قرص العسل رباعي الأوجه وثماني الأوجه

خلايا النحل المكعبة المتناوبة
يكتب	قرص العسل الموحد
عائلة	قرص عسل مكعب فائق متناوب قرص عسل بسيط
الفهرسة [ 1 ]	J 21,31,51 ، A 2 W 9 ، G 1
رموز شلافلي	h{4,3,4} {3 [4] } ht 0,3 {4,3,4} h{4,4}h{∞} ht 0,2 {4,4}h{∞} h{∞}h{∞}h{∞} s{∞}s{∞}s{∞}
مخططات كوكسيتر	= = = =
الخلايا	{3,3} {3,4}
وجوه	المثلث {3}
شكل الحافة	[{3,3}.{3,4}] 2 ( مستطيل )
شكل الرأس	( مكعب ثماني الأوجه )
مجموعة التناظر	Fm 3 m (225)
مجموعة كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$, [4,3 1,1 ]
مزدوج	خلية ذات شكل معيني اثني عشري :
ملكيات	متعدية الرؤوس ، متعدية الحواف ، قرص عسل شبه منتظم

يُعدّ شكل قرص العسل المكعب المتناوب، أو رباعي الأوجه-ثماني الأوجه ، شكلاً شبه منتظم يملأ الفراغ (أو قرص العسل ) في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . ويتكون من أشكال ثمانية الأوجه ورباعية الأوجه منتظمة بالتناوب بنسبة 1:2.

ومن الأسماء الأخرى: قرص العسل نصف المكعب ، أو التكوين الخلوي نصف المكعب ، أو التكوين الخلوي رباعي الأضلاع ثنائي الوتدي . أطلق جون هورتون كونواي على قرص العسل هذا اسم " تيتروكتاهيدريل "، وعلى نظيره اسم "دوديكاهيدريل" .

قام آر. بوكمينستر فولر بدمج الكلمتين oct ahedron و tet rahedron في octet truss، وهو عبارة عن معين يتكون من ثماني السطوح واحد (أو هرمين مربعين) واثنين من رباعيات السطوح المتقابلة.

يتميز هذا الهيكل بخاصية التعدي على الرؤوس، حيث يحيط بكل رأس ثمانية رباعيات أوجه وستة ثمانيات أوجه . كما يتميز بخاصية التعدي على الحواف، حيث يتناوب وجود رباعيي أوجه وثمانيي أوجه على كل حافة. ​​وتُنتج مواقع رؤوس هذا الهيكل، المكون من رباعيات الأوجه وثمانيات الأوجه، الشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية (FCC) في البلورات .

تُعدّ خلية النحل الهندسية شكلاً هندسياً يملأ الفراغ بخلايا متعددة الأوجه أو خلايا ذات أبعاد أعلى ، بحيث لا توجد فجوات. وهي مثال على التبليط الرياضي أو التقسيم إلى أشكال هندسية أكثر عمومية في أي عدد من الأبعاد.

تُبنى خلايا النحل عادةً في الفضاء الإقليدي العادي ("المسطح")، مثل خلايا النحل المحدبة المنتظمة . ويمكن بناؤها أيضًا في فضاءات غير إقليدية ، مثل خلايا النحل الزائدية المنتظمة . ويمكن إسقاط أي متعدد سطوح منتظم محدود على كرته المحيطة لتشكيل خلية نحل منتظمة في الفضاء الكروي.

يُعدّ هذا النوع جزءًا من عائلة لانهائية من الأشكال الخلوية المنتظمة تُسمى الأشكال الخلوية المكعبة الفائقة المتناوبة ، والتي تتشكل كتناوب بين الأشكال الخلوية المكعبة الفائقة، وتتكون من أوجه مكعبة فائقة نصفية وأوجه متعددة السطوح متقاطعة . كما أنه جزء من عائلة لانهائية أخرى من الأشكال الخلوية المنتظمة تُسمى الأشكال الخلوية البسيطة .

