مفارقة دالمبير

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة
جان لو روند دالمبرت (1717-1783)
من المعروف من التجارب أنه توجد دائمًا - باستثناء حالة الميوعة الفائقة - قوة سحب لجسم موضوع في تدفق سائل مستقر. يوضح الشكل معامل السحب (C <sub>d</sub>) للكرة كدالة لعدد رينولدز (Re) ، كما تم الحصول عليه من التجارب المخبرية. يمثل الخط الداكن كرة ذات سطح أملس، بينما يمثل الخط الفاتح حالة السطح الخشن. تشير الأرقام على طول الخط إلى عدة أنظمة تدفق والتغيرات المصاحبة لها في معامل السحب: •2: تدفق ملتصق ( تدفق ستوكس ) وتدفق منفصل مستقر ، •3: تدفق غير مستقر منفصل، ذو طبقة حدية انسيابية قبل الانفصال، وينتج عنه دوامات ، •4: تدفق غير مستقر منفصل ذو طبقة حدية انسيابية في الجانب العلوي، قبل انفصال التدفق، مع وجود دوامة مضطربة فوضوية خلف الكرة ، •5: تدفق منفصل بعد النقطة الحرجة، ذو طبقة حدية مضطربة.

في ديناميكا الموائع ، تُعرف مفارقة دالمبير (أو مفارقة الديناميكا المائية ) بأنها مفارقة اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي جان لو رون دالمبير عام 1752. [ 1 ] أثبت دالمبير أنه - في حالة التدفق الكامن غير القابل للانضغاط وغير اللزج - تكون قوة السحب معدومة على جسم يتحرك بسرعة ثابتة بالنسبة للمائع (وفي الوقت نفسه خلاله) . [ 2 ] يتناقض انعدام السحب تناقضًا مباشرًا مع ملاحظة وجود سحب كبير على الأجسام التي تتحرك بالنسبة للمائع وفي الوقت نفسه خلاله، مثل الهواء والماء؛ لا سيما عند السرعات العالية التي تتوافق مع أرقام رينولدز العالية . وهي مثال خاص على مفارقة الانعكاسية . [ 3 ]

خلص دالمبير، الذي كان يعمل على مسألة جائزة أكاديمية برلين لعام 1749 حول مقاومة التدفق، إلى ما يلي:

يبدو لي أن النظرية (التدفق المحتمل)، التي تم تطويرها بكل دقة ممكنة، تعطي، على الأقل في عدة حالات، مقاومة متلاشية تمامًا، وهي مفارقة فريدة أتركها لعلماء الهندسة المستقبليين [أي علماء الرياضيات - تم استخدام المصطلحين بشكل متبادل في ذلك الوقت] لتوضيحها.

— جان لو روند دالمبرت (1768)

تشير المفارقة الفيزيائية إلى وجود عيوب في النظرية.

وهكذا فقدت ميكانيكا الموائع مصداقيتها من قبل المهندسين منذ البداية، مما أدى إلى انقسام مؤسف – بين مجال الهيدروليكا ، الذي يراقب الظواهر التي لا يمكن تفسيرها، وميكانيكا الموائع النظرية التي تفسر الظواهر التي لا يمكن ملاحظتها – على حد تعبير الحائز على جائزة نوبل في الكيمياء السير سيريل هينشلوود . [ 4 ]

وفقًا للإجماع العلمي ، يُعزى ظهور هذه المفارقة إلى إهمال تأثيرات اللزوجة . بالتزامن مع التجارب العلمية، شهد القرن التاسع عشر تقدمًا هائلًا في نظرية احتكاك الموائع اللزجة. وفيما يتعلق بهذه المفارقة، تُوِّج هذا التقدم باكتشاف ووصف الطبقات الحدية الرقيقة على يد لودفيج براندتل عام ١٩٠٤. حتى عند أرقام رينولدز العالية جدًا، تبقى هذه الطبقات الحدية الرقيقة نتيجةً لقوى اللزوجة. تُسبب هذه القوى مقاومة احتكاكية على الأجسام الانسيابية، أما بالنسبة للأجسام غير الانسيابية، فتؤدي إلى انفصال التدفق وتكوّن منطقة ضغط منخفض خلف الجسم، مما يُسبب مقاومة الشكل . [ ٥ ] [ ٦ ] [ ٧ ] [ ٨ ]

الرأي السائد في مجتمع ميكانيكا الموائع هو أنه من وجهة نظر عملية، يتم حل المفارقة على النحو الذي اقترحه براندتل. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] ويفتقر الأمر إلى برهان رياضي رسمي، ويصعب تقديمه، كما هو الحال في العديد من مشاكل تدفق الموائع الأخرى التي تتضمن معادلات نافيير-ستوكس (التي تستخدم لوصف التدفق اللزج).

