قانون بيو-سافار

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 47 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، وتحديداً في الكهرومغناطيسية ، يُعد قانون بيو - سافار ( يُنطق / ˈbiːoʊsəˈvɑːr / أو / ˈbjoʊsəˈvɑːr / ) [ 1 ] معادلةً تصف المجال المغناطيسي الناتج عن تيار كهربائي ثابت . ويربط هذا القانون المجال المغناطيسي بمقدار التيار الكهربائي واتجاهه وطوله وقربه.

يُعدّ قانون بيو-سافار أساسيًا في علم المغناطيسية الساكنة . وهو صالح في تقريب المغناطيسية الساكنة ومتوافق مع كلٍّ من قانون أمبير الدائري وقانون غاوس للمغناطيسية . [ 2 ] عندما لا ينطبق علم المغناطيسية الساكنة، يجب استبدال قانون بيو-سافار بمعادلات جيفيمينكو . سُمّي القانون نسبةً إلى جان باتيست بيو وفيليكس سافار ، اللذين اكتشفا هذه العلاقة عام 1820.

معادلة

في المعادلات التالية، يُفترض أن الوسط غير مغناطيسي (مثل الفراغ). وهذا يسمح باشتقاق المجال المغناطيسي B بشكل مباشر ، بينما المتجه الأساسي هنا هو H. [ 3 ]

التيارات الكهربائية (على طول منحنى/سلك مغلق)

تظهر اتجاهات أنادℓ{\displaystyle Id{\boldsymbol {\ell }}}،ر^′{\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }وقيمة|ر′|{\displaystyle |\mathbf {r'} |}

يُستخدم قانون بيو-سافار [ 4 ] : ​​القسم 5-2-1 لحساب كثافة التدفق المغناطيسي المحصلة B عند الموضع r في الفضاء ثلاثي الأبعاد الناتج عن تيار خيطي I (على سبيل المثال، تيار سلك). التيار الثابت (أو المستقر) هو تدفق مستمر للشحنات لا يتغير مع الزمن، ولا تتراكم الشحنة ولا تنقص عند أي نقطة. يُعد هذا القانون مثالًا فيزيائيًا للتكامل الخطي ، حيث يُحسب على طول المسار C الذي تتدفق فيه التيارات الكهربائية (مثل السلك). المعادلة بوحدات التسلا (T) في النظام الدولي للوحدات هي [ 5 ].

ب(ر)=μ04π∫جأنادℓ×ر′|ر′|3{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}}

أيندℓ{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}هو متجه على طول المسارج{\displaystyle C}مقداره هو طول العنصر التفاضلي للسلك في اتجاه التيار التقليدي ،ℓ{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}هي نقطة على المسارج{\displaystyle C}، و ر′=ر-ℓ{\displaystyle \mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}يمثل متجه الإزاحة الكامل من عنصر السلك (دℓ{\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}) عند النقطةℓ{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}إلى النقطة التي يتم عندها حساب المجال (ر{\displaystyle \mathbf {r} }و μ₀ هو الثابت المغناطيسي . أو بعبارة أخرى :ب(ر)=μ04π∫جأنادℓ×ر^′|ر′|2{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}} أينر^′{\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }هو متجه الوحدة لـر′{\displaystyle \mathbf {r'} }تشير الرموز المكتوبة بخط غامق إلى الكميات المتجهة .

عادةً ما يكون التكامل حول منحنى مغلق ، لأن التيارات الكهربائية الساكنة لا يمكنها أن تتدفق إلا حول مسارات مغلقة عندما تكون محدودة. ومع ذلك، ينطبق القانون أيضًا على الأسلاك الطويلة جدًا (استُخدم هذا المفهوم في تعريف وحدة التيار الكهربائي في النظام الدولي للوحدات - الأمبير - حتى 20 مايو 2019).

لتطبيق المعادلة، يتم اختيار النقطة في الفضاء التي سيتم حساب المجال المغناطيسي عندها بشكل عشوائي (ر{\displaystyle \mathbf {r} }مع تثبيت تلك النقطة، يُحسب التكامل الخطي على مسار التيار الكهربائي لإيجاد المجال المغناطيسي الكلي عند تلك النقطة. ويعتمد تطبيق هذا القانون ضمنيًا على مبدأ التراكب للمجالات المغناطيسية، أي أن المجال المغناطيسي هو مجموع متجهي للمجال الناتج عن كل جزء متناهي الصغر من السلك على حدة. [ 6 ]

