مشكلة ديريتشليت

في الرياضيات ، تطلب مشكلة دي ريتشليت دالة تحل معادلة تفاضلية جزئية محددة (PDE) داخل منطقة معينة تأخذ قيمًا محددة على حدود المنطقة. ^[1]

يمكن حل مشكلة دي ريتشليت للعديد من معادلات التفاضل الجزئي، على الرغم من أنها طرحت في الأصل لمعادلة لابلاس . في هذه الحالة يمكن صياغة المشكلة على النحو التالي:

إذا كانت هناك دالة f لها قيم في كل مكان على حدود منطقة في ، فهل توجد دالة مستمرة فريدة قابلة للاشتقاق مرتين بشكل مستمر في الداخل ومستمر على الحدود، بحيث تكون متناغمة في الداخل وعلى الحدود؟${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u=f}$

يُطلق على هذا الشرط اسم شرط حدود ديريتشليت . والموضوع الرئيسي هنا هو إثبات وجود الحل؛ ويمكن إثبات التفرد باستخدام مبدأ الحد الأقصى .

لا يستشهد هذا القسم بأي مصادر . يُرجى المساعدة في تحسين هذا القسم من خلال إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( يونيو 2021 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

تعود مشكلة دي ريتشليه إلى جورج جرين ، الذي درس المشكلة على المجالات العامة مع الظروف الحدودية العامة في مقالته عن تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية ، التي نُشرت عام 1828. وقد اختصر المشكلة إلى مشكلة بناء ما نسميه الآن دوال جرين ، وجادل بأن دالة جرين موجودة لأي مجال. لم تكن أساليبه صارمة وفقًا لمعايير اليوم، لكن الأفكار كانت مؤثرة للغاية في التطورات اللاحقة. اتخذ الخطوات التالية في دراسة مشكلة دي ريتشليه كارل فريدريش جاوس وويليام طومسون ( اللورد كلفن ) وبيتر جوستاف لوجون دي ريتشليه ، الذين سميت المشكلة باسمهم، وكان حل المشكلة (على الأقل للكرة) باستخدام نواة بواسون معروفًا لدي ريتشليه (وفقًا لورقته المقدمة إلى الأكاديمية البروسية عام 1850). اقترح اللورد كلفن وديريتشليت حلاً للمشكلة بطريقة متغيرة تعتمد على تقليل "طاقة ديريتشليت". وفقًا لهانز فرويدنثال (في قاموس السيرة العلمية ، المجلد 11)، كان برنهارد ريمان أول عالم رياضيات حل هذه المشكلة المتغيرة بناءً على طريقة أطلق عليها مبدأ ديريتشليت . إن وجود حل فريد أمر معقول جدًا من خلال "الحجة الفيزيائية": يجب أن يحدد أي توزيع للشحنة على الحدود، وفقًا لقوانين الكهروستاتيكا ، إمكانية كهربائية كحل. ومع ذلك، وجد كارل فايرستراس خللًا في حجة ريمان، ولم يتم العثور على دليل صارم على الوجود إلا في عام 1900 من قبل ديفيد هيلبرت ، باستخدام طريقته المباشرة في حساب المتغيرات . اتضح أن وجود الحل يعتمد بدقة على سلاسة الحدود والبيانات الموصوفة.

بالنسبة للمجال الذي له حدود سلسة بدرجة كافية ، فإن الحل العام لمشكلة دي ريتشليه يُعطى بواسطة ${\displaystyle D}$${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,}$

أين هي دالة جرين للمعادلة التفاضلية الجزئية، و ${\displaystyle G(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

هي المشتقة لدالة جرين على طول متجه الوحدة العمودي المتجه للداخل . يتم إجراء التكامل على الحدود، مع قياس . تُعطى الدالة بالحل الوحيد لمعادلة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني، ${\displaystyle {\widehat {n}}}$ ${\displaystyle ds}$${\displaystyle \nu (s)}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.}$

إن دالة جرين التي سيتم استخدامها في التكامل أعلاه هي دالة تختفي على الحدود:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