في هذه الحالة من الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتناوب شكل قرص العسل المكعب ، مما يُختزل الخلايا المكعبة إلى رباعيات الأوجه، وتُنشئ الرؤوس المحذوفة فراغات ثمانية الأوجه. وبذلك، يمكن تمثيله برمز شلافلي الموسع h{4,3,4} الذي يحتوي على نصف رؤوس قرص العسل المكعب {4,3,4}.

يوجد نوع مشابه من خلايا النحل يسمى خلية النحل رباعية الأوجه وثمانية الأوجه الدوارة، والتي تحتوي على طبقات تدور 60 درجة بحيث يكون نصف الحواف متجاورة بدلاً من أن تكون متناوبة بين رباعيات الأوجه وثمانيات الأوجه.

يمكن مضاعفة تناظر خلية النحل رباعية الأوجه-ثمانية الأوجه بوضع رباعيات الأوجه على الخلايا ثمانية الأوجه، مما يُنشئ خلية نحل غير منتظمة تتكون من رباعيات الأوجه وثمانيات الأوجه (كمنشورات مثلثية مضادة). شكل رأسها هو رباعي أوجه ثلاثي الأوجه مقطوع من الرتبة 3. تُعد خلية النحل هذه ثنائية لخلية النحل رباعية الأوجه ثلاثية الأوجه المقطوعة ، مع خلايا رباعية الأوجه ثلاثية الأوجه مقطوعة .

بالنسبة لخلية نحل مكعبة متناوبة ، ذات حواف موازية للمحاور وطول حافة يساوي 1، فإن الإحداثيات الديكارتية للرؤوس هي: (لجميع القيم الصحيحة: i ، j ، k حيث i + j + k زوجي )

(i, j, k)

يوجد نوعان من الهياكل العاكسة والعديد من الهياكل المكعبة المتناوبة على شكل قرص العسل ؛ أمثلة:

التناظر	${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$، [4,3 1,1 ] = ½${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$, [1 + ,4,3,4]	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$، [3 [4] ] = ½${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$، [1 + ،4،3 1،1 ]	[[ (4,3,4,2 + )]]	[(4,3,4,2 + )]
المجموعة الفضائية	Fm 3 m (225)	F 4 3m (216)	I 4 3m (217)	P 4 3m (215)
صورة
أنواع رباعيات الأوجه	1	2	3	4
مخطط كوكسيتر	=	= =

شرائح قرص العسل المكعبة المتناوبة

يمكن تقسيم بنية قرص العسل المكعبة المتناوبة إلى أقسام، حيث تُنشأ أوجه مربعة جديدة من داخل ثماني السطوح. يحتوي كل قسم على أهرامات مربعة وأهرامات رباعية السطوح متجهة للأعلى والأسفل ، تقع على حوافها. لا يحتاج اتجاه القسم الثاني إلى أوجه جديدة، ويتضمن أهرامات رباعية السطوح وأهرامات ثمانية السطوح بالتناوب. تُصنف بنية قرص العسل هذه على أنها ذات شكل حرشفي وليست منتظمة، وذلك لاحتوائها على خلايا غير منتظمة.

الإسقاط عن طريق الطي

يمكن إسقاط شكل قرص العسل المكعب المتناوب بشكل متعامد على تبليط مربع مستوٍ من خلال عملية طي هندسية تُحوّل كل زوج من المرايا إلى الآخر. ينتج عن إسقاط شكل قرص العسل المكعب المتناوب نسختان متداخلتان من ترتيب رؤوس التبليط المربع للمستوى.

مجموعة كوكسيتر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$
مخطط كوكسيتر
صورة
اسم	قرص العسل المكعب المتناوب	تبليط مربع

يمثل ترتيب رؤوسها شبكة A3 أو شبكة D3 . [ ^{2 ] [ 3} _] ^تُعرف هذه الشبكة في علم البلورات باسم الشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية ^، ويُشار إليها أيضًا باسم الشبكة المكعبة ذات التراص المتراص _، حيث تمثل رؤوسها مراكز تراص متراص بكرات متساوية الحجم، مما يحقق أعلى كثافة متوسطة ممكنة. يُعدّ قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه الحالة ثلاثية الأبعاد لقرص العسل البسيط . خلية فورونوي الخاصة به هي مُعيّن ذو اثني عشر وجهًا ، وهو الشكل الثنائي لشكل رأس المكعب ثماني الأوجه لقرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه.

