مساحة باير

في الرياضيات ، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$يُقال إن الفضاء فضاء باير إذا كانت الاتحادات القابلة للعد للمجموعات المغلقة ذات الفضاء الداخلي الفارغ تحتوي أيضًا على فضاء داخلي فارغ. ^{[ 1 ]} وفقًا لنظرية فئات باير ، تُعد فضاءات هاوسدورف المدمجة والفضاءات المترية الكاملة أمثلة على فضاءات باير. لنظرية فئات باير، بالإضافة إلى خصائص فضاءات باير، تطبيقات عديدة في الطوبولوجيا والهندسة والتحليل ، وخاصة التحليل الوظيفي . [ ^{2 ] [ 3 ] لمزيد} من التوضيح والتطبيقات، انظر مقالة "نظرية فئات باير" . تركز هذه المقالة بشكل أكبر على خصائص فضاءات باير الأساسية.

قدّم بورباكي مصطلح "فضاء باير" ^{[ 4 ] [ 5 ]} تكريمًا لرينيه باير ، الذي بحث في نظرية فئة باير في سياق الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$في أطروحته عام 1899. ^{[ 6 ]}

يستند التعريف التالي إلى مفهومي المجموعة الهزيلة (أو مجموعة الفئة الأولى) (أي المجموعة التي تُعدّ اتحادًا قابلًا للعد لمجموعات يكون إغلاقها فارغًا من الداخل، أي مجموعات غير كثيفة في أي مكان ) والمجموعة غير الهزيلة (أو مجموعة الفئة الثانية) (أي المجموعة غير الهزيلة). راجع المقالة ذات الصلة لمزيد من التفاصيل.

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم فضاء باير إذا استوفى أيًا من الشروط المتكافئة التالية: ^{[ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]}

1. كل تقاطع قابل للعد لمجموعات مفتوحة كثيفة يكون كثيفًا.
2. كل اتحاد قابل للعد لمجموعات مغلقة ذات باطن فارغ له باطن فارغ.
3. كل مجموعة متواضعة تحتوي على مساحة داخلية فارغة.
4. كل مجموعة مفتوحة غير فارغة هي مجموعة غير ضئيلة. ^{[ ملاحظة 1 ]}
5. كل مجموعة كوميجر كثيفة.
6. كلما كان للاتحاد القابل للعد من المجموعات المغلقة نقطة داخلية، فإن واحدة على الأقل من المجموعات المغلقة لها نقطة داخلية.

تستند التكافؤ بين هذه التعريفات إلى الخصائص المرتبطة بالمجموعات الفرعية التكميلية لـ${\displaystyle X}$(أي، من مجموعة)${\displaystyle A\subseteq X}$ومكملاتها​${\displaystyle X\setminus A}$) كما هو موضح في الجدول أدناه.

يُعدّ فضاء باير بمثابة النسخة النوعية لفضاء القياس . على سبيل المثال، يُشابه التعريف 6 أعلاه الحقيقة التالية لفضاءات القياس: عندما يكون لاتحاد قابل للعد من المجموعات قياس موجب ، فإنّ مجموعة واحدة على الأقل من هذه المجموعات لها قياس موجب. تكمن ميزة منهج فئة باير في فعاليته في الحالات اللانهائية الأبعاد، حيث يواجه المنهج النظري للقياس صعوبات كبيرة. ^{[ 9 ]} يُبيّن الجدول أدناه المزيد من الأفكار المشتركة بينهما. مع ذلك، فهما ليسا متكافئين رياضيًا. توجد مجموعات ضئيلة لها قياس ليبيغ موجب .

تُعطي نظرية فئة باير شروطًا كافية لكي يكون الفضاء الطوبولوجي فضاء باير.

• ( BCT1 ) كل فضاء شبه متري كامل هو فضاء باير. ^{[ 10 ] [ 11 ]} على وجه الخصوص، كل فضاء طوبولوجي قابل للقياس تمامًا هو فضاء باير.
• ( BCT2 ) كل فضاء منتظم متراص محليًا هو فضاء باير. ^{[ 10 ] [ 12 ]} وعلى وجه الخصوص، كل فضاء هاوسدورف متراص محليًا هو فضاء باير.