الاحتكاك اللزج: سان فينان، نافيير وستوكس

خطا أدهيمار باريه دي سان فينان الخطوات الأولى نحو حل هذه المفارقة ، حيث قام بنمذجة احتكاك السوائل اللزجة . يذكر سان فينان في عام 1847: [ 11 ]

لكن المرء يجد نتيجة أخرى إذا استخدم سائلاً حقيقياً بدلاً من سائل مثالي - موضوع حسابات علماء الهندسة في القرن الماضي - يتكون من عدد محدود من الجزيئات ويمارس في حالة حركته قوى ضغط غير متساوية أو قوى لها مركبات مماسية لعناصر السطح التي تعمل من خلالها؛ مركبات نشير إليها باسم احتكاك السائل، وهو اسم أطلق عليها منذ ديكارت ونيوتن حتى فنتوري.

بعد ذلك بوقت قصير، في عام 1851، قام جورج غابرييل ستوكس بحساب مقاومة الهواء المؤثرة على كرة في تدفق ستوكس ، والمعروفة باسم قانون ستوكس . [ 12 ] يُعد تدفق ستوكس حدًا منخفضًا لرقم رينولدز لمعادلات نافيير-ستوكس التي تصف حركة سائل لزج. [ 13 ]

مع ذلك، عند صياغة مسألة التدفق في شكل لا بُعدي ، تتقارب معادلات نافيير-ستوكس اللزجة، مع ازدياد أرقام رينولدز، نحو معادلات أويلر غير اللزجة ، مما يوحي بأن التدفق يجب أن يتقارب نحو الحلول غير اللزجة لنظرية التدفق الكامن - أي انعدام السحب، وهو ما يُعرف بمفارقة دالمبير. إلا أنه لم يُعثر على أي دليل على ذلك في القياسات التجريبية للسحب أو في تصوير التدفق. [ 14 ] وفي النصف الثاني من القرن التاسع عشر، أثار هذا الأمر مجددًا تساؤلات حول مدى قابلية تطبيق ميكانيكا الموائع.

التدفق المنفصل غير اللزج: كيرشوف ورايلي

تدفق كامن غير قابل للانضغاط ثابت ومنفصل حول صفيحة في بعدين، [ 15 ] مع ضغط ثابت على طول خطي التدفق الحرين المنفصلين عن حواف الصفيحة.

في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، تحوّل التركيز مجددًا نحو استخدام نظرية التدفق غير اللزج لوصف مقاومة الموائع، بافتراض أن اللزوجة تصبح أقل أهمية عند أرقام رينولدز العالية. استند النموذج الذي اقترحه كيرشوف [ 16 ] ورايلي [ 17 ] إلى نظرية الخطوط الانسيابية الحرة لهلمهولتز [ 18 ] ، ويتألف من منطقة خلفية مستقرة خلف الجسم. تشمل الافتراضات المطبقة على منطقة الخلفية: سرعات تدفق مساوية لسرعة الجسم، وضغط ثابت. تُفصل منطقة الخلفية هذه عن التدفق الكامن خارج الجسم ومنطقة الخلفية بواسطة صفائح دوامية ذات قفزات غير متصلة في السرعة المماسية عبر السطح الفاصل. [ 19 ] [ 20 ] لكي تكون مقاومة الجسم غير صفرية، يجب أن تمتد منطقة الخلفية إلى ما لا نهاية. يتحقق هذا الشرط بالفعل في تدفق كيرشوف العمودي على صفيحة. تنص النظرية بشكل صحيح على أن قوة السحب تتناسب طرديًا مع مربع السرعة. [ 21 ] في البداية، كان من الممكن تطبيق النظرية فقط على التدفقات المنفصلة عند الحواف الحادة. لاحقًا، في عام 1907، قام ليفي-سيفيتا بتوسيع نطاقها لتشمل التدفقات المنفصلة من حدود منحنية ملساء. [ 22 ]

