متعدد الوجوه الخماسي المنتظم

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 198 صور
الموسوعة الحرة
رسوم بيانية للمضلعات الخماسية المنتظمة والمتجانسة .
5-simplex5-simplex المعدل5-simplex المقتطع
كانتيليتد 5-سيمبلكسرونشينيتد 5-سيمبلكسمُعَدَّل 5-بسيط
5-أورثوبلكس5-أورثوبليكس المختصر5-أورثوبلكس المعدل
كانتيليتد 5-أورثوبلكسرونشينيتد 5-أورثوبليكس
مكعب ذو خمسة أجزاء مزخرفةمكعبات رونشينيتد 5مكعبات مغلفة بالستيري
5 مكعباتمكعب خماسي مقطوعمكعب مصحح 5
5-نصف مكعبمكعب نصف دائري مُقتطع
مكعب نصف دائري ذو 5 أجزاء.مكعب نصف دائري ذو خمسة أجزاء

في الهندسة ، يُعرف متعدد السطوح الخماسي المنتظم بأنه متعدد سطوح منتظم خماسي الأبعاد . وبحسب التعريف، فإن متعدد السطوح الخماسي المنتظم متعدٍ على الرؤوس، ويتكون من أوجه متعددة السطوح الرباعية المنتظمة .

لم يتم تحديد المجموعة الكاملة للمضلعات الخماسية المنتظمة المحدبة ، ولكن يمكن إنشاء العديد منها باستخدام عمليات بناء Wythoff من مجموعة صغيرة من مجموعات التناظر . وتُمثل عمليات البناء هذه بتباديل حلقات مخططات Coxeter .

تاريخ الاكتشاف

  • المضلعات المنتظمة : (الأوجه المحدبة)
    • 1852 : أثبت لودفيج شلايفلي في مخطوطته Theorie der vielfachen Kontinuität أن هناك بالضبط 3 بوليتوبات منتظمة في 5 أبعاد أو أكثر .
  • المضلعات شبه المنتظمة المحدبة : (تعريفات مختلفة قبل فئة كوكسيتر المنتظمة )
  • متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة :
    • 1940-1988 : تم توسيع البحث بشكل منهجي بواسطة HSM Coxeter في منشوره Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III .
    • 1966 : أكمل نورمان دبليو جونسون أطروحته للدكتوراه تحت إشراف كوكسيتر، بعنوان " نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل" ، جامعة تورنتو
  • متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة :
    • 1966 : وصف جونسون في أطروحته منشورين مضادين منتظمين غير محدبين في الفضاء الخماسي. [ 2 ]
    • ٢٠٠٠-٢٠٢٤ : بحث جوناثان باورز وباحثون آخرون عن متعددات وجوه منتظمة غير محدبة من الرتبة 5، [ ٣ ] ويبلغ العدد الحالي 1333 متعدد وجوه منتظم معروف من الرتبة 5 خارج العائلات اللانهائية (المحدبة وغير المحدبة)، باستثناء موشورات متعددات الوجوه المنتظمة من الرتبة 4. ولم تُثبت اكتمال هذه القائمة. [ ٤ ] [ ٥ ]

متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة

يمكن تمثيل المضلعات الخماسية المنتظمة برمز شلافلي {p,q,r,s}، حيث يحيط بكل وجه منها s من الأوجه الرباعية {p,q,r} . يوجد ثلاثة مضلعات منتظمة من هذا النوع، جميعها محدبة.

لا توجد متعددات وجوه منتظمة غير محدبة في 5 أبعاد أو أعلى.

متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة المحدبة

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
ما هي المجموعة الكاملة للمضلعات الخماسية المنتظمة المحدبة؟ [ 6 ]
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

يوجد 104 متعددات وجوه محدبة منتظمة معروفة من الرتبة 5، بالإضافة إلى عدد من العائلات اللانهائية من موشورات ثنائية ، وموشورات ثنائية من متعددات الأضلاع ومتعددات السطوح. جميعها، باستثناء الموشور المضاد الكبير، مبنية على تركيبات ويثوف ، وتناظر انعكاسي مُولّد بواسطة مجموعات كوكسيتر .

تناظر متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة في أربعة أبعاد

الشكل الخماسي البسيط هو الشكل المنتظم في عائلة A 5. أما الشكل الخماسي المكعب والشكل الخماسي المتعامد فهما الشكلان المنتظمان في عائلة B 5. ويحتوي الرسم البياني المتشعب لعائلة D 5 على الشكل الخماسي المتعامد ، بالإضافة إلى الشكل الخماسي شبه المكعب وهو شكل خماسي مكعب متبادل .

يمكن إنشاء كل متعدد وجوه خماسي منتظم عاكس في مجموعة نقطية عاكسة واحدة أو أكثر في خمسة أبعاد باستخدام بناء ويثوف ، ممثلاً بحلقات حول تباديل العقد في مخطط كوكسيتر . يمكن تجميع المستويات الفائقة العاكسة ، كما هو موضح بالعقد الملونة، مفصولة بفروع زوجية. تتمتع مجموعات التناظر من الشكل [a,b,b,a] بتناظر ممتد، [[ a,b,b,a]]، مثل [3,3,3,3]، مما يضاعف رتبة التناظر. تحتوي متعددات الوجوه المنتظمة في هذه المجموعة ذات الحلقات المتناظرة على هذا التناظر الممتد.

إذا كانت جميع المرايا ذات لون معين غير محاطة بحلقات (غير نشطة) في متعدد السطوح منتظم معين، فسيكون له بنية ذات تناظر أقل بإزالة جميع المرايا غير النشطة. أما إذا كانت جميع العقد ذات لون معين محاطة بحلقات (نشطة)، فيمكن لعملية التناوب أن تُنشئ متعدد سطوح خماسي جديد ذو تناظر حلزوني، يظهر على شكل عقد دائرية "فارغة"، ولكن لا يمكن تعديل الهندسة عمومًا لإنشاء حلول منتظمة.

مخطط كوكسيتر يوضح التطابقات بين العائلات والتناظر الأعلى داخل المخططات. تمثل العقد ذات اللون نفسه في كل صف مرايا متطابقة. أما العقد السوداء فهي غير فعالة في هذا التطابق.
العائلات الأساسية [ 7 ]
رمز المجموعةطلبرسم بياني كوكسيترتدوين الأقواسمجموعة فرعية للمبدلرقم كوكسيتر (ح)انعكاسات m = 5/2 h [ 8 ]
5​720[3,3,3,3][3,3,3,3] +615
د 51920[3,3,3 1,1 ][3,3,3 1,1 ] +820
ب 53840[4,3,3,3]10520
موشورات منتظمة

توجد خمس عائلات منتهية من متعددات الوجوه المنشورية المنتظمة ذات التصنيف الفئوي، والمبنية على متعددات الوجوه المنتظمة غير المنشورية ذات البعد 4. وتوجد عائلة واحدة غير منتهية من متعددات الوجوه ذات البعد 5، والمبنية على منشورات من متعددات الوجوه المنتظمة ذات البعدين {p}×{q}×{ }. 