يوضح BCT1 أن ما يلي هو فضاءات باير:

• المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية .
• فضاء الأعداد غير النسبية ، وهو متماثل شكليًا مع فضاء باير${\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا }}$من نظرية المجموعات .
• كل مساحة بولندية .

يوضح BCT2 أن ما يلي هو فضاءات باير:

• كل فضاء هاوسدورف مضغوط؛ على سبيل المثال، مجموعة كانتور (أو فضاء كانتور ).
• كل متعدد الشعب ، حتى لو لم يكن متراصًا (وبالتالي غير قابل للقياس )، مثل الخط الطويل .

ومع ذلك، ينبغي ملاحظة أن هناك الكثير من المساحات التي تعتبر مساحات باير دون استيفاء شروط نظرية فئة باير، كما هو موضح في قسم الأمثلة أدناه.

• كل فضاء باير غير فارغ هو فضاء غير ضئيل. من حيث التقاطعات القابلة للعد للمجموعات المفتوحة الكثيفة، فإن كون الفضاء فضاء باير يكافئ كون هذه التقاطعات كثيفة، بينما كون الفضاء غير ضئيل يكافئ الشرط الأضعف وهو أن هذه التقاطعات غير فارغة.
• كل فضاء فرعي مفتوح من فضاء باير هو فضاء باير. ^{[ 13 ]}
• كل مجموعة كثيفة من نوع G _δ في فضاء باير هي فضاء باير. ^{[ 14 ] [ 15 ]} لا يشترط أن تكون النتيجة صحيحة إذا لم تكن مجموعة G _δ كثيفة. انظر قسم الأمثلة.
• كل مجموعة كوميجر في فضاء باير هي فضاء باير. ^{[ 16 ]}
• تكون المجموعة الجزئية من فضاء باير متجانسة إذا وفقط إذا كانت تحتوي على مجموعة G _δ كثيفة . ^{[ 17 ]}
• لا يشترط أن يكون الفضاء الجزئي المغلق من فضاء باير فضاء باير. انظر قسم الأمثلة.
• إذا احتوى فضاء ما على فضاء جزئي كثيف من نوع باير، فإنه يكون أيضاً فضاء باير. ^{[ 18 ]}
• الفضاء الذي يكون محلياً فضاء باير، بمعنى أن لكل نقطة فيه جواراً يمثل فضاء باير، هو فضاء باير. ^{[ 19 ] [ 20 ]}
• كل مجموع طوبولوجي لمساحات باير هو باير. ^{[ 21 ]}
• إن حاصل ضرب فضاءين من فضاءات باير ليس بالضرورة فضاء باير. ^{[ 22 ] [ 23 ]}
• إن أي حاصل ضرب للفضاءات المترية الكاملة هو باير. ^{[ 24 ]}
• كل مساحة محلية صغيرة الحجم وخالية من الكحول هي مساحة باير. ^{[ 25 ]}
• كل فضاء طوبولوجي محدود هو فضاء باير (لأن الفضاء المحدود يحتوي فقط على عدد محدود من المجموعات المفتوحة وتقاطع مجموعتين مفتوحتين كثيفتين هو مجموعة مفتوحة كثيفة ^{[ 26 ]} ).
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي هو فضاء باير إذا وفقط إذا كان غير ضئيل، ^{[ 27 ]} ويتحقق ذلك إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية مغلقة متوازنة ماصة تحتوي على باطن غير فارغ. ^{[ 28 ]}

يترك${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$لتكن متتالية من الدوال المتصلة ذات نهاية نقطية${\displaystyle f:X\to Y.}$لو${\displaystyle X}$إذا كانت فضاء باير، فإن النقاط التي${\displaystyle f}$ليست متصلة، وهي مجموعة ضئيلة في${\displaystyle X}$ومجموعة النقاط حيث${\displaystyle f}$متصل وكثيف في${\displaystyle X.}$ومن الحالات الخاصة لهذا المبدأ مبدأ التقييد المنتظم .

