قاعدة الاستدلال

في المنطق وفلسفة المنطق ، وتحديدًا في الاستدلال الاستنتاجي ، قاعدة الاستدلال أو قاعدة الاستدلال أو قاعدة التحويل هي شكل منطقي يتكون من دالة تأخذ المقدمات وتحلل تركيبها وترجع نتيجة (أو استنتاجات ).

على سبيل المثال، تأخذ قاعدة الاستدلال المسماة modus ponens مقدمتين، واحدة في هيئة "إذا كان p فإن q" والأخرى في هيئة "p"، وتعيد النتيجة "q". القاعدة صالحة فيما يتعلق بدلالات المنطق الكلاسيكي (وكذلك دلالات العديد من المنطق غير الكلاسيكي الأخرى )، بمعنى أنه إذا كانت المقدمات صحيحة (تحت تفسير ما)، فإن النتيجة صحيحة أيضًا.

عادةً، تحافظ قاعدة الاستدلال على الحقيقة، وهي خاصية دلالية. وفي المنطق متعدد القيم ، تحافظ على تسمية عامة. لكن عمل قاعدة الاستدلال هو نحوي بحت، ولا يحتاج إلى الحفاظ على أي خاصية دلالية: أي دالة من مجموعات الصيغ إلى الصيغ تُحسب كقاعدة استدلال. عادةً ما تكون القواعد المتكررة فقط هي المهمة؛ أي القواعد التي يوجد بها إجراء فعال لتحديد ما إذا كانت أي صيغة معينة هي استنتاج لمجموعة معينة من الصيغ وفقًا للقاعدة. ومن الأمثلة على القاعدة التي ليست فعالة بهذا المعنى قاعدة ω اللانهائية . ^[1]

تتضمن قواعد الاستدلال الشائعة في المنطق القياسي modus ponens و modus tollens و contraposition . يستخدم منطق المسند من الدرجة الأولى قواعد الاستدلال للتعامل مع الكميات المنطقية .

النموذج القياسي

في المنطق الرسمي (والعديد من المجالات ذات الصلة)، عادة ما يتم تقديم قواعد الاستدلال في الشكل القياسي التالي:

  المقدمة رقم 1
  المقدمة رقم 2
        ...
  المقدمة رقم ن
  الخاتمة

تنص هذه العبارة على أنه كلما تم التوصل إلى مقدمات معينة أثناء عملية استنباط منطقي، فيمكن اعتبار النتيجة المحددة أمرًا مسلمًا به أيضًا. تعتمد اللغة الرسمية الدقيقة المستخدمة لوصف المقدمات والاستنتاجات على السياق الفعلي للاستنباطات. في حالة بسيطة، يمكن للمرء استخدام صيغ منطقية، كما في:

A\to B

{\underline {A\quad \quad \quad }}\,\!

B\!

هذه هي قاعدة modus ponens للمنطق القياسي . غالبًا ما يتم صياغة قواعد الاستدلال كمخططات تستخدم المتغيرات الفوقية . ^[2] في القاعدة (المخطط) أعلاه، يمكن إنشاء مثيلات للمتغيرات الفوقية A وB لأي عنصر من عناصر الكون (أو في بعض الأحيان، وفقًا للاتفاقية، مجموعة فرعية مقيدة مثل المقترحات ) لتشكيل مجموعة لا نهائية من قواعد الاستدلال.

يتكون نظام الإثبات من مجموعة من القواعد المتسلسلة معًا لتشكيل البراهين، والتي تسمى أيضًا الاشتقاقات . أي اشتقاق له نتيجة نهائية واحدة فقط، وهي العبارة التي تم إثباتها أو اشتقاقها. إذا تُرِكَت المقدمات غير مُرضية في الاشتقاق، فإن الاشتقاق يكون دليلاً على عبارة افتراضية : " إذا كانت المقدمات صحيحة، فإن النتيجة صحيحة".