مجموعة كوكسيترطلبمخطط كوكسيترتدوين كوكسيترمجموعة فرعية للمبدلتأملات
أ 4 أ 1120[3,3,3,2] = [3,3,3]×[ ][3,3,3] +101
D 4 A 1384[3 1,1,1 ,2] = [3 1,1,1 ]×[ ][3 1,1,1 ] +121
ب 4 أ 1768[4,3,3,2] = [4,3,3]×[ ]4121
F 4 A 12304[3,4,3,2] = [3,4,3]×[ ][3 + ,4,3 + ]12121
H 4 A 128800[5,3,3,2] = [3,4,3]×[ ][5,3,3] +601
الموشورات المزدوجة (استخدم 2p و 2q للأعداد الزوجية)
I 2 ( p )I 2 ( q )A 18 pq[p,2,q,2] = [p]×[q]×[ ][p + ,2,q + ]صq1
I 2 (2 p )I 2 ( q )A 116 pq[2p,2,q,2] = [2p]×[q]×[ ]صصq1
I 2 (2 p )I 2 (2 q )A 132 pq[2p,2,2q,2] = [2p]×[2q]×[ ]صصqq1
المنشورات المزدوجة المنتظمة

هناك 3 عائلات فئوية موحدة ثنائية المنشور من متعددات الوجوه تعتمد على الضرب الديكارتي للمتعددات المنتظمة والمضلعات المنتظمة : { q , r }×{ p }.

مجموعة كوكسيترطلبمخطط كوكسيترتدوين كوكسيترمجموعة فرعية للمبدلتأملات
المجموعات المنشورية (استخدم 2p للمجموعات الزوجية)
A 3 I 2 ( p )48 بنساً[3,3,2, p ] = [3,3]×[ p ][(3,3) + ,2, p + ]6ص
A 3 I 2 ( 2p )96 بنساً[3,3,2,2 p ] = [3,3]×[2 p ]6صص
ب 3 أنا 2 ( ص )96 بنساً[4,3,2, p ] = [4,3]×[ p ]36ص
ب 3 أنا 2 ( 2p )192 صفحة[4,3,2,2 p ] = [4,3]×[2 p ]36صص
H 3 I 2 ( p )240 بنساً[5,3,2, p ] = [5,3]×[ p ][(5,3) + ,2, p + ]15ص
H 3 I 2 ( 2p )480 صفحة[5,3,2,2 p ] = [5,3]×[2 p ]15صص

تعداد متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 5

وبذلك يصبح المجموع: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104

بالإضافة إلى ذلك، هناك:

  • عدد لا نهائي من الإنشاءات الموحدة ذات 5-متعددة الوجوه القائمة على عائلات المنشورات المزدوجة: [ p ]×[ q ]×[  ].
  • عدد لا نهائي من الإنشاءات الموحدة ذات 5-متعددة الوجوه القائمة على عائلات ثنائية المنشور: [3,3]×[ p ]، [4,3]×[ p ]، [5,3]×[ p ].

عائلة A 5

توجد 19 صيغة مبنية على جميع تباديل مخططات كوكسيتر مع حلقة واحدة أو أكثر. (16+4-1 حالة)

أطلق عليها نورمان جونسون هذا الاسم نسبةً إلى عمليات البناء التي تقوم بها شركة Wythoff على أساس 5-simplex (hexateron) العادي.

تتمتع عائلة A 5 بتناظر من الرتبة 720 ( مضروب 6 ). سبعة من الأشكال التسعة عشر، ذات مخططات كوكسيتر ذات الحلقات المتناظرة، تتمتع بتناظر مضاعف من الرتبة 1440 .

يمكن توليد إحداثيات متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة ذات التناظر الخماسي البسيط على شكل تباديل للأعداد الصحيحة البسيطة في الفضاء 6، وكلها في مستويات فائقة ذات متجه عمودي (1،1،1،1،1،1).

8نقطة الأساسنظام تسمية جونسون، اسم باورز و(اختصار) مخطط كوكسيترعدد عناصر الوجه kشكل الرأسعدد الأوجه حسب الموقع: [3,3,3,3]
43210[3,3,3] (6)[3,3,2] (15)[3,2,3] (20)[2,3,3] (15)[3,3,3] (6)Alt
1(0,0,0,0,0,1) أو (0,1,1,1,1,1)سداسي بسيط من 5 (hix)61520156{3,3,3}{3,3,3}----
2(0,0,0,0,1,1) أو (0,0,1,1,1,1)مقوم 5-سيمبلكس مقوم سداسي (rix)1245806015t{3,3}×{  }r{3,3,3}---{3,3,3}
3(0,0,0,0,1,2) أو (0,1,2,2,2,2)هيكساتيرون مختصر من 5-simplex (tix)1245807530Tetrah.pyrt{3,3,3}---{3,3,3}
4(0,0,0,1,1,2) أو (0,1,1,2,2,2)سداسي صغير معيني الشكل ذو 5 عناصر بسيطة (sarx)2713529024060إسفين المنشورrr{3,3,3}--{  }×{3,3}r{3,3,3}
5(0,0,0,1,2,2) أو (0,0,1,2,2,2)Bitruncated 5-simplex bitruncated hexateron (bittix)1260140150602t{3,3,3}---t{3,3,3}
6(0,0,0,1,2,3) أو (0,1,2,3,3,3)هيكساتيرون معيني كبير مقطوع خماسي بسيط (garx)27135290300120tr{3,3,3}--{  }×{3,3}t{3,3,3}
7(0,0,1,1,1,2) أو (0,1,1,1,2,2)سداسي صغير موشوري الشكل ذو 5-أحادي (spix)4725542027060t 0,3 {3,3,3}-{3}×{3}{  }×r{3,3}r{3,3,3}
8(0,0,1,1,2,3) أو (0,1,2,2,3,3)Runcitruncated 5-simplex prismatotruncated hexateron (pattix)47315720630180t 0,1,3 {3,3,3}-{6}×{3}{  }×r{3,3}rr{3,3,3}
9(0,0,1,2,2,3) أو (0,1,1,2,3,3)Runcicantellated 5-simplex prismatorhombated hexateron (pirx)47255570540180t 0,1,3 {3,3,3}-{3}×{3}{  }×t{3,3}2t{3,3,3}
10(0,0,1,2,3,4) أو (0,1,2,3,4,4)Runcicantitruncated 5-simplex great prismated hexateron (gippix)47315810900360خلية واحدة غير منقطعةt 0,1,2,3 {3,3,3}-{3}×{6}{  }×t{3,3}tr{3,3,3}
11(0,1,1,1,2,3) أو (0,1,2,2,2,3)هيكساتيرون مُستَشَطَّر خماسي مُحْتَزِل (كابيكس)62330570420120t{3,3,3}{  }×t{3,3}{3}×{6}{  }×{3,3}t 0,3 {3,3,3}
12(0,1,1,2,3,4) أو (0,1,2,3,3,4)Stericantitruncated 5-simplex celligreatorhombated hexateron (cograx)6248011401080360tr{3,3,3}{  }×tr{3,3}{3}×{6}{  }×rr{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
13(0,0,0,1,1,1)ثنائي التصحيح 5-simplex dodecateron (dot)12601209020{3}×{3}r{3,3,3}---r{3,3,3}
14(0,0,1,1,2,2)ثنائي الشعاع ذو 5 خلايا بسيطة، صغير ثنائي المعين ذو 12 خلية (هجين)3218042036090rr{3,3,3}-{3}×{3}-rr{3,3,3}
15(0,0,1,2,3,3)ثنائي القطع 5-بسيط كبير ثنائي المعين ذو اثني عشر ضلعًا (هجين)32180420450180tr{3,3,3}-{3}×{3}-tr{3,3,3}
16(0,1,1,1,1,2)دوديكاترون صغير الخلايا ذو 5 خلايا بسيطة مغلفة بالستيريك (scad)6218021012030خلية واحدة غير منقطعة{3,3,3}{  }×{3,3}{3}×{3}{  }×{3,3}{3,3,3}
17(0,1,1,2,2,3)بطاقة دوارة ذات 5 خلايا بسيطة، ذات 12 خلية معينية صغيرة (بطاقة)62420900720180rr{3,3,3}{  }×rr{3,3}{3}×{3}{  }×rr{3,3}rr{3,3,3}
18(0,1,2,2,3,4)Steriruncitruncated 5-simplex celliprismatotruncated dodecateron (captid)6245011101080360t 0,1,3 {3,3,3}{  }×t{3,3}{6}×{6}{  }×t{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
19(0,1,2,3,4,5)أومنيترونكاتيد 5-سيمبلكس دوديكاترون خلوي كبير (gocad)6254015601800720غير منتظم {3،3،3}t 0,1,2,3 {3,3,3}{  }×tr{3,3}{6}×{6}{  }×tr{3,3}t 0,1,2,3 {3,3,3}
غير منتظمOmnisnub 5-simplex snub dodecateron (snod) snub hexateron (snix)422234040802520360ht 0,1,2,3 {3,3,3}ht 0,1,2,3 {3,3,2}ht 0,1,2,3 {3,2,3}ht 0,1,2,3 {3,3,2}ht 0,1,2,3 {3,3,3}(360) غير منتظم {3،3،3}

