النمذجة الرياضية للأمراض المعدية

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 36 صور
الموسوعة الحرة

تُتيح النماذج الرياضية إمكانية التنبؤ بكيفية تطور الأمراض المعدية ، وتوضيح النتائج المحتملة للأوبئة ( بما في ذلك في النباتات )، والمساهمة في توجيه التدخلات في مجال الصحة العامة وصحة النبات. تستخدم هذه النماذج افتراضات أساسية أو إحصاءات مُجمّعة، إلى جانب الرياضيات، لإيجاد معايير لمختلف الأمراض المعدية، وتستخدم هذه المعايير لحساب آثار التدخلات المختلفة، مثل برامج التطعيم الجماعي . كما تُساعد هذه النماذج في تحديد التدخلات التي يجب تجنبها وتلك التي يجب تجربتها، أو التنبؤ بأنماط النمو المستقبلية، وغير ذلك.

تاريخ

يُعدّ نمذجة الأمراض المعدية أداةً استُخدمت لدراسة آليات انتشار الأمراض، والتنبؤ بالمسار المستقبلي لتفشي المرض، وتقييم استراتيجيات السيطرة على الوباء. [ 1 ]

كان جون جرانت أول عالم حاول بشكل منهجي تحديد أسباب الوفاة كميًا في كتابه "ملاحظات طبيعية وسياسية على سجلات الوفيات" عام 1662. وكانت السجلات التي درسها عبارة عن قوائم بأعداد وأسباب الوفيات التي كانت تُنشر أسبوعيًا. ويُعتبر تحليل جرانت لأسباب الوفاة بداية "نظرية المخاطر المتنافسة"، التي وصفها دالي وجاني [ 1 ] بأنها "نظرية راسخة الآن بين علماء الأوبئة المعاصرين".

أُجريت أول دراسة للنمذجة الرياضية لانتشار الأمراض عام 1760 على يد دانيال برنولي . ابتكر برنولي، وهو طبيب، نموذجًا رياضيًا للدفاع عن ممارسة التطعيم ضد الجدري . [ 2 ] أظهرت الحسابات المستندة إلى هذا النموذج أن التطعيم الشامل ضد الجدري من شأنه أن يزيد متوسط ​​العمر المتوقع من 26 عامًا و7 أشهر إلى 29 عامًا و9 أشهر. [ 3 ] سبق عمل دانيال برنولي الفهم الحديث لنظرية الجراثيم . [ 4 ]

في أوائل القرن العشرين، قام ويليام هامر [ 5 ] ورونالد روس [ 6 ] بتطبيق قانون الفعل الجماعي لشرح السلوك الوبائي.

شهدت عشرينيات القرن العشرين ظهور النماذج التقسيمية. يصف كل من نموذج كيرماك-ماكيندريك الوبائي (1927) ونموذج ريد-فروست الوبائي (1928) العلاقة بين الأفراد المعرضين للإصابة ، والمصابين، والمحصنين في مجتمع ما. وقد نجح نموذج كيرماك-ماكيندريك الوبائي في التنبؤ بسلوك تفشي المرض بشكل مشابه جدًا لما لوحظ في العديد من الأوبئة المسجلة. [ 7 ]

في الآونة الأخيرة، استُخدمت النماذج القائمة على العوامل (ABMs) بدلاً من النماذج التقسيمية الأبسط . [ 8 ] على سبيل المثال، استُخدمت نماذج ABMs الوبائية لتوجيه التدخلات الصحية العامة (غير الدوائية) لمكافحة انتشار فيروس SARS-CoV-2 . [ 9 ] على الرغم من تعقيد نماذج ABMs الوبائية واحتياجها إلى قدرة حاسوبية عالية، فقد وُجهت إليها انتقادات بسبب تبسيطها المفرط وافتراضاتها غير الواقعية. [ 10 ] [ 11 ] ومع ذلك، يمكن أن تكون مفيدة في توجيه القرارات المتعلقة بتدابير التخفيف والمكافحة في الحالات التي تتم فيها معايرة نماذج ABMs بدقة. [ 12 ]

