ذرة شبيهة بالهيدروجين

بالإضافة إلى ℓ و m ، يظهر عدد صحيح ثالث n > 0 من الشروط الحدية المفروضة على R. تعتمد الدالتان R و Y اللتان تحلان المعادلات أعلاه على قيم هذه الأعداد الصحيحة، والتي تُسمى الأعداد الكمومية . من المعتاد وضع رموز سفلية للدوال الموجية بقيم الأعداد الكمومية التي تعتمد عليها. الصيغة النهائية للدالة الموجية المعيارية هي: $${\displaystyle \psi _{n\ell m}=R_{n\ell }(r)\,Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$$${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n{(n+\ell )!}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)}$$ أين:

• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}}$هي كثيرات حدود لاغير المعممة .
• ${\displaystyle a_{\mu }={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{\mu e^{2}}}={\frac {\hbar c}{\alpha \mu c^{2}}}={\frac {m_{\mathrm {e} }}{\mu }}a_{0}}$
  حيث α هو ثابت البنية الدقيقة . هنا، μ هي الكتلة المختزلة لنظام النواة والإلكترون، أي${\textstyle \mu ={m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }}/{(m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} })}}$حيث m_{_N} هي كتلة النواة. عادةً، تكون كتلة النواة أكبر بكثير من كتلة الإلكترون، لذا فإن μ ≈ m _{_e} (ولكن في البوزيترونيوم ، على سبيل المثال، μ ≈ m _{_e} /2 ). a _₀ هو نصف قطر بور .
• ${\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}$
• ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$الدالة عبارة عن توافقية كروية .

التكافؤ الناتج عن دالة الموجة الزاوية هو (−1) ^ℓ .

الأعداد الكمومية n و ℓ و m هي أعداد صحيحة ويمكن أن تأخذ القيم التالية: $${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots }$$$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1}$$$${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\ldots ,0,\ldots ,\ell -1,\ell }$$

للحصول على تفسير نظري للمجموعات لهذه الأعداد الكمومية، انظر رونج-لينز §  ميكانيكا الكم لذرة الهيدروجين . من بين أمور أخرى، تقدم هذه المقالة أسبابًا نظرية للمجموعات لتفسير أن ℓ < n و − ℓ ≤ m ≤ ℓ .

يرتبط كل مدار ذري بزخم زاوي L. وهو مؤثر متجه ، والقيم الذاتية لمربعه L ² ≡ L _x ² + L _y ² + L _z ² معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$$

يتم تكميم إسقاط هذا المتجه على أي اتجاه . إذا تم تسمية الاتجاه العشوائي بـ 'z'، فإن التكميم يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\hat {L}}_{\text{z}}Y_{\ell m}=\hbar mY_{\ell m},}$$ حيث m مقيد كما هو موضح أعلاه. لاحظ أن _L₂ و ^Lₓ يتبادلان ولهما حالة ذاتية مشتركة، وهو ما يتوافق مع مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ . بما أن Lₓ و Lᵧ لا يتبادلان مع _{Lₓ ،} فإنه من غير الممكن إيجاد حالة تكون حالة ذاتية لجميع المكونات الثلاثة في آن واحد . لذا _، فإن قيم المكونين x و y ليست دقيقة، بل تُعطى بدالة احتمالية ذات عرض محدود. حقيقة أن المكونين x و y غير محددين بدقة، تعني أن اتجاه متجه الزخم الزاوي غير محدد بدقة أيضًا، على الرغم من أن مكونه على طول المحور z دقيق.

لا تُعطي هذه العلاقات الزخم الزاوي الكلي للإلكترون. ولذلك، يجب تضمين دوران الإلكترون.

هذا التكميم للزخم الزاوي يوازي إلى حد كبير ما اقترحه نيلز بور (انظر نموذج بور ) في عام 1913، دون معرفة بالدوال الموجية.

في الذرة الحقيقية، يتفاعل دوران الإلكترون المتحرك مع المجال الكهربائي للنواة عبر تأثيرات نسبية، وهي ظاهرة تُعرف بتفاعل الدوران المداري . عند أخذ هذا الاقتران في الحسبان، لا يُحفظ كل من الدوران والزخم الزاوي المداري ، وهو ما يمكن تصوره بتدوير الإلكترون . لذلك، يجب استبدال الأعداد الكمية ℓ و m وإسقاط الدوران m s _بأعداد كمية تُمثل الزخم الزاوي الكلي (بما في ذلك الدوران )، j و m _j ، بالإضافة إلى العدد الكمي للتكافؤ .