عائلة B 5

تتمتع عائلة B 5 بتناظر من الرتبة 3840 (5! × 2 5 ).

تحتوي هذه العائلة على 31 متعدد وجوه منتظم من نوع Wythoffian، موزعة على النحو التالي: 2⁵ - 1 = 31، يتم توليدها بتحديد عقدة واحدة أو أكثر من مخطط Coxeter . كما أُضيفت 8 متعددات وجوه منتظمة أخرى، تم توليدها كتناوبات بنصف التناظر، والتي تُشكل نسخة طبق الأصل من عائلة D⁵ كما يلي: ... = ..... (هناك تناوبات أخرى غير مدرجة لأنها تُنتج تكرارات فقط، كما يلي: ... = .... و ... = .... تُشكل هذه التناوبات نسخة طبق الأصل من متعددات الوجوه المنتظمة من النوع 5 المرقمة من 20 إلى 34، مع كسر التناظر إلى النصف).

ولتبسيط الأمر، يتم تقسيمها إلى مجموعتين فرعيتين، كل منهما تحتوي على 12 شكلاً، و7 أشكال "متوسطة" تنتمي بالتساوي إلى كلتيهما.

تُعطى عائلة المكعبات الخماسية من متعددات الوجوه الخماسية بواسطة الأغلفة المحدبة لنقاط الأساس المذكورة في الجدول التالي، مع أخذ جميع تباديل الإحداثيات والإشارات في الاعتبار. تُولّد كل نقطة أساس متعدد وجوه خماسي منتظم ومميز. تتوافق جميع الإحداثيات مع متعددات وجوه خماسية منتظمة طول ضلعها 2.

