صيغ فرينيه-سيريه

منحنى فضائي؛ المتجهات $T و N و B$ ؛ والمستوى التماسي الذي يمتد عليه $T$ و $N$

في الهندسة التفاضلية ، تصف صيغ فرينيه-سيريه الخصائص الحركية لجسيم يتحرك على طول منحنى قابل للتفاضل في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد $\mathbb {R} ^{3},$ أو الخصائص الهندسية للمنحنى نفسه بغض النظر عن أي حركة. وبشكل أكثر تحديدًا، تصف هذه الصيغ مشتقات ما يُسمى متجهات الوحدة المماسية والعمودية والعمودية المزدوجة بدلالة بعضها البعض. سُميت هذه الصيغ نسبةً إلى عالمي الرياضيات الفرنسيين اللذين اكتشفاها بشكل مستقل: جان فريدريك فرينيه ، في أطروحته عام 1847، وجوزيف ألفريد سيريه ، عام 1851. لم تكن رموز المتجهات والجبر الخطي المستخدمة حاليًا لكتابة هذه الصيغ متاحةً وقت اكتشافها.

تشكل متجهات الوحدة المماسية والعمودية والعمودية المزدوجة، والتي تسمى غالبًا $T$ و $N$ و $B$ ، أو مجتمعة أساس فرينيه-سيريه (أو أساس TNB )، أساسًا متعامدًا يمتد $\mathbb {R} ^{3},$ ويتم تعريفها على النحو التالي:

$T$ هو متجه الوحدة المماس للمنحنى، ويشير إلى اتجاه الحركة.
$N$ هو متجه الوحدة العمودي ، وهو مشتق $T$ بالنسبة لمعامل طول القوس للمنحنى، مقسومًا على طوله.
$B$ هو متجه الوحدة ثنائي العمودي، وهوحاصل الضرب الاتجاهي لـ $T$ و $N.$

الأساس المذكور أعلاه بالإضافة إلى الأصل عند نقطة التقييم على المنحنى يحدد إطارًا متحركًا ، وهو إطار فرينيه-سيريه (أو إطار TNB ).

صيغ فرينيه-سيريه هي: ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{محاذاة}}$ أين ${\tfrac {d}{ds}}$ يمثل κ المشتق بالنسبة لطول القوس، و $κ$ الانحناء ، و $τ$ الالتواء لمنحنى الفضاء. (بشكل بديهي، يقيس الانحناء مدى عدم استقامة المنحنى، بينما يقيس الالتواء مدى عدم استواء المنحنى). يُطلق على أساس $TNB$ مع الكميتين القياسيتين κ و τ $اسم$ جهاز فرينيه- $سيريه$ .

التعريفات

المتجهان T و $N$ عند نقطتين على منحنى $مستوٍ$
  نسخة مترجمة من الإطار الثاني.
  التغير في $T : δ T'$ .
$δs$ هي المسافة بين النقطتين. في النهاية ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ سيكون في الاتجاه $N$ ويصف الانحناء سرعة دوران الإطار.

{\displaystyle {\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}} — المتجهان T و $N$ عند نقطتين على منحنى $مستوٍ$
  نسخة مترجمة من الإطار الثاني.
  التغير في $T : δ T'$ .
$δs$ هي المسافة بين النقطتين. في النهاية ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$ سيكون في الاتجاه $N$ ويصف الانحناء سرعة دوران الإطار.

ليكن $r (t)$ منحنىً في الفضاء الإقليدي ، يُمثل متجه موضع الجسيم كدالة للزمن. تنطبق صيغ فرينيه-سيريه على المنحنيات غير المنحلة ، أي التي لها انحناء غير صفري . وبشكل أدق، في هذه الحالة، يُشترط ألا يكون متجه السرعة $r$ $'$ $($ $t$ $)$ ومتجه التسارع $r$ $'$ $'$ $($ $t$ $)$ متناسبين.

لنفترض أن $s (t)$ يمثل طول القوس الذي قطعه الجسيم على طول المنحنى خلال الزمن $t$ . تُستخدم الكمية $s$ لإعطاء المنحنى الذي يرسمه مسار الجسيم تمثيلًا طبيعيًا بطول القوس (أي تمثيل طول القوس )، نظرًا لأن العديد من مسارات الجسيمات المختلفة قد ترسم نفس المنحنى الهندسي باجتيازه بمعدلات مختلفة. بالتفصيل، تُعطى $s بالعلاقة التالية:$ $s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .$ علاوة على ذلك، بما أننا افترضنا أن $r' \neq 0$ ، فإن $s (t)$ دالة متزايدة رتيبة تمامًا. لذا، يمكن إيجاد قيمة $t$ كدالة في $s$ ، وبالتالي كتابة $r (s) = r (t (s))$ . وبذلك، يتم تمثيل المنحنى بشكل مُفضّل بواسطة طول قوسه.

