المجموعة الحسابية

لو${\displaystyle \mathrm {G} }$هي مجموعة فرعية جبرية من${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n}$عندئذٍ يمكننا تعريف مجموعة فرعية حسابية من${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$كمجموعة من النقاط الصحيحة${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$بشكل عام، ليس من الواضح كيفية فهم مفهوم "النقاط الصحيحة" لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن أن تتغير المجموعة - والمجموعة الفرعية المحددة أعلاه عند أخذ تضمينات مختلفة${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

وبالتالي، فإن المفهوم الأفضل هو اعتبار تعريف المجموعة الحسابية الفرعية لـ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$أي مجموعة${\displaystyle \Lambda }$وهو قابل للقياس (وهذا يعني أن كلاهما${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$و${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$(مجموعات منتهية) مع زمرة${\displaystyle \Gamma }$كما هو موضح أعلاه (فيما يتعلق بأي تضمين في${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$). وبهذا التعريف، إلى المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {G} }$يرتبط بمجموعة من المجموعات الفرعية "المنفصلة" التي يمكن قياسها جميعًا مع بعضها البعض.

التعميم الطبيعي للبناء أعلاه هو كما يلي: ليكن${\displaystyle F}$ليكن حقل عددي مع حلقة من الأعداد الصحيحة${\displaystyle O}$و${\displaystyle \mathrm {G} }$مجموعة جبرية فوق${\displaystyle F}$إذا تم تزويدنا بتضمين${\displaystyle \rho$ :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}} معرف على${\displaystyle F}$ثم المجموعة الفرعية${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$يمكن تسميتها بشكل مشروع مجموعة حسابية.

من ناحية أخرى، فإن فئة المجموعات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة ليست أكبر من فئة المجموعات الحسابية كما تم تعريفها أعلاه. في الواقع، إذا نظرنا إلى المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {G} '}$زيادة${\displaystyle \mathbb {Q} }$تم الحصول عليها عن طريق تقييد الكميات العددية من${\displaystyle F}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} }$و${\displaystyle \mathbb {Q} }$-التضمين${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$ناتج عن${\displaystyle \rho }$(أين${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$) إذن، المجموعة التي تم إنشاؤها أعلاه تساوي${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$.

تُعرَّف الشبكة في زمرة لي عادةً بأنها زمرة فرعية منفصلة ذات حجم مشترك محدود. ويتوافق المصطلح المذكور أعلاه مع هذا التعريف، حيث تنص نظرية بوريل وهاريش-شاندرا على أن الزمرة الحسابية الفرعية في زمرة لي شبه بسيطة لها حجم مشترك محدود (الانفصال واضح).

النظرية أكثر دقة: فهي تنص على أن الشبكة الحسابية متراصة إذا وفقط إذا كان "شكل"${\displaystyle G}$يستخدم لتعريفه (أي الـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-مجموعة${\displaystyle \mathrm {G} }$) غير متناحٍ. على سبيل المثال، الشبكة الحسابية المرتبطة بصيغة تربيعية في${\displaystyle n}$المتغيرات على${\displaystyle \mathbb {Q} }$سيكون متراصًا في المجموعة المتعامدة المرتبطة به إذا وفقط إذا لم تنعدم الصيغة التربيعية عند أي نقطة في${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$.

النتيجة المذهلة التي توصل إليها مارغوليس هي عكس جزئي لنظرية بوريل-هاريش-تشاندرا: بالنسبة لبعض زمر لي، تكون أي شبكة حسابية. هذه النتيجة صحيحة لجميع الشبكات غير القابلة للاختزال في زمر لي شبه البسيطة ذات الرتبة الحقيقية الأكبر من اثنين. ^{[ 12 ] [ 13 ]} على سبيل المثال، جميع الشبكات في${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$تكون حسابية عندما${\displaystyle n\geq 3}$. كان العنصر الجديد الرئيسي الذي استخدمه مارغوليس لإثبات نظريته هو الصلابة الفائقة للشبكات في مجموعات ذات رتبة أعلى والتي أثبتها لهذا الغرض.

لا تلعب خاصية عدم الاختزال دورًا إلا عندما${\displaystyle G}$يحتوي على عامل من الرتبة الحقيقية واحد (وإلا فإن النظرية صحيحة دائمًا) وهو ليس بسيطًا: هذا يعني أنه لأي تحليل ضربي${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$لا يمكن قياس الشبكة على أنها ناتج ضرب شبكات في كل عامل من العوامل${\displaystyle G_{i}}$على سبيل المثال، الشبكة${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$غير قابل للاختزال، بينما${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ليس كذلك.

تنطبق نظرية مارغوليس للحسابية (والصلابة الفائقة) على بعض زمر لي من الرتبة 1، وهي:${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ل${\displaystyle n\geqslant 1}$والمجموعة الاستثنائية${\displaystyle F_{4}^{-20}}$[ ^{14 ] [ 15 ] من المعروف أن هذا} لا ينطبق على جميع المجموعات${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ل${\displaystyle n\geqslant 2}$(بالإشارة إلى نظام تحديد المواقع العالمي GPS) ولـ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$متى${\displaystyle n=1,2,3}$لا توجد شبكات غير حسابية معروفة في المجموعات${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$متى${\displaystyle n\geqslant 4}$.

