التجريد من الأبعاد

ضع في اعتبارك العلاقة $${\displaystyle t=\tau t_{\text{c}}\Rightarrow dt=t_{\text{c}}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}.}$$

تصبح المؤثرات التفاضلية عديمة الأبعاد بالنسبة للمتغير المستقل $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{\text{c}}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{{t_{\text{c}}}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$$

إذا كان للنظام وظيفة إجبارية${\displaystyle f(t)}$ثم $${\displaystyle f(t)=f(\tau t_{\text{c}})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$$

وبالتالي، دالة الإجبار الجديدة${\displaystyle F}$يتم جعلها تعتمد على الكمية عديمة الأبعاد${\displaystyle \tau }$.

استبدل المتغيرين x و t بقيمهما المُقاسة. تصبح المعادلة

$${\displaystyle a{\frac {x_{\text{c}}}{{t_{\text{c}}}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{\text{c}}}{t_{\text{c}}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{\text{c}}\chi =Af(\tau t_{\text{c}})=AF(\tau ).}$$

هذه المعادلة الجديدة ليست بلا أبعاد، على الرغم من أن جميع المتغيرات ذات الوحدات معزولة في المعاملات. وبقسمتها على معامل الحد ذي الرتبة الأعلى، تصبح المعادلة

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{\text{c}}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+{t_{\text{c}}}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {A{t_{\text{c}}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}F(\tau ).}$$

الآن، من الضروري تحديد قيمتي x _{_c} و t_{_c} بحيث تصبح المعاملات مُعَيَّرة. وبما أن هناك مُعاملين حرين، فلا يُمكن جعل أكثر من مُعاملين اثنين يساويان واحدًا.

لنفترض المتغير t _c :

1. لو${\displaystyle t_{\text{c}}={\frac {a}{b}}}$يتم تطبيع الحد من الدرجة الأولى.
2. لو${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$يتم تطبيع الحد ذي الرتبة الصفرية.

كلا الاستبدالين صحيحان. مع ذلك، ولأسباب تعليمية، يُستخدم الاستبدال الثاني للأنظمة من الدرجة الثانية. يسمح اختيار هذا الاستبدال بتحديد قيمة x_{_c عن طريق تطبيع معامل دالة الإجبار.}$${\displaystyle 1={\frac {At_{\text{c}}^{2}}{ax_{\text{c}}}}={\frac {A}{cx_{\text{c}}}}\Rightarrow x_{\text{c}}={\frac {A}{c}}.}$$

تصبح المعادلة التفاضلية $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

معامل الحد من الدرجة الأولى عديم الأبعاد. عرّف $${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$$

يُستخدم العامل 2 لتمكين تمثيل الحلول بدلالة ζ . في سياق الأنظمة الميكانيكية أو الكهربائية، يُعرف ζ بنسبة التخميد ، وهو مُعامل هام في تحليل أنظمة التحكم . يُعرف 2ζ أيضًا بعرض خط النظام . ينتج عن هذا التعريف معادلة المذبذب العام . $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$$

لنفترض أن لدينا كتلة متصلة بنابض ومخمد، وهما بدورهما متصلان بجدار، وقوة تؤثر على الكتلة على طول نفس الخط. عرّف

• ${\displaystyle x}$= الإزاحة عن وضع التوازن [م]
• ${\displaystyle t}$= الوقت [ثانية]
• ${\displaystyle f}$= قوة خارجية أو "اضطراب" مطبق على النظام [كجم⋅م⋅ث ⁻² ]
• ${\displaystyle m}$= كتلة الكتلة [كجم]
• ${\displaystyle B}$= ثابت التخميد للمخمد [كجم⋅ث ⁻¹ ]
• ${\displaystyle k}$= ثابت قوة الزنبرك [كجم⋅ث ⁻² ]

لنفترض أن القوة المؤثرة هي دالة جيبية F = F₀ cos( ωt ) ، _فإن المعادلة التفاضلية التي تصف حركة الكتلة هي $${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$$

يؤدي تحويل هذه المعادلة إلى صيغة لا بُعدية بنفس الطريقة الموضحة في القسم §  نظام من الدرجة الثانية إلى الحصول على العديد من خصائص النظام:

• الوحدة الجوهرية x _c تتوافق مع المسافة التي يتحركها الجسم لكل وحدة قوة

$${\displaystyle x_{\text{c}}={\frac {F_{0}}{k}}.}$$

• المتغير المميز t _c يساوي دورة التذبذبات

$${\displaystyle t_{\text{c}}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

• المتغير عديم الأبعاد 2 ζ يتوافق مع عرض الخط للنظام.

$${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$$

• ζ نفسها هي نسبة التخميد

معادلة شرودنغر للمذبذب التوافقي الكمومي أحادي البعد غير المعتمد على الزمن هي $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

يمثل مربع القيمة المطلقة للدالة الموجية | ψ ( x )| ^² كثافة احتمالية، وعند تكاملها على x ، تعطي احتمالًا بلا أبعاد. لذلك، فإن | ψ ( x )| ^² لها وحدات مقلوب الطول. ولجعلها بلا أبعاد، يجب إعادة كتابتها كدالة لمتغير بلا أبعاد. وللقيام بذلك، نستبدل $${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$$ حيث يمثل x _c طولًا مميزًا لهذا النظام. وهذا يعطينا دالة موجية لا بُعدية.${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$محدد عبر $${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x({\tilde {x}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

تصبح المعادلة التفاضلية عندئذٍ $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$

لتكوين المصطلح الذي يسبق${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$بلا أبعاد، مجموعة $${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$$

المعادلة غير البعدية بالكامل هي $${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$$ حيث حددنا $${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$$ العامل الذي يسبق${\displaystyle {\tilde {E}}}$هي في الواقع (مصادفةً) طاقة الحالة الأرضية للمذبذب التوافقي. عادةً، لا يُجعل حد الطاقة بلا أبعاد لأننا مهتمون بتحديد طاقات الحالات الكمومية . بإعادة ترتيب المعادلة الأولى، تصبح المعادلة المألوفة للمذبذب التوافقي كما يلي: $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$$