8نقطة الأساسمخطط كوكسيترعدد العناصرشكل الرأسعدد الأوجه حسب الموقع: [4,3,3,3]
43210[4,3,3] (10)[4,3,2] (40)[4,2,3] (80)[2,3,3] (80)[3,3,3] (32)Alt
20(0,0,0,0,1)√25-أورثوبلكس ترياكونتاديترون (تاك)3280804010{3,3,4}----{3,3,3}
21(0,0,0,1,1)√2مُقوَّم 5-أورثوبلكس مُقوَّم ترياكونتا ديترون (جرذ)4224040024040{  }×{3,4}{3,3,4}---r{3,3,3}
22(0,0,0,1,2)√2ثلاثي الأضلاع المختصر ذو الخمسة عناصر (tot)4224040028080(Octah.pyr){3,3,4}---t{3,3,3}
23(0,0,1,1,1)√2ثنائي التوجيه 5-مكعب penteractitriacontaditeron (nit) (ثنائي التوجيه 5-orthoplex)4228064048080{4}×{3}r{3,3,4}---r{3,3,3}
24(0,0,1,1,2)√2Cantellated 5-orthoplex small rhombated triacontaditeron (sart)8264015201200240إسفين المنشورr{3,3,4}{  }×{3,4}--rr{3,3,3}
25(0,0,1,2,2)√2Bitruncated 5-orthoplex bitruncated triacontaditeron (bittit)42280720720240t{3,3,4}---2t{3,3,3}
26(0,0,1,2,3)√2Cantitruncated 5-orthoplex great rhombated triacontaditeron (gart)8264015201440480t{3,3,4}{  }×{3,4}--t 0,1,3 {3,3,3}
27(0,1,1,1,1)√2مكعب خماسي مقوم (rin)4220040032080{3,3}×{  }r{4,3,3}---{3,3,3}
28(0,1,1,1,2)√2رنسيناتيد 5-أورثوبلكس صغير موشور ثلاثي الأضلاع (يرقة)162120021601440320r{4,3,3}{  }×r{3,4}{3}×{4}t 0,3 {3,3,3}
29(0,1,1,2,2)√2ثنائي الخلايا المكعبة الخماسية الصغيرة ثنائية المعين (sibrant) (ثنائي الخلايا الأورثوبلكس)12284021601920480rr{3,3,4}-{4}×{3}-rr{3,3,3}
30(0,1,1,2,3)√2Runcitruncated 5-orthoplex prismatotruncated triacontaditeron (pattit)162144036803360960rr{3,3,4}{  }×r{3,4}{6}×{4}-t 0,1,3 {3,3,3}
31(0,1,2,2,2)√2مكعب خماسي مقطوع ثنائياً (bittin)422807208003202t{4,3,3}---t{3,3,3}
32(0,1,2,2,3)√2Runcicantellated 5-orthoplex prismatorhombated triacontaditeron (pirt)1621200296028809602t{4,3,3}{  }×t{3,4}{3}×{4}-t 0,1,3 {3,3,3}
33(0,1,2,3,3)√2ثنائي القطع خماسي المكعبات كبير ثنائي المعينات ثلاثي الأضلاع (جبرانت) (ثنائي القطع خماسي الأضلاع)12284021602400960tr{3,3,4}-{4}×{3}-rr{3,3,3}
34(0,1,2,3,4)√2Runcicantitruncated 5-orthoplex great prismated triacontaditeron (gippit)1621440416048001920tr{3,3,4}{  }×t{3,4}{6}×{4}-t 0,1,2,3 {3,3,3}
35(1,1,1,1,1)خماسي الأضلاع ذو 5 مكعبات (خماسي)1040808032{3,3,3}{4,3,3}----
36(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1)√2Penteractitriacontaditeron (scant) (Stericated 5 -orthoplex)2428001040640160تيترابروم{4,3,3}{4,3}×{  }{4}×{3}{  }×{3,3}{3,3,3}
37(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1)√2مكعب خماسي صغير ذو خمسة أجزاء (امتداد)202124021601440320t 0,3 {4,3,3}-{4}×{3}{  }×r{3,3}r{3,3,3}
38(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2)√2ترياكونتا ديترون (كابين) المختصر 5-أورثوبلكس سيليبريزاتيد242152028802240640t 0,3 {4,3,3}{4,3}×{  }{6}×{4}{  }×t{3,3}t{3,3,3}
39(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1)√2مكعب خماسي صغير معيني الشكل ذو خمسة مكعبات (sirn)12268015201280320إسفين المنشورrr{4,3,3}--{  }×{3,3}r{3,3,3}
40(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2)√2(Stericantellated 5-cube cellirhombated penteractitriacontaditeron (carnit) (Stericantellated 5-orthoplex)242208047203840960rr{4,3,3}rr{4,3}×{  }{4}×{3}{  }×rr{3,3}rr{3,3,3}
41(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2)√2مجسم خماسي مكعب ذو خمسة أجزاء (prin)202124029602880960t 0,2,3 {4,3,3}-{4}×{3}{  }×t{3,3}2t{3,3,3}
42(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3)√2Stericantitruncated 5-orthoplex celligreatorhombated triacontaditeron (cogart)2422320592057601920t 0,2,3 {4,3,3}rr{4,3}×{  }{6}×{4}{  }×tr{3,3}tr{3,3,3}
43(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1)√2مكعب خماسي مقطوع (تان)42200400400160Tetrah.pyrt{4,3,3}---{3,3,3}
44(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2)√2ترياكونتا ديترون (كابتن) مُقَطَّع مُستَغَلِّف بخمسة مكعبات242160029602240640t{4,3,3}t{4,3}×{  }{8}×{3}{  }×{3,3}t 0,3 {3,3,3}
45(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2)√2منشور خماسي مقطوع ذو 5 مكعبات (باتين)202156037603360960t 0,1,3 {4,3,3}-{8}×{3}{  }×r{3,3}rr{3,3,3}
46(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3)√2Steriruncitruncated 5-cube celliprismatotruncated penteractitriacontaditeron (captint) (Steriruncitruncated 5-orthoplex)2422160576057601920t 0,1,3 {4,3,3}t{4,3}×{  }{8}×{6}{  }×t{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
47(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2)√2مكعب خماسي كبير معيني الشكل مقطوع (girn)12268015201600640tr{4,3,3}--{  }×{3,3}t{3,3,3}
48(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3)√2ستيريكانتيترونيتد 5-كيوب سيليجريتور هومباتيد بنتيراكت (كوغرين)2422400600057601920tr{4,3,3}tr{4,3}×{  }{8}×{3}{  }×rr{3,3}t 0,1,3 {3,3,3}
49(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3)√2Runcicantitruncated 5-cubed great prismated penteract (gippin)2021560424048001920t 0,1,2,3 {4,3,3}-{8}×{3}{  }×t{3,3}tr{3,3,3}
50(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4)√2Omnitruncated 5-cube great cellated penteractitriacontaditeron (gacnet) (omnitruncated 5-orthoplex)2422640816096003840غير منتظم {3،3،3}tr{4,3}×{  }tr{4,3}×{  }{8}×{6}{  }×tr{3,3}t 0,1,2,3 {3,3,3}
51خماسي الأبعاد 5-نصف مكعب (hin) =261201608016r{3,3,3}h{4,3,3}----(16) {3,3,3}
52مكعب كانتيكي خماسي الشكل مقطوع نصف خماسي (رقيق) =42280640560160h 2 {4,3,3}---(16) r{3,3,3}(16) t{3,3,3}
53رونسيك 5-مكعب صغير معيني الشكل نصف خماسي (سرهين) =42360880720160h 3 {4,3,3}---(16) r{3,3,3}(16) rr{3,3,3}
54مكعب ستيريك خماسي الأضلاع صغير موشوري الشكل (سيفين) =8248072040080h{4,3,3}h{4,3}×{}--(16) {3,3,3}(16) t 0,3 {3,3,3}
55كرونسيكانتيك خماسي المكعبات، نصف خماسي كبير معيني الشكل (غيرهين) =4236010401200480h 2,3 {4,3,3}---(16) 2t{3,3,3}(16) tr{3,3,3}
56مادة ستيريكانتيتيك خماسية المكعبات، موشورية مقطوعة، نصف خماسية (بيثين) =8272018401680480h 2 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}--(16) rr{3,3,3}(16) t 0,1,3 {3,3,3}
57مُكبِّر خماسي المكعبات ذو موشور معيني (بيرين) =8256012801120320h 3 {4,3,3}h{4,3}×{}--(16) t{3,3,3}(16) t 0,1,3 {3,3,3}
58مكعب خماسي الأضلاع مجسم (أبو الهول) =8272020802400960h 2,3 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}--(16) tr{3,3,3}(16) t 0,1,2,3 {3,3,3}
غير منتظمAlternated runcicantitruncated 5-orthoplex Snub prismatotriacontaditeron (snippit) Snub hemipenteract (snahin) =11226240108806720960sr{3,3,4}sr{2,3,4}sr{3,2,4}-ht 0,1,2,3 {3,3,3}(960) غير منتظم {3،3،3}
غير منتظمخماسي التفاعل ذو الحافة المقطوعة 5-أورثوبلكس بيريتوسنوب (pysnan)1202792015360105601920sr 3 {3,3,4}sr 3 {2,3,4}sr 3 {3,2,4}s{3,3}×{  }ht 0,1,2,3 {3,3,3}(960) Irr. {3,3}×{ } 
غير منتظممكعب سنوب خماسي (سنان)2162122402160013440960ht 0,1,2,3 {3,3,4}ht 0,1,2,3 {2,3,4}ht 0,1,2,3 {3,2,4}ht 0,1,2,3 {3,3,2}ht 0,1,2,3 {3,3,3}(1920) غير منتظم {3,3,3}

عائلة D 5

تتمتع عائلة D 5 بتناظر من الرتبة 1920 (5! × 2 4 ) .

تضم هذه العائلة 23 متعدد وجوه منتظم من نوع Wythoffian، ناتجة عن 3×8-1 تبديل لمخطط Coxeter D 5 مع حلقة واحدة أو أكثر. 15 منها (2×8-1) مكررة من عائلة B 5، و8 منها فريدة لهذه العائلة، مع العلم أن هذه الثمانية نفسها تكرر التبديلات من عائلة B 5 .

في التكرارات الخمسة عشر، تكون كلتا العقدتين اللتين تُنهيان الفروع ذات الطول 1 محاطتين بحلقة، لذا فإن نوعي العنصرين متطابقان ويتضاعف التناظر: العلاقات هي ... = .... و ... = ...، مما يُنشئ تكرارًا كاملاً للمضلعات الخماسية المنتظمة من 20 إلى 34 المذكورة أعلاه. أما الأشكال الثمانية الجديدة، فلها عقدة واحدة محاطة بحلقة وأخرى غير محاطة، مع العلاقة ... = ... التي تُكرر المضلعات الخماسية المنتظمة من 51 إلى 58 المذكورة أعلاه.

