تثبيت المقياس

في فيزياء نظريات القياس ، يُشير تثبيت القياس (أو اختيار القياس ) إلى إجراء رياضي للتعامل مع درجات الحرية الزائدة في متغيرات الحقل . وبحسب التعريف، تُمثل نظرية القياس كل تكوين فيزيائي متميز للنظام كفئة تكافؤ من تكوينات الحقل المحلية التفصيلية. ويرتبط أي تكوينين تفصيليين في فئة التكافؤ نفسها بتحويل معين، يُكافئ القص على طول محاور غير فيزيائية في فضاء التكوين. ولا يُمكن الحصول على معظم التنبؤات الفيزيائية الكمية لنظرية القياس إلا في ظل وصفة متماسكة لكبح أو تجاهل درجات الحرية غير الفيزيائية هذه.

على الرغم من أن المحاور غير الفيزيائية في فضاء التكوينات التفصيلية تُعدّ خاصية أساسية للنموذج الفيزيائي، إلا أنه لا توجد مجموعة محددة من الاتجاهات "العمودية" عليها. ومن ثم، توجد حرية هائلة في أخذ "مقطع عرضي" يُمثّل كل تكوين فيزيائي بتكوين تفصيلي مُحدد (أو حتى توزيع مُرجّح لها). يُمكن لتثبيت القياس المُحكم تبسيط الحسابات بشكل كبير، ولكنه يصبح أكثر صعوبة كلما أصبح النموذج الفيزيائي أكثر واقعية؛ ويُعدّ تطبيقه على نظرية الحقل الكمومي مُحفوفًا بالتعقيدات المُتعلقة بإعادة التطبيع ، خاصةً عند استمرار الحساب إلى رتب أعلى . تاريخيًا، كان البحث عن إجراءات تثبيت قياس مُتسقة منطقيًا وقابلة للتطبيق حسابيًا، والجهود المبذولة لإثبات تكافؤها في مواجهة مجموعة مُذهلة من الصعوبات التقنية، دافعًا رئيسيًا للفيزياء الرياضية منذ أواخر القرن التاسع عشر وحتى الآن.

تُعدّ صياغة هيفسايد - جيبس للديناميكا الكهربائية المتصلة، بدلالة جهد كهرومغناطيسي رباعي ، النموذج الأمثل لنظرية القياس، وهي مُقدّمة هنا بترميز هيفسايد غير المتناظر مكانيًا/زمانيًا. يحتوي المجال الكهربائي E والمجال المغناطيسي B في معادلات ماكسويل على درجات حرية "فيزيائية" فقط، بمعنى أن لكل درجة حرية رياضية في تكوين المجال الكهرومغناطيسي تأثيرًا قابلًا للقياس بشكل منفصل على حركة الشحنات الاختبارية في الجوار. يمكن التعبير عن متغيرات "شدة المجال" هذه بدلالة الجهد الكهربائي القياسي.${\displaystyle \varphi }$والجهد المتجه المغناطيسي A من خلال العلاقات التالية: $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

إذا كان التحول

$${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$$

1

إذا تم إجراء عملية تصنيع، فإن B تبقى دون تغيير، لأن (مع الهوية)${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$) $${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

لكن هذا التحويل يغير قيمة E وفقًا لـ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi}}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\جزئي {\mathbf {A} }}{\جزئي t}}.}$$

إذا حدث تغيير آخر

$${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}}$$

2

إذا تم إجراء التحويل، فإن E تبقى كما هي. وبالتالي، فإن المجالين E و B لا يتغيران إذا أخذنا أي دالة ψ ( r , t ) وقمنا بتحويل A و φ في آن واحد عبر التحويلين ( 1 ) و ( 2 ).

يُطلق على اختيار مُحدد للكمون القياسي والكمون الشعاعي اسم كمون القياس (أو تحديدًا كمون القياس )، وتُسمى الدالة القياسية ψ المُستخدمة لتغيير هذا الكمون دالة القياس . يُقابل وجود عدد غير محدود من دوال القياس ψ ( r , t ) حرية القياس U(1) لهذه النظرية. يُمكن تثبيت القياس بطرق عديدة، سنعرض بعضها لاحقًا.