باستخدام منحنى غير متدهور $r (s)$ ، يتم تحديده بواسطة طول قوسه، أصبح من الممكن الآن تعريف إطار فرينيه-سيريه (أو إطار $TNB$ ):

يُعرَّف متجه الوحدة المماسي $T على النحو التالي:$ $\mathbf {T$
يُعرَّف متجه الوحدة العمودي $N على النحو التالي:$ $\mathbf {N$ ومنه، بما أن $T$ لها دائمًا مقدار الوحدة، فإن $N$ (تغير $T$ ) يكون دائمًا عموديًا على $T$ ، نظرًا لعدم وجود تغير في طول $T.$ لاحظ أن تسمية الانحناء $\kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|$ نحصل تلقائيًا على العلاقة الأولى.

يُعرَّف متجه الوحدة ثنائي العمودي $B$ بأنه حاصل الضرب الاتجاهي لـ $T$ و $N$ : $\mathbf {B$

إطار فرينيه-سيريه يتحرك على طول حلزون . يُمثل الحرف $T$ بالسهم الأزرق، والحرف $N$ بالسهم الأحمر، بينما يُمثل الحرف $B بالسهم الأسود.$

ومن ثم يتبين أن $B$ عمودي دائمًا على كل من $T$ و $N.$ وبالتالي، فإن متجهات الوحدة الثلاثة $T و N و B$ جميعها متعامدة مع بعضها البعض.

صيغ فرينيه -سيريه هي:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{محاذاة}}$

حيث $κ$ هو الانحناء و $τ$ هو الالتواء .

تُعرف صيغ Frenet–Serret أيضًا باسم نظرية Frenet–Serret ، ويمكن صياغتها بشكل أكثر إيجازًا باستخدام تدوين المصفوفات: ^{[ 1 ]} ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

هذه المصفوفة متناظرة عكسياً .

الصيغ في الأبعاد n

تم تعميم صيغ فرينيه-سيريه إلى الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد الأعلى بواسطة كاميل جوردان في عام 1874.

لنفترض أن $r (s)$ منحنى أملس في $\mathbb {R} ^{n},$ وأن المشتقات الأولى $n$ لـ $r$ مستقلة خطيًا. ^{[ 2 ]} المتجهات في إطار Frenet–Serret هي أساس متعامد تم إنشاؤه بتطبيق عملية Gram–Schmidt على المتجهات $(r' (s), r'' (s), ..., r (n) (s))$ .

بتفصيل أكثر، فإن متجه المماس الوحدوي هو متجه فرينيه الأول $e 1 (s)$ ويُعرَّف على النحو التالي

$\mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}$

أين

${\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)$

يشير المتجه العمودي ، والذي يُسمى أحيانًا متجه الانحناء ، إلى انحراف المنحنى عن كونه خطًا مستقيمًا. ويُعرَّف على النحو التالي: ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s)،\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)$

شكله المعياري، وهو متجه الوحدة العمودي ، هو متجه فرينيه الثاني $e 2 (s)$ ويُعرَّف على النحو التالي:

$\mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}$

يحدد المماس والمتجه العمودي عند النقطة $s$ مستوى التماس عند النقطة $r (s)$ .

تُعرَّف المتجهات المتبقية في الإطار (المتجه الثنائي الطبيعي، والمتجه الثلاثي الطبيعي، وما إلى ذلك) بشكل مماثل بواسطة

// _ {j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{محاذاة}}}

يتم تعريف المتجه الأخير في الإطار من خلال الضرب الاتجاهي لأول $n - 1$ متجه: $\mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)$

بالمعنى الدقيق، يُعرَّف الضرب الاتجاهي للمتجهات فقط في ثلاثة أبعاد. ويُستمد تعميمه من الضرب الخارجي. $\wedge$ وثنائي هودج $\star$ في الجبر الخارجي . $\mathbf {e} _{n}(s)$ هو ثنائي هودج للمتجه (n-1) $\mathbf {e} _{1}(s)\,\wedge \,\mathbf {e} _{2}(s)\,\wedge \,{\text{...}}\,\wedge \,\mathbf {e} _{n-2}(s)\wedge \mathbf {e} _{n-1}(s)$ .

