جبر عامل الرأس

جبر الرؤوس هو مجموعة من البيانات التي تحقق بديهيات معينة.

جبر عامل الرأس هو جبر رأس مزود بعنصر توافقي${\displaystyle \omega \in V}$، بحيث يكون عامل الرأس${\displaystyle Y(\omega ,z)}$وزن حقل فيراسورو الثاني${\displaystyle L(z)}$:

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

ويستوفي الخصائص التالية:

• ${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}}$، أين${\displaystyle c}$هو ثابت يُسمى الشحنة المركزية ، أو رتبة${\displaystyle V}$وعلى وجه الخصوص، فإن معاملات عامل الرأس هذا تمنح${\displaystyle V}$بفعل جبر فيراسورو مع شحنة مركزية${\displaystyle c}$.
• ${\displaystyle L_{0}}$يتصرف بشكل شبه بسيط على${\displaystyle V}$بقيم ذاتية صحيحة محدودة من الأسفل.
• وفقًا للتصنيف الذي توفره القيم الذاتية لـ${\displaystyle L_{0}}$، عملية الضرب على${\displaystyle V}$متجانس بمعنى أنه إذا${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$إذا كانت متجانسة،${\displaystyle u_{n}v}$متجانس من الدرجة${\displaystyle \mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1}$.
• الهوية${\displaystyle 1}$له درجة 0، والعنصر المطابق${\displaystyle \omega }$حاصل على الدرجة الثانية.
• ${\displaystyle L_{-1}=T}$.

التشاكل في جبر الرؤوس هو دالة للفضاءات المتجهة الأساسية تحافظ على بنية الهوية والتحويل والضرب الإضافية. تتخذ تشاكلات جبر مؤثرات الرؤوس شكلين: "ضعيف" و"قوي"، وذلك بحسب ما إذا كانت تحافظ على المتجهات المطابقة أم لا.

في نظرية جبر الرؤوس، وبسبب خاصية التجميع، يمكننا إساءة استخدام الترميز لكتابة، على سبيل المثال${\displaystyle A,B,C\in V,}$$${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.}$$ هذا هو توسيع منتج المشغل . أو بعبارة أخرى، $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.}$$ بما أن الجزء المطلوب عادةً يكون منتظمًا في${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$يمكن كتابة هذا بشكل أكثر انسجاماً مع اصطلاحات الفيزياء كما يلي: $${\displaystyle Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},}$$ حيث علاقة التكافؤ${\displaystyle \sim }$يشير إلى التكافؤ حتى الحدود العادية.

معدات الوقاية الشخصية شائعة الاستخدام

تم تسجيل بعض مؤثرات التوسيع البصري (OPEs) الشائعة في نظرية المجال المطابق. ^{[ 3 ]}

معدات العمليات

التوزيع الأول	التوزيع الثاني	علاقات التبديل	تشغيل	اسم	ملحوظات
${\displaystyle a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}}$	${\displaystyle b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}}$	${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=c_{m+n}}$	${\displaystyle a(z)b(w)\sim {\frac {\sum c_{n}w^{-n-1}}{z-w}}}$	معدات التشغيل العامة
${\displaystyle a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}}$	${\displaystyle b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}}$	${\displaystyle [a_{m},b_{n}]=m\delta _{m+n,0}}$	${\displaystyle a(z)b(w)\sim {\frac {1}{(z-w)^{2}}}}$	بوزون حر OPE	الثبات في ظل${\displaystyle z\leftrightarrow w}$يُظهر الطبيعة "البوزونية" لهذا الجهاز التشغيلي.
${\displaystyle L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}}$	${\displaystyle a(w)=\sum a_{n}w^{-n-\Delta }}$	${\displaystyle [L_{m},a_{n}]=((\Delta -1)m-n)a_{m+n}}$	${\displaystyle L(z)a(w)\sim {\frac {\Delta a(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial a(w)}{z-w}}}$	مجال العمليات الأساسي	تُعرَّف الحقول الأولية بأنها الحقول a(z) التي تحقق هذا التأثير عند ضربها بحقل فيراسورو. وتكتسب هذه الحقول أهمية بالغة لأنها الحقول التي تتحول "مثل الموترات" تحت تحويلات الإحداثيات لسطح العالم في نظرية الأوتار .
${\displaystyle L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}}$	${\displaystyle L(w)=\sum L_{n}z^{-n-2}}$	${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {m^{3}-m}{12}}\delta _{m+n,0}c}$	${\displaystyle L(z)L(w)\sim {\frac {c/2}{(z-w)^{4}}}+{\frac {2L(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial L(w)}{z-w}}}$	تي تي أو بي إي	في الفيزياء، غالبًا ما يتم تحديد مجال فيراسورو مع موتر الإجهاد والطاقة ويتم تسميته T(z) بدلاً من L(z).