على الرغم من أن الكهرومغناطيسية الكلاسيكية تُوصف الآن غالبًا بأنها نظرية قياس، إلا أنها لم تُصاغ في الأصل بهذه المصطلحات. تتأثر حركة الشحنة النقطية الكلاسيكية فقط بشدة المجالين الكهربائي والمغناطيسي عند تلك النقطة، ويمكن اعتبار الكمونات مجرد أداة رياضية لتبسيط بعض البراهين والحسابات. لم يكن من الممكن القول بأن الكمونات نفسها جزء من التكوين الفيزيائي للنظام إلا مع ظهور نظرية الحقل الكمومي. كانت أول نتيجة تم التنبؤ بها بدقة والتحقق منها تجريبيًا هي تأثير أهارونوف-بوم ، الذي لا يوجد له نظير كلاسيكي. ومع ذلك، لا تزال حرية القياس قائمة في هذه النظريات. على سبيل المثال، يعتمد تأثير أهارونوف-بوم على تكامل خطي لـ A حول حلقة مغلقة، ولا يتغير هذا التكامل بـ $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

يُعد تثبيت القياس في نظريات القياس غير الأبيلية ، مثل نظرية يانغ-ميلز والنسبية العامة ، موضوعًا أكثر تعقيدًا إلى حد ما؛ لمزيد من التفاصيل، انظر غموض غريبوف ، وشبح فادييف-بوبوف ، وحزمة الإطار .

رسم توضيحي

كمثال على تثبيت المقياس، يمكن النظر إلى قضيب أسطواني ومحاولة تحديد ما إذا كان ملتويًا. إذا كان القضيب أسطوانيًا تمامًا، فإن التناظر الدائري للمقطع العرضي يجعل من المستحيل تحديد ما إذا كان ملتويًا أم لا. مع ذلك، إذا رُسم خط مستقيم على طول القضيب، فمن السهل تحديد وجود التواء من عدمه بمجرد النظر إلى حالة هذا الخط. رسم الخط هو تثبيت للمقياس . يُخلّ رسم الخط بتناظر المقياس، أي التناظر الدائري U(1) للمقطع العرضي عند كل نقطة من نقاط القضيب. الخط مكافئ لدالة المقياس ؛ وليس بالضرورة أن يكون مستقيمًا. أي خط تقريبًا يُعد تثبيتًا صالحًا للمقياس، أي أن هناك حرية كبيرة في تحديد المقياس . باختصار، لتحديد ما إذا كان القضيب ملتويًا، يجب معرفة المقياس. الكميات الفيزيائية، مثل طاقة الالتواء، لا تعتمد على المقياس، أي أنها ثابتة بغض النظر عن المقياس .

يُستخدم مقياس كولوم (المعروف أيضًا باسم المقياس المستعرض [1] أو مقياس الإشعاع [2]) في الكيمياء الكمومية وفيزياء المادة ^{المكثفة ويتم تعريفه} بواسطة شرط ^{المقياس ( بشكل} أدق ، شرط تثبيت المقياس). $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

وهو مفيد بشكل خاص للحسابات "شبه الكلاسيكية" في ميكانيكا الكم، حيث يتم تكميم الجهد المتجه ولكن تفاعل كولوم ليس كذلك.

يتمتع مقياس كولوم بعدد من الخصائص:

يُعطى مقياس لورنز، بوحدات النظام الدولي للوحدات، بالصيغة التالية: $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$ وبوحدات غاوسية بواسطة: $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي: $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$ أين${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي ، ∂ _μ هو التدرج الرباعي [باستخدام التوقيع المتري (+, −, −, −)].

يُعدّ هذا المقياس فريدًا بين مقاييس القيود في احتفاظه بثبات لورنتز الواضح . مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذا المقياس سُمّي في الأصل نسبةً إلى الفيزيائي الدنماركي لودفيج لورنز ، وليس نسبةً إلى هندريك لورنز ؛ وغالبًا ما يُكتب خطأً "مقياس لورنتز". (لم يكن أيٌّ منهما أول من استخدمه في الحسابات؛ فقد طُرح عام 1888 على يد جورج فرانسيس فيتزجيرالد ).

يؤدي مقياس لورنز إلى معادلات الموجة غير المتجانسة التالية للجهود الكامنة: $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

يمكن ملاحظة من هذه المعادلات أنه في حالة عدم وجود تيار وشحنة، فإن الحلول عبارة عن جهود تنتشر بسرعة الضوء.

يُعتبر مقياس لورنز غير مكتمل بمعنى ما: إذ تبقى فضاءات فرعية من تحويلات المقياس التي يمكنها أيضًا الحفاظ على القيد. وتتوافق درجات الحرية المتبقية هذه مع دوال المقياس التي تحقق معادلة الموجة.$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

تنتشر درجات حرية القياس المتبقية هذه بسرعة الضوء. وللحصول على قياس ثابت تمامًا، يجب إضافة شروط حدودية على طول مخروط الضوء للمنطقة التجريبية.

تُبسط معادلات ماكسويل في مقياس لورنز إلى $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$ أين${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$هو التيار الرباعي .