الافتراضات

لا تكون النماذج جيدة إلا بقدر جودة الافتراضات التي تستند إليها. فإذا قدم نموذج ما تنبؤات لا تتوافق مع النتائج المرصودة، وكانت الحسابات الرياضية صحيحة، فلا بد من تغيير الافتراضات الأولية لجعل النموذج مفيدًا. [ 13 ]

  • التوزيع العمري المستطيل والثابت ، أي أن جميع أفراد المجتمع يعيشون حتى العمر L ثم يموتون، ولكل عمر (حتى L ) يوجد نفس عدد الأفراد في المجتمع. غالبًا ما يكون هذا التوزيع مبررًا في الدول المتقدمة حيث يكون معدل وفيات الرضع منخفضًا ويعيش معظم السكان حتى متوسط ​​العمر المتوقع.
  • يفترض هذا النموذج تجانسًا في الاختلاط بين أفراد المجتمع، أي أنهم يختلطون ويتواصلون عشوائيًا ولا ينحصرون في مجموعات فرعية صغيرة. إلا أن هذا الافتراض نادرًا ما يكون صحيحًا نظرًا لتعدد أشكال البنية الاجتماعية . فعلى سبيل المثال، لا يتواصل معظم سكان لندن إلا مع سكان لندن أنفسهم. علاوة على ذلك، توجد داخل لندن مجموعات فرعية أصغر، كالجالية التركية أو المراهقين (على سبيل المثال لا الحصر)، يختلط أفرادها فيما بينهم أكثر من اختلاطهم مع أفراد من خارج مجموعاتهم. مع ذلك، يُعدّ التجانس في الاختلاط افتراضًا شائعًا لتسهيل الحسابات الرياضية.

أنواع نماذج الأوبئة

ستوكاستيك

تعني كلمة "عشوائي" وجود متغير عشوائي أو امتلاكه. يُعدّ النموذج العشوائي أداةً لتقدير التوزيعات الاحتمالية للنتائج المحتملة من خلال السماح بالتغير العشوائي في مُدخل واحد أو أكثر بمرور الوقت. تعتمد النماذج العشوائية على التغيرات العشوائية في خطر التعرض للمرض، والمرض نفسه، وديناميكيات الأمراض الأخرى. يمكن تحديد انتشار المرض على مستوى العامل الإحصائي في مجموعات سكانية صغيرة أو كبيرة باستخدام الطرق العشوائية. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

حتمية

عند التعامل مع أعداد كبيرة من السكان، كما هو الحال في مرض السل، تُستخدم غالبًا النماذج الرياضية الحتمية أو المجزأة. في النموذج الحتمي، يُصنف الأفراد في المجتمع إلى مجموعات فرعية أو أقسام مختلفة، يمثل كل منها مرحلة محددة من مراحل الوباء. [ 17 ]

تُعبّر معدلات الانتقال من فئة إلى أخرى رياضيًا عن طريق المشتقات، ولذا يُصاغ النموذج باستخدام المعادلات التفاضلية. عند بناء مثل هذه النماذج، يجب افتراض أن حجم السكان في كل فئة قابل للتفاضل مع مرور الوقت، وأن عملية الوباء حتمية. بعبارة أخرى، يمكن حساب التغيرات في عدد سكان فئة معينة باستخدام البيانات التاريخية التي استُخدمت فقط في تطوير النموذج. [ 7 ]

الحركية والمجال المتوسط

رسميًا، تنتمي هذه النماذج إلى فئة النماذج الحتمية؛ إلا أنها تُدمج سمات اجتماعية غير متجانسة في ديناميكياتها، مثل مستويات التفاعل الاجتماعي للأفراد، وآرائهم، وثرواتهم، ومواقعهم الجغرافية، والتي تؤثر بشكل كبير على انتشار المرض. وعادةً ما تُمثَّل هذه النماذج بمعادلات تفاضلية جزئية، على عكس النماذج الكلاسيكية التي تُوصف بأنها أنظمة من المعادلات التفاضلية العادية. وباتباع مبادئ اشتقاق النظرية الحركية، فإنها تُقدم وصفًا أكثر دقة لديناميكيات الأوبئة من خلال البدء بالتفاعلات القائمة على العوامل. [ 18 ]