على سبيل المثال، لنفترض المجال المغناطيسي لحلقة نصف قطرهاR{\displaystyle R}يحمل تيارًا كهربائيًاأنا.{\displaystyle I.}بالنسبة لنقطة على مسافةx{\displaystyle x}على طول الخط المركزي للحلقة، يكون متجه المجال المغناطيسي عند تلك النقطة كما يلي:ب=μ0أناR22(x2+R2)3/2x^،{\displaystyle \mathbf {B} ={\mu _{0}IR^{2} \over 2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}{\hat {\mathbf {x} }},}أينx^{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}يمثل متجه الوحدة على طول الخط المركزي للحلقة (مع افتراض أن مركز الحلقة هو نقطة الأصل). [ 4 ] : ​​القسم 5-2، المعادلة (25). تظهر حلقات مثل تلك الموصوفة في أجهزة مثل ملف هيلمهولتز ، والملف اللولبي ، ونظام دفع المركبة الفضائية ماجسيل . يتطلب حساب المجال المغناطيسي عند نقاط بعيدة عن الخط المركزي معادلات رياضية أكثر تعقيدًا تتضمن تكاملات إهليلجية تتطلب حلًا عدديًا أو تقريبات. [ 7 ]

كثافة التيار الكهربائي (في جميع أنحاء حجم الموصل)

تُجدي الصيغ المذكورة أعلاه نفعًا عندما يُمكن تقريب التيار بأنه يمر عبر سلك ضيق للغاية. أما إذا كان للموصل سُمك معين، فإن الصيغة الصحيحة لقانون بيو-سافار (بوحدات النظام الدولي للوحدات) هي:

ب(ر)=μ04π∭V (جدV)×ر′|ر′|3{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}}

أينر′{\displaystyle \mathbf {r'} }هو المتجه من dV إلى نقطة الرصدر{\displaystyle \mathbf {r} }،دV{\displaystyle dV}هو عنصر الحجم ، وج{\displaystyle \mathbf {J} }يمثل متجه كثافة التيار في ذلك الحجم (في النظام الدولي للوحدات بوحدات A/m 2 ).

بدلالة متجه الوحدةر^′{\displaystyle \mathbf {{\hat {r}}'} }ب(ر)=μ04π∭V دVج×ر^′|ر′|2{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}

تيار منتظم ثابت

في الحالة الخاصة لتيار ثابت منتظم I ، المجال المغناطيسيب{\displaystyle \mathbf {B} }يكون ب(ر)=μ04πأنا∫جدℓ×ر′|ر′|3{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}} أي أنه يمكن إخراج التيار من التكامل.

شحنة نقطية بسرعة ثابتة

في حالة جسيم مشحون نقطي q يتحرك بسرعة ثابتة v ، تعطي معادلات ماكسويل التعبير التالي للمجال الكهربائي والمجال المغناطيسي: [ 8 ]هـ=q4πε01-β2(1-β2الخطيئة2⁡θ)3/2ر^′|ر′|2ب=1ج2v×هـ{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{\left(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\[1ex]\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{محاذاة}}} أين

  • ر^′{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}يمثل متجه الوحدة الذي يشير من الموضع الحالي (غير المتأخر) للجسيم إلى النقطة التي يتم عندها قياس المجال،
  • β=v/ج{\displaystyle \beta =v/c}السرعة بوحداتج{\displaystyle c}و
  • θ هي الزاوية بينv{\displaystyle \mathbf {v} }ور′{\displaystyle \mathbf {r} '}. بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق هذه من خلال النظر في تحويل لورنتز لقوة كولوم (في شكل القوى الأربع ) في الإطار المرجعي العطالي لشحنة المصدر. [ 9 ]

عندما يكون v 2 ≪ c 2 ، يمكن تقريب المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي على النحو التالي [ 8 ]هـ=q4πε0 ر^′|ر′|2{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}ب=μ04πqv×ر^′|ر′|2{\displaystyle \mathbf {B} ={\mu _{0} \over 4\pi }q{\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {r} }}' \over |\mathbf {r} '|^{2}}}

اشتق أوليفر هيفسايد هذه المعادلات لأول مرة عام 1888. ويطلق بعض المؤلفين [ 10 ] [ 11 ] على المعادلة المذكورة أعلاه اسمب{\displaystyle \mathbf {B} }يُطلق على هذا القانون اسم "قانون بيو-سافار للشحنة النقطية" نظرًا لتشابهه الكبير مع قانون بيو-سافار القياسي. مع ذلك، فإن هذه الصياغة مُضللة، إذ أن قانون بيو-سافار ينطبق فقط على التيارات الثابتة، والشحنة النقطية المتحركة في الفضاء لا تُمثل تيارًا ثابتًا. [ 12 ]

تطبيقات الاستجابات المغناطيسية

يمكن استخدام قانون بيو-سافار في حساب الاستجابات المغناطيسية حتى على المستوى الذري أو الجزيئي، على سبيل المثال الحماية الكيميائية أو القابلية المغناطيسية ، بشرط أن يكون من الممكن الحصول على كثافة التيار من حساب أو نظرية ميكانيكية كمية.