من الأمثلة الأساسية على جبر الرؤوس غير التبادلي، البوزون الحر من الرتبة 1، والذي يُسمى أيضًا جبر مؤثرات رؤوس هايزنبرغ. يُولّد هذا الجبر بواسطة متجه واحد b ، بمعنى أنه بتطبيق معاملات الحقل b ( z )  := Y ( b , z ) على المتجه b ، نحصل على مجموعة مولدة. الفضاء المتجهي الأساسي هو حلقة كثيرات الحدود ذات المتغيرات اللانهائية.${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]}$، حيث يكون موجبًا${\displaystyle n}$،${\displaystyle b_{-n}}$من الواضح أن العمليات تتم عن طريق الضرب، و${\displaystyle b_{n}}$يعمل كـ${\displaystyle n\partial _{b_{-n}}}$. إن فعل b ₀ هو الضرب في الصفر، مما ينتج عنه تمثيل فوك "الزخم الصفري" V ₀ لجبر لي هايزنبرغ (الذي يولده b _n للأعداد الصحيحة n ، مع علاقات التبادل [ b _n ، b _m ]= n δ _n,–m )، المستحث بواسطة التمثيل التافه للجبر الفرعي الذي يمتد بواسطة b _n ، n ≥ 0.

يمكن تحويل فضاء فوك V ₀ إلى جبر رؤوس من خلال التعريف التالي لخريطة عامل الحالة على أساس${\displaystyle b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}}$مع كل${\displaystyle j_{i}<0}$،

${\displaystyle Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):}$

أين${\displaystyle$ :{\mathcal {O}}:} يرمز إلى الترتيب الطبيعي للمؤثر${\displaystyle {\mathcal {O}}}$يمكن أيضًا كتابة عوامل الرأس كدالة لدالة متعددة المتغيرات f على النحو التالي:

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

إذا فهمنا أن كل حد في مفكوك f مرتب ترتيبًا طبيعيًا.

يُعطى البوزون الحر من الرتبة n بأخذ حاصل ضرب موتر من الرتبة 1 من الرتبة n. لأي متجه b في فضاء ذي n بُعد، يوجد حقل b ( z ) معاملاته عناصر من جبر هايزنبرغ من الرتبة n ، وعلاقاته التبادلية تحتوي على حد ضرب داخلي إضافي: [ b _{_n} , c_{_m} ] = n (b,c) δ _{_n,–m} .

يحتوي جبر مؤثرات رؤوس هايزنبرغ على عائلة من المتجهات المطابقة ذات معلمة واحدة مع المعلمة${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$من المتجهات المطابقة${\displaystyle \omega _{\lambda }}$مقدم من

${\displaystyle \omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},}$

مع رسوم مركزية${\displaystyle c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}}$[ ^{4 ]​}

متى${\displaystyle \lambda =0}$، توجد الصيغة التالية لحرف فيراسورو :

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

هذه هي الدالة المولدة للتقسيمات ، وتُكتب أيضًا على الصورة q مضروبة في ^1/24 من الوزن - 1/2، وهي الصيغة المعيارية 1/η (مقلوب دالة إيتا لديديكيند ). وبالتالي، فإن البوزون الحر من الرتبة n يمتلك عائلة من متجهات فيراسورو ذات n معلمة، وعندما تكون هذه المعلمات صفرًا، فإن الخاصية تكون q مضروبة ^{في n /24} من الوزن - n /2، وهي الصيغة المعيارية η ^{- n} .