انظر القسم التالي حول معادلة ديراك للحصول على حل يتضمن الاقتران.

تتميز الدوال الذاتية للهاميلتوني ، أي الدوال ذات الطاقة المحددة (والتي بالتالي لا تتغير إلا بانزياح طوري)، بطاقات لا تُحدد بالعدد الكمي n فقط (كما في معادلة شرودنغر)، بل بـ n وعدد كمي j ، وهو العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي . يحدد العدد الكمي j مجموع مربعات الزخم الزاوي الثلاثة ليكون j ( j + 1) (مضروبًا في ^ħ² ، انظر ثابت بلانك ). تشمل هذه الزخمات الزاوية كلاً من الزخم الزاوي المداري (المتعلق بالاعتماد الزاوي لـ ψ ) والزخم الزاوي المغزلي (المتعلق بحالة المغزل). يُطلق على انقسام طاقات الحالات ذات العدد الكمي الرئيسي نفسه n نتيجةً لاختلافات في j اسم البنية الدقيقة . يتراوح العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي j من 1/2 إلى n − 1/2 .

يمكن كتابة المدارات لحالة معينة باستخدام دالتين شعاعيتين ودالتين زاويتين. تعتمد الدوال الشعاعية على كل من العدد الكمي الرئيسي n وعدد صحيح k ، ويُعرَّفان كما يلي:

${\displaystyle k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell +{\tfrac {1}{2}}\\j+{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell -{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$

حيث ℓ هو العدد الكمي السمتي الذي يتراوح من 0 إلى n − 1. تعتمد دوال الزاوية على k وعلى عدد كمي m ، الذي يتراوح من − j إلى j بخطوات مقدارها 1. تُصنَّف الحالات باستخدام الأحرف S، P، D، F، إلخ، للدلالة على الحالات التي يكون فيها ℓ مساويًا لـ 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، إلخ (انظر العدد الكمي السمتي )، مع رمز سفلي يُشير إلى j . على سبيل المثال، تُعطى الحالات لـ n = 4 في الجدول التالي (ستُسبق هذه الحالات بـ n ، على سبيل المثال 4S _1/2 ):

يمكن إضافة رمز سفلي يشير إلى m لتمييز هذه الحالات . يوجد 2n² ^حالة ذات عدد كم رئيسي n ، منها 4j + 2 حالة ذات أي قيمة مسموحة لـ j باستثناء أعلى قيمة ( j = n - 1/2 ) والتي يوجد لها 2j + 1 فقط . وبما أن المدارات ذات القيم المعطاة لـ n و j لها نفس الطاقة وفقًا لمعادلة ديراك، فإنها تشكل أساسًا لفضاء الدوال التي لها تلك الطاقة.

الطاقة، كدالة لـ n و | k | (تساوي j + 1/2 )، هي: $${\displaystyle {\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k|+{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\approx \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}\end{array}}}$$

(تعتمد الطاقة بالطبع على نقطة الصفر المستخدمة). لاحظ أنه إذا كان بالإمكان أن تكون قيمة Z أكبر من 137 (أعلى من أي عنصر معروف)، فسنحصل على قيمة سالبة داخل الجذر التربيعي للمدارين S _1/2 و P _1/2 ، مما يعني أنهما لن يكونا موجودين. يتوافق حل شرودنغر مع استبدال القوس الداخلي في التعبير الثاني بالرقم 1. تبلغ دقة فرق الطاقة بين أدنى حالتين للهيدروجين المحسوبة من حل شرودنغر حوالي 9 جزء في المليون . 90 ميكرو إلكترون  فولت أقل من اللازم، من حوالي10  إلكترون فولت )، بينما تبلغ دقة معادلة ديراك لنفس فرق الطاقة حوالي 3 جزء في المليون (وهي قيمة عالية جدًا). ​​يضع حل شرودنغر دائمًا الحالات عند طاقات أعلى قليلًا من معادلة ديراك الأكثر دقة. تعطي معادلة ديراك بعض مستويات الهيدروجين بدقة عالية (على سبيل المثال ، تُعطى الحالة  4P _{1/2 طاقة حوالي 10 إلكترون فولت فقط).}(2 × 10⁻¹⁰ إلكترون فولت ^أعلى  من اللازم)، والبعض الآخر أقل من ذلك (على سبيل المثال، مستوى 2S _1/2 هو حوالي4 × 10 ⁻⁶  إلكترون فولت منخفضة جدًا). ^{​​[ 12 ]} إن تعديلات الطاقة الناتجة عن استخدام معادلة ديراك بدلاً من حل شرودنغر هي من رتبة α ² ، ولهذا السبب يُطلق على α اسم ثابت البنية الدقيقة .

