قرص عسل مكعب مقطوع مرتين

قرص عسل مكعب مقطوع مرتين
يكتب	قرص العسل الموحد
رمز شلافلي	2t{4,3,4} t 1,2 {4,3,4}
مخطط كوكسيتر-دينكين
نوع الخلية	( 4.6.6 )
أنواع الوجوه	مربع {4} سداسي {6}
شكل الحافة	المثلث متساوي الساقين {3}
شكل الرأس	( عظم وتدي رباعي الأضلاع )
ترميز المجموعة الفراغية Fibrifold، ترميز Coxeter	ايم 3 م (229) 8 س :2 [[ 4,3,4 ]]
مجموعة كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [4,3,4]
مزدوج	خلية رباعية الأوجه مفلطحة، خلية رباعية الأوجه ثنائية الوتد تشبه قرص العسل :
ملكيات	متساوي الزوايا ، متساوي السمية ، متساوي الحجم

قرص العسل المكعب المقطوع ثنائيًا هو شكل فسيفسائي (أو قرص عسل ) يملأ الفراغ في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، ويتكون من ثمانيات وجوه مقطوعة (أو، بشكل مكافئ، مكعبات مقطوعة ثنائيًا ). يحتوي على 4 ثمانيات وجوه مقطوعة حول كل رأس. ولأنه يتكون بالكامل من ثمانيات وجوه مقطوعة ، فهو متعدٍ على الخلايا . كما أنه متعدٍ على الحواف ، حيث يحتوي على سداسيين ومربع واحد على كل حافة، ومتعدٍ على الرؤوس . وهو واحد من 28 قرص عسل منتظم .

يُطلق جون هورتون كونواي على هذا الشكل الشبيه بخلية النحل اسم " ثماني السطوح المقطوع" في قائمة التبليط المعماري والانعكاسي ، ويُطلق على نظيره اسم " رباعي السطوح المفلطح" ، أو " خلية نحل رباعية السطوح ثنائية الإسفين" . وعلى الرغم من أن رباعي السطوح المنتظم لا يُمكنه تبليط الفضاء بمفرده، فإن هذا الشكل الثنائي يحتوي على خلايا رباعية السطوح ثنائية الإسفين متطابقة ذات أوجه مثلثية متساوية الساقين .

يمكن تحقيق ذلك من خلال تجزئة فورونوي للشبكة المكعبة ذات المركز الجسمي . افترض اللورد كلفن أن أحد أشكال قرص العسل المكعب المقطوع ثنائيًا (بأوجه وحواف منحنية، ولكن بنفس البنية التركيبية) هو رغوة فقاعات الصابون المثلى. ومع ذلك، فقد وُجد لاحقًا أن عددًا من الهياكل الأقل تناظرًا تُنتج رغوة فقاعات صابون أكثر كفاءة، ومن بينها يبدو أن بنية وير-فيلان هي الأفضل.

يمثل شكل قرص العسل تجزئة المجسم التبادلي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تمثل إحداثيات رؤوس أحد المجسمات الثمانية مستوىً فائقًا من الأعداد الصحيحة في الفضاء رباعي الأبعاد، وتحديدًا تباديل (1، 2، 3، 4). تتكون التجزئة من نسخ مُزاحة داخل المستوى الفائق.

التبليط هو أعلى تبليط للمتوازيات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التوقعات

يمكن إسقاط شكل قرص العسل المكعب المقطوع ثنائيًا بشكل متعامد على المستوى الإقليدي بترتيبات تناظر مختلفة. يُسقط الشكل ذو أعلى تناظر (السداسي) على شكل تبليط معيني سداسي غير منتظم . أما الإسقاط ذو التناظر المربع فيُشكل تبليطين مربعين مقطوعين متداخلين ، يندمجان معًا ليشكلا تبليطًا مربعًا مشطوف الحواف .

