معكوسًا يكون مماثلًا للشكل المتناظر، وتوجد أشكال متناظرة/متناظرة معكوسة ليست متناوبة.

تكون الصيغة الثنائية الخطية متناظرة (أو شبه متناظرة) إذا وفقط إذا كانت مصفوفة إحداثياتها (بالنسبة لأي أساس) متناظرة (أو شبه متناظرة ). وتكون الصيغة الثنائية الخطية متناوبة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة إحداثياتها شبه متناظرة وكانت جميع عناصر القطر الرئيسي أصفارًا (وهذا ما ينتج عن شبه التناظر عندما يكون char( K ) ≠ 2 ).

_{تكون الصيغة الثنائية الخطية متناظرة إذا وفقط إذا كانت} الدالتان B1 _و B2 : V → V ^* متساويتين، وتكون متناظرة عكسيًا إذا وفقط إذا كانتا معكوسة لبعضهما البعض. إذا كان char( K ) ≠ 2 ، فيمكن تحليل الصيغة الثنائية الخطية إلى جزء متناظر وجزء متناظر عكسيًا كما يلي $${\displaystyle B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),}$$ حيث ^t B هي منقولة B (المحددة أعلاه).

تكون الصيغة الثنائية الخطية B انعكاسية إذا وفقط إذا كانت متناظرة أو متناوبة. ^{[ 4 ]} في حالة عدم الانعكاسية، يجب التمييز بين التعامد الأيسر والتعامد الأيمن. في الفضاء الانعكاسي، يتطابق الجذران الأيسر والأيمن ويُطلق عليهما نواة أو جذر الصيغة الثنائية الخطية: وهو الفضاء الجزئي لجميع المتجهات المتعامدة مع أي متجه آخر. يكون المتجه v ، ذو التمثيل المصفوفي x ، في جذر صيغة ثنائية خطية ذات تمثيل مصفوفي A ، إذا وفقط إذا كان Ax = 0 ⇔ x ^∈ A = 0. الجذر دائمًا فضاء جزئي من V. وهو تافه إذا وفقط إذا كانت المصفوفة A غير منفردة، وبالتالي إذا وفقط إذا كانت الصيغة الثنائية الخطية غير منعدمة.

لنفترض أن W فضاء جزئي. عرّف المتمم المتعامد ^{[ 5 ]}$${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ لجميع }}\mathbf {w} \in W\right\}.}$$

بالنسبة لشكل غير منحل على فضاء محدود الأبعاد، فإن الخريطة V/W → W ^⊥ هي تقابلية ، ويكون بُعد W ^⊥ هو dim( V ) − dim( W ) .

التعريف: يكون الشكل الثنائي الخطي على فضاء متجه معياري ( V , ‖⋅‖) محدودًا ، إذا كان هناك ثابت C بحيث يكون لكل u و v ∈ V ، $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

التعريف: يكون الشكل الثنائي الخطي على فضاء متجه معياري ( V , ‖⋅‖) إهليلجيًا ، أو قسريًا ، إذا كان هناك ثابت c > 0 بحيث يكون لكل u ∈ V ، $${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.}$$

تتوفر الكثير من النظريات المتعلقة بالتحويل الثنائي الخطي من فضاءين متجهيين على نفس الحقل الأساسي إلى ذلك الحقل.

لا تزال لدينا هنا تطبيقات خطية مستحثة من V إلى W ^* ، ومن W إلى V ^* . قد يحدث أن تكون هذه التطبيقات متماثلة؛ وبافتراض أبعاد محدودة، إذا كان أحدهما متماثلاً، فلا بد أن يكون الآخر كذلك. عندما يحدث هذا، يُقال إن B اقتران تام .

في الأبعاد المحدودة، يُكافئ هذا كون الاقتران غير مُنحط (أي أن الفضاءات لها بالضرورة نفس الأبعاد). بالنسبة للوحدات (بدلاً من الفضاءات المتجهة)، وكما أن الشكل غير المُنحط أضعف من الشكل أحادي الوحدة، فإن الاقتران غير المُنحط مفهوم أضعف من الاقتران التام. يمكن أن يكون الاقتران غير مُنحط دون أن يكون اقترانًا تامًا، على سبيل المثال، Z × Z → Z عبر ( x , y ) ↦ 2xy غير مُنحط، ولكنه يُؤدي إلى الضرب في 2 على التطبيق Z → Z ^* .

تختلف المصطلحات المستخدمة في شرح الأشكال الثنائية الخطية. على سبيل المثال، يناقش ف. ريس هارفي "ثمانية أنواع من الضرب الداخلي". ^{[ 6 ]} ولتعريفها، يستخدم المصفوفات القطرية A _{_ij} التي تحتوي على +1 أو -1 فقط للعناصر غير الصفرية. بعض "الضربات الداخلية" هي أشكال تماثلية، وبعضها أشكال نصف خطية أو أشكال هيرميتية . وبدلاً من حقل عام K ، يتم تحديد الحالات التي تحتوي على الأعداد الحقيقية R ، والأعداد المركبة C ، والأعداد الرباعية H. الشكل الثنائي الخطي$${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$$ يُطلق عليها الحالة المتناظرة الحقيقية ويُرمز لها بـ R ( p , q ) ، حيث p + q = n . ثم يوضح العلاقة بالمصطلحات التقليدية: ^{[ 7 ]}

تُعدّ بعض الحالات المتناظرة الحقيقية بالغة الأهمية. تُسمى الحالة الموجبة المحددة R ( n , 0) بالفضاء الإقليدي ، بينما تُسمى حالة السالب الواحد R ( n -1, 1) بالفضاء اللورنتزي . إذا كان n = 4 ، يُسمى الفضاء اللورنتزي أيضًا بفضاء مينكوفسكي أو فضاء مينكوفسكي الزمني . أما الحالة الخاصة R ( p , p ) فتُسمى بالحالة المنفصلة .

إذا كان لدينا حلقة R ووحدة نمطية يمنى على R، M ووحدتها الثنائية M ^* ، فإن التطبيق B  : M ^* × M → R يُسمى شكلاً ثنائي الخطية إذا

لكل u و v ∈ M ^∗ ، وكل x و y ∈ M وكل α و β ∈ R .

يُعرف التطبيق ⟨⋅,⋅⟩  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ u ( x ) باسم الاقتران الطبيعي ، ويسمى أيضًا الشكل الثنائي الخطي المتعارف عليه على M ^∗ × M . ^{[ 8 ]}

يؤدي التطبيق الخطي S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ S ( u ) إلى الشكل الثنائي الخطي B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ S ( u ), x ⟩ ، ويؤدي التطبيق الخطي T  : M → M  : x ↦ T ( x ) إلى الشكل الثنائي الخطي B  : M ^∗ × M → R  : ( u , x ) ↦ ⟨ u , T ( x )⟩ .

في المقابل، يُنتج الشكل الثنائي الخطي B  : M ^∗ × M → R التطبيقات الخطية R التالية : S  : M ^∗ → M ^∗  : u ↦ ( x ↦ B ( u , x )) و T ′  : M → M ^∗∗  : x ↦ ( u ↦ B ( u , x ) ) . هنا، M ^∗∗ يرمز إلى الثنائي المزدوج لـ M.