8مخطط كوكستر، رمز شلايفلي، يرمز لأسماء جونسون وباورزعدد العناصرشكل الرأسالتصنيفات حسب الموقع: [3 1,2,1 ]
43210[3,3,3] (16)[3 1,1,1 ] (10)[3,3]×[  ] (40)[  ]×[3]×[  ] (80)[3,3,3] (16)Alt
[51]= h{4,3,3,3}, مكعب نصف خماسي الأبعاد (hin)261201608016r{3,3,3}{3,3,3}h{4,3,3}---
[52]= h 2 {4,3,3,3}, مكعب كانتيكي خماسي الأبعاد ، نصف خماسي مقطوع (رقيق)42280640560160t{3,3,3}h 2 {4,3,3}--r{3,3,3}
[53]= h 3 {4,3,3,3}, مكعب رونكيتش خماسي صغير نصف خماسي معيني (سرهين)42360880720160rr{3,3,3}h 3 {4,3,3}--r{3,3,3}
[54]= h 4 {4,3,3,3}، مكعب فراغي خماسي، نصف خماسي موشور صغير (سيفين)8248072040080t 0,3 {3,3,3}h{4,3,3}h{4,3}×{}-{3,3,3}
[55]= h 2,3 {4,3,3,3}, مكعب رونسيكانتيكي خماسي الأبعاد، نصف خماسي معيني كبير (غيرهين)42360104012004802t{3,3,3}h 2,3 {4,3,3}--tr{3,3,3}
[56]= h 2,4 {4,3,3,3}، مُقَطَّع خماسي المكعبات، موشور مُقَطَّع (بيثين)8272018401680480t 0,1,3 {3,3,3}h 2 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}-rr{3,3,3}
[57]= h 3,4 {4,3,3,3}, steriruncic 5-cube Prismatorhombated hemipenteract (pirhin)8256012801120320t 0,1,3 {3,3,3}h 3 {4,3,3}h{4,3}×{}-t{3,3,3}
[58]= h 2,3,4 {4,3,3,3}, steriruncicantic 5-cube Great prisated hemipenteract (giphin)8272020802400960t 0,1,2,3 {3,3,3}h 2,3 {4,3,3}h 2 {4,3}×{}-tr{3,3,3}
غير منتظم= ht 0,1,2,3 {3,3,3,4}, متناوبة غير مكتملة 5-orthoplex Snub hemipenteract (snahin)11226240108806720960ht 0,1,2,3 {3,3,3}sr{3,3,4}sr{2,3,4}sr{3,2,4}ht 0,1,2,3 {3,3,3}(960) غير منتظم {3،3،3}

أشكال موشورية منتظمة

توجد خمس عائلات منتهية من متعددات الوجوه المنشورية المنتظمة، مبنية على متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة غير المنشورية . ولتبسيط الأمر، لم يتم عرض معظم التناوبات.

A 4 × A 1

تضم هذه العائلة المنشورية 9 أشكال :

تتمتع عائلة A 1 x A 4 بتناظر من الرتبة 240 (2*5!).

8مخطط كوكستر ورموز شلافلي الاسمعدد العناصر
جوانبالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
59= {3,3,3}×{  } منشور ذو 5 خلايا (penp)720302510
60= r{3,3,3}×{  } موشور مُقوَّم ذو 5 خلايا (rappip)1250907020
61= t{3,3,3}×{  } منشور خماسي الخلايا مقطوع (tippip)125010010040
62= rr{3,3,3}×{  } موشور ذو 5 خلايا مقسمة (srippip)2212025021060
63= t 0,3 {3,3,3}×{  } موشور خماسي الخلايا مُشوَّه (spiddip)3213020014040
64= 2t{3,3,3}×{  } منشور ذو 5 خلايا مقطوع ثنائياً (مقطوع)126014015060
65= tr{3,3,3}×{  } موشور خماسي الخلايا مقطوع (grippip)22120280300120
66= t 0,1,3 {3,3,3}×{  } منشور خماسي الخلايا مقطوع (prippip)32180390360120
67= t 0,1,2,3 {3,3,3}×{  } موشور خماسي الخلايا مقطوع بالكامل (gippiddip)32210540600240

ب 4 × أ 1

تحتوي هذه العائلة المنشورية على 16 شكلاً . (ثلاثة منها مشتركة مع  عائلة [3,4,3]×[ ])

تتمتع عائلة A 1 × B 4 بتناظر من الرتبة 768 (2 5 4 !).

يمكن تحقيق الأشكال الثلاثة الأخيرة ذات الحواف متساوية الطول، ولكنها تصبح غير منتظمة على أي حال لأن بعض وجوهها الرباعية ليست متعددة الوجوه الرباعية المنتظمة.

8مخطط كوكستر ورموز شلافلي الاسمعدد العناصر
جوانبالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
[16]= {4,3,3}×{  } منشور رباعي الأبعاد (خماسي) (نفس المكعب الخماسي )1040808032
68= r{4,3,3}×{  } منشور رباعي الأضلاع مُقوَّم (rittip)2613627222464
69= t{4,3,3}×{  } منشور رباعي الأبعاد مقطوع (tattip)26136304320128
70= rr{4,3,3}×{  } موشور رباعي الأضلاع ذو طرف مدبب58360784672192
71= t 0,3 {4,3,3}×{  } موشور رباعي الطبقات محدب (sidpithip)82368608448128
72= 2t{4,3,3}×{  } منشور رباعي الأبعاد مقطوع ثنائياً (tahp)26168432480192
73= tr{4,3,3}×{  } موشور رباعي الأبعاد مقطوع (grittip)58360880960384
74= t 0,1,3 {4,3,3}×{  } منشور رباعي الأبعاد مقطوع (prohp)8252812161152384
75= t 0,1,2,3 {4,3,3}×{  } موشور رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل (gidpithip)8262416961920768
76= {3,3,4}×{  } منشور ذو 16 خلية (سداسي)1864885616
77= r{3,3,4}×{  } موشور مقوم ذو 16 خلية (icope) (نفس موشور ذو 24 خلية )2614428821648
78= t{3,3,4}×{  } منشور ذو 16 خلية مقطوع (thexip)2614431228896
79= rr{3,3,4}×{  } موشور ذو 16 خلية مقوّم (مُقوّم) (نفس موشور ذي 24 خلية مُقوّم )50336768672192
80= tr{3,3,4}×{  } موشور ذو 16 خلية مقطوع (مُقَطَّع) (نفس الموشور ذو 24 خلية مقطوع )50336864960384
81= t 0,1,3 {3,3,4}×{  } منشور ذو 16 خلية مقطوع (prittip)8252812161152384
82= sr{3,3,4}×{  } منشور ذو 24 خلية (sadip)1467681392960192
غير منتظمالمنشور البديل المصحح رباعي الأبعاد (ريتا)5028846428864
غير منتظمموشور بديل مقطوع ذو 16 خلية (thexa)2616838433696
غير منتظمموشور بديل رباعي الأجزاء مقطوع (طه)50288624576192

F 4 × A 1

تضم هذه العائلة المنشورية 10 أشكال .

تتمتع عائلة A 1 x F 4 بتناظر من الرتبة 2304 (2*1152). ثلاثة متعددات وجوه 85 و86 و89 (خلفية خضراء) لها تناظر مزدوج [[3,4,3],2]، من الرتبة 4608. أما الأخير، وهو منشور ذو 24 خلية مقطوع (خلفية زرقاء)، فله تناظر [3 + ,4,3,2]، من الرتبة 1152.