الإسقاطات المتعامدة

التناظر	p6m (*632)	p4m (*442)	pmm (*2222)
صلب
إطار

شكل رأس هذا الهيكل الشبيه بخلية النحل هو رباعي الأوجه ثنائي الوتدي ، وهو أيضًا رباعي الأوجه غورسات ( المجال الأساسي ) لـ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$مجموعة كوكسيتر . يحتوي هذا الشكل الشبيه بخلية النحل على أربعة أشكال منتظمة، حيث تمتلك الخلايا الثمانية السطوح المبتورة مجموعات كوكسيتر مختلفة وأشكال ويثوف مختلفة . يمكن تمثيل هذه التناظرات المنتظمة بتلوين الخلايا في كل شكل بشكل مختلف.

خمسة ألوان موحدة لكل خلية

المجموعة الفضائية	أنا 3 م (229)	Pm 3 m (221)	Fm 3 m (225)	F 4 3m (216)	Fd 3 م (227)
فايبريفولد	8 o :2	4 − :2	2 − :2	1 o :2	2 + :2
مجموعة كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$×2 [[ 4,3,4 ]] =[4[3 [4] ]] =	${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$[4,3,4] =[2[3 [4] ]] =	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$[4,3 1,1 ] =<[3 [4] ]> =	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$[3 [4] ]	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2 [[ 3 [4] ]] = [[ 3 [4] ]]
مخطط كوكسيتر
ثماني السطوح المقطوعة	1	1:1 :	2:1:1 : :	1:1:1:1 : : :	1:1 :
شكل الرأس
تناظر شكل الرأس	[2 + ,4] (الرتبة 8)	[2] (الترتيب 4)	[ ] (الترتيب 2)	[ ] + (الترتيب 1)	[2] + (الرتبة 2)
صورة ملونة حسب الخلية

تُنتج مجموعة كوكسيتر [ 4,3,4] 15 تبديلاً من التبليط المنتظم، 9 منها ذات هندسة مميزة، بما في ذلك قرص العسل المكعب المتناوب. قرص العسل المكعب الموسع (المعروف أيضًا باسم قرص العسل الفسيفسائي المتداخل) مطابق هندسيًا لقرص العسل المكعب.

خلايا نحل من نوع C3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
Pm 3 m (221)	4 − :2	[4,3,4]		×1	1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6
Fm 3 m (225)	2 − :2	[1 + ,4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	نصف	7 ، 11 ، 12 ، 13
I 4 3m (217)	4 o :2	[[(4,3,4,2 + )]]		نصف × 2	(7) ،
Fd 3 م (227)	2 + :2	[[1 + ,4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	ربع × 2	10 ،
أنا 3 م (229)	8 o :2	[[4,3,4]]		×2	(1) ، 8 ، 9

تولد مجموعة [4,3 ^1,1 ], ، Coxeter 9 تباديل من التبليط المنتظم، 4 منها ذات هندسة مميزة بما في ذلك قرص العسل المكعب المتناوب.

خلايا نحل من النوع B3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
Fm 3 m (225)	2 − :2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	×1	1 ، 2 ، 3 ، 4
Fm 3 m (225)	2 − :2	<[1 + ,4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	×2	(1) ، (3)
Pm 3 m (221)	4 − :2	<[4,3 1,1 ]>		×2	5 ، 6 ، 7 ، (6) ، 9 ، 10 ، 11

يُعد هذا القرص العسلي واحداً من خمسة أقراص عسلية متجانسة ومميزة ^{[ 1 ]} تم بناؤها بواسطة${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$مجموعة كوكسيتر . يمكن ضرب التناظر بتناظر الحلقات في مخططات كوكسيتر-دينكين :

أقراص العسل A3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر المربع	التناظر الممتد	مخطط موسع	مجموعة موسعة	مخططات خلية النحل
F 4 3m (216)	1 o :2	أ1	[3 [4] ]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	(لا أحد)
Fm 3 m (225)	2 − :2	د2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2 1 ↔${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$	1 ، 2
Fd 3 م (227)	2 + :2	g2	[[3 [ 4 ] ]] أو [2 + [3 [4] ]]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2 2	3
Pm 3 m (221)	4 − :2	د4	<2[3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×4 1 ↔${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$	4
أنا 3 (204)	8 -o	r8	[4[3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + ,4]]	↔	نصف${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×8 ↔ ½${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$×2	(*)
أنا 3 م (229)	8 o :2		[4[3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×8 ↔${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$×2	5

