Descartes' theorem

عندما تتطابق ثلاث من الدوائر الأربع، تشكل مراكزها مثلثًا متساوي الأضلاع، وكذلك نقاط تماسها. أما الاحتمالان لدائرة رابعة مماسة للدوائر الثلاث فهما متحدة المركز، وتُختزل المعادلة (2) إلى ^{[ 31 ].}

$${\displaystyle k_{4}=(3\pm 2{\sqrt {3}})k_{1}.}$$

إذا استُبدلت إحدى الدوائر الثلاث بخط مستقيم مماس للدوائر المتبقية ، فإن انحنائها يساوي صفرًا وتُحذف من المعادلة (1) . على سبيل المثال، إذا${\displaystyle k_{3}=0}$، عندئذٍ يمكن تحليل المعادلة (1) إلى ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}{\bigl (}{{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{1}}}}{\bigr )}\\[3mu]&\quad {}\cdot {\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{2}}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}-{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}=0,\end{aligned}}}$$

وتتبسط المعادلة ( 2) إلى ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}$$

يؤدي أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين إلى صياغة بديلة أخرى لهذه الحالة (مع${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}}$)

$${\displaystyle {\sqrt {k_{4}}}={\sqrt {k_{1}}}\pm {\sqrt {k_{2}}},}$$

والتي وُصفت بأنها "نوع من النسخة المختلة من نظرية فيثاغورس ". ^{[ 26 ]}

إذا استُبدلت دائرتان بخطين، فإن التماس بين الدائرتين المستبدلتين يصبح توازياً بين خطيهما البديلين. في هذه الحالة، مع${\displaystyle k_{2}=k_{3}=0}$، تُختزل المعادلة (2) إلى الصيغة التافهة

$${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$$

يتوافق هذا مع الملاحظة القائلة بأنه لكي تبقى جميع المنحنيات الأربعة متماسّة، يجب أن تكون الدائرتان الأخريان متطابقتين. ^{[ 19 ] [ 27 ]}

عندما تكون انحناءات الدوائر المماسية الأربع الموصوفة بالمعادلة (2) أعدادًا صحيحة، فإن انحناء الدائرة الرابعة البديلة الموصوفة بالحل الثاني للمعادلة يجب أن يكون صحيحًا أيضًا. وذلك لأن كلا الحلين يختلفان عن العدد الصحيح بمقدار الجذر التربيعي لعدد صحيح، وبالتالي لا يمكن لأي من الحلين أن يكون عددًا صحيحًا إلا إذا كان هذا الجذر التربيعي، وبالتالي الحل الآخر، عددًا صحيحًا أيضًا. كل أربعة أعداد صحيحة تحقق المعادلة في نظرية ديكارت تُشكل انحناءات أربع دوائر مماسية. ^{[ 34 ]} ترتبط الرباعيات الصحيحة من هذا النوع ارتباطًا وثيقًا بالمثلثات الهيرونية ، وهي مثلثات ذات أضلاع ومساحة صحيحتين . ^{[ 35 ]}

بالبدء بأربع دوائر متماسّة، واستبدال إحداها بحلّها البديل ( قفزة فييتا ) مرارًا وتكرارًا، وبجميع الطرق الممكنة، نحصل على نظام من عدد لا نهائي من الدوائر المتماسّة يُسمى " مجموعة أبولو" . عندما تكون انحناءات الدوائر الأربع الأولى أعدادًا صحيحة، فإن كل استبدال لها يكون كذلك، وبالتالي فإن جميع الدوائر في المجموعة لها انحناءات صحيحة. تنتمي أي أربع دوائر متماسّة ذات انحناءات صحيحة إلى مجموعة واحدة فقط، تُوصف بشكل فريد برباعية جذورها المكونة من أكبر أربع دوائر وأصغر أربع انحناءات. يمكن إيجاد هذه الرباعية، بدءًا من أي رباعية أخرى من المجموعة نفسها، باستبدال أصغر دائرة بدائرة أكبر منها تُحلّ معادلة ديكارت نفسها مرارًا وتكرارًا، حتى يتعذر إجراء أي اختزال. ^{[ 34 ]}

يُقال عن رباعية الجذور أنها أولية إذا لم يكن لها قاسم مشترك غير تافه . ويمكن إيجاد كل رباعية جذور أولية من خلال تحليل مجموع مربعين إلى عواملهما الأولية.${\displaystyle n^{2}+m^{2}=de}$، كما هو الحال في الرباعي${\displaystyle (-n,\,d+n,\,e+n,\,d+e+n-2m)}$لكي يكون العنصر بدائيًا، يجب أن يستوفي الشروط الإضافية .${\displaystyle \gcd(n,d,e)=1}$، و${\displaystyle -n\leq 0\leq 2m\leq d\leq e}$يمكن الحصول على تحليلات مجموع مربعين باستخدام نظرية مجموع مربعين . يمكن تكوين أي مجموعة أبولونية أخرى من الأعداد الصحيحة بضرب رباعية جذر أولية في عدد صحيح اختياري، ويمكن تكوين أي رباعية في إحدى هذه المجموعات (أي أي حل صحيح لمعادلة ديكارت) بعكس عملية الاستبدال المستخدمة لإيجاد رباعية الجذر. على سبيل المثال، المجموعة ذات رباعية الجذر${\displaystyle (-10,18,23,27)}$يتم توليد ، كما هو موضح في الشكل، بهذه الطريقة من مجموع مربعين مُحللين${\displaystyle 10^{2}+2^{2}=8\cdot 13}$[ ^{34 ]​}