كان من المعروف أن هذه التدفقات المستقرة غير مستقرة، إذ تُظهر طبقات الدوامات ما يُعرف بعدم استقرار كلفن-هيلمهولتز . [ 20 ] ولكن دُرِس نموذج التدفق المستقر هذا بتعمق على أمل أن يُعطي تقديرًا معقولًا للسحب. يتساءل رايلي: "... هل تتأثر حسابات المقاومة بشكل جوهري بهذا الظرف، إذ يجب أن تكون الضغوط المُتعرضة مستقلة تقريبًا عما يحدث على مسافة ما خلف العائق، حيث يبدأ عدم الاستقرار بالظهور لأول مرة؟" [ 17 ]

مع ذلك، ظهرت اعتراضات جوهرية على هذا النهج: لاحظ كلفن أنه إذا كانت صفيحة تتحرك بسرعة ثابتة عبر المائع (وهي ساكنة بعيدًا عن الصفيحة، باستثناء منطقة الاضطراب)، فإن السرعة في منطقة الاضطراب تساوي سرعة الصفيحة. ويؤدي الامتداد اللانهائي لمنطقة الاضطراب - الذي يتسع مع المسافة من الصفيحة، كما هو مُستنتج من النظرية - إلى طاقة حركية لانهائية في منطقة الاضطراب، وهو ما يجب رفضه لأسباب فيزيائية. [ 21 ] [ 23 ] علاوة على ذلك، فإن فروق الضغط الملحوظة بين مقدمة الصفيحة ومؤخرتها، وقوى السحب الناتجة عنها، أكبر بكثير من المتوقع: بالنسبة لصفيحة مسطحة عمودية على التدفق، فإن معامل السحب المتوقع هو C<sub> D</sub> = 0.88، بينما وُجد في التجارب أن C<sub> D</sub> = 2.0. ويعود هذا بشكل أساسي إلى الشفط على جانب منطقة الاضطراب للصفيحة، الناتج عن التدفق غير المستقر في منطقة الاضطراب الحقيقية (على عكس النظرية التي تفترض سرعة تدفق ثابتة تساوي سرعة الصفيحة). [ 24 ]

لذا، وُجد أن هذه النظرية غير كافية لتفسير مقاومة الجسم المتحرك في سائل. مع ذلك، يمكن تطبيقها على ما يُسمى بتدفقات التجويف ، حيث يُفترض وجود تجويف فراغي خلف الجسم بدلاً من منطقة مملوءة بالسائل. [ 20 ] [ 21 ] [ 25 ]

طبقات حدودية رقيقة: براندتل

توزيع الضغط حول أسطوانة دائرية. يمثل الخط الأزرق المتقطع توزيع الضغط وفقًا لنظرية التدفق الكامن ، مما يؤدي إلى مفارقة دالمبير. أما الخط الأزرق المتصل فيمثل متوسط ​​توزيع الضغط كما تم رصده في التجارب عند أرقام رينولدز العالية . الضغط هو المسافة القطرية من سطح الأسطوانة؛ الضغط الموجب (الضغط الزائد) يكون داخل الأسطوانة باتجاه المركز، بينما الضغط السالب (الضغط الناقص) يكون خارج الأسطوانة.

The German physicist Ludwig Prandtl suggested in 1904 that the effects of a thin viscous boundary layer possibly could be the source of substantial drag.[26] Prandtl put forward the idea that, at high velocities and high Reynolds numbers, a no-slip boundary condition causes a strong variation of the flow speeds over a thin layer near the wall of the body. This leads to the generation of vorticity and viscous dissipation of kinetic energy in the boundary layer. The energy dissipation, which is lacking in the inviscid theories, results for bluff bodies in separation of the flow. The low pressure in the wake region causes form drag, and this can be larger than the friction drag due to the viscous shear stress at the wall.[14]

Evidence that Prandtl's scenario occurs for bluff bodies in flows of high Reynolds numbers can be seen in impulsively started flows around a cylinder. Initially the flow resembles potential flow, after which the flow separates near the rear stagnation point. Thereafter, the separation points move upstream, resulting in a low-pressure region of separated flow.[14]

