قانون ويدمان-فرانز

في الفيزياء ، ينص قانون ويدمان -فرانز على أن نسبة المساهمة الإلكترونية للتوصيل الحراري ( κ ) إلى التوصيل الكهربائي ( σ ) للمعدن تتناسب طرديًا مع درجة الحرارة ( T ). ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}=LT}$

نظرياً، ثابت التناسب L ، المعروف باسم عدد لورنتز ، يساوي

${\displaystyle L={\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=2.44\times 10^{-8}\;\mathrm {V^{2}{\cdot }K} ^{-2},}$

حيث k _B هو ثابت بولتزمان و e هي الشحنة الأولية .

يُنسب هذا القانون التجريبي إلى غوستاف ويدمان ورودولف فرانز ، اللذين أفادا عام 1853 بأن نسبة κ / σ لها قيمة متقاربة لمختلف المعادن عند نفس درجة الحرارة. ^{[ 2 ]} وقد اكتشف لودفيغ لورنز تناسب نسبة κ / σ مع درجة الحرارة عام 1872. ^{[ 3 ]}

نوعياً، تستند هذه العلاقة إلى حقيقة أن نقل الحرارة والنقل الكهربائي كلاهما يشمل الإلكترونات الحرة في المعدن.

يمكن اشتقاق الصيغة الرياضية للقانون كما يلي. يُعدّ التوصيل الكهربائي للمعادن ظاهرة معروفة، وتُعزى إلى إلكترونات التوصيل الحرة، والتي يمكن قياسها كما هو موضح في الشكل. يُلاحظ أن كثافة التيار j تتناسب طرديًا مع المجال الكهربائي المُطبق ، وتخضع لقانون أوم حيث يُمثل المعامل p الموصلية الكهربائية النوعية . ولأن المجال الكهربائي وكثافة التيار كميتان متجهتان، فقد تم التعبير عن قانون أوم هنا بخط غامق. يمكن التعبير عن الموصلية بشكل عام كموتر من الرتبة الثانية ( مصفوفة 3×3 ). هنا، سنقتصر على مناقشة الموصلية المتناحية ، أي الموصلية العددية . المقاومة النوعية هي مقلوب الموصلية. سيتم استخدام كلا المعاملين فيما يلي.

تُعطى الموصلية الحرارية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{3}}cn\,\ell \,\langle v\rangle }$

أين${\displaystyle c}$هي السعة الحرارية لكل إلكترون،${\displaystyle n}$هي كثافة عدد حاملات الشحنة،${\displaystyle \ell }$يمثل متوسط ​​المسار الحر للإلكترونات، و${\displaystyle \langle v\rangle }$هي متوسط ​​سرعة الناقلات.

تُعطى الموصلية الكهربائية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}={\frac {ne^{2}\ell }{m\langle v\rangle }}}$.

أين${\displaystyle \tau }$يمثل متوسط ​​الوقت الحر و m كتلة حاملات الشحنة.

النسبة معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {1}{3}}{\frac {c\,m\langle v\rangle ^{2}}{e^{2}}}\,.}$

القيمة L ₀  =^{ينتج الرقم} 2.44 × 10⁻⁸ فولت⁻² ^{كلفن⁻²}  عن حقيقة أنه عند درجات الحرارة ^{المنخفضة} (${\displaystyle T\rightarrow 0}$ك) يتم نقل تيارات الحرارة والشحنة بواسطة نفس الجسيمات شبه الحقيقية: الإلكترونات أو الفجوات. عند درجات حرارة محدودة، تُنتج آليتان انحرافًا في النسبة${\displaystyle L=\kappa /(\sigma T)}$انطلاقًا من قيمة لورنتز النظرية L₀ _: (أ) ناقلات حرارية أخرى مثل الفونونات أو الماغنونات ، (ب) التشتت غير المرن . عندما تقترب درجة الحرارة من الصفر المطلق (0 كلفن)، يضعف التشتت غير المرن، مما يؤدي إلى قيم تشتت q كبيرة (المسار أ في الشكل). لكل إلكترون ينتقل، ينتقل معه إثارة حرارية، ويُبلغ عدد لورنتز L  = L₀ . تجدر الإشارة إلى أنه في المعدن المثالي، يختفي التشتت غير المرن تمامًا في هذه الحالة _. ${\displaystyle T\rightarrow 0}$K والتوصيل الحراري سيختفيان${\displaystyle \kappa \rightarrow 0;L\rightarrow 0}$عند درجة حرارة محدودة، تكون قيم تشتت q الصغيرة _ممكنة ( المسار b في الشكل)، ويمكن نقل الإلكترونات دون نقل الإثارة الحرارية L ( T )  < L₀ . عند درجات حرارة أعلى، يصبح تأثير الفونونات على النقل الحراري في النظام مهمًا، مما قد يؤدي إلى L ( T ) > L₀ _. فوق درجة حرارة ديباي، يكون تأثير الفونونات على النقل الحراري ثابتًا، وتكون النسبة L ( T ) ثابتة أيضًا. ^{[ 6 ] [ 7 ]}   

أظهرت التجارب أن قيمة L ، على الرغم من ثباتها التقريبي، ليست متطابقة تمامًا لجميع المعادن. يقدم كتاب تشارلز كيتل " مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ^{" [ 8 ]} بعض قيم L التي تتراوح من L  = 2.23 × 10⁻⁸ ^فولت²  كلفن⁻² ^للنحاس عند 0 درجة مئوية إلى L = 3.2 × 10⁻⁸ ^فولت² كلفن⁻² ^{للتنغستن} عند 100 درجة مئوية. ويشير روزنبرغ ^{[ 9 ]} إلى أن قانون ويدمان-فرانز صالح عمومًا لدرجات الحرارة العالية والمنخفضة (أي بضع كلفن)، ولكنه قد لا ينطبق على ^درجات الحرارة المتوسطة.    