بالنسبة إلى و . عادةً ما تكون دالة جرين هذه عبارة عن مجموع دالة جرين في المجال الحر والحل التوافقي للمعادلة التفاضلية. ${\displaystyle s\in \partial D}$${\displaystyle x\in D}$

تحتوي مشكلة ديريتشليت للوظائف التوافقية دائمًا على حل، ويكون هذا الحل فريدًا، عندما تكون الحدود ناعمة بدرجة كافية ومتصلة. وبصورة أكثر دقة، يكون لها حل عندما ${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

بالنسبة لبعض ، حيث يشير إلى حالة هولدر . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle C^{1,\alpha }}$

في بعض الحالات البسيطة يمكن حل مسألة دي ريتشليه صراحة. على سبيل المثال، يتم إعطاء حل مسألة دي ريتشليه للقرص الوحدوي في R ^{2 بواسطة} صيغة تكامل بواسون .

إذا كانت دالة مستمرة على حدود قرص الوحدة المفتوحة ، فإن حل مشكلة دي ريتشليه يكون بواسطة ${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u(z)}$

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{إذا}}z\in D,\\f(z)&{\text{إذا}}z\in \partial D.\end{cases}}}$

الحل مستمر على قرص الوحدة المغلقة ومتناسق على${\displaystyle u}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D.}$

يُعرف المتكامل باسم نواة بواسون ؛ ويتبع هذا الحل دالة جرين في بعدين:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |zx|+\gamma (z,x),}$

حيث يكون التوافقي ( ) ويتم اختياره بحيث بالنسبة لـ . ${\displaystyle \gamma(z,x)}$${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$${\displaystyle G(z,x)=0}$${\displaystyle x\in \partial D}$

بالنسبة للمجالات المحدودة، يمكن حل مشكلة دي ريتشليت باستخدام طريقة بيرون ، والتي تعتمد على مبدأ الحد الأقصى للوظائف دون التوافقية . تم وصف هذا النهج في العديد من الكتب المدرسية. ^[2] إنه غير مناسب لوصف سلاسة الحلول عندما تكون الحدود ناعمة. يقدم نهج آخر كلاسيكي لمساحة هيلبرت من خلال فضاءات سوبوليف مثل هذه المعلومات. ^[3] يمكن استخدام حل مشكلة دي ريتشليت باستخدام فضاءات سوبوليف للمجالات المستوية لإثبات النسخة السلسة من نظرية رسم ريمان . حدد بيل (1992) نهجًا مختلفًا لإنشاء نظرية رسم ريمان السلس، استنادًا إلى نوى إعادة إنتاج سيجو وبيرجمان، واستخدمها بدوره لحل مشكلة دي ريتشليت. تسمح الطرق الكلاسيكية لنظرية الإمكانات بحل مشكلة دي ريتشليت مباشرة من حيث المشغلات التكاملية ، والتي تنطبق عليها النظرية القياسية للمشغلات المدمجة وفريدهولم . تعمل نفس الطرق بالتساوي لمشكلة نيومان . ^[4]

تعتبر مسائل ديريتشليت نموذجية لمعادلات التفاضل الجزئية الإهليلجية ، ونظرية الجهد ، ومعادلة لابلاس على وجه الخصوص. ومن الأمثلة الأخرى معادلة ثنائي التوافقيات والمعادلات ذات الصلة في نظرية المرونة .

إنها واحدة من عدة أنواع من فئات مشاكل المعادلات التفاضلية الجزئية التي يتم تحديدها من خلال المعلومات المقدمة على الحدود، بما في ذلك مشاكل نيومان ومشكلات كوشي .