وضع براندتل فرضية مفادها أن تأثيرات اللزوجة مهمة في الطبقات الرقيقة - التي تُسمى الطبقات الحدية - المجاورة للحدود الصلبة، وأن اللزوجة لا تلعب دورًا مهمًا خارجها. يقل سمك الطبقة الحدية مع انخفاض اللزوجة. إن مشكلة التدفق اللزج الكاملة، الموصوفة بمعادلات نافيير-ستوكس غير الخطية ، غير قابلة للحل رياضيًا بشكل عام. مع ذلك، وباستخدام فرضيته (مدعومة بالتجارب)، تمكن براندتل من اشتقاق نموذج تقريبي للتدفق داخل الطبقة الحدية، يُسمى نظرية الطبقة الحدية ؛ بينما يمكن معالجة التدفق خارج الطبقة الحدية باستخدام نظرية التدفق غير اللزج . تُناسب نظرية الطبقة الحدية طريقة التوسعات التقاربية المتطابقة لاشتقاق حلول تقريبية. في أبسط الحالات، وهي صفيحة مسطحة موازية للتدفق الوارد، تُنتج نظرية الطبقة الحدية مقاومة (احتكاكية)، بينما تتنبأ جميع نظريات التدفق غير اللزج بانعدام المقاومة. من المهم في مجال الطيران أن نظرية براندتل قابلة للتطبيق مباشرة على الأجسام الانسيابية مثل الأجنحة ، حيث توجد، بالإضافة إلى مقاومة الاحتكاك السطحي، مقاومة الشكل. وتنتج مقاومة الشكل عن تأثير الطبقة الحدية والدوامة الرقيقة على توزيع الضغط حول الجناح. [ 7 ] [ 27 ]

أسئلة مفتوحة

إن التحقق، كما اقترح براندتل، من أن السبب الصغير للغاية (اللزوجة الصغيرة للغاية لزيادة رقم رينولدز) له تأثير كبير - سحب كبير - قد يكون صعبًا للغاية.

يتناول عالم الرياضيات غاريت بيركوف في الفصل الافتتاحي من كتابه "الهيدروديناميكا" الصادر عام 1950، [ 28 ] عددًا من مفارقات ميكانيكا الموائع (بما في ذلك مفارقة دالمبير) ويعبر عن شك واضح في حلولها الرسمية:

" علاوة على ذلك، أعتقد أن عزو كل ذلك إلى إهمال اللزوجة هو تبسيط مفرط وغير مبرر. يكمن الجذر في أعماق أعمق، في غياب ذلك الصرامة الاستنتاجية التي يقلل الفيزيائيون والمهندسون عادةً من أهميتها. " [ 29 ]

وبالتحديد، يتناول بيركوف مفارقة دالمبير، ويطرح مسارًا آخر محتملاً لتوليد السحب: عدم استقرار حلول التدفق الكامن لمعادلات أويلر . ويذكر بيركوف ما يلي:

على أي حال ، توضح الفقرات السابقة أن نظرية التدفقات غير اللزجة غير مكتملة. في الواقع، إن الاستدلال المؤدي إلى مفهوم "التدفق المستقر" غير حاسم؛ إذ لا يوجد مبرر دقيق لاستبعاد الزمن كمتغير مستقل. وبالتالي، على الرغم من أن تدفقات ديريشليه (الحلول المحتملة) وغيرها من التدفقات المستقرة ممكنة رياضيًا، فلا يوجد سبب للافتراض بأن أي تدفق مستقر هو تدفق ثابت . [ 30 ]

في مراجعته لكتاب بيركوف عام 1951 [ 31 ] ، انتقد عالم الرياضيات جيمس ج. ستوكر بشدة الفصل الأول من الكتاب:

وجد المراجع صعوبة في فهم الفئة المستهدفة من القراء الذين كُتب لهم الفصل الأول. فبالنسبة للقراء الملمين بعلم ديناميكا الموائع، فإن معظم الحالات المذكورة كأمثلة على المفارقات تنتمي إما إلى فئة الأخطاء التي تم تصحيحها منذ زمن طويل، أو إلى فئة التناقضات بين النظرية والتجارب التي تُفهم أسبابها جيدًا. من ناحية أخرى، من المرجح جدًا أن يحصل غير المتخصصين على أفكار خاطئة حول بعض الإنجازات المهمة والمفيدة في علم ديناميكا الموائع من قراءة هذا الفصل .