تطبيقات الديناميكا الهوائية

يوضح الشكل السرعة (دV{\displaystyle dV}) المستحثة عند النقطة P بواسطة عنصر من خيوط الدوامة (دل{\displaystyle dl}) من القوةΓ{\displaystyle \Gamma }.

يُستخدم قانون بيو-سافار أيضًا في نظرية الديناميكا الهوائية لحساب السرعة الناتجة عن خطوط الدوامات .

في التطبيقات الديناميكية الهوائية ، تنعكس أدوار الدوامة والتيار مقارنة بالتطبيقات المغناطيسية.

في ورقة ماكسويل البحثية عام 1861 بعنوان "حول خطوط القوة الفيزيائية"، [ 13 ] تمّت مساواة شدة المجال المغناطيسي H مباشرةً بالدوامية الخالصة (الدوران)، بينما كان B عبارة عن دوامية موزونة وفقًا لكثافة بحر الدوامات. اعتبر ماكسويل النفاذية المغناطيسية μ مقياسًا لكثافة بحر الدوامات. ومن هنا جاءت العلاقة،

تيار الحث المغناطيسي
ب=μح{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }كان في الأساس تشبيهًا دورانيًا للعلاقة الخطية للتيار الكهربائي،
تيار الحمل الكهربائي
ج=ρv،{\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,}حيث ρ هي كثافة الشحنة الكهربائية.

كان يُنظر إلى B على أنه نوع من التيار المغناطيسي للدوامات المتراصفة في مستوياتها المحورية، حيث H هي السرعة المحيطية للدوامات.

يمكن النظر إلى معادلة التيار الكهربائي على أنها تيار حملي للشحنة الكهربائية يتضمن حركة خطية. وبالمثل، فإن المعادلة المغناطيسية هي تيار حثي يتضمن دورانًا مغزليًا. لا توجد حركة خطية في التيار الحثي على طول اتجاه متجه المجال المغناطيسي (B) . يمثل التيار الحثي المغناطيسي خطوط القوة، وتحديدًا خطوط قوة تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة.

في الديناميكا الهوائية، تُشكّل تيارات الهواء المُستحثة حلقات لولبية حول محور الدوامة. ويمكن تشبيه ذلك بأن محور الدوامة يؤدي الدور الذي يؤديه التيار الكهربائي في المغناطيسية . وهذا يجعل تيارات الهواء في الديناميكا الهوائية (مجال سرعة المائع) تُؤدي الدور المُكافئ لمتجه الحث المغناطيسي B في الكهرومغناطيسية.

في الكهرومغناطيسية، تشكل خطوط المجال المغناطيسي حلقات لولبية حول مصدر التيار الكهربائي، بينما في الديناميكا الهوائية، تشكل تيارات الهواء (السرعة) حلقات لولبية حول محور الدوامة المصدر.

لذا، في الكهرومغناطيسية، تلعب الدوامة دور "التأثير"، بينما في الديناميكا الهوائية، تلعب دور "السبب". ومع ذلك، عندما ننظر إلى خطوط B بمعزل عن غيرها، نرى السيناريو الديناميكي الهوائي تمامًا، حيث يمثل B محور الدوامة و H السرعة المحيطية كما ورد في ورقة ماكسويل عام 1861.

في بُعدين ، بالنسبة لخط دوامة ذي طول لانهائي، تُعطى السرعة المستحثة عند نقطة ما بالعلاقة التالية: v=Γ2πر{\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}} حيث Γ هي قوة الدوامة و r هي المسافة العمودية بين النقطة وخط الدوامة. وهذا مشابه للمجال المغناطيسي الناتج على مستوى بواسطة سلك مستقيم رفيع لا نهائي الطول عمودي على المستوى.

هذه حالة حدية للصيغة الخاصة بقطاعات الدوامة ذات الطول المحدود (على غرار سلك محدود): v=Γ4πر[كوس⁡أ-كوس⁡ب]{\displaystyle v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]} حيث A و B هما الزاويتان (الموجهتان) بين النقطة ونهايتي القطعة المستقيمة.