تُنشأ زمرة فوكسية حسابية من البيانات التالية: حقل أعداد حقيقية بالكامل${\displaystyle F}$، جبر رباعي${\displaystyle A}$زيادة${\displaystyle F}$وأمر${\displaystyle {\mathcal {O}}}$في${\displaystyle A}$يُطلب ذلك لتضمين واحد${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$الجبر${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$أن تكون متماثلة مع جبر المصفوفات${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$وبالنسبة لجميع الوحدات الأخرى، فإن مجموعة الوحدات هي رباعيات هاميلتون .${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$هي شبكة في${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$وهو متماثل مع${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$وهو متراص في جميع الحالات باستثناء عندما${\displaystyle A}$هل الجبر المصفوفي على${\displaystyle \mathbb {Q} .}$جميع الشبكات الحسابية في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$يتم الحصول عليها بهذه الطريقة (حتى إمكانية المقارنة).

تُبنى مجموعات كلاين الحسابية بشكل مشابه باستثناء أن${\displaystyle F}$يشترط وجود مكان معقد واحد فقط و${\displaystyle A}$أن تكون رباعيات هاميلتون في جميع الأماكن الحقيقية. إنها تستنفد جميع فئات التناسب الحسابي في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

لكل مجموعة لي شبه بسيطة${\displaystyle G}$من الناحية النظرية، من الممكن تصنيف جميع الشبكات الحسابية (حتى التناسب) في${\displaystyle G}$، بطريقة مماثلة للحالات${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$كما هو موضح أعلاه. ويتمثل هذا في تصنيف المجموعات الجبرية التي تكون نقاطها الحقيقية متماثلة حتى عامل مضغوط إلى${\displaystyle G}$[ ^{16 ]​}

الزمرة الجزئية المتطابقة هي (تقريبًا) زمرة جزئية من زمرة حسابية، تُعرَّف بأخذ جميع المصفوفات التي تحقق معادلات معينة بتردد عدد صحيح، على سبيل المثال، زمرة المصفوفات الصحيحة من الرتبة 2×2 ذات المعاملات القطرية (وغير القطرية) المتطابقة مع 1 (وغير القطرية) بتردد عدد صحيح موجب. هذه الزمر الجزئية دائمًا ما تكون ذات فهرس محدود، وتتساءل مسألة الزمرة الجزئية المتطابقة تقريبًا عما إذا كان بالإمكان الحصول على جميع الزمر الجزئية بهذه الطريقة. الفرضية (التي تُنسب عادةً إلى جان بيير سير ) هي أن هذا صحيح بالنسبة للشبكات الحسابية (غير القابلة للاختزال) في الزمر ذات الرتب الأعلى، وغير صحيح في الزمر ذات الرتبة الأولى. لا يزال هذا الأمر مفتوحًا في هذا السياق العام، ولكن هناك العديد من النتائج التي تثبته لشبكات محددة (في كلتا حالتيه الإيجابية والسلبية).

التعريف الرسمي لـ${\displaystyle S}$-المجموعة الحسابية لـ${\displaystyle S}$إن مجموعة الأعداد الأولية المنتهية هي نفسها بالنسبة للمجموعات الحسابية التي تحتوي على${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$تم استبدالها بـ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$أين${\displaystyle N}$هو ناتج الأعداد الأولية في${\displaystyle S}$.

تُعمم نظرية بوريل-هاريش-تشاندرا إلى${\displaystyle S}$- المجموعات الحسابية كما يلي: إذا${\displaystyle \Gamma }$هو${\displaystyle S}$-المجموعة الحسابية في${\displaystyle \mathbb {Q} }$-المجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {G} }$ثم${\displaystyle \Gamma }$هي شبكة في المجموعة المدمجة محليًا

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

الزمر الحسابية التي تتمتع بخاصية كازدان (T) أو الخاصية الأضعف (${\displaystyle \tau }$يمكن استخدام طريقة لوبوتزكي وزيمر لإنشاء رسوم بيانية موسعة (مارغوليس)، أو حتى رسوم بيانية رامانوجان (لوبوتزكي-فيليبس-سارناك ^{[ 17 ] [ 18 ]} ). من المعروف أن هذه الرسوم البيانية موجودة بكثرة وفقًا للنتائج الاحتمالية، لكن الطبيعة الصريحة لهذه الإنشاءات تجعلها مثيرة للاهتمام.

من المعروف أن أغطية التطابق للأسطح الحسابية تُنتج أسطحًا ذات نصف قطر حقن كبير . ^{[ 19 ]} وبالمثل، فإن رسوم رامانوجان البيانية التي أنشأها لوبوتزكي-فيليبس-سارناك لها محيط كبير . ومن المعروف في الواقع أن خاصية رامانوجان نفسها تعني أن المحيطات المحلية للرسم البياني تكون كبيرة دائمًا تقريبًا. ^{[ 20 ]}

يمكن استخدام الزمر الحسابية لإنشاء مشعبات متساوية الطيف . وقد حققت ماري فرانس فينيراس ذلك لأول مرة ^{[ 21 ]} ، وظهرت منذ ذلك الحين العديد من التعديلات على بنائها. في الواقع، تُعد مسألة تساوي الطيف قابلة للدراسة بشكل خاص في الإطار المحدود للمشعبات الحسابية. ^{[ 22 ]}

المستوى الإسقاطي الزائف ^{[ 23 ]} هو سطح معقد له نفس أرقام بيتي الخاصة بالمستوى الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$لكنها ليست ثنائية الشكل بالنسبة لها؛ وقد اكتشف مامفورد المثال الأول. وبحسب عمل كلينغلر (وأثبته يونغ بشكل مستقل أيضًا)، فإن جميع هذه هي نواتج قسمة الكرة الثنائية على الشبكات الحسابية في${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$تم تصنيف الشبكات الممكنة بواسطة براساد ويونغ، وتم إكمال التصنيف بواسطة كارترايت وستيجر اللذين حددا، من خلال الحسابات بمساعدة الكمبيوتر، جميع المستويات الإسقاطية الزائفة في كل فئة من فئات براساد-يونغ.