وببساطة أكثر، $\mathbf {e} _{n}(s)$ هو متجه الوحدة المتعامد مع $\mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n-1}(s)\}$ وهذا يجعل $\mathbf {\{} e_{1}(s){\text{,}}\,e_{2}(s){\text{,}}\,{\text{...}}\,{\text{,}}\,e_{n}(s)\}$ لها التوجيه القياسي.

تُسمى الدوال الحقيقية المستخدمة أدناه $χ i (s)$ بالانحناء المعمم ، وتُعرَّف على النحو التالي:

$\chi _{i}(s)=\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle$

صيغ فرينيه -سيريه ، الموضحة بلغة المصفوفات، هي

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}$

لاحظ أنه وفقًا للتعريف الوارد هنا، قد تختلف الانحناءات المعممة والإطار اختلافًا طفيفًا عن الاصطلاح الموجود في مصادر أخرى. يختلف الانحناء العلوي $χ <sub>n -1</sub>$ (المسمى أيضًا بالالتواء في هذا السياق) والمتجه الأخير في الإطار $e <sub>n</sub>$ بإشارة (محددة باتجاه الأساس المرتب). $\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}$ ) من الالتواء المعتاد. تبقى صيغ فرينيه-سيريه ثابتة عند عكس إشارة كل من $χ n -1$ و $e n$ ، وهذا التغيير في الإشارة يجعل الإطار موجهًا إيجابيًا. وكما هو مُعرَّف أعلاه، يرث الإطار توجيهه من نفاث $r$ .

إثبات صيغ فرينيه-سيريه

تتحقق صيغة فرينيه-سيريه الأولى بتعريف المتجه العمودي $N$ والانحناء $κ$ ، وتتحقق صيغة فرينيه-سيريه الثالثة بتعريف الالتواء $τ$ . لذا، المطلوب هو إثبات صيغة فرينيه-سيريه الثانية.

بما أن $T و N و B$ متجهات وحدة متعامدة حيث $B = T \times N$ ، فإن $T = N \times B$ و $N = B \times T.$ باشتقاق المعادلة الأخيرة بالنسبة إلى $s$ نحصل على

${\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)$

باستخدام ذلك ${\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N}$ و ${\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,$ يصبح هذا

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}$

هذه هي الصيغة الثانية لـ Frenet–Serret بالضبط.

دليل بديل

يُعرِّف ${\frac {d\,\mathbf {T} }{d\,s}}=\kappa \,\mathbf {N}$ هنا $\mathbf {N}$ هو متجه وحدة متعامد مع $\mathbf {T}$ لهذا السبب. ${\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )\,=\,0$ وهذا يضمن أن طول $\mathbf {T}$ لا يتغير.

منذ $\mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B}$ أساس متعامد: ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {N} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\end{aligned}}$ يترك ${\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=a\,\mathbf {T} +b\,\mathbf {N} +c\,\mathbf {B}$ حيث يُراد تحديد قيم a و b و c. هذه هي الصيغة الأكثر عمومية. تُعطي هذه المعادلات ${\begin{aligned}a+\kappa \,&=\,0\\b\,&=\,0\end{aligned}}$ هذا يعطي ${\frac {d\,\mathbf {N} }{d\,s}}=-\kappa \,\mathbf {T} +c\,\mathbf {B}$

وبالمثل، دع ${\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}}=d\,\mathbf {T} +e\,\mathbf {N} +f\,\mathbf {B}$ حيث يتعين تحديد قيم d و e و f أيضًا. وهذا هو الشكل الأكثر عمومية. تعامد المعيار لـ $\mathbf {T} {\text{,}}\,\mathbf {N} {\text{,}}\,\mathbf {B}$ يشير إلى ${\begin{aligned}{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {T} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {N} )\,&=\,0\\{\frac {d}{d\,s}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )\,&=\,0\end{aligned}}$

من هذه المعادلات، يتبين أن ${\begin{aligned}d\,&=\,0\\e+c\,&=\,0\\f\,&=\,0\;\Rightarrow \\\mathbf {\frac {d\,\mathbf {B} }{d\,s}} \,&=\,-c\,\mathbf {N} \end{aligned}}$ يترك $c\rightarrow \tau$ ويتم الحصول على صيغ فرينيه-سيريه.