قانون بيو-سافار، وقانون أمبير الدائري، وقانون غاوس للمغناطيسية

في حالة المغناطيسية الساكنة ، فإن المجال المغناطيسي B كما تم حسابه من قانون بيو-سافار سيلبي دائمًا قانون جاوس للمغناطيسية وقانون أمبير الدائري : [ 14 ]

دليل

بدءاً بقانون بيو-سافار: ب(ر)=μ04π∭Vد3ℓج(ℓ)×ر-ℓ|ر-ℓ|3{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\times {\frac {\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|^{3}}}}

استبدال العلاقة ر-ℓ|ر-ℓ|3=-∇(1|ر-ℓ|){\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)} وباستخدام قاعدة الضرب للدوال المتعرجة ، بالإضافة إلى حقيقة أن J لا يعتمد علىر{\displaystyle \mathbf {r} }، ويمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي [ 14 ]ب(ر)=μ04π∇×∭Vد3ℓج(ℓ)|ر-ℓ|{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,{\frac {\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}}

بما أن تباعد الدوران يساوي صفرًا دائمًا، فإن هذا يُثبت قانون جاوس للمغناطيسية . بعد ذلك، بأخذ دوران كلا الطرفين، باستخدام صيغة دوران الدوران ، وبالاستناد مرة أخرى إلى حقيقة أن J لا يعتمد علىر{\displaystyle \mathbf {r} }، وفي النهاية نحصل على النتيجة [ 14 ]∇×ب=μ04π∇∭Vد3ℓج(ℓ)⋅∇(1|ر-ℓ|)-μ04π∭Vد3ℓج(ℓ)∇2(1|ر-ℓ|){\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}{\boldsymbol {\ell }}\,\mathbf {J} ({\boldsymbol {\ell }})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)}

وأخيرًا، إدخال العلاقات [ 14 ]∇(1|ر-ℓ|)=-∇ℓ(1|ر-ℓ|)،∇2(1|ر-ℓ|)=-4πدلتا(ر-ℓ){\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)&=-\nabla _{\boldsymbol {\ell }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}|}}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }})\end{aligned}}} (حيث δ هي دالة ديراك دلتا )، باستخدام حقيقة أن تباعد J يساوي صفرًا (بسبب افتراض المغناطيسية الساكنة )، وإجراء التكامل بالتجزئة ، تكون النتيجة هي [ 14 ].∇×ب=μ0ج{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} } أي قانون أمبير الدائري. (بسبب افتراض المغناطيسية الساكنة ،∂هـ/∂ت=0{\displaystyle \partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0} }لذلك لا يوجد مصطلح إضافي لتيار الإزاحة في قانون أمبير.

في حالة عدم وجود مغناطيسية ساكنة، يتوقف قانون بيو-سافار عن كونه صحيحًا (يتم استبداله بمعادلات جيفيمينكو )، بينما يظل قانون جاوس للمغناطيسية وقانون ماكسويل-أمبير صحيحين.

الخلفية النظرية

في البداية، تم اكتشاف قانون بيو-سافار تجريبياً، استجابةً لأعمال أمبير . [ 15 ] في شكله الأولي، كان مختلفاً تماماً، إذ لم تكن طرق حساب المتجهات الحديثة موجودة آنذاك. اليوم، يُشتق هذا القانون نظرياً بطرق مختلفة من معادلات ماكسويل . في محاضرات فاينمان في الفيزياء ، يُشدد في البداية على تشابه تعابير الجهد الكهربائي خارج التوزيع الساكن للشحنات والجهد المغناطيسي المتجه خارج نظام التيارات الموزعة باستمرار، ثم يُحسب المجال المغناطيسي من خلال التفاف الجهد المتجه. [ 16 ] يتضمن نهج آخر حلاً عاماً لمعادلة الموجة غير المتجانسة للجهد المتجه في حالة التيارات الثابتة. [ 17 ] يمكن أيضاً حساب المجال المغناطيسي كنتيجة لتحويلات لورنتز للقوة الكهرومغناطيسية المؤثرة من جسيم مشحون على جسيم آخر. [ 18 ] هناك طريقتان أخريان لاستنتاج قانون بيو-سافار: 1) تحويل لورنتز لمكونات موتر المجال الكهرومغناطيسي من إطار مرجعي متحرك، حيث يوجد فقط مجال كهربائي لتوزيع معين للشحنات، إلى إطار مرجعي ثابت، تتحرك فيه هذه الشحنات. 2) استخدام طريقة الكمونات المتأخرة .