في الطبعة الثانية والمنقحة من كتاب بيركوف " الهيدروديناميكا" عام 1960، لم تعد العبارتان المذكورتان أعلاه تظهران. [ 32 ]

يستعرض كيث ستيوارتسون، بعد ثلاثين عامًا، أهمية وفائدة الإنجازات التي تحققت في موضوع مفارقة دالمبير. ويبدأ مقاله الاستقصائي المطول الذي نُشر عام 1981 بما يلي: [ 9 ]

بما أن النظرية الكلاسيكية للسائل غير اللزج تؤدي إلى استنتاجٍ عبثيٍّ واضح ، وهو أن المقاومة التي يواجهها جسم صلب يتحرك عبر سائل بسرعة منتظمة تساوي صفرًا، فقد بُذلت جهودٌ كبيرة خلال المئة عام الماضية أو نحوها لاقتراح نظريات بديلة وشرح كيف يمكن لقوة احتكاك ضئيلة للغاية في السائل أن يكون لها مع ذلك تأثيرٌ كبير على خصائص التدفق. وتشمل الأساليب المستخدمة مزيجًا من الملاحظة التجريبية، والحسابات التي غالبًا ما تكون على نطاق واسع جدًا، وتحليل بنية الشكل التقاربي للحل عندما يؤول الاحتكاك إلى الصفر. وقد حقق هذا النهج الثلاثي نجاحًا كبيرًا، لا سيما خلال السنوات العشر الماضية، بحيث يمكن الآن اعتبار هذه المفارقة محلولة إلى حد كبير .

بالنسبة للعديد من المفارقات في الفيزياء، يكمن حلها غالبًا في تجاوز النظرية المتاحة. [ 33 ] في حالة مفارقة دالمبير، قدم براندتل الآلية الأساسية لحلها من خلال اكتشاف ونمذجة طبقات الحدود اللزجة الرقيقة - التي لا تتلاشى عند أرقام رينولدز العالية . [ 26 ]

إثبات انعدام السحب في التدفق الكامن المستقر

مخططات انسيابية للتدفق المحتمل حول أسطوانة دائرية في تدفق منتظم.

التدفق المحتمل

تتمثل الافتراضات الرئيسية الثلاثة في اشتقاق مفارقة دالمبير في أن التدفق المستقر غير قابل للانضغاط ، وغير لزج، وغير دوراني . [ 34 ] يُوصف المائع غير اللزج بمعادلات أويلر ، والتي تُشكل مع الشرطين الآخرين الصيغة التالية:

∇⋅u=0(عدم الانضغاط)∇×u=0(غير دوراني)∂∂تu+(u⋅∇)u=-1ρ∇ص(معادلة أويلر){\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {u} =0&&{\text{(عدم الضغط)}}\\&\mathbf {\nabla} \times \mathbf {u} =0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\جزئي} {\partial t}}\mathbf {u} +\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p&&{\text{(معادلة أويلر)}}\end{محاذاة}}}

حيث u تشير إلى سرعة تدفق السائل، و p الضغط ، و ρ الكثافة ، و ∇ هو عامل التدرج .

لدينا الحد الثاني في معادلة أويلر على النحو التالي:

(u⋅∇)u=12∇(u⋅u)-u×∇×u=12∇(u⋅u)(1){\displaystyle \left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {\nabla} \right)\mathbf {u} ={\tfrac {1}{2}}\mathbf {\nabla} \left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {u} ={\tfrac {1}{2}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\qquad (1)}

حيث تمثل المساواة الأولى متطابقة حسابية متجهة ، وتستند المساواة الثانية إلى كون التدفق غير دوراني. علاوة على ذلك، لكل تدفق غير دوراني، يوجد جهد سرعة φ بحيث يكون u = ∇ φ . وبالتعويض بكل هذا في معادلة حفظ الزخم، نحصل على

∇(∂φ∂ت+12u⋅u+صρ)=0.{\displaystyle \mathbf {\nabla} \left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +{\frac {p}{\rho }}\right)=\mathbf {0} .}

وبالتالي، يجب أن تكون الكمية بين القوسين ثابتة ( يمكن التخلص من أي اعتماد على الزمن t بإعادة تعريف φ ). بافتراض أن السائل ساكن عند اللانهاية وأن الضغط يُعرَّف بأنه يساوي صفرًا هناك، فإن هذا الثابت يساوي صفرًا، وبالتالي

∂φ∂ت+12u⋅u+صρ=0،(2){\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)}

وهي معادلة برنولي للتدفق الكامن غير المستقر.