تُعدّ جبريات مؤثرات الرؤوس فيراسورو مهمة لسببين: أولًا، يُولّد العنصر المطابق في جبر مؤثرات الرؤوس تشاكلًا من جبر مؤثرات الرؤوس فيراسورو، ما يجعلها ذات دور محوري في النظرية. ثانيًا، ترتبط هذه الجبريات ارتباطًا وثيقًا بنظرية التمثيلات الوحدوية لجبر فيراسورو، والتي بدورها تلعب دورًا رئيسيًا في نظرية الحقول المطابقة . على وجه الخصوص، تُعدّ نماذج فيراسورو الوحدوية الدنيا نواتج قسمة بسيطة لهذه الجبريات، وتُتيح جداءاتها الموترية طريقةً لبناء جبريات مؤثرات رؤوس أكثر تعقيدًا باستخدام التجميع.

يُعرَّف جبر مؤثرات رؤوس فيراسورو على أنه تمثيل مُستحث لجبر فيراسورو : إذا اخترنا شحنة مركزية c ، فسيكون هناك نموذج أحادي البعد فريد للجبر الفرعي C [z] _∂z + K حيث يؤثر K بواسطة c Id، ويؤثر C [z] _∂z بشكل تافه، ويكون النموذج المُستحث المقابل مُولَّدًا بواسطة كثيرات الحدود في L _–n = –z ^−n–1 ∂z عندما تتراوح n على أعداد صحيحة أكبر من 1. وبالتالي _، يمتلك النموذج دالة تجزئة.

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

يحتوي هذا الفضاء على بنية جبرية لمؤثرات الرؤوس، حيث يتم تعريف مؤثرات الرؤوس على النحو التالي:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

و${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$يمكن استنتاج حقيقة أن حقل فيراسورو L(z) محلي بالنسبة لنفسه من صيغة مبدله الذاتي:

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

حيث c هي الشحنة المركزية .

إذا كان لدينا تشاكل جبر رؤوس من جبر رؤوس فيراسورو ذي الشحنة المركزية c إلى أي جبر رؤوس آخر، فإن مؤثر الرأس المرتبط بصورة ω يحقق تلقائيًا علاقات فيراسورو، أي أن صورة ω هي متجه توافقي. وعلى العكس، فإن أي متجه توافقي في جبر رؤوس يُنشئ تشاكل جبر رؤوس مميزًا من جبر مؤثرات رؤوس فيراسورو.

تتميز جبريات مؤثرات الرؤوس في فيراسورو بالبساطة، باستثناء الحالة التي تأخذ فيها c الشكل 1–6( p – q ) ^² / pq ، حيث p و q عددان صحيحان أوليان فيما بينهما، وأكبر من 1 تمامًا - وهذا ما ينتج عن صيغة محددات كاكس. في هذه الحالات الاستثنائية، يوجد مثالي أعظمي وحيد، ويُطلق على الناتج المقابل اسم النموذج الأدنى. عندما p = q + 1، تكون جبريات الرؤوس تمثيلات وحدوية لفيراسورو، وتُعرف وحداتها باسم تمثيلات السلاسل المنفصلة. وتلعب هذه الجبريات دورًا هامًا في نظرية الحقول المطابقة، ويرجع ذلك جزئيًا إلى سهولة معالجتها، وبالنسبة لقيم p الصغيرة، فإنها تُقابل أنظمة ميكانيكا إحصائية معروفة عند نقطة التحول، مثل نموذج إيزينغ ، ونموذج إيزينغ ثلاثي التحول ، ونموذج بوتس ثلاثي الحالات ، وما إلى ذلك. وبفضل عمل ويكانغ وانغ ^{[ 5 ]} المتعلق بقواعد الاندماج ، لدينا وصف كامل لفئات الموتر للنماذج الدنيا الوحدوية. على سبيل المثال، عندما يكون c = 1/2 (Ising)، هناك ثلاث وحدات غير قابلة للاختزال بأقل وزن L ₀ وهو 0 و 1/2 و 1/16، وحلقة اندماجها هي Z [ x , y ]/( x ² –1, y ² – x –1, xy – y ).