8مخطط كوكستر ورموز شلافلي الاسمعدد العناصر
جوانبالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
[77]= {3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية (icope)2614428821648
[79]= r{3,4,3}×{  } موشور مقوم ذو 24 خلية (ريكوب)50336768672192
[80]= t{3,4,3}×{  } منشور مقطوع ذو 24 خلية (ticope)50336864960384
83= rr{3,4,3}×{  } موشور ذو 24 خلية (sricope)146100823042016576
84= t 0,3 {3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية محروقة (سنبلة)242115219201296288
85= 2t{3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية مقطوع ثنائياً (contip)5043212481440576
86= tr{3,4,3}×{  } موشور ذو 24 خلية مقطوع (gricope)1461008259228801152
87= t 0,1,3 {3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية مقطوع (pricope)2421584364834561152
88= t 0,1,2,3 {3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية مقطوع بالكامل (كأس جيب)2421872508857602304
[82]= s{3,4,3}×{  } منشور ذو 24 خلية (sadip)1467681392960192

H 4 × A 1

تضم هذه العائلة المنشورية 15 شكلاً :

تتمتع عائلة A 1 x H 4 بتناظر من الرتبة 28800 (2*14400).

8مخطط كوكستر ورموز شلافلي الاسمعدد العناصر
جوانبالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
89= {5,3,3}×{  } منشور ذو 120 خلية (hipe)122960264030001200
90= r{5,3,3}×{  } موشور مقوم ذو 120 خلية (rahipe)7224560984084002400
91= t{5,3,3}×{  } منشور مقطوع ذو 120 خلية (thipe)722456011040120004800
92= rr{5,3,3}×{  } موشور ذو 120 خلية (srahip)19221296029040252007200
93= t 0,3 {5,3,3}×{  } موشور ذو 120 خلية محفور (sidpixhip)26421272022080168004800
94= 2t{5,3,3}×{  } منشور ذو 120 خلية مقطوع ثنائياً (xhip)722576015840180007200
95= tr{5,3,3}×{  } موشور ذو 120 خلية مقطوع (رسم بياني)192212960326403600014400
96= t 0,1,3 {5,3,3}×{  } منشور مقطوع ذو 120 خلية (prixip)264218720448804320014400
97= t 0,1,2,3 {5,3,3}×{  } موشور ذو 120 خلية مقطوع بالكامل (gidpixhip)264222320628807200028800
98= {3,3,5}×{  } منشور ذو 600 خلية (exip)602240031201560240
99= r{3,3,5}×{  } موشور مُقوَّم ذو 600 خلية (roxip)72250401080079201440
100= t{3,3,5}×{  } منشور مقطوع ذو 600 خلية (texip)722504011520100802880
101= rr{3,3,5}×{  } موشور ذو 600 خلية (srixip)14421152028080252007200
102= tr{3,3,5}×{  } موشور ذو 600 خلية مقطوع (grixip)144211520316803600014400
103= t 0,1,3 {3,3,5}×{  } منشور مقطوع ذو 600 خلية (prahip)264218720448804320014400

موشورات ثنائية

تشكل الموشورات الثنائية المنتظمة، { p }×{ q }×{ }، فئة لانهائية لجميع الأعداد الصحيحة p و q >2. {4}×{4}×{ } تشكل شكلاً أقل تناظرًا للمكعب الخماسي .

يتم حساب متجه f الممتد لـ { p }×{ q }×{ } على النحو التالي ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ). 

مخطط كوكسيترالأسماءعدد العناصر
أربعة أوجهالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
{ p }×{ q }×{  } [ 9 ]p + q +23 pq + 3 p + 3 q4 pq + 2 p + 2 q5 pq2 pq
{ p } 2 ×{  }2( p +1)3 p ( p +1)4 p ( p +1)5 ص 22 ص 2
{3} 2 ×{  }836484518
{4} 2 × { } = مكعب خماسي الأبعاد1040808032

المنشور المضاد الكبير

المنشور المضاد الكبير هو متعدد السطوح الوحيد المعروف المحدب غير الويثوفي المنتظم ذو 5 أبعاد. يحتوي على 200 رأس، و1100 حافة، و1940 وجهًا (40 خماسيًا، و500 مربع، و1400 مثلثًا)، و1360 خلية (600 رباعي الأوجه ، و40 منشورًا مضادًا خماسيًا ، و700 منشورًا مثلثيًا ، و20 منشورًا خماسيًا )، و322 خلية فائقة ( منشوران مضادان كبيران ، و20 منشورًا مضادًا خماسيًا ، و300 منشور رباعي الأوجه ).

8اسمعدد العناصر
جوانبالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
104المنشور المضاد الكبير (gappip) [ 10 ]322136019401100200

ملاحظات حول بناء Wythoff للمضلعات الخماسية المنتظمة

يتم بناء متعددات الوجوه المنتظمة الخماسية الأبعاد العاكسة باستخدام عملية بناء Wythoff ، ويتم تمثيلها بواسطة مخطط Coxeter ، حيث يمثل كل عقدة مرآة. تُحاط العقد بحلقات للدلالة على المرايا النشطة. تعتمد المجموعة الكاملة من متعددات الوجوه المنتظمة المُولَّدة على التباديل الفريدة للعقد المُحاطة بحلقات. تُسمى متعددات الوجوه المنتظمة الخماسية الأبعاد نسبةً إلى متعددات الوجوه المنتظمة في كل عائلة. تحتوي بعض العائلات على مُنشئين منتظمين، وبالتالي قد يكون لها طريقتان لتسميتها.

فيما يلي العوامل الأساسية المتاحة لإنشاء وتسمية متعددات الوجوه الخماسية المنتظمة.

أما العملية الأخيرة، وهي عملية التضييق، وبشكل أعم عملية التناوب، فهي العمليات التي يمكن أن تُنشئ أشكالاً غير عاكسة. ويتم رسم هذه الأشكال بحلقات مجوفة عند نقاطها.

يمكن للأشكال المنشورية والرسوم البيانية المتشعبة استخدام نفس تدوين فهرسة الاقتطاع، ولكنها تتطلب نظام ترقيم صريح على العقد من أجل الوضوح.