مقاومة هواء معدومة

لنفترض الآن أن جسمًا يتحرك بسرعة ثابتة v عبر سائل ساكن على مسافة لا نهائية. عندئذٍ، يجب أن يتبع حقل سرعة السائل الجسم، لذا فهو على الصورة u ( x , t ) = u ( x - vt , 0) ، حيث x هو متجه الإحداثيات المكانية، وبالتالي:

∂u∂ت+(v⋅∇)u=0.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .}

بما أن u = ∇ φ ، يمكن إجراء التكامل بالنسبة إلى x :

∂φ∂ت=-v⋅∇φ+R(ت)=-v⋅u+R(ت).{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} +R(t).}

القوة F التي يؤثر بها السائل على الجسم تُعطى بواسطة التكامل السطحي

F=-∫أصندS{\displaystyle \mathbf {F} =-\int _{A}p\,\mathbf {n} \;\mathrm {d} S}

حيث A ترمز إلى سطح الجسم و n إلى متجه الوحدة العمودي على سطح الجسم. ولكن يتبين من (2) أن

ص=-ρ(∂φ∂ت+12u⋅u)=ρ(v⋅u-12u⋅u-R(ت))،// {u} \cdot \mathbf {u} -R(t)\right)،}

هكذا

F=-∫أصندS=ρ∫أ(12u⋅u-v⋅u)ندS،{\displaystyle \mathbf {F} =-\int _{A}p\,\mathbf {n} \;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} -\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {ن} \;\mathrm {د} S،}

مع كون مساهمة R ( t ) في التكامل تساوي صفرًا.

عند هذه النقطة، يصبح من الأنسب العمل باستخدام مركبات المتجه . المركبة رقم k من هذه المعادلة هي

Fك=ρ∫أ∑أنا(12uأنا2-uأناvأنا)نكدS.(3){\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}

ليكن V هو الحجم الذي يشغله السائل. تنص نظرية التباعد على أن

12∫أ∑أناuأنا2نكدS=-12∫V∂∂xك(∑أناuأنا2)دV.{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}

الطرف الأيمن هو تكامل على حجم لانهائي، لذا فهو يحتاج إلى تبرير، ويمكن تقديمه بالرجوع إلى نظرية الكمون لإظهار أن السرعة u يجب أن تتناقص بنسبة r −3 – وهو ما يتوافق مع مجال كمون ثنائي القطب في حالة جسم ثلاثي الأبعاد ذي امتداد محدود – حيث r هي المسافة إلى مركز الجسم. ويمكن إعادة كتابة الدالة المكاملة في تكامل الحجم على النحو التالي:

12∂∂xك(∑أناuأنا2)=∑أناuأنا∂uك∂xأنا=∑أنا∂(uأناuك)∂xأنا{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}

حيث تُستخدم أولاً المعادلة (1)، ثم خاصية عدم انضغاط التدفق. وبتعويض هذه القيمة في التكامل الحجمي، وتطبيق نظرية التباعد مرة أخرى، نحصل على النتيجة التالية:

-12∫V∂∂xك(∑أناuأنا2)دV=-∫V∑أنا∂(uأناuك)∂xأنادV=∫أuك∑أناuأنانأنادS.{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}

وباستبدال هذا في (3)، نجد أن

Fك=ρ∫أ∑أنا(uكuأنانأنا-vأناuأنانك)دS.{\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}

لا يستطيع السائل اختراق الجسم، وبالتالي فإن n · u = n · v على سطح الجسم.∑أنانأناvأنا=∑أنانأناuأنا{\textstyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}و

Fك=ρ∫أ∑أنا(uكvأنانأنا-vأناuأنانك)دS.{\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}

وأخيرًا، فإن قوة السحب هي القوة في اتجاه حركة الجسم، لذلك

v⋅F=∑كvكFك=0.{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}

وبالتالي يختفي الاحتكاك. هذه هي مفارقة دالمبير.

