صيغة هيرون

فيما يلي برهان حديث يستخدم الجبر ويختلف تمامًا عن البرهان الذي قدمه هيرون . ^{[ 10 ]} ليكن${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$⁠ ⁠${\displaystyle c}$⁠ لتكن أضلاع المثلث و ⁠${\displaystyle \alpha ,}$⁠ ⁠${\displaystyle \beta ,}$⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$الزواياالمقابلة لتلك الأضلاع. بتطبيق قانون جيب التمام نحصل على $${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$$

من هذا البرهان، نحصل على العبارة الجبرية التالية: $${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-{\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}}}{2ab}}.}$$

ارتفاع المثلث على قاعدته${\displaystyle a}$له طول​${\displaystyle b\sin \gamma }$ويتبع ذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-{\bigl (}a^{2}+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+bc}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.\end{aligned}}}$$

البرهان التالي مشابه جدًا للبرهان الذي قدمه رايفايزن. ^{[ 11 ]} وبحسب نظرية فيثاغورس، لدينا${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$و${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(cd)^{2}}$وفقًا للشكل الموجود على اليمين. بطرح هذه القيم نحصل على${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$تسمح لنا هذه المعادلة بالتعبير عن${\displaystyle d}$من حيث أضلاع المثلث: $${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$$ أما بالنسبة لارتفاع المثلث، فلدينا ما يلي:${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$عن طريق استبدال${\displaystyle d}$باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه وتطبيق متطابقة فرق المربعات، نحصل على $$\displaystyle \begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(bc)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(sa)\cdot 2s\cdot 2(sc)\cdot 2(sb)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(sa)(sb)(sc)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$$

نطبق الآن هذه النتيجة على الصيغة التي تحسب مساحة المثلث من ارتفاعه: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(sa)(sb)(sc)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.\end{aligned}}}$$

إذا​${\displaystyle r}$إذا كان r هو نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، فيمكن تقسيم المثلث إلى ثلاثة مثلثات متساوية الارتفاع .${\displaystyle r}$والقواعد​​${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$و​​${\displaystyle c.}$تبلغ مساحتهما مجتمعة $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$$ أين${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$هو نصف المحيط.

يمكن تقسيم المثلث بالتناوب إلى ستة مثلثات (في أزواج متطابقة) ذات ارتفاعات مختلفة .${\displaystyle r}$والقواعد​​${\displaystyle sa,}$⁠ ⁠${\displaystyle sb,}$و​​${\displaystyle sc}$المساحة المجمعة (انظر قانون ظل التمام ) $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(sa)+r(sb)+r(sc)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {sa}{r}}+{\frac {sb}{r}}+{\frac {sc}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {sa}{r}}\cdot {\frac {sb}{r}}\cdot {\frac {sc}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(sa)(sb)(sc)}{r}}.\end{aligned}}}$$

الخطوة الوسطى أعلاه هي${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}= {}}$${\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}}}$، وهي متطابقة الظل التمام الثلاثي ، والتي تنطبق لأن مجموع أنصاف الزوايا هو${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

وبدمج الاثنين، نحصل على $${\displaystyle A^{2}=s(sa)(sb)(sc),}$$ ومن ثمّ تترتب النتيجة.

إذا كان أحد الأطوال الثلاثة المعطاة يساوي مجموع الطولين الآخرين، فإن الأضلاع الثلاثة تُشكّل مثلثًا منحطًا ، وهو قطعة مستقيمة مساحتها صفر. في هذه الحالة، يكون نصف المحيط مساويًا لأطول ضلع، مما يجعل صيغة هيرون تساوي صفرًا.

إذا كان أحد الأطوال الثلاثة المعطاة أكبر من مجموع الطولين الآخرين، فإنها بذلك تخالف متباينة المثلث ولا تصف أضلاع مثلث إقليدي. في هذه الحالة، تعطي صيغة هيرون نتيجة افتراضية . على سبيل المثال ، إذا${\displaystyle a=3}$و​​${\displaystyle b=c=1}$ثم​​${\displaystyle \textstyle A={\tfrac {3{\sqrt {5}}}{4}}i}$. يمكن تفسير ذلك باستخدام مثلث في مستوى الإحداثيات المركبة ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$حيث يمكن أن تكون "المساحة" كمية ذات قيمة مركبة، أو مثلثًا يقع في مستوى شبه إقليدي ذي بُعد مكاني وبُعد زمني. ^{[ 18 ]}

إذا​${\displaystyle U,}$⁠ ⁠${\displaystyle V,}$⁠ ⁠${\displaystyle W,}$⁠ ⁠${\displaystyle u,}$⁠ ⁠${\displaystyle v,}$⁠ ⁠${\displaystyle w}$تمثل هذه أطوال أضلاع رباعي الأوجه (تشكل الأضلاع الثلاثة الأولى مثلثًا ؛${\displaystyle u}$عكس​​${\displaystyle U}$وهكذا )، ثم ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

أين $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {{\vphantom {y}}xYZ}},\qquad b={\sqrt {XyZ}},&c&={\sqrt {{\vphantom {y}}XYz}},\qquad d={\sqrt {{\vphantom {X}}xyz}},\\[4mu]X&=(-U+v+w)\,(U+v+w),&x&=(U-v+w)\,(U+vw),\\Y&=(-V+w+u)\,(V+w+u),&y&=(V-w+u)\,(V+wu),\\Z&=(-W+u+v)\,(W+u+v),&z&=(W-u+v)\,(W+uv).\end{aligned}}}$$

تربط صيغة لويلييه مساحة المثلث في الهندسة الكروية بأطوال أضلاعه. بالنسبة لمثلث كروي بأطوال أضلاع ⁠${\displaystyle a,}$⁠ ⁠${\displaystyle b,}$و​​${\displaystyle c}$، نصف المحيط${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$، والمساحة​${\displaystyle S}$⁠ , ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {sa}{2}}\tan {\frac {sb}{2}}\tan {\frac {sc}{2}}}$$

بالنسبة للمثلث في الهندسة الزائدية، فإن الصيغة المماثلة هي $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {sa}{2}}\tanh {\frac {sb}{2}}\tanh {\frac {sc}{2}}.}$$