في الحالة العامة، يكون حل معادلة ديراك للأعداد الكمومية n و k و m هو: $${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-g_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)}}Y_{k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}}$$ حيث تمثل Ωs أعمدة دالتي التوافقيات الكروية الموضحتين على اليمين.${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )}$يشير إلى دالة توافقية كروية:

${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{\frac {(a-b)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi }&{\text{if }}a>0\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi )&{\text{if }}a<0\end{cases}}}$

حيث P ^b _a هي متعددة حدود ليجندر المرتبطة . (لاحظ أن تعريف Ω قد يتضمن توافقية كروية غير موجودة، مثل Y _0,1 ، ولكن معاملها سيكون صفرًا.)

فيما يلي سلوك بعض هذه الدوال الزاوية. تم حذف عامل التطبيع لتبسيط الصيغ.

${\displaystyle \Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r}}}$

من هذه النتائج، نلاحظ أنه في المدار S _1/2 ( k = −1 )، يكون للمركبتين العلويتين من Ψ عزم زاوي مداري يساوي صفرًا، كما هو الحال في مدارات شرودنغر S، بينما تكون المركبتان السفليتان مداراتٍ مثل مدارات شرودنغر P. في حل P _1/2 ( k = 1 )، ينعكس الوضع. في كلتا الحالتين، يعوّض دوران كل مركبة عزمها الزاوي المداري حول المحور z، ليعطي القيمة الصحيحة للزخم الزاوي الكلي حول المحور z.

يخضع المغزلان Ω للعلاقة التالية:

${\displaystyle \Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _{-k,m}}$

لكتابة الدالتين g _{n , k} ( r ) و f _{n , k} ( r ) دعونا نحدد نصف قطر مُقاس ρ :

${\displaystyle \rho \equiv 2Cr}$

مع

${\displaystyle C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2}}}{\hbar c}}}$

حيث E هي الطاقة ( E _{n j} ) المذكورة أعلاه. كما نُعرّف γ على النحو التالي:

${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}$

تعتمد g _{n , k} ( r ) و f _{n , k} ( r ) على اثنين من كثيرات حدود لاغير المعممة من الرتبة n − | k | − 1 و n − | k | :

${\displaystyle g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

${\displaystyle f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

حيث A هو ثابت تطبيع يتضمن دالة جاما :

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt {{\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac {(n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)}}}$

تكون قيمة f صغيرة مقارنةً بـ g (باستثناء قيم r الصغيرة جدًا ) لأنه عندما تكون k موجبة، تهيمن الحدود الأولى، وتكون α كبيرة مقارنةً بـ γ − k ، بينما عندما تكون k سالبة، تهيمن الحدود الثانية وتكون α صغيرة مقارنةً بـ γ − k . لاحظ أن الحد المهيمن مشابه جدًا للحد المقابل في حل شرودنغر - حيث  يكون الدليل العلوي في متعددة حدود لاغير أقل قليلًا ( 2γ + 1 أو 2γ − 1 بدلًا من 2ℓ + 1 ، وهو أقرب عدد صحيح ) ، وكذلك قوة ρ ( γ أو γ − 1 بدلًا من ℓ ، وهو أقرب عدد صحيح). ويكون التضاؤل ​​الأسي أسرع قليلًا مما هو عليه في حل شرودنغر.

يجعل عامل التطبيع التكامل على كامل الفضاء لمربع القيمة المطلقة مساوياً لـ 1 .