التطبيقات والتفسير

حركية الإطار

إطار فرينيه-سيريه يتحرك على طول حلزون في الفضاء

يشكل إطار فرينيه-سيريه، المكون من المماس $T$ والعمودي $N$ والعمودي الثنائي $B$ ، أساسًا متعامدًا للفضاء ثلاثي الأبعاد. عند كل نقطة من المنحنى، يتم ربط إطار مرجعي أو نظام إحداثيات مستقيمة (انظر الصورة).

تسمح معادلات فرينيه-سيريه بتفسير حركي . تخيل أن مراقبًا يتحرك على طول المنحنى مع مرور الوقت، مستخدمًا الإطار المرجعي المرفق عند كل نقطة كنظام إحداثيات. تعني معادلات فرينيه-سيريه أن نظام الإحداثيات هذا يدور باستمرار مع حركة المراقب على طول المنحنى. وبالتالي، فإن نظام الإحداثيات هذا غير قصوري دائمًا . يتناسب الزخم الزاوي لنظام إحداثيات المراقب طرديًا مع متجه داربو للإطار المرجعي.

بصورة عملية، لنفترض أن الراصد يحمل معه بلبلًا (أو جيروسكوبًا ) على طول المنحنى. إذا كان محور البلبل يشير إلى المماس للمنحنى، فسيُلاحظ دورانه حول محوره بسرعة زاوية −τ بالنسبة لنظام إحداثيات الراصد غير العطالي. أما إذا كان محور البلبل يشير إلى الاتجاه العمودي على المنحنى، فسيُلاحظ دورانه بسرعة زاوية −κ. يسهل تصور ذلك عندما يكون الانحناء ثابتًا موجبًا والالتواء معدومًا. في هذه الحالة، يكون الراصد في حركة دائرية منتظمة . إذا كان البلبل يشير إلى اتجاه الاتجاه العمودي على المنحنى، فإنه، وفقًا لقانون حفظ الزخم الزاوي، سيدور في الاتجاه المعاكس للحركة الدائرية. في الحالة الحدية عندما ينعدم الانحناء، يترنح العمودي على منحنى الراصد حول متجه المماس، وبالمثل، سيدور البلبل في الاتجاه المعاكس لهذا الترنح.

يوضح الشكل أدناه الحالة العامة . توجد رسوم توضيحية أخرى على ويكيميديا.

التطبيقات

تتمتع حركية الإطار بالعديد من التطبيقات في العلوم.

في علوم الحياة ، وخاصة في نماذج الحركة الميكروبية، تم استخدام اعتبارات إطار فرينيه-سيريه لشرح الآلية التي يغير بها الكائن الحي المتحرك في وسط لزج اتجاهه. ^{[ 3 ]}
في الفيزياء، يُعدّ إطار فرينيه-سيريه مفيدًا عندما يكون من المستحيل أو غير العملي تحديد نظام إحداثيات طبيعي لمسار ما. وهذا هو الحال غالبًا، على سبيل المثال، في نظرية النسبية . وفي هذا السياق، استُخدمت أطر فرينيه-سيريه لنمذجة ترنّح الجيروسكوب في بئر جاذبية. ^{[ 4 ]}

الرسوم التوضيحية

مثال على أساس فرينيه المتحرك ( $T$ باللون الأزرق، $N$ باللون الأخضر، $B$ باللون الأرجواني) على طول منحنى فيفياني .

في مثال عقدة الطارة ، يتم عرض متجه المماس $T$ ، ومتجه العمودي $N$ ، ومتجه العمودي الثنائي $B$ ، بالإضافة إلى الانحناء $κ (s)$ والالتواء $τ (s)$ . عند قمم دالة الالتواء، يكون دوران إطار فرينيه-سيريه $(T ، N ، B)$ حول متجه المماس واضحًا تمامًا.

تتضح الأهمية الحركية للانحناء بشكل أفضل من خلال المنحنيات المستوية (ذات الالتواء الثابت الذي يساوي صفرًا). انظر صفحة انحناء المنحنيات المستوية .