باستبدال جبر لي هايزنبرغ بجبر لي كاك-مودي الأفيني غير الملتوي (أي الامتداد المركزي الشامل لجبر الحلقات على جبر لي بسيط محدود الأبعاد )، يمكن بناء تمثيل الفراغ بطريقة مشابهة لبناء جبر رؤوس البوزونات الحرة. ينشأ هذا الجبر كجبر التيار لنموذج ويس-زومينو-ويتن ، الذي ينتج عنه الشذوذ الذي يُفسَّر على أنه الامتداد المركزي.

وبشكل ملموس، سحب الامتداد المركزي للخلف

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

بالإضافة إلى الإدراج${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$ينتج عنه امتداد منقسم، ويتم استنتاج وحدة الفراغ من التمثيل أحادي البعد للأخير حيث يعمل عنصر أساسي مركزي بواسطة ثابت مختار يسمى "المستوى". بما أن العناصر المركزية يمكن تحديدها مع الضرب الداخلي الثابت على جبر لي من النوع المحدود${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$عادةً ما يتم تطبيع المستوى بحيث يكون مستوى صيغة كيلينغ ضعف عدد كوكسيتر الثنائي . وبالمثل، يعطي المستوى واحد حاصل الضرب الداخلي الذي يكون فيه معيار أطول جذر 2. وهذا يتوافق مع اصطلاح جبر الحلقات ، حيث يتم تقسيم المستويات بواسطة التماثل الثالث لزمر لي المدمجة المتصلة ببساطة .

باختيار أساس Ja لجبر ^{لي من النوع المنتهي، يمكن} تكوين أساس لجبر لي الأفيني باستخدام Jan = _Jatn ^مع عنصر مركزي K. وبالإعادة ، يمكننا وصف مؤثرات الرؤوس بضربات ^مشتقات الحقول المرتبة ^{ترتيبًا} طبيعيًا

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

عندما يكون المستوى غير حرج، أي عندما لا يكون حاصل الضرب الداخلي سالب نصف صيغة كيلينغ، فإن تمثيل الفراغ يحتوي على عنصر توافقي، يُعطى بواسطة بناء سوغاوارا . [ ب ] لأي اختيار للقواعد الثنائية J a ، J  a بالنسبة لحاصل الضرب الداخلي من المستوى 1، يكون العنصر التوافقي هو

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

وينتج عنه جبر عامل رأسي تكون شحنته المركزية هي${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$عند المستوى الحرج، يتم تدمير البنية المطابقة، لأن المقام يساوي صفرًا، ولكن يمكن إنتاج عوامل L _n لـ n ≥ –1 عن طريق أخذ النهاية عندما يقترب k من الحالة الحرجة.

بالنظر إلى جبر الرؤوس V مع الضرب Y ، فإن V -module هو فضاء متجهي M مزود بفعل Y ^M : V ⊗ M → M (( z ))، يحقق الشروط التالية:

(الهوية) Y ^M (1,z) = Id _M

(التجميعية، أو متطابقة جاكوبي) لأي عنصرين u و v ∈ V و w ∈ M ، يوجد عنصر

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

بحيث تكون Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w و Y ^M ( Y ( u , z – x ) v , x ) w هي التوسعات المقابلة لـ${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$في M (( z ))(( x )) و M (( x ))(( z – x )). وبصورة مكافئة، تتحقق " متطابقة جاكوبي " التالية :

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

تُشكّل وحدات جبر الرؤوس فئة تبديلية . عند التعامل مع جبر مؤثرات الرؤوس، يُطلق على التعريف السابق أحيانًا اسم " ضعيف".${\displaystyle V}$يجب أن تحترم الوحدات النمطية ، والوحدات النمطية V الحقيقية، البنية المطابقة التي يحددها المتجه المطابق.${\displaystyle \omega }$وبشكل أدق، يُشترط أن تستوفي هذه العناصر الشرط الإضافي المتمثل في أن L ₀ تعمل بشكل شبه بسيط مع فضاءات ذاتية محدودة الأبعاد وقيم ذاتية محدودة من الأسفل في كل مجموعة مشاركة من Z. وقد أظهرت أعمال هوانغ، وليبوفسكي، ومياموتو، وتشانغ، على مستويات مختلفة من العمومية، أن وحدات جبر عامل الرأس تقبل عملية ضرب موتر الاندماج، وتشكل فئة موتر مضفرة .