عمليةرمز شلافلي الموسعمخطط كوكسيتروصف
أحد الوالدينt 0 {p,q,r,s}{p,q,r,s}أي متعدد الوجوه منتظم مكون من 5 أجزاء
تم تصحيحهt 1 {p,q,r,s}r{p,q,r,s}تم اقتطاع الحواف بالكامل إلى نقاط مفردة. يحتوي المضلع الخماسي الآن على الوجوه المدمجة للمضلع الأصلي والمضلع الثنائي.
ثنائي التصحيحt 2 {p,q,r,s}2r{p,q,r,s}يؤدي التوجيه الثنائي إلى اختزال الوجوه إلى نقاط، والخلايا إلى نظائرها .
ثلاثي التصحيحt 3 {p,q,r,s}3r{p,q,r,s}يؤدي التقويم الثلاثي إلى تحويل الخلايا إلى نقاط. (التقويم المزدوج)
رباعي التوجيهt 4 {p,q,r,s}4r{p,q,r,s}يُختزل التوجيه الرباعي الأوجه الرباعية إلى نقاط. (ثنائي)
مختصرt 0,1 {p,q,r,s}t{p,q,r,s}يتم قطع كل رأس أصلي، ويملأ الفراغ وجه جديد. للقطع درجة حرية واحدة، ولها حل واحد يُنشئ متعدد وجوه خماسي مُقطع بشكل منتظم. يحتوي متعدد الوجوه الخماسي على أوجهه الأصلية مُضاعفة في الأضلاع، ويحتوي على أوجه المجسم الثنائي.
مُقَنَّطt 0,2 {p,q,r,s}rr{p,q,r,s}بالإضافة إلى اقتطاع الرؤوس، يتم شطف كل حافة أصلية مع ظهور وجوه مستطيلة جديدة في مكانها.
مُسننt 0,3 {p,q,r,s}يؤدي التفتت إلى تقليل عدد الخلايا وإنشاء خلايا جديدة عند الرؤوس والحواف.
ستيريكاتيدt 0,4 {p,q,r,s}2r2r{p,q,r,s}يؤدي التكسير إلى تقليل عدد الأوجه وإنشاء أوجه جديدة (خلايا فائقة) عند الرؤوس والحواف في الفراغات. (كما هو الحال في عملية التوسيع للأشكال متعددة الأوجه الخماسية).
مقطوع بالكاملt 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}يتم تطبيق جميع العمليات الأربع: القطع، والتلخيص، والتشويه، والستيرا.
نصفh{2p,3,q,r}التناوب ، هو نفسه
ترنيمةh 2 {2p,3,q,r}نفس الشيء
رونشيتشh 3 {2p,3,q,r}نفس الشيء
رونسيكانتيكh 2,3 {2p,3,q,r}نفس الشيء
ستيريكh 4 {2p,3,q,r}نفس الشيء
ستيريرونيكh 3,4 {2p,3,q,r}نفس الشيء
ستيركانتيكh 2,4 {2p,3,q,r}نفس الشيء
ستيريرونسيكانتيكh 2,3,4 {2p,3,q,r}نفس الشيء
سحقs{p,2q,r,s}الاقتطاع المتناوب
تم تصحيح الانحناءsr{p,q,2r,s}التصحيح المقتطع المتناوب
ht 0,1,2,3 {p,q,r,s}اقتطاع متناوب
استبعاد كاملht 0,1,2,3,4 {p,q,r,s}التقطيع المتبادل

خلايا نحل منتظمة وموحدة

مخطط كوكسيتر يوضح التطابقات بين العائلات والتناظر الأعلى داخل المخططات. تمثل العقد ذات اللون نفسه في كل صف مرايا متطابقة. أما العقد السوداء فهي غير فعالة في هذا التطابق.

توجد خمس مجموعات كوكسيتر أساسية أفينية ، و13 مجموعة موشورية تولد تبليطات منتظمة وموحدة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. [ 11 ] [ 12 ]

المجموعات الأساسية
8مجموعة كوكسيترمخطط كوكسيترالنماذج
1أ~4{\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}[3 [5] ][(3,3,3,3,3)]7
2ج~4{\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}[4,3,3,4]19
3ب~4{\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}[4,3,3 1,1 ][4,3,3,4,1 + ]=23 (8 جديدة)
4د~4{\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}[3 1,1,1,1 ][1 + ,4,3,3,4,1 + ]=9 (0 جديد)
5F~4{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}[3,4,3,3]31 (21 جديد)

توجد ثلاثة أشكال منتظمة لخلايا النحل في الفضاء الإقليدي ذي الأربعة أبعاد:

عائلات أخرى تُنتج خلايا نحل متجانسة:

توجد أيضًا تبليطات منتظمة غير ويثوفية في الفضاء الرباعي عن طريق الاستطالة (إدخال الطبقات) والدوران (تدوير الطبقات) من هذه الأشكال العاكسة.

المجموعات المنشورية
8مجموعة كوكسيترمخطط كوكسيتر
1ج~3{\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3,4,2,∞]
2ب~3{\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,3 1,1 ,2,∞]
3أ~3{\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [4] ,2,∞]
4ج~2{\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[4,4,2,∞,2,∞]
5ح~2{\displaystyle {\tilde {H}}_{2}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[6,3,2,∞,2,∞]
6أ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[3 [3] ,2,∞,2,∞]
7أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}×أنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}xأنا~1{\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}[∞,2,∞,2,∞,2,∞]
8أ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}xأ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}[3 [3] ,2,3 [3] ]
9أ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×ب~2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}[3 [3] ,2,4,4]
10أ~2{\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}×جي~2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[3 [3] ,2,6,3]
11ب~2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}×ب~2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}[4,4,2,4,4]
12ب~2{\displaystyle {\tilde {B}}_{2}}×جي~2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[4,4,2,6,3]
13جي~2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}×جي~2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}[6,3,2,6,3]

خلايا نحل زائدة منتظمة وموحدة

مجموعات متراصة زائدية

هناك 5 مجموعات كوكسيتر زائدية مضغوطة من الرتبة 5، كل منها يولد خلايا نحل منتظمة في الفضاء الزائدي 4-كبدائل لحلقات مخططات كوكسيتر.

أF^4{\displaystyle {\widehat {AF}}_{4}}= [(3,3,3,3,4)]:

دح¯4{\displaystyle {\overline {DH}}_{4}}= [5,3,3 1,1 ]:

ح¯4{\displaystyle {\bar {H}}_{4}}= [3,3,3,5]:

بح¯4{\displaystyle {\overline {BH}}_{4}}= [4,3,3,5]:ك¯4{\displaystyle {\bar {K}}_{4}}= [5,3,3,5]:

يوجد 5 خلايا نحل زائدية محدبة منتظمة مضغوطة في فضاء H 4 : [ 13 ]

خلايا نحل مضغوطة منتظمة محدبة زائدية الشكل
اسم خلية النحلرمز شلافلي {p,q,r,s}مخطط كوكسيترنوع الوجه {p,q,r}نوع الخلية {p,q}نوع الوجه {p}شكل الوجه {s}شكل الحافة {r,s}شكل الرأس {q,r,s}مزدوج
الترتيب-5 5-خلية (خماسي){3,3,3,5}{3,3,3}{3,3}{3}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,3}
الطلب رقم 3، 120 خلية (hitte){5,3,3,3}{5,3,3}{5,3}{5}{3}{3,3}{3,3,3}{3,3,3,5}
الرتبة الخامسة: تيسيراكتي (بيتست){4,3,3,5}{4,3,3}{4,3}{4}{5}{3,5}{3,3,5}{5,3,3,4}
الطلب رقم 4، 120 خلية (شيت){5,3,3,4}{5,3,3}{5,3}{5}{4}{3,4}{3,3,4}{4,3,3,5}
الطلب رقم 5، 120 خلية (فيت){5,3,3,5}{5,3,3}{5,3}{5}{5}{3,5}{3,3,5}ذاتي الازدواجية

يوجد أيضًا 4 أشكال منتظمة مضغوطة على شكل خلايا نحل نجمية زائدية في فضاء H 4 :