• المساحة الفارغة هي مساحة باير. إنها المساحة الوحيدة التي تتسم بكونها باير وهزيلة في آن واحد.
• المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء الأعداد الحقيقية ذو الطوبولوجيا المعتادة هو فضاء باير.
• المساحة${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية (مع الطوبولوجيا المستمدة من${\displaystyle \mathbb {R} }$) ليس فضاء باير، لأنه ضئيل.
• فضاء الأعداد غير النسبية (مع الطوبولوجيا المستحثة من${\displaystyle \mathbb {R} }$) هو فضاء باير، لأنه مشترك في${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• المساحة${\displaystyle X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$(مع الطوبولوجيا المستحثة من${\displaystyle \mathbb {R} }$) غير ضئيل، ولكنه ليس من نوع باير. هناك عدة طرق لإثبات أنه ليس من نوع باير: على سبيل المثال لأن المجموعة الجزئية${\displaystyle [0,1]}$هي مجموعة فرعية غير فارغة ولكنها ليست كثيفة؛ أو لأن المجموعة الفرعية غير الفارغة${\displaystyle [2,3]\cap \mathbb {Q} }$مفتوح وهزيل.
• وبالمثل، المساحة${\displaystyle X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )}$ليس باير. إنه غير ضئيل لأن${\displaystyle 1}$هي نقطة معزولة.

فيما يلي أمثلة على فضاءات باير التي لا تنطبق عليها نظرية فئة باير، لأن هذه الفضاءات ليست متراصة محليًا وليست قابلة للقياس بشكل كامل:

• خط سورجنفري . ^{[ 29 ]}
• طائرة سورجنفري . ^{[ 30 ]}
• طائرة نيميتزكي . ^{[ 30 ]}
• الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يتكون من النصف العلوي المفتوح بالإضافة إلى النسب على المحور السيني ، أي${\displaystyle X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),}$هي فضاء باير، ^{[ 31 ]} لأن النصف العلوي المفتوح من المستوى كثيف في${\displaystyle X}$وقابلة للقياس بشكل كامل، ومن هنا جاءت تسمية باير. المساحة${\displaystyle X}$ليست متراصة محلياً وليست قابلة للقياس بشكل كامل. المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} \times \{0\}}$مغلق في${\displaystyle X}$لكنها ليست فضاء باير. وبما أن المجموعات المغلقة في الفضاء المتري هي مجموعات Gδ ، فإن هذا يُظهر أيضاً أنه بشكل عام، لا يشترط أن تكون مجموعات Gδ _{في فضاء} باير فضاء باير.

تُعتبر المتنوعات الجبرية ذات طوبولوجيا زاريسكي فضاءات باير. ومن الأمثلة على ذلك الفضاء الأفيني.${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$يتألف من المجموعة${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$من n -tuples من الأعداد المركبة، بالإضافة إلى الطوبولوجيا التي تكون مجموعاتها المغلقة هي مجموعات التلاشي لكثيرات الحدود${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].}$

• لعبة باناش-مازور
• الفضاء البرميلي - نوع من أنواع الفضاء المتجهي الطوبولوجي 
• نظرية بلومبرغ – أي دالة حقيقية على R تقبل قيدًا مستمرًا على مجموعة جزئية كثيفة من R 
• لعبة الشوكيه – لعبة طوبولوجية 
• خاصية باير – الفرق بين مجموعة مفتوحة ومجموعة صغيرة 
• الفضاء الشبكي – الفضاء الذي تنطبق فيه نظريات الخرائط المفتوحة والرسوم البيانية المغلقة 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد.  4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• إنجيلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . دار هيلديرمان، برلين. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• جيرز، ج.؛ هوفمان، ك.هـ.؛ كيمل، ك.؛ لوسون، ج.د.؛ ميسلوف، م.و.؛ سكوت، د.س. (2003). الشبكات والمجالات المتصلة . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  93. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521803380.
• هاوورث، RC؛ مكوي، آر إيه (1977)، باير سبيسز ، وارسو: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• كيلي، جون ل. (1975) [1955]. الطوبولوجيا العامة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  27 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 1365153 . 
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا . برنتيس هول . ISBN 0-13-181629-2.
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 . 

• مقالة موسوعة الرياضيات عن فضاء باير
• مقالة موسوعة الرياضيات عن نظرية باير