صيغ فرينيت-سيريت في حساب التفاضل والتكامل

تُستخدم صيغ فرينيه-سيريه بشكل متكرر في مقررات حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات كمكمل لدراسة المنحنيات الفضائية مثل الحلزون . يمكن وصف الحلزون بارتفاع $2πh ونصف$ قطر $r$ لدورة واحدة. ويُعطى انحناء الحلزون (ذي نصف القطر الثابت) والتواءه بالصيغ التالية: ${\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}$

تُحدد إشارة الالتواء باتجاه الالتفاف حول محوره المركزي، سواء كان يمينيًا أو يساريًا . وبالتحديد، فإن تمثيل دورة واحدة من حلزون يميني بارتفاع $2πh ونصف$ قطر $r$ هو ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}$ وبالنسبة للحلزون الأيسر، ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}$ لاحظ أن هذه ليست معلمات طول القوس (في هذه الحالة، يجب قسمة كل من $x و y و z على$ ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$ .)

في كتاباته التوضيحية حول هندسة المنحنيات، يستخدم رودي روكر ^{[ 5 ]} نموذج الزنبرك الحلزوني لشرح معنى الالتواء والانحناء. ويقول إن الزنبرك الحلزوني يتميز بخاصية أن الكمية $A^{2}=h^{2}+r^{2}$ يظل ثابتًا إذا تم تمديد الزنبرك عموديًا على طول محوره المركزي. (هنا $2π h$ هو ارتفاع لفة واحدة من الزنبرك، و $r$ هو نصف القطر). على وجه الخصوص، يُعد الانحناء والالتواء متكاملين بمعنى أنه يمكن زيادة الالتواء على حساب الانحناء عن طريق تمديد الزنبرك.

توسعة تايلور

يؤدي التفاضل المتكرر للمنحنى وتطبيق صيغ Frenet-Serret إلى تقريب تايلور التالي للمنحنى بالقرب من $s = 0$ إذا تم تحديد المنحنى بواسطة طول القوس: ^{[ 6 ]} $\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

بالنسبة لمنحنى عام ذي التواء غير صفري، فإن إسقاط المنحنى على مستويات إحداثية مختلفة في نظام الإحداثيات $T و N و B عند$ s = 0 له التفسيرات التالية:

المستوى المماس هو المستوى الذي يحتوي على $النقطتين T$ و $N.$ إسقاط المنحنى على هذا المستوى يكون على الشكل التالي: $\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$ هذا قطع مكافئ حتى حدود من الرتبة $O (s²)$ ، وانحناؤه عند الصفر يساوي $κ (0) . يتميز المستوى المماس بخاصية فريدة$ $،$ وهي أن المسافة من المنحنى إلى المستوى المماس هي $O (s³)$ ، بينما لا تتجاوز المسافة من المنحنى إلى أي مستوى آخر $O (s²) . يمكن ملاحظة ذلك من خلال متسلسلة تايلور المذكورة أعلاه. وبالتالي$ $، يمكن القول$ $إن$ المستوى المماس هو أقرب مستوى إلى المنحنى عند نقطة معينة.
المستوى العمودي هو المستوى الذي يحتوي على النقطتين $N$ و $B.$ إسقاط المنحنى على هذا المستوى يكون على الشكل التالي: $\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$ وهو عبارة عن دالة تكعيبية ذات حدبة من الرتبة $o (s 3)$ .
المستوى المُقوِّم هو المستوى الذي يحتوي على النقطتين $T$ و $B.$ إسقاط المنحنى على هذا المستوى هو: $\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$ والذي يرسم مخططًا لكثير الحدود التكعيبي من الدرجة $o (s 3)$ .

أشرطة وأنابيب

شريط مُحدد بمنحنى ذي التواء ثابت وانحناء متذبذب للغاية. تم تحديد معلمات طول القوس للمنحنى من خلال تكامل معادلات فرينيه-سيريه.

يُتيح جهاز فرينيه-سيريه تحديد شرائط وأنابيب مثالية معينة تتمركز حول منحنى. ولها تطبيقات متنوعة في علم المواد ونظرية المرونة ، ^[⁷^] بالإضافة إلى تطبيقاتها في رسومات الحاسوب . ^[⁸^]

شريط فرينيه ^{[ 9 ]} على طول المنحنى $C$ هو السطح الناتج عن مسح القطعة المستقيمة $[$ $-N, N] المولدة$ بواسطة العمودي على المنحنى. يُخلط أحيانًا بين هذا السطح والسطح المماسي القابل للتطوير ، وهو الغلاف $E$ للمستويات المتماسّة لـ $C.$ ربما يعود ذلك إلى أن كلاً من شريط فرينيه و $E$ يُظهران خصائص متشابهة على طول $C.$ أي أن المستويات المماسية لكلا ورقتي $E$ ، بالقرب من الموضع الشاذ $C$ حيث تتقاطع هاتان الورقتان، تقترب من المستويات المتماسّة لـ $C$ ؛ والمستويات المماسية لشريط فرينيه على طول $C$ تساوي هذه المستويات المتماسّة. شريط فرينيه غير قابل للتطوير بشكل عام.