النمو دون الأسي

يُفسَّر انتشار الأوبئة عادةً بأن شخصًا واحدًا يُصيب شخصين، وهذان الشخصان يُصيبان أربعة، وهكذا دواليك، ويتضاعف عدد المصابين في كل جيل. يُشبه هذا لعبة المطاردة، حيث يُصيب شخصٌ شخصين، وهذان الشخصان يُصيبان أربعة آخرين لم يُصابوا من قبل، وهكذا. ومع تقدم اللعبة، تزداد وتيرتها جنونًا، إذ يركض المصابون متجاوزين من سبقهم في مطاردة من لم يُصابوا. وهكذا، يُؤدي هذا النموذج للوباء إلى منحنى ينمو أُسِّيًّا حتى ينهار إلى الصفر، حيث يكون جميع السكان قد أُصيبوا، أي لا توجد مناعة جماعية ولا ذروة ولا انخفاض تدريجي كما هو الحال في الواقع. [ 19 ]

نماذج الأوبئة على الشبكات

يمكن نمذجة الأوبئة على أنها أمراض تنتشر عبر شبكات اتصال بين الأفراد. يمكن تمثيل هذه الشبكة رياضيًا برسم بياني ، وتُسمى شبكة الاتصال. [ 20 ] كل عقدة في شبكة الاتصال تمثل فردًا، وكل رابط (حافة) بين عقدتين يمثل الاتصال بينهما. يمكن استخدام الروابط في شبكات الاتصال لنقل المرض بين الأفراد، ولكل مرض ديناميكياته الخاصة ضمن شبكة الاتصال الخاصة به. يمكن نمذجة ديناميكيات المرض مجتمعة، تحت تأثير التدخلات إن وجدت، على شبكة الاتصال، بشبكة أخرى تُعرف بشبكة النقل. في شبكة النقل، جميع الروابط مسؤولة عن نقل المرض. إذا كانت هذه الشبكة شبيهة بالشجرة محليًا، أي أن أي جوار محلي فيها يأخذ شكل شجرة ، فيمكن كتابة معادلة التكاثر الأساسية بدلالة متوسط ​​الدرجة الزائدة لشبكة النقل، بحيث:

R0=⟨ك2⟩⟨ك⟩-1،{\displaystyle R_{0}={\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}-1,}

أين⟨ك⟩{\displaystyle {\langle k\rangle }}يمثل متوسط ​​درجة الشبكة و⟨ك2⟩{\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}يمثل العزم الثاني لتوزيع درجة شبكة الانتقال . ومع ذلك، ليس من السهل دائمًا إيجاد شبكة الانتقال انطلاقًا من شبكة الاتصال وديناميكيات المرض. [ 21 ] على سبيل المثال، إذا أمكن تقريب شبكة الاتصال برسم بياني من نوع إردوش-ريني ذي توزيع درجة بواسون ، وكانت معلمات انتشار المرض كما هو محدد في المثال أعلاه، بحيثβ{\displaystyle \beta }معدل انتقال العدوى لكل شخص، ومتوسط ​​فترة العدوى للمرض هو1γ{\displaystyle {\dfrac {1}{\gamma }}}ثم يكون معدل التكاثر الأساسي هوR0=βγ⟨ك⟩{\displaystyle R_{0}={\dfrac {\beta }{\gamma }}{\langle k\rangle }}[ 22 ] [ 23 ] منذ ⟨ك2⟩-⟨ك⟩2=⟨ك⟩{\displaystyle {\langle k^{2}\rangle} - {\langle k\rangle }^{2}={\langle k\rangle }}لتوزيع بواسون.