في العديد من المعادن عالية النقاوة، ترتفع كل من الموصلية الكهربائية والحرارية مع انخفاض درجة الحرارة. مع ذلك، في بعض المواد (مثل الفضة أو الألومنيوم )، قد تنخفض قيمة L أيضًا مع ارتفاع درجة الحرارة. في أنقى عينات الفضة وعند درجات حرارة منخفضة جدًا، قد تنخفض قيمة L بمقدار يصل إلى عشرة أضعاف. ^{[ 10 ]}

في أشباه الموصلات المنحلة ، يعتمد عدد لورنتز (L) اعتمادًا كبيرًا على بعض معايير النظام: الأبعاد، وقوة التفاعلات بين الذرات، ومستوى فيرمي . لا ينطبق هذا القانون، أو يمكن تقليل قيمة عدد لورنتز، على الأقل في الحالات التالية: التحكم في كثافة الحالات الإلكترونية ، وتغيير كثافة التطعيم، وسُمك الطبقة في الشبكات الفائقة، والمواد ذات الحاملات المترابطة. في المواد الكهروحرارية، توجد أيضًا تصحيحات ناتجة عن شروط الحدود، وتحديدًا الدائرة المفتوحة مقابل الدائرة المغلقة. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

_{في عام 2011 ، وجد ن .} ويكهام وآخرون أن نسبة الموصلية الحرارية والكهربائية لهول في الطور المعدني لبرونز الليثيوم-موليبدينوم الأرجواني شبه أحادي البعد Li0.9Mo6O17 تتباعد _مع انخفاض درجة الحرارة، لتصل إلى قيمة أكبر بخمسة مراتب من تلك الموجودة في المعادن التقليدية التي تخضع لقانون ويدمان-فرانز. ^{[ 14 ] [ 15 ]} ويعود ذلك إلى فصل الشحنة عن اللف المغزلي وسلوكه كسائل لوتنجر . ^{[ 14 ]}

أظهرت دراسة أجراها إس. لي وآخرون عام 2016 بقيادة جامعة بيركلي، انتهاكًا كبيرًا لقانون ويدمان-فرانز بالقرب من الانتقال من العازل إلى المعدن في حزم نانوية من _ثاني أكسيد الفاناديوم . في الطور المعدني، كانت المساهمة الإلكترونية في التوصيل الحراري أقل بكثير مما هو متوقع من قانون ويدمان-فرانز. يمكن تفسير هذه النتائج من خلال الانتشار المستقل للشحنة والحرارة في نظام مترابط بقوة. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

أظهرت دراسة أجراها فريق من المعهد الهندي للعلوم (IISc) بالتعاون مع باحثين من المعهد الوطني لعلوم المواد في اليابان عام 2025، أن الجرافين النقي للغاية ، عند نقطة ديراك ، حيث لا يصبح معدنًا ولا عازلًا ، وخاصة عندما تكون درجة حرارته منخفضة بما يكفي، يشكل سائل ديراك ويُظهر علاقة عكسية بين الموصلية الكهربائية والحرارية ، وهو عكس ما يتنبأ به قانون فيدمان-فرانز للمعادن. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

في عام ٢٠١٥، استنتج كوكي ناكاتا وباسكال سيمون ودانيال لوس نظيرًا مغناطيسيًا لقانون ويدمان-فرانز، أي قانون ويدمان-فرانز المغناطيسي. ^{[ ٢٠ ]} تصبح النسبة المغناطيسية الحرارية التي تميز انتقال الماغنونات (اللف المغزلي) والحرارة خطية مع درجة الحرارة، وهي نسبة عالمية، على الرغم من أن الخصائص الكمومية الإحصائية للبوزونات (الماغنونات) والفيرميونات (الإلكترونات) تختلف اختلافًا جوهريًا، لا سيما في نطاق درجات الحرارة المنخفضة حيث تسود التأثيرات الكمومية. يتغير النظير المغناطيسي لرقم لورنز لانتقال الإلكترونات (الشحنة)، أي رقم لورنز المغناطيسي، تبعًا لتفاصيل الأنظمة مثل الوصلات أو المواد الصلبة. ^{[ ٢١ ]}

في عام 2020، استنتج جالين كرافن وأبراهام نيتزان قانون ويدمان-فرانز للأنظمة الجزيئية التي لا يهيمن فيها انتقال الإلكترونات على حركة الإلكترونات الحرة كما هو الحال في المعادن، بل على انتقال الإلكترونات بين المواقع الجزيئية. ^{[ 22 ]} يُعطى قانون ويدمان-فرانز الجزيئي بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}=L_{\text{M}}{\frac {\lambda }{k_{\rm {B}}}}}$

أين

${\displaystyle L_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}}$

هو رقم لورنتز للجزيئات و${\displaystyle \lambda }$هي طاقة إعادة التنظيم لنقل الإلكترون.

• نموذج درود