The special cases of one straight line and integer curvatures combine in the Ford circles. These are an infinite family of circles tangent to the ${\displaystyle x}$-axis of the Cartesian coordinate system at its rational points. Each fraction${\displaystyle p/q}$ (in lowest terms) has a circle tangent to the line at the point ${\displaystyle (p/q,0)}$ with curvature ${\displaystyle 2q^{2}}$. Three of these curvatures, together with the zero curvature of the axis, meet the conditions of Descartes' theorem whenever the denominators of two of the corresponding fractions sum to the denominator of the third. The two Ford circles for fractions ${\displaystyle p/q}$ and ${\displaystyle r/s}$ (both in lowest terms) are tangent when ${\displaystyle |ps-qr|=1}$. When they are tangent, they form a quadruple of tangent circles with the ${\displaystyle x}$-axis and with the circle for their mediant${\displaystyle (p+r)/(q+s)}$.^[36]

The Ford circles belong to a special Apollonian gasket with root quadruple ${\displaystyle (0,0,1,1)}$, bounded between two parallel lines, which may be taken as the ${\displaystyle x}$-axis and the line ${\displaystyle y=1}$. This is the only Apollonian gasket containing a straight line, and not bounded within a negative-curvature circle. The Ford circles are the circles in this gasket that are tangent to the ${\displaystyle x}$-axis.^[34]

When the four radii of the circles in Descartes' theorem are assumed to be in a geometric progression with ratio ${\displaystyle \rho }$, the curvatures are also in the same progression (in reverse). Plugging this ratio into the theorem gives the equation

$${\displaystyle 2(1+\rho ^{2}+\rho ^{4}+\rho ^{6})=(1+\rho +\rho ^{2}+\rho ^{3})^{2},}$$

which has only one real solution greater than one, the ratio

$${\displaystyle \rho =\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$$

where ${\displaystyle \varphi }$ is the golden ratio. If the same progression is continued in both directions, each consecutive four numbers describe circles obeying Descartes' theorem. The resulting double-ended geometric progression of circles can be arranged into a single spiral pattern of tangent circles, called Coxeter's loxodromic sequence of tangent circles. It was first described, together with analogous constructions in higher dimensions, by H. S. M. Coxeter in 1968.^[37][38]

يمكن التعبير عن نظرية ديكارت كمعادلة مصفوفية، ثم تعميمها على تكوينات أخرى لأربع دوائر موجهة عن طريق تغيير المصفوفة. لنفترض${\displaystyle \mathbf {k} }$ليكن متجه عمودي لانحناءات الدوائر الأربع، وليكن${\displaystyle \mathbf {Q} }$لتكن مصفوفة متناظرة معاملاتها${\displaystyle q_{i,j}}$تمثل هذه القيم الاتجاه النسبي بين الدائرتين الموجهتين رقم i و j عند نقطة تقاطعهما: $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {Q} ^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}}.}$$

ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة (1) على شكل معادلة المصفوفة ^{[ 19 ] [ 43 ]}

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0.}$$

كتعميم لنظرية ديكارت، مصفوفة متناظرة معدلة${\displaystyle \mathbf {Q} }$يمكن تمثيل أي تكوين مرغوب فيه لأربع دوائر عن طريق استبدال كل معامل بالميل${\displaystyle q_{i,j}}$بين دائرتين، تُعرَّف على النحو التالي:

$${\displaystyle q_{i,j}={\frac {r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-d_{i,j}^{2}}{2r_{i}r_{j}}},}$$

أين${\displaystyle r_{i},r_{j}}$تمثل هذه القيم أنصاف أقطار الدوائر، و${\displaystyle d_{i,j}}$هي المسافة الإقليدية بين مركزيهما. ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} عندما تتقاطع الدائرتان،${\displaystyle q_{i,j}=\cos(\theta _{i,j})}$، جيب تمام زاوية التقاطع بين الدائرتين. الميل، الذي يُسمى أحيانًا المسافة العكسية ، هو${\displaystyle 1}$عندما تكون الدوائر متماسّة وموجّهة بنفس الطريقة عند نقطة التماس،${\displaystyle -1}$عندما تتماس الدائرتان وتكونان متقابلتين عند نقطة التماس،${\displaystyle 0}$بالنسبة للدوائر المتعامدة ، خارج الفترة${\displaystyle [-1,1]}$بالنسبة للدوائر غير المتقاطعة، و${\displaystyle \infty }$في النهاية عندما تتلاشى دائرة واحدة إلى نقطة. ^{[ 43 ] [ 38 ]}

المعادلة${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0}$يتحقق هذا الشرط لأي تكوين عشوائي لأربع دوائر في المستوى، بشرط${\displaystyle \mathbf {Q} }$^{[ 43 ]} هي المصفوفة المناسبة للانحرافات الزوجية.