تطابق المنحنيات

في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية ، يُهتم بدراسة خصائص الأشكال المستوية التي تبقى ثابتة تحت التطابق، بحيث إذا تطابق شكلان، فلا بد أن يكون لهما نفس الخصائص. ويُقدم جهاز فرينيه-سيريه الانحناء والالتواء كثوابت عددية لمنحنى فضائي.

بصورة تقريبية، يكون المنحنيان $C$ و $C'$ في الفضاء متطابقين إذا أمكن تحريك أحدهما بشكل صلب إلى الآخر. تتكون الحركة الصلبة من مزيج من الإزاحة والدوران. تنقل الإزاحة نقطة من المنحنى $C$ إلى نقطة من المنحنى $C'$ . ثم يقوم الدوران بتعديل اتجاه المنحنى $C$ ليتوافق مع اتجاه المنحنى $C'$ . يُطلق على هذا المزيج من الإزاحة والدوران اسم الحركة الإقليدية . من حيث المعلمة $r (t)$ التي تحدد المنحنى الأول $C$ ، فإن الحركة الإقليدية العامة لـ $C$ هي عبارة عن مجموعة من العمليات التالية:

( الترجمة ) $r (t) \to r (t) + v$ ، حيث $v$ متجه ثابت.
( الدوران ) $r (t) + v \to M (r (t) + v)$ ، حيث $M$ هي مصفوفة الدوران.

يتميز إطار فرينيه-سيريه بسلوكه الجيد للغاية فيما يتعلق بالحركات الإقليدية. أولًا، بما أن $T$ و $N$ و $B$ يمكن التعبير عنها جميعًا كمشتقات متتالية لمعاملات المنحنى، فإن كلًا منها لا يتأثر بإضافة متجه ثابت إلى $r (t)$ . وبشكل بديهي، فإن إطار $TNB$ المرتبط بـ $r (t)$ هو نفسه إطار $TNB$ المرتبط بالمنحنى الجديد $r (t) + v$ .

هذا لا يترك سوى الدورانات للنظر فيها. وبشكل بديهي، إذا طبقنا دورانًا $M$ على المنحنى، فإن إطار $TNB$ يدور أيضًا. وبشكل أدق، تتغير المصفوفة $Q$ ، التي تمثل صفوفها متجهات $TNB$ لإطار Frenet–Serret، بمقدار مصفوفة الدوران.

$Q\rightarrow QM.$

من باب أولى ، المصفوفة ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$ لا يتأثر بالدوران:

${\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }$

بما أن $MM T = I$ لمصفوفة الدوران.

وبالتالي فإن المدخلين $κ$ و $τ$ من ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$ هي ثوابت المنحنى تحت الحركات الإقليدية: إذا تم تطبيق حركة إقليدية على منحنى، فإن المنحنى الناتج له نفس الانحناء والالتواء.

علاوة على ذلك، باستخدام إطار فرينيه-سيريه، يمكن إثبات العكس أيضًا: أي منحنيين لهما نفس دالتي الانحناء والالتواء يجب أن يكونا متطابقين بحركة إقليدية. وبشكل عام، تعبر صيغ فرينيه-سيريه عن مشتقة داربو لإطار $TNB$ . إذا كانت مشتقات داربو لإطارين متساوية، فإن صيغة من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تؤكد أن المنحنيين متطابقان. على وجه الخصوص، يمثل الانحناء والالتواء مجموعة كاملة من الثوابت لمنحنى في ثلاثة أبعاد.

تعبيرات أخرى عن الإطار

تعتمد الصيغ المذكورة أعلاه لـ $T$ و $N$ و $B$ على كون المنحنى معبراً عنه بدلالة معامل طول القوس. وهذا افتراض طبيعي في الهندسة الإقليدية ، لأن طول القوس ثابت إقليدي للمنحنى. في مصطلحات الفيزياء، يُعدّ تمثيل المنحنى بمعامل طول القوس خياراً طبيعياً للقياس . مع ذلك، قد يكون التعامل معه عملياً صعباً. تتوفر عدة تعابير مكافئة أخرى.