عندما k = − n (وهو ما يتوافق مع أعلى قيمة ممكنة لـ j لقيمة معينة لـ n ، مثل 1S _1/2 ، 2P _3/2 ، 3D _5/2 ، ...)، فإن g _{n , k} ( r ) و f _{n , k} ( r ) هما:

${\displaystyle g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

${\displaystyle f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

مع تقليص A الآن إلى:

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{2\gamma ^{2}n^{2}\Gamma (2\gamma +1)}}}}$

لاحظ أنه بسبب العامل Zα ، فإن f ( r ) صغيرة مقارنةً بـ g ( r ) . ولاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة، تُعطى الطاقة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}}$

وثابت الاضمحلال الشعاعي C بواسطة

${\displaystyle C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.}$

هذا هو المدار 1S _1/2 ، مع دوران لأعلى، بدون تطبيع:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

لاحظ أن قيمة γ أقل بقليل من 1 ، لذا فإن الدالة العليا تُشبه دالة متناقصة أُسّيًا لـ r، باستثناء أنها نظريًا تؤول إلى اللانهاية عند قيم r الصغيرة جدًا . لكن قيمة r ^{γ −1} تتجاوز 10 فقط عند قيمة r أصغر من 10 ^{1/( γ −1)} ، وهي قيمة صغيرة جدًا (أصغر بكثير من نصف قطر البروتون) إلا إذا كانت Z كبيرة جدًا.

المدار 1S _1/2 ، مع دوران لأسفل، بدون تطبيع، يكون كالتالي:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix}}}$

يمكننا مزج هذه للحصول على مدارات ذات دوران موجه في اتجاه آخر، مثل:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}}}$

وهذا يتوافق مع محور الدوران والزخم الزاوي المتجه في اتجاه المحور السيني. إضافة i مضروبة في الدوران "السفلي" إلى الدوران "العلوي" تعطي مدارًا موجهًا في اتجاه المحور الصادي.

ولإعطاء مثال آخر، فإن المدار 2P _1/2 ، ذو اللف المغزلي لأعلى، يتناسب مع:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}}$

(تذكر أن ρ = 2 rC . C هو نصف ما هو عليه بالنسبة للمدار 1S تقريبًا، لكن γ لا يزال كما هو.)

لاحظ أنه عندما تكون ρ صغيرة مقارنة بـ α (أو r صغيرة مقارنة بـ ħc /( μc ² ) ) فإن المدار من النوع "S" يهيمن (المكون الثالث من سبينور ديراك).

بالنسبة للمدار ذي الدوران 2S _1/2 لأعلى، لدينا:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

الآن المكون الأول يشبه S وهناك نصف قطر بالقرب من ρ = 2 حيث يؤول إلى الصفر، في حين أن الجزء السفلي المكون من عنصرين يشبه P.

بالإضافة إلى الحالات المقيدة، التي تكون طاقتها أقل من طاقة إلكترون منفصل تمامًا عن النواة، توجد حلول لمعادلة ديراك عند طاقات أعلى، تُقابل إلكترونًا غير مقيد يتفاعل مع النواة. هذه الحلول غير قابلة للتطبيع، ولكن يمكن إيجاد حلول تقترب من الصفر عندما يؤول r إلى اللانهاية (وهذا غير ممكن عندما تكون | E | < μc² إلا عند قيم E المذكورة أعلاه للحالات المقيدة ). توجد حلول مماثلة عندما تكون E < −μc² . هذه الحلول ذات الطاقة ^{السالبة تُشبه الحلول ذات الطاقة الموجبة، ولكن مع اختلاف الطاقة ،} وذلك في حالة تنافر النواة مع الإلكترون بدلًا من جذبه، باستثناء أن حلول المكونين العلويين تتبادل مواقعها مع حلول المكونين السفليين.

توجد حلول ذات طاقة سالبة لمعادلة ديراك حتى في غياب قوة كولوم التي تُؤثر بها النواة. افترض ديراك أنه يُمكننا اعتبار جميع هذه الحالات تقريبًا مشغولة. إذا لم تكن إحدى هذه الحالات ذات الطاقة السالبة مشغولة، فإن ذلك يُظهر وجود إلكترون يتنافر مع نواة موجبة الشحنة. دفع هذا ديراك إلى افتراض وجود إلكترونات موجبة الشحنة، وقد تأكدت نبوءته باكتشاف البوزيترون .