ملحوظات

  1. ^ جان لو روند دالمبرت (1752).
  2. ^ جريمبيرج وبولس وفريش (2008).
  3. ↑ فالكوفيتش (2011)، ص 32.
  4. ↑ إم جيه لايت هيل (1956)، "فيزياء تدفق الغاز بسرعات عالية جدًا"، مجلة نيتشر ، 178 (4529): 343، رمز Bibcode : 1956Natur.178..343 ، doi : 10.1038/178343a0تقرير عن مؤتمر.
  5. 1 2 Landau & Lifshitz (1987), ص. 15.
  6. 1 2 باتشيلور (2000)، ص. 264–265، 303، 337.
  7. 1 2 3 شليتشتينج, هيرمان ; جيرستن ، كلاوس (2000)، نظرية الطبقة الحدودية (الطبعة الثامنة المنقحة والموسعة )، سبرينغر، ISBN  978-3-540-66270-9، الصفحات XIX–XXIII.
  8. 1 2 فيلدمان، أ.إ.ب. (2001)، "التوسعات التقاربية المتطابقة والمعالجة العددية للتفاعل اللزج-غير اللزج"، مجلة الرياضيات الهندسية ، 39 (1): 189-206 ، Bibcode : 2001JEnMa..39..189V ، doi : 10.1023/A:1004846400131 ، S2CID 189820383 
  9. 1 2 ستيوارتسون (1981).
  10. ↑ فاينمان، آر بي ؛ لايتون، آر بي ؛ ساندز، إم. (1963)، محاضرات فاينمان في الفيزياء ، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN 978-0-201-02116-5{{citation}}: عدم توافق ISBN / التاريخ ( مساعدة ) ، المجلد 2، §41–5: حد اللزوجة الصفرية، الصفحات 41–9 – 41–10.
  11. ^ Saint-Venant، A. (1847)، “Mémoire sur la théorie de la résistance des Fluides. Solution du paradoxe Proposé à ce sujet par d’Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences” ، Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences ، 24 : 243-246 ، تم استرجاعه في 15-08-2008
  12. ↑ ستوكس، جي جي (1851)، "حول تأثير الاحتكاك الداخلي للسوائل على حركة البندولات"، معاملات جمعية كامبريدج الفلسفية ، 9 : 8-106 ، رمز Bibcode : 1851TCaPS...9....8Sأُعيد طبعه في: ستوكس، جي جي، "حول التأثير..."، أوراق رياضية وفيزيائية ، المجلد 3 (الطبعة الثانية )، مطبعة جامعة كامبريدج  
  13. ↑ تُقدّم معادلات تدفق ستوكس حلاً للتدفق حول كرة، ولكن ليس للتدفق حول أسطوانة دائرية. ويعود ذلك إلى إهمال التسارع الحملي في تدفق ستوكس. يهيمن التسارع الحملي على التأثيرات اللزجة بعيدًا عن الأسطوانة (باتشيلور، 2000، ص 245). ويمكن إيجاد حل عند أخذ التسارع الحملي في الحسبان، على سبيل المثال باستخدام معادلات أوسين (باتشيلور، 2000، ص 245-246).
  14. 1 2 3 باتشيلور (2000)، الصفحات 337-343 واللوحات.
  15. ↑ باتشيلور (2000)، ص 499، معادلة (6.13.12).
  16. ^ كيرشوف، ج. (1869)، “Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1869 (70): 289–298 ، دوى : 10.1515/crll.1869.70.289 ، S2CID 120541431 
  17. 1 2 رايلي، اللورد (1876)، "حول مقاومة السوائل"، المجلة الفلسفية ، 5 ( 2): 430-441. أعيد طبعه في: الأوراق العلمية 1 : 287-296.
  18. ^ هيلمهولتز، HLF von (1868)، “Über stopierliche Flüssigkeitsbewegungen”، Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ، 23 : 215– 228. أعيد طبعه في: مجلة الفلسفة (1868) 36 :337–346.
  19. ↑ باتشيلور (2000)، الصفحات 338-339