فكر في مشكلة دي ريتشليه لمعادلة الموجة التي تصف خيطًا مربوطًا بين جدران حيث يكون أحد طرفيه متصلًا بشكل دائم والطرف الآخر يتحرك بسرعة ثابتة أي معادلة دالمبيرت على المنطقة المثلثية للضرب الديكارتي للمكان والزمان:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

كما يمكن التحقق بسهولة عن طريق الاستبدال، فإن الحل الذي يفي بالشرط الأول هو

${\displaystyle u(x,t)=f(tx)-f(x+t).}$

بالإضافة إلى ذلك نريد

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

استبدال

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

نحصل على حالة التشابه الذاتي

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

أين

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

يتم تحقيق ذلك، على سبيل المثال، من خلال الوظيفة المركبة

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

مع

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

وهكذا بشكل عام

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

حيث أن الدالة الدورية لها فترة : ${\displaystyle g}$${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

ونحصل على الحل العام

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(tx)]-g[\log(x+t)].}$

• العمود الفقري ليبيج

• أ. يانوسهاوسكاس (2001) [1994]، "مشكلة دي ريتشليت"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• SG Krantz, The Dirichlet Problem . §7.3.3 in Handbook of Complex Variables . Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 . 
• س. أكسلر ، ب. جوركين ، ك. فوس، مشكلة دي ريتشليت على الأسطح التربيعية ، رياضيات الحوسبة 73 (2004)، 637-651.
• جيلبارج، ديفيد؛ ترودنجر، نيل س. (2001)، المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية (الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-41160-4.
• جيرارد، باتريك؛ ليشتنام، إيريك : الخصائص الإرجودية للوظائف الذاتية لمشكلة دي ريتشليت. مجلة ديوك للرياضيات 71 (1993)، العدد 2، 559-607.
• جون، فريتز (1982)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 1 (الطبعة الرابعة)، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90609-6.
• بيرس، ليبمان؛ جون، فريتز؛ شيشتر، مارتن (1979)، المعادلات التفاضلية الجزئية، مع المكملات التي كتبها لارس جاردينج وآن ميلجرام ، محاضرات في الرياضيات التطبيقية، المجلد 3أ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-0049-3.
• أجمون، شموئيل (2010)، محاضرات حول مشاكل القيمة الحدية الإهليلجية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 978-0-8218-4910-1
• شتاين، إلياس م. (1970)، التكاملات المفردة وخصائص التفاضل للوظائف ، مطبعة جامعة برينستون.
• جرين، روبرت إي .؛ كرانتز، ستيفن جي. (2006)، نظرية دالة لمتغير مركب واحد ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 40 (الطبعة الثالثة)، الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 0-8218-3962-4.
• تايلور، مايكل إي. (2011)، المعادلات التفاضلية الجزئية 1. النظرية الأساسية ، العلوم الرياضية التطبيقية، المجلد 115 (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4419-7054-1.
• زيمر، روبرت جيه. (1990)، النتائج الأساسية للتحليل الوظيفي ، محاضرات شيكاغو في الرياضيات، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-98337-4.
• فولاند، جيرالد ب. (1995)، مقدمة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية (الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-04361-2.
• شازارين، جاك؛ بيريو، ألان (1982)، مقدمة إلى نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ، دراسات في الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 14، إلسيفير، رقم ISBN 0444864520.
• بيل، ستيفن ر. (1992)، تحويل كوشي، نظرية الجهد، والرسم التوافقي ، دراسات في الرياضيات المتقدمة، مطبعة CRC، رقم ISBN 0-8493-8270-X.
• وارنر، فرانك دبليو. (1983)، أساسيات المتشعبات القابلة للتفاضل ومجموعات لاي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 94، سبرينغر، رقم ISBN 0387908943.
• جريفثس، فيليب؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، وايلي إنترساينس، رقم ISBN 0471050598.
• كورانت، ر. (1950)، مبدأ دي ريتشليت، والرسم المطابق، والأسطح الدنيا ، إنترساينس.
• شيفر، م.؛ هاولي، ن. س. (1962)، "الاتصالات والتخطيط المطابق"، أكتا ماث. ، 107 (3-4): 175-274، doi : 10.1007/bf02545790

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (June 2021) (Learn how and when to remove this message)

• "مشكلة دي ريتشليت"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• فايستين، اريك دبليو. “مشكلة ديريشليت”. عالم الرياضيات .