مثال: أنظمة هيلبرت لمنطقين تقريريين

في نظام هيلبرت ، تكون مقدمات واستنتاجات قواعد الاستدلال مجرد صيغ لبعض اللغات، وعادة ما تستخدم المتغيرات الفوقية. ولإضفاء التماسك الرسومي على العرض والتأكيد على التمييز بين البديهيات وقواعد الاستدلال، يستخدم هذا القسم الترميز المتسلسل ( ) بدلاً من العرض الرأسي للقواعد. في هذا الترميز، $\vdash$

${\begin{array}{c}{\text{Premise }}1\\{\text{Premise }}2\\\hline {\text{Conclusion}}\end{array}}$

مكتوبة على النحو التالي . $({\text{Premise }}1),({\text{Premise }}2)\vdash ({\text{Conclusion}})$

يمكن التعبير عن اللغة الرسمية للمنطق القياسي باستخدام النفي (¬) والاستدلال (→) والرموز القياسية. ومن بين البديهيات المعروفة، التي تتألف من ثلاثة مخططات بديهية وقاعدة استدلال واحدة ( modus ponens )، ما يلي:

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 

(CA2) ⊢ ( A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) 

(CA3) ⊢ (¬ A → ¬ B ) → ( B → A ) 

(MP)   A , A → B ⊢ B

قد يبدو من غير الضروري أن يكون لدينا مفهومان للاستدلال في هذه الحالة، ⊢ و→. في المنطق القياسي الكلاسيكي، يتطابقان بالفعل؛ تنص نظرية الاستنتاج على أن A ⊢ B إذا وفقط إذا ⊢ A → B. ومع ذلك، هناك تمييز يستحق التأكيد عليه حتى في هذه الحالة: يصف التدوين الأول استنتاجًا ، وهو نشاط الانتقال من جمل إلى جمل، في حين أن A → B هي ببساطة صيغة مصنوعة باستخدام رابط منطقي ، ضمناً في هذه الحالة. بدون قاعدة استنتاج (مثل modus ponens في هذه الحالة)، لا يوجد استنتاج أو استدلال. تم توضيح هذه النقطة في حوار لويس كارول المسمى " ما قالته السلحفاة لأخيل "، ^[3] بالإضافة إلى المحاولات اللاحقة التي قام بها برتراند راسل وبيتر وينش لحل المفارقة المقدمة في الحوار.

بالنسبة لبعض المنطق غير الكلاسيكي، لا تنطبق نظرية الاستنتاج. على سبيل المثال، يمكن صياغة منطق القيم الثلاث لـ Łukasiewicz على النحو التالي: ^[4]

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 

(LA2) ⊢ ( A → B ) → (( B → C ) → ( A → C )) 

(CA3) ⊢ (¬ A → ¬ B ) → ( B → A ) 

(LA4) ⊢ (( A → ¬ A ) → A ) → A
 
(MP)   A , A → B ⊢ B

يختلف هذا التسلسل عن المنطق الكلاسيكي من خلال التغيير في البديهية 2 وإضافة البديهية 4. لا تنطبق نظرية الاستنتاج الكلاسيكي على هذا المنطق، ومع ذلك فإن الشكل المعدل ينطبق، وهو A ⊢ B إذا وفقط إذا ⊢ A → ( A → B ). ^[5]

القابلية للقبول والاشتقاق

في مجموعة من القواعد، يمكن أن تكون قاعدة الاستدلال زائدة عن الحاجة بمعنى أنها مقبولة أو قابلة للاشتقاق . القاعدة القابلة للاشتقاق هي القاعدة التي يمكن استخلاص استنتاجها من مقدماتها باستخدام القواعد الأخرى. القاعدة المقبولة هي القاعدة التي يكون استنتاجها صحيحًا كلما كانت المقدمات صحيحة. جميع القواعد القابلة للاشتقاق مقبولة. لتقدير الفرق، ضع في اعتبارك مجموعة القواعد التالية لتعريف الأعداد الطبيعية ( يؤكد الحكم على حقيقة أن الأعداد الطبيعية هي عدد طبيعي): $n\,\,{\mathsf {nat}}$ $n$

{\begin{matrix}{\begin{array}{c}\\\hline {\mathbf {0} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{n\,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}\end{matrix}}

تنص القاعدة الأولى على أن 0 هو عدد طبيعي، وتنص القاعدة الثانية على أن s( n ) هو عدد طبيعي إذا كان n كذلك. في نظام الإثبات هذا، يمكن استنتاج القاعدة التالية، التي توضح أن الخليفة الثاني لعدد طبيعي هو أيضًا عدد طبيعي:

{\begin{array}{c}{n\,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {\mathbf {s(s(} n\mathbf {))} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

إن اشتقاقها هو عبارة عن تركيبة من استخدامين لقاعدة الخليفة المذكورة أعلاه. القاعدة التالية لتأكيد وجود سلف لأي عدد غير صفري مقبولة ببساطة:

{\begin{array}{c}{\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {n\,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