رقم النسخة

يُعدّ معدل التكاثر الأساسي ( R₀ ) مقياسًا لمدى قابلية انتقال المرض. وهو متوسط ​​عدد الأشخاص الذين يُصيبهم شخص واحد مُعدٍ خلال فترة العدوى. ويُحدد هذا المعدل ما إذا كانت العدوى ستزداد بشكل شبه أُسّي ، أو ستتلاشى، أو ستبقى ثابتة: فإذا كان R₀ > 1، فإن كل شخص يُصيب في المتوسط ​​أكثر من شخص واحد ، وبالتالي سينتشر المرض؛ وإذا كان R₀ < 1، فإن كل شخص يُصيب في المتوسط ​​أقل من شخص واحد، وبالتالي سيتلاشى المرض؛ وإذا كان R₀ = 1، فإن كل شخص يُصيب في المتوسط ​​شخصًا واحدًا فقط، وبالتالي سيصبح المرض متوطنًا: سينتشر بين السكان دون أن يزداد أو ينقص. [ 24 ]

حالة مستقرة متوطنة

يُقال إن مرضًا مُعديًا متوطن عندما يمكن أن يستمر في مجتمع ما دون الحاجة إلى عوامل خارجية. وهذا يعني أن كل شخص مصاب، في المتوسط، ينقل العدوى إلى شخص آخر فقط (إذا زاد العدد عن ذلك، سيزداد عدد المصابين بشكل غير أُسّي وسيحدث وباء ، وإذا قلّ، سينحسر المرض). رياضيًا، هذا يعني:

 R0S =1.{\displaystyle \ R_{0}S\ =1.}

يجب أن يكون حاصل ضرب معدل التكاثر الأساسي ( R₀ ) للمرض، بافتراض أن جميع الأفراد معرضون للإصابة، في نسبة السكان المعرضين للإصابة فعليًا ( S )، مساويًا للواحد (لأن غير المعرضين للإصابة لا يُؤخذون في الحسبان في حساباتنا لعدم قدرتهم على الإصابة بالمرض). لاحظ أن هذه العلاقة تعني أنه لكي يكون المرض في حالة استقرار وبائي ، كلما ارتفع معدل التكاثر الأساسي، انخفضت نسبة السكان المعرضين للإصابة، والعكس صحيح. لهذا التعبير قيود فيما يتعلق بنسبة القابلية للإصابة، فمثلاً، إذا كان R₀ يساوي 0.5 ، فهذا يعني أن S يجب أن تكون 2، إلا أن هذه النسبة تتجاوز حجم السكان.

بافتراض توزيع عمري ثابت مستطيل الشكل، ولتكن أعمار الإصابة موزعة بنفس التوزيع لكل سنة ميلاد، ولتكن متوسط ​​عمر الإصابة A ، على سبيل المثال، عندما يكون الأفراد الأصغر من A عرضة للإصابة، والأكبر من A محصنين (أو ناقلين للعدوى). عندئذٍ، يمكن إثبات أن نسبة السكان المعرضين للإصابة تُعطى بالصيغة التالية:

S=أل.{\displaystyle S={\frac {A}{L}}.}

نؤكد مجدداً أن L هو العمر الذي يُفترض فيه أن يموت كل فرد في هذا النموذج. ولكن يمكن إعادة ترتيب التعريف الرياضي لحالة الاستقرار المتوطنة ليصبح كالتالي:

S=1R0.{\displaystyle S={\frac {1}{R_{0}}}.}

لذلك، وبسبب خاصية التعدي :

1R0=أل⇒R0=لأ.{\displaystyle {\frac {1}{R_{0}}}={\frac {A}{L}}\Rightarrow R_{0}={\frac {L}{A}}.}

يوفر هذا طريقة بسيطة لتقدير المعلمة R 0 باستخدام البيانات المتاحة بسهولة.

بالنسبة لمجموعة سكانية ذات توزيع عمري أسي ،

R0=1+لأ.{\displaystyle R_{0}=1+{\frac {L}{A}}.}

وهذا يسمح بحساب معدل التكاثر الأساسي للمرض بالنظر إلى A و L في أي نوع من أنواع التوزيع السكاني.