يمكن إنشاء التعبئة D ⁺ ₃ من خلال اتحاد شبكتين D ₃ (أو A ₃ ). وتُعدّ التعبئة D ⁺ _n شبكةً فقط للأبعاد الزوجية. عدد التلامس هو 2 ² = 4، (2 ⁿ⁻¹ لـ n<8، و240 لـ n=8، و2n(n−1) لـ n>8). ^{[ 4 ]}

∪

يمكن إنشاء الشبكة A ^* ₃ أو D ^* ₃ (وتسمى أيضًا A ⁴ ₃ أو D ⁴ _{3 ) عن طريق اتحاد جميع الشبكات A 3} الأربعة ، وهي مطابقة لترتيب رؤوس قرص العسل رباعي الأوجه ثنائي الوتد ، وقرص العسل المزدوج لقرص العسل المكعب ثنائي القطع المنتظم : ^{[ 5 ]} وهي أيضًا المكعب ذو المركز الجسمي ، واتحاد قرصي عسل مكعبين في وضع مزدوج.

∪ ∪ ∪ = ثنائي = ∪ .

عدد التقبيل لشبكة D ^* ₃ هو 8 ^{[ 6 ]} وتجزئتها فورونوي عبارة عن ^قرص عسل مكعب مقطوع ثنائيًا ، يحتوي على جميع خلايا فورونوي ثمانية الأوجه المقطوعة . [ ^{7 ]}

• التبليط المعماري والانعكاسي
• قرص العسل المكعب
• هيكل فضائي
• قرص العسل رباعي الأضلاع ثنائي الوتدي
• قرص العسل ذو 16 خلية
• قرص العسل ذو 24 خلية

• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، (2008) تناظرات الأشياء ، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 21، تسمية المجسمات متعددة الأوجه الأرخميدية والكتالونية والتبليطات، التبليطات المعمارية والكاتوبترية، الصفحات 292-298، يشمل جميع الأشكال غير المنشورية)
• جورج أولشيفسكي، مخطوطة رباعية الأمشاط موحدة الصبغيات (2006) (قائمة كاملة تضم 11 تبليطًا محدبًا موحدًا، و28 قرص عسل محدبًا موحدًا، و143 مشطًا رباعيًا موحدًا محدبًا)
• برانكو غرونباوم ، التبليط المنتظم للفضاء ثلاثي الأبعاد. جيومبيناتوركس 4 (1994)، 49 - 56.
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

• كريتشلو، كيث (1970). النظام في الفضاء: كتاب مرجعي في التصميم . دار فايكنغ للنشر. رقم ISBN 0-500-34033-1.
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6أُرشف بتاريخ 11 يوليو 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
  • (الورقة 22) HSM Coxeter ، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10] (1.9 ملء الفراغات المنتظمة)
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• A. Andreini , Sulle reti di poliedri regolari e Semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (على الشبكات المنتظمة وشبه المنتظمة لمتعددات الوجوه وعلى الشبكات المترابطة المقابلة)، Mem. Società Italiana della Scienze، Ser.3، 14 (1905) 75–129.
• دي إم واي سومرفيل ، مقدمة في هندسة الأبعاد n . نيويورك، إي بي داتون، 1930. 196 صفحة. (طبعة دوفر للنشر، 1958) الفصل العاشر: متعددات الوجوه المنتظمة
• كونواي جيه إتش، وسلون إن جيه إتش (1998). تعبئة الكرات، والشبكات، والمجموعات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN 0-387-98585-9.

• تصميم معماري مصنوع من رباعيات الأوجه والأهرامات المنتظمة ذات قاعدة مربعة. (2003) مؤرشف بتاريخ 4 مارس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• كليتزينغ، ريتشارد. "خلايا النحل الإقليدية ثلاثية الأبعاد x3o3o *b4o - ثمانية - O21" .
• خلايا نحل موحدة في 3 مسافات: 11-ثمانية

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 طبقات	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21