  20. 1 2 3 وو، تي واي (1972)، "تدفقات التجويف والدوامات" ، المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع ، 4 : 243-284 ، رمز Bibcode : 1972AnRFM...4..243W ، doi : 10.1146/annurev.fl.04.010172.001331
  21. 1 2 3 لامب، هـ. (1994)، الديناميكا المائية ( الطبعة السادسة)، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 679، ISBN   978-0-521-45868-9
  22. ^ Levi-Civita، T. (1907)، “Scie e Leggi di resistenza” ، Rendeconti del Circolo Matematico di Palermo ، 23 : 1–37 ، دوى : 10.1007 / bf03013504 ، S2CID 118652934 
  23. ↑ اللورد كلفن (1894)، "حول مبدأ عدم استمرارية حركة الموائع، فيما يتعلق بمقاومة جسم صلب يتحرك عبر مائع"، مجلة نيتشر ، 50 (1300): 524-525 ، 549، 573-575 ، 597-598 ، Bibcode : 1894Natur..50..524K ، doi : 10.1038/050524e0أعيد طبعه في: الأوراق الرياضية والفيزيائية 4 : 215-230.
  24. ↑ باتشيلور (2000)، ص 500.
  25. ↑ باتشيلور (2000)، ص 493-494.
  26. 1 2 براندتل (1904).
  27. ↑ باتشيلور (2000) ص. 302–314 و 331–337.
  28. ↑ غاريت بيركوف، الديناميكا المائية: دراسة في المنطق والحقيقة والتشابه ، مطبعة جامعة برينستون، 1950
  29. ↑ بيركوف (1950) ص. 4.
  30. ↑ بيركوف (1950) ص 21.
  31. ↑ جيمس ج. ستوكر (1951)، "مراجعة: غاريت بيركوف، الديناميكا المائية، دراسة في المنطق والحقيقة والتشابه" ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 57 (6): 497-499 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09552-X .
  32. ↑ أقرب اقتباس إلى الاقتباس الأول يأتي في الصفحة 5:
    " ...يُزعم الآن عادةً أن هذه المفارقات ناتجة عن الاختلافات بين الموائع "الحقيقية" ذات اللزوجة الصغيرة ولكن المحدودة، والموائع "المثالية" ذات اللزوجة الصفرية. وبالتالي، يُفترض ضمنيًا أنه يمكن تصحيح ادعاء لاغرانج باستبدال "نافييه-ستوكس" بـ"أويلر". سيتم مناقشة هذا الادعاء بشكل نقدي في الفصل الثاني؛ وقد يكون صحيحًا من حيث المبدأ بالنسبة للتدفق اللزج غير القابل للانضغاط . ومع ذلك، أعتقد أنه، إذا أُخذ حرفيًا، فإنه لا يزال مضللًا للغاية، ما لم يُولَ اهتمام واضح للفرضيات المعقولة المذكورة أعلاه، وللافتقار إلى الدقة الذي ينطوي عليه استخدامها. على الرغم من أنني لا أعرف أي حالة أدى فيها استنتاج، دقيق فيزيائيًا ورياضيًا ، إلى نتيجة خاطئة، إلا أنه لا يمكن إثبات سوى عدد قليل جدًا من استنتاجات الديناميكا المائية العقلانية بدقة. وتتضمن أكثرها إثارة للاهتمام الاستخدام الحر للفرضيات (أ) - (و)... "
    وردت ادعاءات لاغرانج من قبل بيركوف في الصفحة 3:
    " ...يعود الفضل إلى أويلر في وضع أولى الصيغ العامة لحركة الموائع... والتي عُرضت في شكل تدوين بسيط ومشرق للفروق الجزئية... وبفضل هذا الاكتشاف، اختُزلت جميع ميكانيكا الموائع إلى نقطة تحليل واحدة، وإذا كانت المعادلات المعنية قابلة للتكامل، فيمكن للمرء أن يحدد بشكل كامل، في جميع الحالات، حركة المائع الذي تحركه أي قوى... "
    (بيركوف، 1960، الطبعة الثانية)
  33. ↑ على سبيل المثال، تم حلمفارقة ثبات سرعة الضوء في جميع الاتجاهات بواسطة النظرية النسبية الخاصة .
  34. ↑ تتبع هذه المقالة الاشتقاق الوارد في القسم 6.4 من باتشيلور (2000).

مراجع

تاريخي

للمزيد من القراءة