شكل بديل

قرص عسل مكعب متناوب ذو أجزاء مقطوعة
يكتب	قرص العسل المحدب
رمز شلافلي	2s{4,3,4} 2s{4,3 1,1 } sr{3 [4] }
مخططات كوكسيتر	= = =
الخلايا	رباعي الأوجه، عشريني الأوجه
شكل الرأس
مجموعة كوكسيتر	[[4,3 + ,4]],${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$
مزدوج	خلية قرص العسل من نوع عشرة الماسات :
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

يمكن تبديل هذا الشكل الشبيه بخلية النحل ، مما يُنتج أشكالًا عشرينية الوجوه من ثماني الوجوه المبتورة مع خلايا رباعية الوجوه ثنائية الوتدية تتشكل في الفراغات. توجد ثلاثة أشكال من ثلاثة مخططات كوكسيتر-دينكين ذات صلة : ، ، و . تتمتع هذه الأشكال بالتناظر [4,3 ⁺ ,4]، [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ]، و[3 ^[4] ] ⁺ على التوالي. يمكن مضاعفة التناظر الأول والأخير ليصبحا [[ 4,3 ⁺ ,4 ]] و [[ 3 ^{[4] ]} ] ⁺ .

يتكون قرص العسل المزدوج من خلايا تسمى عشرية الأوجه الماسية .

خمسة ألوان موحدة

المجموعة الفضائية	أنا 3 (204)	الساعة 3 مساءً (200)	Fm 3 (202)	Fd 3 (203)	F23 (96)
فايبريفولد	8 -o	4 −	2 −	2 o+	1 o
مجموعة كوكسيتر	[[ 4,3 + ,4 ]]	[4,3 + ,4]	[4,(3 1,1 ) + ]	[[ 3 [4] ]] +	[3 [4] ] +
مخطط كوكسيتر
طلب	مزدوج	ممتلىء	نصف	ربع مزدوج	ربع
صورة ملونة حسب الخلايا

يُمثَّل هذا الشكل الشبيه بخلية النحل في ذرات البورون في البلورة المعينية ألفا . تقع مراكز المجسمات العشرين السطوح عند مواقع الشبكة المكعبة المتمركزة على الوجوه. ^{[ 2 ]}

• التبليط المعماري والانعكاسي
• قرص العسل المكعب
• منطقة بريلوين

• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، (2008) تناظرات الأشياء ، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 21، تسمية المجسمات متعددة الأوجه الأرخميدية والكتالونية والتبليطات، التبليطات المعمارية والكاتوبترية، الصفحات 292-298، يشمل جميع الأشكال غير المنشورية)
• جورج أولشيفسكي، مخطوطة رباعية الأمشاط موحدة الصبغيات (2006) (قائمة كاملة تضم 11 تبليطًا محدبًا موحدًا، و28 قرص عسل محدبًا موحدًا، و143 مشطًا رباعيًا موحدًا محدبًا)
• برانكو غرونباوم ، التبليط المنتظم للفضاء ثلاثي الأبعاد. جيومبيناتوركس 4 (1994)، 49 - 56.
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6أُرشف بتاريخ 11 يوليو 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  • (الورقة 22) HSM Coxeter ، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407، MR 2,10] (1.9 ملء الفراغات المنتظمة)
• A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e Semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (على الشبكات المنتظمة وشبه المنتظمة لمتعددات الوجوه وعلى الشبكات المترابطة المقابلة)، Mem. Società Italiana della Scienze، Ser.3، 14 (1905) 75–129.
• كليتزينغ، ريتشارد. "خلايا نحل إقليدية ثلاثية الأبعاد o4x3x4o - دفعة - O16" .
• خلايا نحل متجانسة في 3 مساحات: دفعة 05
• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد السطوح الذي يملأ الفراغ" . عالم الرياضيات .