عندما تكون فئة وحدات V شبه بسيطة ذات عدد محدود من العناصر غير القابلة للاختزال، يُطلق على جبر المؤثرات الرأسية V اسم الجبر العقلاني. ومن المعروف أن جبر المؤثرات الرأسية العقلاني الذي يحقق فرضية تناهي إضافية (المعروفة بشرط زو للتناهي _{المشترك} C2 ) يتميز بسلوك جيد للغاية، ويُطلق عليه اسم الجبر المنتظم . على سبيل المثال، تنص نظرية زو للتغاير النمطي لعام 1996 على أن خصائص وحدات جبر المؤثرات الرأسية المنتظم تشكل تمثيلًا متجهيًا لـ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$على وجه الخصوص، إذا كانت VOA هولومورفية ، أي أن فئة تمثيلها مكافئة لفئة تمثيل الفضاءات المتجهة، فإن دالة تقسيمها هي${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ثابت حتى ثابت. أظهر هوانغ أن فئة وحدات VOA المنتظمة هي فئة موتر معيارية ، وأن قواعد اندماجها تحقق صيغة فيرليند .

يمكن بناء وحدات جبر هايزنبرغ كفضاءات فوك${\displaystyle \pi _{\lambda }}$ل${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$وهي تمثيلات مستحثة لجبر لي هايزنبرغ ، معطاة بواسطة متجه فراغي${\displaystyle v_{\lambda }}$مُرضٍ${\displaystyle b_{n}v_{\lambda }=0}$ل${\displaystyle n>0}$،${\displaystyle b_{0}v_{\lambda }=0}$وتتأثر بحرية بالأنماط السلبية${\displaystyle b_{-n}}$ل${\displaystyle n>0}$يمكن كتابة المسافة على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }}$كل شيء لا يمكن اختزاله،${\displaystyle \mathbb {Z} }$وحدة جبر هايزنبرغ المتدرجة ذات التدرج المحدود من الأسفل هي من هذا الشكل.

تُستخدم هذه لإنشاء جبر رؤوس الشبكة، والذي هو، باعتباره فضاءات متجهة، عبارة عن مجاميع مباشرة لوحدات هايزنبرغ، عندما تكون صورة${\displaystyle Y}$يتم توسيعها بشكل مناسب لتشمل عناصر الوحدة النمطية.

لا تُعدّ فئة الوحدات شبه بسيطة، إذ يُمكن استنتاج تمثيل لجبر لي الأبلي حيث يعمل b₀ بواسطة كتلة جوردان غير تافهة. بالنسبة للبوزون الحر _من الرتبة n ، توجد وحدة غير قابلة للاختزال Vλ لكل متجه λ في الفضاء المركب ذي البعد n . يُنتج كل متجه b ∈ Cₙ المؤثر ^b₀ ، ويتميز فضاء فوك Vλ بخاصية أن كل b₀ _{من هذا النوع} يعمل كضرب قياسي بالجداء الداخلي ( _b , λ) _.

على عكس الحلقات العادية، تسمح جبر الرؤوس بمفهوم الوحدة الملتوية المرتبطة بتشاكل ذاتي. بالنسبة لتشاكل ذاتي σ من الرتبة N ، يكون للفعل الشكل V ⊗ M → M (( z ^{1/N ))، مع شرط} المونودرومية التالي : إذا كان u ∈ V يحقق σ u = exp(2π ik / N ) u ، فإن u _n = 0 إلا إذا كان n يحقق n + k / N ∈ Z (يوجد بعض الاختلاف حول الإشارات بين المتخصصين). هندسيًا، يمكن ربط الوحدات الملتوية بنقاط التفرع على منحنى جبري ذي غطاء غالوا متفرع . في أدبيات نظرية الحقول المطابقة، تُسمى الوحدات الملتوية بالقطاعات الملتوية ، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية الأوتار على الفضاءات المدارية .