هذه حقيقة صحيحة للأعداد الطبيعية، كما يمكن إثباتها بالاستقراء . (لإثبات أن هذه القاعدة مقبولة، افترض اشتقاقًا للمقدمة واستنبط منها لإنتاج اشتقاق لـ .) ومع ذلك، فهي غير قابلة للاشتقاق، لأنها تعتمد على بنية اشتقاق المقدمة. وبسبب هذا، فإن قابلية الاشتقاق مستقرة تحت الإضافات إلى نظام الإثبات، في حين أن قابلية القبول ليست كذلك. لمعرفة الفرق، افترض أن قاعدة الهراء التالية قد أضيفت إلى نظام الإثبات: $n\,\,{\mathsf {nat}}$

{\begin{array}{c}\\\hline {\mathbf {s(-3)} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

في هذا النظام الجديد، لا تزال قاعدة الخلف المزدوج قابلة للاشتقاق. ومع ذلك، فإن قاعدة إيجاد السلف لم تعد مقبولة، لأنه لا توجد طريقة لاستنتاجها . إن هشاشة القبول تأتي من الطريقة التي يتم بها إثباتها: بما أن الإثبات يمكن أن يستنتج من بنية اشتقاقات المقدمات، فإن التوسعات في النظام تضيف حالات جديدة إلى هذا الإثبات، والتي قد لا تكون صالحة بعد الآن. $\mathbf {-3} \,\,{\mathsf {nat}}$

يمكن اعتبار القواعد المقبولة بمثابة نظريات لنظام إثبات. على سبيل المثال، في حساب التفاضل والتكامل المتسلسل حيث ينطبق مبدأ الاستبعاد المقطوع ، تكون قاعدة الاستبعاد مقبولة.

انظر أيضا

مراجع

^ بولوس، جورج؛ بيرجيس، جون؛ جيفري، ريتشارد سي. (2007). قابلية الحساب والمنطق. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 364. ISBN 978-0-521-87752-7.
^ جون سي رينولدز (2009) [1998]. نظريات لغات البرمجة. مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 12. ISBN 978-0-521-10697-9.
^ كوستا دوسن (1996). "النتيجة المنطقية: تحول في الأسلوب". في ماريا لويزا دالا كيارا ؛ كيس دويتس؛ دانييل مونديتشي؛ يوهان فان بينثيم (المحررون). المنطق والأساليب العلمية: المجلد الأول من المؤتمر الدولي العاشر للمنطق والمنهجية وفلسفة العلوم، فلورنسا، أغسطس 1995. سبرينغر. ص 290. ISBN 978-0-7923-4383-7.طبعة مسبقة (مع ترقيم صفحات مختلف)
^ بيرجمان، ميري (2008). مقدمة إلى المنطق متعدد القيم والمنطق الضبابي: الدلالات والجبر وأنظمة الاشتقاق . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 100. ISBN 978-0-521-88128-9.
^ بيرجمان، ميري (2008). مقدمة إلى المنطق متعدد القيم والمنطق الضبابي: الدلالات والجبر وأنظمة الاشتقاق . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 114. ISBN 978-0-521-88128-9.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] بولوس، جورج؛ بيرجيس، جون؛ جيفري، ريتشارد سي. (2007). قابلية الحساب والمنطق. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 364. ISBN 978-0-521-87752-7.

[Reynolds2009-2] جون سي رينولدز (2009) [1998]. نظريات لغات البرمجة. مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 12. ISBN 978-0-521-10697-9.

[ChiaraDoets1996-3] كوستا دوسن (1996). "النتيجة المنطقية: تحول في الأسلوب". في ماريا لويزا دالا كيارا ؛ كيس دويتس؛ دانييل مونديتشي؛ يوهان فان بينثيم (المحررون). المنطق والأساليب العلمية: المجلد الأول من المؤتمر الدولي العاشر للمنطق والمنهجية وفلسفة العلوم، فلورنسا، أغسطس 1995. سبرينغر. ص 290. ISBN 978-0-7923-4383-7.طبعة مسبقة (مع ترقيم صفحات مختلف)

[4] بيرجمان، ميري (2008). مقدمة إلى المنطق متعدد القيم والمنطق الضبابي: الدلالات والجبر وأنظمة الاشتقاق . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 100. ISBN 978-0-521-88128-9.

[5] بيرجمان، ميري (2008). مقدمة إلى المنطق متعدد القيم والمنطق الضبابي: الدلالات والجبر وأنظمة الاشتقاق . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 114. ISBN 978-0-521-88128-9.