انظر أيضاً

الناس

الكهرومغناطيسية

ملحوظات

  1. ↑ "قانون بيو-سافار" . قاموس راندوم هاوس ويبستر غير المختصر .
  2. ↑ جاكسون، جون ديفيد (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. الفصل 5. ISBN 0-471-30932-X.
  3. ↑ لاندو، إل دي؛ ليفشيتز، إي إم (1980). النظرية الكلاسيكية للحقول: المجلد 2 ( الطبعة الرابعة). باتروورث-هاينمان. ISBN  978-0750627689.
  4. 1 2 زان، ماركوس (2003). "نظرية المجال الكهرومغناطيسي: منهج لحل المشكلات" . ocw.mit.edu . تم الاطلاع عليه في 3 يوليو 2022 .
  5. ↑ الكهرومغناطيسية (الطبعة الثانية)، آي إس جرانت، دبليو آر فيليبس، مانشستر فيزيكس، جون وايلي وأولاده، 2008، رقم ISBN 978-0-471-92712-9
  6. ↑ ينطبق مبدأ التراكب على المجالات الكهربائية والمغناطيسية لأنها تمثل حلاً لمجموعة من المعادلات التفاضلية الخطية ، وهي معادلات ماكسويل ، حيث يكون التيار أحد "مصطلحات المصدر".
  7. ↑ فريلاند، آر إم (2015). " رياضيات ماجسيل" . مجلة الجمعية البريطانية بين الكواكب . 68 : 306-323 – عبر bis-space.com.
  8. 1 2 غريفيث، ديفيد ج. (1998). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول. الصفحات 222-224، 435-440 . ISBN   0-13-805326-X.
  9. ↑ روسر، دبليو جي في (1968). الكهرومغناطيسية الكلاسيكية من خلال النسبية . ص 29-42 . doi : 10.1007/978-1-4899-6559-2 . ISBN  978-1-4899-6258-4.
  10. ↑ نايت، راندال (2017). الفيزياء للعلماء والمهندسين ( الطبعة الرابعة). بيرسون للتعليم العالي. ص 800.  
  11. ↑ "المجال المغناطيسي الناتج عن شحنة نقطية متحركة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19-06-2009 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-09-2009 .
  12. ↑ انظر الحاشية التحذيرية في صفحة 219 من كتاب غريفيث أو المناقشة في صفحة 175-176 من كتاب جاكسون.
  13. ↑ ماكسويل، جيه سي "حول خطوط القوة المادية" (ملف PDF) . ويكيميديا ​​كومنز . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 ديسمبر 2011 .
  14. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ انظر جاكسون، الصفحات ١٧٨-١٧٩ أو غريفيثس، الصفحات ٢٢٢-٢٢٤. العرض في غريفيثس شامل للغاية، مع شرح جميع التفاصيل.
  15. ↑ داريغول، أوليفييه (2000). الديناميكا الكهربائية من أمبير إلى أينشتاين . ISBN 9780198505945.
  16. ↑ محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الثاني، الفصل 14: المجال المغناطيسي في مختلف الحالات
  17. ↑ ديفيد تونغ. محاضرات في الكهرومغناطيسية. جامعة كامبريدج، الجزء الأول ب والجزء الثاني من امتحان الرياضيات الثلاثي (2015). http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em.html
  18. ↑ دانيال زيل وجيمس أوفردوي. اشتقاق قانون بيو-سافار من قانون كولوم وآثاره على الجاذبية. اجتماع الجمعية الفيزيائية الأمريكية، أبريل 2014، الملخص رقم D1.033. https://doi.org/10.1103/BAPS.2014.APRIL.D1.33

مراجع

للمزيد من القراءة

  • الكهرباء والفيزياء الحديثة (الطبعة الثانية)، جي إيه جي بينيت، إدوارد أرنولد (المملكة المتحدة)، 1974، رقم ISBN 0-7131-2459-8
  • المبادئ الأساسية للفيزياء، بي إم ويلان، إم جيه هودجسون، الطبعة الثانية، 1978، جون موراي، رقم ISBN 0-7195-3382-1
  • دليل كامبريدج لصيغ الفيزياء، جي. ووان، مطبعة جامعة كامبريدج، 2010، رقم ISBN 978-0-521-57507-2.
  • الفيزياء للعلماء والمهندسين - مع الفيزياء الحديثة (الطبعة السادسة)، بي. إيه. تيبلر، جي. موسكا، فريمان، 2008، رقم ISBN 0-7167-8964-7
  • موسوعة الفيزياء (الإصدار الثاني)، RG Lerner ، GL Trigg، VHC Publishers، 1991، ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1، ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  • موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء (الطبعة الثانية)، سي بي باركر، 1994، رقم ISBN 0-07-051400-3