خلايا نحل نجمية منتظمة مضغوطة زائدية
اسم خلية النحلرمز شلافلي {p,q,r,s}مخطط كوكسيترنوع الوجه {p,q,r}نوع الخلية {p,q}نوع الوجه {p}شكل الوجه {s}شكل الحافة {r,s}شكل الرأس {q,r,s}مزدوج
خلية صغيرة نجمية الشكل من الدرجة الثالثة مكونة من 120 خلية (شيشيت){5/2,5,3,3}{5/2,5,3}{5/2,5}{5}{5}{3,3}{5,3,3}{3,3,5,5/2}
رتبة خماسية 600 خلية (fipte){3,3,5,5/2}{3,3,5}{3,3}{3}{5/2}{5,5/2}{3,5,5/2}{5/2,5,3,3}
رتبة-5 عشرينية الوجوه ذات 120 خلية (tifipte){3,5,5/2,5}{3,5,5/2}{3,5}{3}{5}{5/2,5}{5,5/2,5}{5,5/2,5,3}
الطلب الثالث - 120 خلية رائعة (gohitte){5,5/2,5,3}{5,5/2,5}{5,5/2}{5}{3}{5,3}{5/2,5,3}{3,5,5/2,5}
مجموعات شبه متراصة زائدية

توجد تسع مجموعات كوكسيتر زائدية شبه متراصة من الرتبة 5 ، تُولّد كل منها خلايا نحل منتظمة في الفضاء الرباعي الأبعاد كتباديل لحلقات مخططات كوكسيتر. تُولّد المجموعات شبه المتراصة خلايا نحل ذات أوجه لا نهائية أو أشكال رؤوس .

P¯4{\displaystyle {\bar {P}}_{4}}= [3,3 [4] ]:

بP¯4{\displaystyle {\overline {BP}}_{4}}= [4,3 [4] ]:FR¯4{\displaystyle {\overline {FR}}_{4}}= [(3,3,4,3,4)]:دP¯4{\displaystyle {\overline {DP}}_{4}}= [3 [3]×[] ]:

شمال¯4{\displaystyle {\bar {N}}_{4}}= [4,/3\,3,4]:يا¯4{\displaystyle {\bar {O}}_{4}}= [3,4,3 1,1 ]:S¯4{\displaystyle {\bar {S}}_{4}}= [4,3 2,1 ]:م¯4{\displaystyle {\bar {M}}_{4}}= [4,3 1,1,1 ]:

R¯4{\displaystyle {\bar {R}}_{4}}= [3,4,3,4]:

ملحوظات

  1. ↑ تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات، ماكميلان، 1900
  2. ↑ معجم متعدد الأبعاد ، جورج أولشيفسكي
  3. ↑ باورز، جوناثان (2000). "التعدد اللوني الموحد" (ملف PDF) . في رضا سرهاجي (محرر). جسور 2000. مؤتمر الجسور. الصفحات 239-246 . 
  4. ↑ بوليتيرا الموحدة ، جوناثان باورز
  5. ↑ متعدد السطوح منتظم
  6. ↑ ACW (24 مايو 2012)، "مضلعات محدبة منتظمة من الرتبة 5" ، Open Problem Garden ، مؤرشف من الأصل في 5 أكتوبر 2016 ، تم استرجاعه في 4 أكتوبر 2016
  7. ↑ متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III، ص 315 ثلاث مجموعات منتهية ذات 5 أبعاد
  8. ↑ كوكسيتر ، متعددات الوجوه المنتظمة ، §12.6 عدد الانعكاسات، المعادلة 12.61
  9. ↑ "N,k-dippip" .
  10. ↑ "غابيب" .
  11. ↑ متعددات الوجوه المنتظمة، ص 297. الجدول الرابع، المناطق الأساسية للمجموعات غير القابلة للاختزال الناتجة عن الانعكاسات.
  12. ↑ متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة، الجزء الثاني، الصفحات 298-302، خلايا النحل رباعية الأبعاد
  13. ↑ كوكسيتر، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة، الفصل العاشر: خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي، جداول الملخص الرابع، صفحة ٢١٣

مراجع

  • تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد n ، رسول الرياضيات ، ماكميلان، 1900 (3 أشكال منتظمة وشكل شبه منتظم واحد متعدد الوجوه رباعي الأبعاد)
  • أ. بول ستوت (1910). "الخصم الهندسي للشبه المنتظم من متعددات الأسطح العادية وحشوات الفضاء" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الحادي عشر (1). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أبريل 2025.
  • HSM Coxeter :
    • HSM Coxeter، Regular Polytopes ، الطبعة الثالثة، Dover، نيويورك، 1973 (ص  297 المناطق الأساسية للمجموعات غير القابلة للاختزال الناتجة عن الانعكاسات، الكروية والإقليدية)
    • HSM Coxeter، جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة (الفصل 10: خلايا النحل المنتظمة في الفضاء الزائدي، جداول الملخص الرابع ص 213)
  • كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
    • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
    • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591] (ص  287 مجموعات إقليدية خماسية الأبعاد، ص 298 خلايا النحل رباعية الأبعاد)
    • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
  • جيمس إي. همفريز، مجموعات الانعكاس ومجموعات كوكسيتر ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، 29 (1990) (الصفحة 141، 6.9 قائمة مجموعات كوكسيتر الزائدية، الشكل 2) كتب جوجل
  • v
  • ت
  • هـ
المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلةأن​ب نI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
مضلع منتظممثلثمربعبي-جونمسدسالبنتاغون
متعدد السطوح منتظمرباعي الأوجهثماني الأوجه • مكعبمكعب ديميكيوبالمجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحدبنتاشورون16 خلية • تيسيراكتديميتسيراكت24 خلية120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم5-simplex5-أورثوبليكس • 5-كيوب5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم6-simplex6-أورثوبليكس • 6-كيوب6-نصف مكعب1 22 • 2 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه7-simplex7-أورثوبليكس • 7-كيوب7-نصف مكعب1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه8-simplex8-أورثوبليكس • 8-كيوب8-نصف مكعب1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس9-simplex9-أورثوبليكس • 9-كيوب9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء10-simplex10-أورثوبليكس • 10-كيوب10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع nn - سيمبلكسن - أورثوبليكس • ن - كيوبن - نصف مكعب1 k2 • 2 k1 • k 21متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه
  • v
  • ت
  • هـ
خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاءعائلةأ~ن-1{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}ج~ن-1{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}ب~ن-1{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}د~ن-1{\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}جي~2{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}/F~4{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}/هـ~ن-1{\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
E 2تبليط موحد0 [3]δ 3h δ 3q δ 3سداسي
E 3قرص العسل المحدب المنتظم0 [4]δ 4h δ 4q δ 4
E 4قرص عسل رباعي منتظم0 [5]δ 5h δ 5q δ 5قرص العسل ذو 24 خلية
E 5قرص عسل موحد من 50 [6]δ 6h δ 6q δ 6
E 6قرص عسل موحد بستة أشكال0 [7]δ 7h δ 7q δ 72 22
E 7قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا0 [8]δ 8h δ 8q δ 81 33 • 3 31
E 8قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء0 [9]δ 9h δ 9q δ 91 52 • 2 51 • 5 21
E 9قرص عسل موحد مكون من 9 طبقات0 [10]δ 10h δ 10q δ 10
E 10قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء0 [11]δ 11h δ 11q δ 11
E n −1قرص عسل منتظم ( ن - 1)0 [ ن ]δ nh δ nq δ n1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21