التتبع الميداني

في الرياضيات ، أثر الحقل هو دالة معينة معرفة بالنسبة لامتداد حقل محدود L / K ، وهو عبارة عن خريطة خطية K من L إلى K.

ليكن K حقلاً و L امتداداً منتهياً ( وبالتالي امتداداً جبرياً ) لـ K. يمكن اعتبار L فضاءً متجهياً فوق K. الضرب في α ، وهو عنصر من L ،

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ معطى بواسطة }}m_{\alpha }(x)=\alpha x}$،

هو تحويل خطي من الرتبة K لهذا الفضاء المتجهي إلى نفسه. ويُعرَّف الأثر ، Tr _{L / K} ( α )، بأنه أثر هذا التحويل الخطي (بمعنى الجبر الخطي ). ^{[ 1 ]}

لكل α في L ، ليكن σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) جذور ( مع مراعاة التعددية) متعددة الحدود الدنيا لـ α على K (في حقل تمديد ما لـ K ). عندئذٍ

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).}$

إذا كان L / K قابلاً للفصل ، فإن كل جذر يظهر مرة واحدة فقط ^{[ 2 ]} (ومع ذلك، هذا لا يعني أن المعامل أعلاه هو واحد؛ على سبيل المثال، إذا كان α هو العنصر المحايد 1 لـ K ، فإن الأثر هو [ L : K ] مضروبًا في 1).

وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كان L / K امتدادًا لغالوا و α ينتمي إلى L ، فإن أثر α هو مجموع جميع مرافقات غالوا لـ α ، ^{[ 1 ]} أي،

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

حيث يشير Gal( L / K ) إلى مجموعة غالوا لـ L / K .

يترك${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ليكن امتدادًا تربيعيًا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ثم أساس من${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$يكون${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}.}$لو${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ثم مصفوفة​${\displaystyle m_{\alpha }}$يكون:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$،

وهكذا،${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+ab{\sqrt {d}}=2a}$[ ^{1 ]} الحد الأدنى لكثير الحدود لـ α هو X 2 ⁻ 2 a X + ( a ^{2 −} db 2 ⁾ .

تنطبق عدة خصائص لدالة الأثر على أي امتداد محدود. ^{[ 3 ]}

إنّ أثر الدالة Tr _{L / K}  : L → K هو دالة خطية K ( دالة خطية K )، أي

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$.

إذا كان α ∈ K فإن${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

بالإضافة إلى ذلك، يتصرف الأثر بشكل جيد في أبراج الحقول : إذا كان M امتدادًا محدودًا لـ L ، فإن الأثر من M إلى K هو ببساطة تركيب الأثر من M إلى L مع الأثر من L إلى K ، أي

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$.

ليكن L = GF( q, ⁿ ) امتدادًا منتهيًا لحقل منتهٍ K = GF( q ). بما أن L / K امتداد غالوا ، فإذا كان α ينتمي إلى L ، فإن أثر α هو مجموع جميع مرافقات غالوا لـ α ، أي ^{[ 4 ].}

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.}$

في هذا السياق، لدينا الخصائص الإضافية التالية: ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$.
• لأي${\displaystyle \alpha \in K}$، هناك بالضبط${\displaystyle q^{n-1}}$عناصر${\displaystyle b\in L}$مع${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$.

النظرية ^{[ 6 ]} : لكل b ∈ L ، ليكن F _b هو التطبيق${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$إذن ، F _b ≠ F _c إذا كان b ≠ c . علاوة على ذلك، فإن التحويلات الخطية K من L إلى K هي بالضبط الخرائط من الشكل F _b عندما يتغير b على الحقل L.

عندما يكون K هو الحقل الفرعي الأولي لـ L ، يُطلق على الأثر اسم الأثر المطلق ، وإلا فهو أثر نسبي . ^{[ 4 ]}

عندما يكون L / K قابلاً للفصل، يوفر الأثر نظرية ازدواجية عبر صيغة الأثر : التطبيق من L × L إلى K الذي يرسل ( x , y ) إلى Tr _{L / K} ( xy ) هو شكل ثنائي خطي غير منحل ومتناظر يُسمى صيغة الأثر. إذا كان L / K امتدادًا لغالوا، فإن صيغة الأثر ثابتة بالنسبة لمجموعة غالوا.

يُستخدم شكل الأثر في نظرية الأعداد الجبرية في نظرية المثالي المختلف .

يكون لشكل الأثر لامتداد حقل ذي درجة منتهية L / K إشارة غير سالبة لأي ترتيب حقل لـ K. ^{[ 8 ]} والعكس صحيح ، أي أن كل فئة تكافؤ ويت ذات إشارة غير سالبة تحتوي على شكل أثر، وذلك بالنسبة ^لحقول الأعداد الجبرية K. [ ^{8 ]}

إذا كان L / K امتدادًا غير قابل للفصل ، فإن شكل الأثر يساوي صفرًا تمامًا. ^{[ 9 ]}

• معيار المجال
• آثار مخففة

• هيرشفيلد، جيه دبليو بي (1979)، الهندسات الإسقاطية على الحقول المنتهية ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 0-19-853526-0
• إسحاق، آي إم (1994)، الجبر، دورة دراسات عليا ، دار نشر بروكس/كول
• ليدل، رودولف؛ نيدررايتر، هارالد (1997) [1983]، الحقول المنتهية ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  20 (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-39231-4، Zbl 0866.11069 
• لورنز، فالكو (2008). الجبر. المجلد الثاني: الحقول ذات البنية، والجبر، والمواضيع المتقدمة . سبرينغر. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
• مولين، غاري ل.؛ باناريو، دانيال (2013)، دليل الحقول المنتهية ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-1-4398-7378-6
• رومان، ستيفن (2006)، نظرية الحقول ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  158 (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، الفصل 8، ISBN 978-0-387-27677-9، Zbl 1172.12001 
• روتمان، جوزيف ج. (2002)، الجبر الحديث المتقدم ، برنتيس هول، رقم ISBN 978-0-13-087868-7

• كونر، بي إي؛ بيرليس، آر. (1984). مسحٌ لأشكال الأثر لحقول الأعداد الجبرية . سلسلة في الرياضيات البحتة. المجلد  2. وورلد ساينتيفيك. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 . 
• القسم السادس.5 من كتاب لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 211 (الطبعة الثالثة المنقحة )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN   978-0-387-95385-4، MR 1878556 ، Zbl 0984.00001