لنفترض أن المنحنى معطى بالدالة $r (t)$ ، حيث لم يعد من الضروري أن يكون المعامل $t$ هو طول القوس. عندئذٍ ، يمكن كتابة متجه المماس $T على النحو التالي:$

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

يأخذ المتجه العمودي $N$ الشكل التالي

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}$

باستخدام ذلك $\mathbf {r} '(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|\mathbf {T} (t)$ وصيغة التسارع $\mathbf {r} ''(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|'\mathbf {T} +\kappa \|\mathbf {r} '(t)\|^{2}\mathbf {N}$ يُعطى المتجه الثنائي العمودي $B بالصيغة التالية:$

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}$

ثمة طريقة بديلة للوصول إلى نفس التعبيرات، وهي حساب المشتقات الثلاثة الأولى للمنحنى $r' (t) و r'' (t) و r''' (t)$ ، ثم تطبيق عملية غرام-شميدت . والأساس المتعامد المرتب الناتج هو إطار $TNB$ تحديدًا . ويمكن تعميم هذه الطريقة لإنتاج أطر فرينيه في أبعاد أعلى.

فيما يتعلق بالمعامل $t$ ، فإن صيغ فرينيه-سيريه تأخذ عاملاً إضافياً قدره $|| r' (t)||$ بسبب قاعدة السلسلة :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}$

يمكن حساب التعبيرات الصريحة للانحناء والالتواء. على سبيل المثال،

$\kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}$

يمكن التعبير عن الالتواء باستخدام الضرب الثلاثي القياسي كما يلي:

$\tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}$

حالات خاصة

إذا كان الانحناء يساوي صفرًا دائمًا، فسيكون المنحنى خطًا مستقيمًا. في هذه الحالة، لا تكون المتجهات $N و B$ والالتواء محددة بدقة.

إذا كان الالتواء دائمًا يساوي صفرًا، فإن المنحنى سيقع في مستوى.

قد يكون للمنحنى انحناء غير صفري والتواء صفري. على سبيل المثال، الدائرة التي نصف قطرها $R،$ المعطاة بالعلاقة $r (t) = (R cos t, R sin t, 0)$ في المستوى $z = 0،$ يكون لها التواء صفري وانحناء يساوي $1/ R$ . لكن العكس غير صحيح. أي أن المنحنى المنتظم ذو الالتواء غير الصفري يجب أن يكون له انحناء غير صفري. وهذا ببساطة عكس حقيقة أن الانحناء الصفري يستلزم الالتواء الصفري.

يتميز الحلزون بانحناء ثابت والتواء ثابت.

المنحنيات المستوية

إذا كان منحنى ${\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle$ إذا كان العنصر موجودًا في المستوى $xy$ ، فإن متجه المماس الخاص به $\mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}$ ومتجه الوحدة العمودي الرئيسي $\mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}$ سيقع أيضًا في المستوى $xy$ . ونتيجة لذلك، فإن متجه الوحدة ثنائي العمودي $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$ يكون عموديًا على المستوى $xy$ ، وبالتالي يجب أن يكون إما $\langle 0,0,1\rangle$ أو $\langle 0,0,-1\rangle$ . وفقًا لقاعدة اليد اليمنى، سيكون $B$ $\langle 0,0,1\rangle$ إذا كان مسار المنحنى، عند النظر إليه من الأعلى، ينعطف نحو اليسار، فسيكون $\langle 0,0,-1\rangle$ إذا كان ينعطف نحو اليمين. ونتيجة لذلك، سيكون الالتواء $τ$ دائمًا صفرًا، والصيغة ${\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}$ بالنسبة للانحناء $κ$ يصبح $\kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}$

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ كوهنيل 2002 ، §1.9
↑ فقط أول $n - 1$ تحتاج في الواقع إلى أن تكون مستقلة خطيًا، حيث يمكن اختيار متجه الإطار المتبقي النهائي $e n$ كمتجه وحدة متعامد مع مدى الآخرين، بحيث يكون الإطار الناتج موجهًا بشكل إيجابي.
↑ كرينشو (1993).
^ آير وفيشفيشوارا (1993).
↑ روكر، رودي (1999). "مراقبة الذباب وهو يطير: منحنيات فضاء كاباتاو" . جامعة ولاية سان خوسيه. مؤرشف من الأصل في 15 أكتوبر 2004.
↑ كوهنيل 2002 ، ص 19
↑ غوريلي وآخرون (2006).
↑ هانسون.
↑ للاطلاع على المصطلحات، انظر: ستيرنبرغ (1964). محاضرات في الهندسة التفاضلية . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي، برنتيس هول. ص 252-254 . ISBN 9780135271506.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .

مراجع

كرينشو، إتش سي؛ إيدلشتاين-كيشيت، إل. (1993)، "التوجيه بالحركة الحلزونية II. تغيير اتجاه محور الحركة"، نشرة البيولوجيا الرياضية ، 55 (1): 213-230 ، doi : 10.1016/s0092-8240(05)80070-9 ، S2CID 50734771
إيتجن، غاريت؛ هيل، إينار؛ سالاس، ساتورنينو (1995)، حساب التفاضل والتكامل لسالاس وهيل - متغير واحد ومتغيرات متعددة ( الطبعة السابعة)، جون وايلي وأولاده، ص 896
Frenet, F. (1847)، Sur les courbes à double courbure (PDF) , تييز، تولوز. ملخص في Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 17 , 1852.
غوريلي، أ.؛ روبرتسون-تيسي، م.؛ تابور، م.؛ فانديفر، ر. (2006)، "نماذج النمو المرن"، BIOMAT-2006 (ملف PDF) ، دار نشر سبرينغر، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 ديسمبر 2006.
غريفيث، فيليب (1974)، "حول طريقة كارتان لمجموعات لي والأطر المتحركة وتطبيقها على مسائل التفرد والوجود في الهندسة التفاضلية"، مجلة ديوك الرياضية ، 41 (4): 775-814 ، doi : 10.1215/S0012-7094-74-04180-5 ، S2CID 12966544 .
غوغنهايمر، هاينريش (1977)، الهندسة التفاضلية ، دوفر، رقم ISBN 0-486-63433-7
هانسون، أ. ج. (2007)، "إطارات فرينيه الرباعية: صنع أنابيب وأشرطة مثالية من المنحنيات" (ملف PDF) ، تقرير فني من جامعة إنديانا
آير، بي آر؛ فيشفيشوارا، سي في (1993)، "وصف فرينيه-سيريه للترنح الجيروسكوبي"، مجلة الفيزياء ، د، 48 (12): 5706-5720 ، arXiv : gr-qc/9310019 ، Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I ، doi : 10.1103/physrevd.48.5706 ، PMID 10016237 ، S2CID 119458843
جوردان ، كاميل (1874)، “Sur la théorie des courbes dans l’espace à n Dimensions”، سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس ، 79 : 795 – 797
كوهنيل، وولفغانغ (2002)، الهندسة التفاضلية ، مكتبة الطلاب الرياضية، المجلد 16، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات ، ISBN 978-0-8218-2656-0MR 1882174
Serret، JA (1851)، “Sur quelques formulesأقارب à la théorie des courbes à double courbure” (PDF) ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées ، 16.
سبيفاك، مايكل (1999)، مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية (المجلد الثاني) ، دار النشر Publish or Perish, Inc..
شلومو ستيرنبرغ (1964)، محاضرات في الهندسة التفاضلية ، برنتيس هول
ستريك، ديرك ج. (1961)، محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية ، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي.

روابط خارجية

أنشئ رسوماتك المتحركة الخاصة لإطارات فرينيه-سيريه المتحركة، ووظائف الانحناء والالتواء ( ورقة عمل مابل )
ورقة كاباتاو لرودي روكر .
تمثيل مرئي رائع للهرم الثلاثي

[1] كوهنيل 2002 ، §1.9

[2] فقط أول $n - 1$ تحتاج في الواقع إلى أن تكون مستقلة خطيًا، حيث يمكن اختيار متجه الإطار المتبقي النهائي $e n$ كمتجه وحدة متعامد مع مدى الآخرين، بحيث يكون الإطار الناتج موجهًا بشكل إيجابي.

[3] كرينشو (1993).

[4] آير وفيشفيشوارا (1993).

[rucker-5] روكر، رودي (1999). "مراقبة الذباب وهو يطير: منحنيات فضاء كاباتاو" . جامعة ولاية سان خوسيه. مؤرشف من الأصل في 15 أكتوبر 2004.

[6] كوهنيل 2002 ، ص 19

[7] غوريلي وآخرون (2006).

[8] هانسون.

[9] للاطلاع على المصطلحات، انظر: ستيرنبرغ (1964). محاضرات في الهندسة التفاضلية . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي، برنتيس هول. ص 252-254 . ISBN 9780135271506.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