كان بناء جبر رؤوس الشبكة الدافع الأصلي لتعريف جبر الرؤوس. يُبنى هذا الجبر بأخذ مجموع الوحدات غير القابلة للاختزال لجبر هايزنبرغ المقابل لمتجهات الشبكة، وتعريف عملية ضرب بتحديد عوامل الربط بينها. أي، إذا كانت Λ شبكة زوجية (أما إذا كانت الشبكة غير زوجية، فإن البنية الناتجة هي جبر رؤوس فائق)، فإن جبر رؤوس الشبكة V _Λ يتحلل إلى وحدات بوزونية حرة كما يلي:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

ترتبط جبر رؤوس الشبكة عادةً بالأغطية المزدوجة للشبكات الصحيحة الزوجية ، وليس بالشبكات نفسها. ورغم أن لكل شبكة من هذا النوع جبر رؤوس شبكة فريد حتى التشاكل، فإن بناء جبر الرؤوس ليس داليًا، لأن التشاكلات الذاتية للشبكة تتسم بالغموض في الرفع. ^{[ 1 ]}

يتم تحديد الأغطية المزدوجة المعنية بشكل فريد حتى التشاكل من خلال القاعدة التالية: العناصر لها الشكل ±e _α لمتجهات الشبكة α ∈ Λ (أي، هناك خريطة إلى Λ ترسل e _α إلى α تتجاهل الإشارات)، والضرب يحقق العلاقات e _α e _β = (–1) ^(α,β) e _β e _α . هناك طريقة أخرى لوصف ذلك وهي أنه بالنظر إلى الشبكة الزوجية Λ ، هناك حلقة دائرية مقيسة فريدة (تصل إلى الحدود المشتركة) ε ( α , β ) بقيم ±1 بحيث (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) حيث شرط التطبيع هو أن ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 لجميع α ∈ Λ . تؤدي هذه الدورة الحلقية إلى امتداد مركزي لـ Λ بواسطة مجموعة من الرتبة 2، ونحصل على حلقة مجموعة ملتوية C _ε [Λ] مع الأساس e _α ( α ∈ Λ) ، وقاعدة الضرب e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} - تضمن حالة الدورة الحلقية على ε ترابط الحلقة. ^{[ 6 ]}

عامل الرأس المرفق بمتجه الوزن الأدنى v _λ في فضاء فوك V _λ هو

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

حيث يمثل z ^λ اختصارًا للتحويل الخطي الذي ينقل أي عنصر من فضاء فوك α- V _α إلى الحد الأحادي z ^{( λ , α )} . ثم يتم تحديد عوامل الرؤوس لعناصر أخرى من فضاء فوك عن طريق إعادة البناء.

كما هو الحال في حالة البوزون الحر، يكون لدينا خيار متجه توافقي، معطى بواسطة عنصر s من فضاء المتجهات Λ ⊗ C ، ولكن الشرط الذي ينص على أن فضاءات فوك الإضافية لها قيم ذاتية صحيحة L ₀ يقيد اختيار s : بالنسبة لأساس متعامد x _i ، يجب أن يحقق المتجه 1/2 x _i,1 ² + s _{2 الشرط} ( s , λ ) ∈ Z لجميع λ ∈ Λ، أي أن s يقع في الشبكة الثنائية.