يختلف حلان لهذه المعادلات لنفس تكوين التيار بمقدار حل معادلة الموجة الفراغية $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ في هذا الشكل، يتضح أن مكونات الجهد تحقق معادلة كلاين-غوردون بشكل منفصل ، وبالتالي فإن شرط لورنز يسمح بوجود موجات مستقطبة عرضيًا وطوليًا و"زمنيًا" في الجهد الرباعي. تتوافق الاستقطابات العرضية مع الإشعاع الكلاسيكي، أي الموجات المستقطبة عرضيًا في شدة المجال. ولكبح حالات الاستقطاب الطولي والزمني "غير الفيزيائية"، والتي لا تُلاحظ في التجارب على مقاييس المسافة الكلاسيكية، يجب أيضًا استخدام قيود مساعدة تُعرف باسم متطابقات وارد . كلاسيكيًا، تُكافئ هذه المتطابقات معادلة الاستمرارية .$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

يمكن تفسير العديد من الاختلافات بين الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية والكمية من خلال الدور الذي تلعبه الاستقطابات الطولية والزمنية في التفاعلات بين الجسيمات المشحونة على مسافات مجهرية.

تُعدّ مقاييس R _ξ تعميمًا لمقياس لورنز، وهي قابلة للتطبيق على النظريات المُعبَّر عنها بدلالة مبدأ الفعل ذي الكثافة اللاغرانجية .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$بدلاً من تثبيت المقياس عن طريق تقييد حقل المقياس مسبقًا ، عبر معادلة مساعدة، تتم إضافة حد كسر المقياس إلى لاغرانجيان "الفيزيائي" (الثابت تحت المقياس). $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

يُحدد اختيار المعامل ξ اختيار المقياس. يُعد مقياس لاندو _Rξ مكافئًا كلاسيكيًا لمقياس لورنز: إذ يُحصل عليه في حالة ξ  →  0، ولكنه يؤجل أخذ هذه الحالة إلى ما بعد تكميم النظرية. وهو يُحسّن دقة بعض براهين الوجود والتكافؤ. تُعدّ معظم حسابات نظرية الحقل الكمومي أبسط ما يكون في مقياس فاينمان-هوفت ، حيث ξ = 1 ؛ _بينما يكون بعضها الآخر أسهل في التعامل معه في مقاييس Rξ أخرى ، مثل مقياس ييني ξ = 3 (المُسمى نسبةً إلى دونالد ر. ييني ).

تستخدم الصيغة المكافئة لمقياس R _ξ حقلاً مساعداً ، وهو حقل قياسي B بدون ديناميكيات مستقلة: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

يمكن حذف الحقل المساعد، الذي يُسمى أحيانًا حقل ناكانيشي-لاوتروب ، عن طريق "إكمال المربع" للحصول على الشكل السابق. من منظور رياضي، يُعد الحقل المساعد نوعًا من بوزونات غولدستون ، وله فوائد في تحديد الحالات التقاربية للنظرية، وخاصة عند التعميم خارج نطاق الديناميكا الكهربائية الكمية.

تاريخيًا، مثّل استخدام مقاييس R _ξ تقدمًا تقنيًا هامًا في توسيع حسابات الديناميكا الكهربائية الكمومية لتتجاوز رتبة الحلقة الواحدة . فبالإضافة إلى الحفاظ على ثبات لورنتز الواضح ، يكسر وصف R _ξ التناظر تحت تحويلات القياس المحلية مع الحفاظ على نسبة القياسات الوظيفية لأي تكوينين قياسيين مختلفين فيزيائيًا . وهذا يسمح بتغيير المتغيرات بحيث تكون الاضطرابات المتناهية الصغر على طول الاتجاهات "الفيزيائية" في فضاء التكوين منفصلة تمامًا عن تلك الموجودة على طول الاتجاهات "غير الفيزيائية"، مما يسمح بدمج الأخيرة في التطبيع غير ذي المعنى الفيزيائي للتكامل الوظيفي . عندما تكون ξ محدودة، لا يتم تمثيل كل تكوين فيزيائي (مدار مجموعة تحويلات القياس) بحل واحد لمعادلة قيد، بل بتوزيع غاوسي متمركز حول القيمة القصوى لحد كسر القياس. من حيث قواعد فاينمان لنظرية القياس الثابت، يظهر هذا كمساهمة في مُوَصِّل الفوتون للخطوط الداخلية من الفوتونات الافتراضية ذات الاستقطاب غير الفيزيائي .