Descartes' theorem generalizes to mutually tangent great or small circles in spherical geometry if the curvature of the ${\displaystyle j}$th circle is defined as ${\textstyle k_{j}=\cot \rho _{j},}$ the geodesic curvature of the circle relative to the sphere, which equals the cotangent of the oriented intrinsic radius${\displaystyle \rho _{j}.}$ Then:^[19][45]

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})+4.}$$

Solving for one of the curvatures in terms of the other three,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}-1}}.}$$

As a matrix equation,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =-1.}$$

The quantity ${\displaystyle 1/k_{j}=\tan \rho _{j}}$ is the "stereographic diameter" of a small circle. This is the Euclidean length of the diameter in the stereographically projected plane when some point on the circle is projected to the origin. For a great circle, such a stereographic projection is a straight line through the origin, so ${\displaystyle k_{j}=0}$.^[47]

Likewise, the theorem generalizes to mutually tangent circles in hyperbolic geometry if the curvature of the ${\displaystyle j}$th cycle is defined as ${\textstyle k_{j}=\coth \rho _{j},}$ the geodesic curvature of the circle relative to the hyperbolic plane, the hyperbolic cotangent of the oriented intrinsic radius ${\displaystyle \rho _{j}.}$ Then:^[19][45]

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})-4.}$$

Solving for one of the curvatures in terms of the other three,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+1}}.}$$

As a matrix equation,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =1.}$$

This formula also holds for mutually tangent configurations in hyperbolic geometry including hypercycles and horocycles, if ${\displaystyle k_{j}}$ is the geodesic curvature of the cycle relative to the hyperbolic plane, the reciprocal of the stereographic diameter of the cycle. This is the diameter under stereographic projection (the Poincaré disk model) when one endpoint of the diameter is projected to the origin.^[48] Hypercycles do not have a well-defined center or intrinsic radius and horocycles have an ideal point for a center and infinite intrinsic radius, but ${\displaystyle |k_{j}|>1}$ for a hyperbolic circle, ${\displaystyle |k_{j}|=1}$ for a horocycle, ${\displaystyle |k_{j}|<1}$ for a hypercycle, and ${\displaystyle k_{j}=0}$ for a geodesic.^[49]

في${\displaystyle n}$في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، يكون الحد الأقصى لعدد الكرات الفائقة المتماسة هو${\displaystyle n+2}$على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يمكن أن تتماس خمس كرات مع بعضها البعض. وتخضع انحناءات الكرات الفائقة للمعادلة التالية:

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}}$$

مع القضية${\displaystyle k_{i}=0}$يتوافق ذلك مع مستوى فائق مسطح ، وهو تعميم للنسخة ثنائية الأبعاد من النظرية. ^{[ 19 ] [ 45 ]} على الرغم من عدم وجود نظير ثلاثي الأبعاد للأعداد المركبة، إلا أنه يمكن إعادة صياغة العلاقة بين مواقع المراكز كمعادلة مصفوفية ، والتي تُعمم أيضًا إلى${\displaystyle n}$الأبعاد. ^{[ 19 ]}

في ثلاثة أبعاد، افترض أن ثلاث كرات متماسّة ثابتة، وكرة رابعة${\displaystyle S_{1}}$معطى، مماس للكرات الثلاث الثابتة. يمكن تطبيق النسخة ثلاثية الأبعاد من نظرية ديكارت لإيجاد كرة${\displaystyle S_{2}}$مماس لـ${\displaystyle S_{1}}$ثم يتم تطبيق الكرات الثابتة مرة أخرى لإيجاد كرة جديدة${\displaystyle S_{3}}$مماس لـ${\displaystyle S_{2}}$والكرات الثابتة، وهكذا. والنتيجة هي سلسلة دورية من ست كرات، كل منها مماسة لجيرانها في السلسلة وللكرات الثلاث الثابتة، وهو تكوين يسمى سداسي سودي ، نسبةً إلى اكتشاف سودي له ونشره في شكل قصيدة أخرى عام 1936. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

تحقق التكوينات ذات الأبعاد الأعلى للكرات الفائقة المتماسة في الهندسة الكروية أو القطعية، ذات الانحناءات المعرفة كما سبق ،

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=nC+n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2},}$$

أين${\displaystyle C=2}$في الهندسة الكروية و${\displaystyle C=-2}$في الهندسة الزائدية. ^{[ 45 ] [ 19 ]}