إذا تم توليد الشبكة الزوجية Λ بواسطة "متجهاتها الجذرية" (التي تحقق الشرط (α, α)=2)، وتم ربط أي متجهين جذريين بسلسلة من المتجهات الجذرية ذات جداءات داخلية متتالية غير صفرية، فإن جبر المؤثرات الرأسية هو خارج القسمة البسيط الوحيد لوحدة الفراغ لجبر كاك-مودي الأفيني لجبر لي البسيط المقابل ذي العقدة البسيطة عند المستوى الأول. يُعرف هذا باسم بناء فرينكل-كاك (أو فرينكل - كاك - سيغال )، وهو مبني على البناء السابق الذي وضعه سيرجيو فوبيني وغابرييل فينيزيانو لمؤثر الرأس التاكيوني في نموذج الرنين المزدوج . من بين ميزات أخرى، تُعطي الأنماط الصفرية للمؤثرات الرأسية المقابلة للمتجهات الجذرية بناءً لجبر لي البسيط الأساسي، المرتبط بعرض يعود أصله إلى جاك تيتس . على وجه الخصوص، يمكن الحصول على بناء لجميع زمر لي من نوع ADE مباشرةً من شبكاتها الجذرية. ويُعتبر هذا عادةً أبسط طريقة لإنشاء المجموعة E ₈ ذات الأبعاد 248. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

جبر الرؤوس الوحشي${\displaystyle V^{\natural }}$(يُطلق عليه أيضًا اسم "وحدة ضوء القمر") هو المفتاح لبرهان بورشيردز على حدسيات ضوء القمر الوحشية . وقد تم بناؤه بواسطة فرينكل، وليبوفسكي، وميورمان في عام 1988. وهو جدير بالذكر لأن خاصيته هي الثابت j بدون حد ثابت.${\displaystyle j(\tau )-744}$، ومجموعة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي مجموعة الوحش . يتم بناؤها عن طريق تحويل جبر رؤوس الشبكة المُنشأ من شبكة ليتش بواسطة التشاكل الذاتي من الرتبة 2 الناتج عن عكس شبكة ليتش حول نقطة الأصل. أي، يتم تكوين المجموع المباشر لجبر رؤوس شبكة ليتش مع الوحدة النمطية الملتوية، ويتم أخذ النقاط الثابتة تحت عملية انعكاس مستحثة. وقد افترض فرينكل وليبوفسكي وميورمان في عام 1988 أن${\displaystyle V^{\natural }}$هي جبر عامل الرأس الهولومورفي الفريد ذو الشحنة المركزية 24، ودالة التقسيم${\displaystyle j(\tau )-744}$لا يزال هذا التخمين مفتوحاً.

أظهر ماليكوف، وشيختمان، وفينتروب أنه باستخدام طريقة التموضع، يمكن ربط نظام bcβγ (حقل فائق بوزون-فيرميون) بشكل قانوني بمتشعب عقدي أملس. يمتلك هذا المتشعب من الحزم تفاضلًا مميزًا، والتماثل الكلي هو جبر فائق للرؤوس. بيّن بن-زفي، وهيلواني، وشيزسني أن المقياس الريماني على المتشعب يُنتج بنية فائقة التناظر N = 1، والتي تُرقّى إلى بنية N = 2 إذا كان المقياس كاهلر وريتشي -فلات ، وتُنتج بنية هايبركاهلر بنية N = 4. أظهر بوريسوف وليبغوبر أنه يمكن الحصول على الجنس الإهليلجي ذي المتغيرين لمتشعب عقدي مضغوط من تماثل مُركّب دي رام الكيرالي. إذا كان المتشعب من نوع كالابي-ياو ، فإن هذا الجنس هو شكل جاكوبي ضعيف . ^{[ 8 ]}

يمكن أن ينشأ جبر الرؤوس كقطاع فرعي من نظرية الحقل الكمومي متعددة الأبعاد، والذي يتمركز في فضاء فرعي ثنائي الأبعاد حقيقي من الفضاء الذي تُعرَّف عليه النظرية متعددة الأبعاد. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك بناء بيم، ليموس، ليندو، بيليرز، راستيلي، وفان ريس، الذي يربط جبر الرؤوس بأي نظرية حقل فائقة التناظر رباعية الأبعاد N = 2. ^{[ 9 ]} يتميز جبر الرؤوس هذا بخاصية تطابق خصائصه مع مؤشر شور لنظرية التناظر الفائقة رباعية الأبعاد. عندما تقبل النظرية حد اقتران ضعيف، يكون لجبر الرؤوس وصف صريح كاختزال BRST لنظام bcβγ.