شكل الانحناء

في الهندسة التفاضلية ، يصف شكل الانحناء انحناء اتصال على حزمة رئيسية . يمكن اعتبار موتر انحناء ريمان في الهندسة الريمانية حالة خاصة.

ليكن G مجموعة كذب مع جبر كذب ، وليكن P → B حزمة G رئيسية . وليكن ω اتصال إهرسمان على P (وهو شكل واحد ذو قيمة سالبة على P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ثم يكون شكل الانحناء هو الشكل 2 ذي القيمة - على P المحدد بواسطة ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(في اتفاقية أخرى، لا يظهر 1/2.) هنا يرمز إلى المشتق الخارجي ، وهو مُعرَّف في المقالة " شكل جبر لي القيمي " ويشير D إلى المشتق المتغير الخارجي . بعبارة أخرى، ^[1]${\displaystyle د}$${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\أوميغا (X,Y)=d\أوميغا (X,Y)+{1 \over 2}[\أوميغا (X),\أوميغا (Y)]}$

حيث X و Y هما متجهان مماسان لـ P.

هناك أيضًا تعبير آخر لـ Ω: إذا كانت X و Y حقول متجهة أفقية على P ، فإن ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

حيث أن hZ تعني المكون الأفقي لـ Z ، وعلى اليمين حددنا حقل متجه رأسي وعنصر جبر لاي الذي يولد ذلك الحقل ( حقل متجه أساسي )، وهو معكوس عامل التطبيع المستخدم حسب الاتفاقية في صيغة المشتق الخارجي . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

يقال إن الاتصال مسطح إذا اختفى انحناؤه: Ω = 0. وعلى نحو مكافئ، يكون الاتصال مسطحًا إذا كان من الممكن تقليص مجموعة البنية إلى نفس المجموعة الأساسية ولكن مع الطوبولوجيا المنفصلة.

إذا كانت E → B عبارة عن حزمة متجهية، فيمكننا أيضًا التفكير في ω كمصفوفة ذات أشكال 1 وتصبح الصيغة أعلاه معادلة البنية لـ E. Cartan:

${\displaystyle \,\أوميغا =d\أوميغا +\أوميغا \wedge \أوميغا ,}$

أين هو حاصل ضرب الإسفين . وبصورة أكثر دقة، إذا و تدل على مكونات ω وΩ على التوالي، (لذا فإن كل منهما هو شكل عادي 1 وكل منهما هو شكل عادي 2) إذن ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}$${\displaystyle {\أوميغا ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \أوميغا _{ج}^{ي}=d{\أوميغا ^{ي}}_{ج}+\مجموع _{ك}}{\أوميغا ^{ي}}_{ك}\إسفين {\أوميغا ^{ك}}_{ج}.}$

على سبيل المثال، بالنسبة للحزمة الظلية لمتعدد شعب ريماني ، تكون مجموعة البنية هي O( n ) وΩ هي شكل ثنائي مع قيم في جبر لاي لـ O( n )، أي المصفوفات غير المتماثلة . في هذه الحالة، يكون الشكل Ω وصفًا بديلًا لموتر الانحناء ، أي

${\displaystyle \,R(X,Y)=\أوميغا (X,Y),}$

استخدام الترميز القياسي لموتر الانحناء الريماني.

إذا كان الشكل 1 ذو القيمة المتجهة الأساسية على حزمة الإطار، فإن الالتواء في شكل الاتصال هو الشكل 2 ذو القيمة المتجهة المحدد بواسطة معادلة البنية ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \ثيتا }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

حيث كما هو موضح أعلاه، يشير D إلى المشتق المتغير الخارجي .

تتخذ هوية بيانكي الأولى الشكل

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

الهوية الثانية لبيانكي تأخذ الشكل

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

وهو صالح بشكل عام لأي اتصال في حزمة رئيسية .

يمكن كتابة هويات بيانكي في صيغة الموتر على النحو التالي: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

تُستخدم هويات بيانكي المتعاقد عليها لاستنتاج موتر أينشتاين في معادلات مجال أينشتاين ، الجزء الأكبر من نظرية النسبية العامة . ^{[ يحتاج إلى توضيح ]}

• شوشيتشي كوباياشي وكاتسومي نوميزو (1963) أساسيات الهندسة التفاضلية ، المجلد الأول، الفصل 2.5 معادلة شكل الانحناء والبنية، ص 75، وايلي إنترساينس .

• الاتصال (الحزمة الرئيسية)
• مقدمة أساسية في الرياضيات المتعلقة بالزمكان المنحني
• هويات بيانكي المتعاقد عليها
• موتر أينشتاين
• معادلات مجال أينشتاين
• النظرية النسبية العامة
• نموذج تشيرن-سيمونز
• انحناء المتشعبات الريمانية
• نظرية القياس