_يحتوي مُوَصِّل الفوتون، وهو العامل المضاعف المُقابل للفوتون الداخلي في توسيع مخطط فاينمان لحسابات الديناميكا الكهربائية الكمية، على عامل gμν يُقابل مقياس مينكوفسكي . يتضمن توسيع هذا العامل كمجموع على استقطابات الفوتون حدودًا تحتوي على جميع الاستقطابات الأربعة المُمكنة. يُمكن التعبير عن الإشعاع المُستقطب عرضيًا رياضيًا كمجموع على أساس مُستقطب خطيًا أو دائريًا . وبالمثل، يُمكن دمج استقطابات القياس الطولية والزمنية للحصول على استقطابات "أمامية" و"خلفية"؛ وهي شكل من أشكال إحداثيات مخروط الضوء حيث يكون المقياس خارج القطر الرئيسي. يُطلق على توسيع العامل gμν بدلالة الاستقطاب الدائري (اللف المغزلي ±1) وإحداثيات مخروط الضوء اسم مجموع اللف المغزلي . يُمكن _أن تكون مجاميع اللف المغزلي مفيدة جدًا في تبسيط التعبيرات وفي الحصول على فهم فيزيائي للتأثيرات التجريبية المرتبطة بالحدود المختلفة في الحساب النظري.

استخدم ريتشارد فاينمان حججًا مشابهة لهذه إلى حد كبير لتبرير إجراءات حسابية أنتجت نتائج متسقة ومحدودة وعالية الدقة لمعلمات مهمة قابلة للرصد، مثل العزم المغناطيسي الشاذ للإلكترون. ورغم أن حججه افتقرت أحيانًا إلى الدقة الرياضية حتى بمعايير الفيزيائيين، وتجاهلت تفاصيل مثل اشتقاق متطابقات وارد-تاكاهاشي في نظرية الكم، إلا أن حساباته كانت ناجحة، وسرعان ما أثبت فريمان دايسون أن طريقته مكافئة إلى حد كبير لطرق جوليان شوينجر وسين -إتيرو توموناغا ، اللذين تقاسم معهما فاينمان جائزة نوبل في الفيزياء عام 1965 .

يمكن إهمال الإشعاع المستقطب للأمام والخلف في الحالات التقاربية لنظرية الحقل الكمومي (انظر متطابقة وارد-تاكاهاشي ). لهذا السبب، ولأن ظهورهما في مجاميع اللف المغزلي يُمكن اعتباره مجرد أداة رياضية في الديناميكا الكهربائية الكمومية (تمامًا مثل الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية)، يُشار إليهما غالبًا بأنهما "غير فيزيائيين". ولكن على عكس إجراءات تثبيت القياس القائمة على القيود المذكورة أعلاه، فإن _قياس Rξ يُعمم جيدًا على مجموعات القياس غير التبادلية مثل SU(3) في الديناميكا اللونية الكمومية . لا تختفي اقترانات محاور الاضطراب الفيزيائية وغير الفيزيائية تمامًا عند تغيير المتغيرات؛ وللحصول على نتائج صحيحة، يجب مراعاة جاكوبيان غير تافه لتضمين محاور حرية القياس ضمن فضاء التكوينات التفصيلية. يؤدي هذا إلى ظهور واضح لبوزونات القياس المستقطبة للأمام والخلف في مخططات فاينمان، إلى جانب أشباح فاديف-بوبوف ، التي تُعدّ أكثر "لا فيزيائية" لأنها تُخالف نظرية الإحصاء الدوراني . وتتضح العلاقة بين هذه الكيانات، وأسباب عدم ظهورها كجسيمات بالمعنى الكمومي، بشكل أكبر في صيغة BRST للتكميم.

في أي نظرية قياس غير تبديلية ، يُعد أي قياس تبديلي أقصى قياسًا غير كامل يُثبّت حرية القياس خارج المجموعة الفرعية التبديلية القصوى . ومن الأمثلة على ذلك:

• في نظرية القياس SU(2) في D بُعدًا، تكون المجموعة الفرعية الأبيلية القصوى هي مجموعة فرعية U(1). إذا تم اختيار هذه المجموعة لتكون المجموعة المولدة بواسطة مصفوفة باولي σ ₃ ، فإن القياس الأبيلي الأقصى هو القياس الذي يُعظّم الدالة$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$أين$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• في نظرية القياس SU(3) في D بُعدًا، تكون المجموعة الفرعية الأبيلية القصوى هي مجموعة فرعية U( _{1 )×U(1). إذا تم اختيار هذه المجموعة} لتكون تلك المولدة بواسطة مصفوفات غيل-مان λ₃ و λ₈ ، فإن القياس الأبيلي الأقصى هو الذي يُعظّم الدالة$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$أين$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

ينطبق هذا بانتظام في الجبر الأعلى (للمجموعات في الجبر)، على سبيل المثال جبر كليفورد وكما هو الحال بانتظام.

وقد ظهرت في الأدبيات العديد من المقاييس الأخرى التي يمكن أن تكون مفيدة في مواقف محددة. ^{[ 1 ]}

• لاندو، ليف ؛ ليفشيتز، يفغيني (2007). النظرية الكلاسيكية للحقول . أمستردام: إلسيفير بتروورث هاينمان. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• جاكسون، جيه دي (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-30932-X.