النماذج الحُصُرية في علم الأوبئة

تُصاغ النماذج القطاعية على شكل سلاسل ماركوف . [ 25 ] يُعد نموذج SIR نموذجًا قطاعيًا كلاسيكيًا في علم الأوبئة، ويمكن استخدامه كنموذج بسيط لنمذجة الأوبئة. كما تُستخدم أنواع أخرى متعددة من النماذج القطاعية.

نموذج SIR

مخطط نموذج SIR مع القيم الأوليةS(0)=997،أنا(0)=3،R(0)=0{\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}ومعدلات الإصابةβ=0.4{\textstyle \beta =0.4}وللتعافيγ=0.04{\textstyle \gamma =0.04}
عرض متحرك لنموذج SIR مع القيم الأوليةS(0)=997،أنا(0)=3،R(0)=0{\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}ومعدل التعافيγ=0.04{\textstyle \gamma =0.04}يُظهر الرسم المتحرك تأثير تقليل معدل العدوى منβ=0.5{\textstyle \beta =0.5}لβ=0.12{\textstyle \beta =0.12}إذا لم يكن هناك دواء أو لقاح متاح، فمن الممكن فقط تقليل معدل الإصابة (والذي يشار إليه غالبًا باسم " تسطيح المنحنى ") من خلال اتخاذ تدابير مناسبة مثل التباعد الاجتماعي.

في عام 1927، ابتكر كل من دبليو أو كيرماك وإيه جي ماكيندريك نموذجًا اعتبروا فيه مجموعة سكانية ثابتة بثلاثة أقسام فقط: المعرضون للإصابة،S(ت){\displaystyle S(t)}؛ مُصاب،أنا(ت){\displaystyle I(t)}وتعافى،R(ت){\displaystyle R(t)}تتكون الأقسام المستخدمة في هذا النموذج من ثلاث فئات: [ 26 ]

  • S(ت){\displaystyle S(t)}أو أولئك المعرضين للإصابة بمرض السكان.
  • أنا(ت){\displaystyle I(t)}يشير إلى أفراد السكان الذين أصيبوا بالمرض ولديهم القدرة على نقل المرض إلى أولئك الموجودين في الفئة المعرضة للإصابة.
  • R(ت){\displaystyle R(t)}يُستخدم هذا التصنيف للأفراد الذين أُصيبوا بالمرض ثم تعافوا منه، إما بسبب التطعيم أو الوفاة. لا يُمكن لهؤلاء الأفراد أن يُصابوا بالعدوى مرة أخرى أو أن ينقلوها إلى الآخرين.

نماذج أخرى للتقسيم

هناك العديد من التعديلات على نموذج SIR، بما في ذلك تلك التي تشمل الولادات والوفيات، حيث لا توجد مناعة عند الشفاء (نموذج SIS)، وحيث تستمر المناعة لفترة قصيرة فقط (SIRS)، وحيث توجد فترة كمون للمرض لا يكون فيها الشخص معديًا ( SEIS وSEIR )، وحيث يمكن أن يولد الأطفال الرضع بمناعة (MSIR).

ديناميات الأمراض المعدية

تحتاج النماذج الرياضية إلى دمج الكم المتزايد من البيانات التي يتم توليدها حول تفاعلات المضيف والممرض . وتتناول العديد من الدراسات النظرية لديناميكيات السكان وبنية وتطور الأمراض المعدية التي تصيب النباتات والحيوانات ، بما في ذلك البشر، هذه المشكلة. [ 27 ]

تشمل مواضيع البحث ما يلي:

رياضيات التطعيم الجماعي

إذا تجاوزت نسبة السكان المحصنين مستوى مناعة القطيع ضد المرض، فلن يتمكن المرض من الاستمرار في المجتمع، وسيتوقف انتقاله. [ 28 ] وبالتالي، يمكن القضاء على مرض ما من مجتمع ما إذا اكتسب عدد كافٍ من الأفراد مناعةً إما عن طريق التطعيم أو التعافي من التعرض السابق للمرض. على سبيل المثال، استئصال الجدري ، مع تسجيل آخر حالة إصابة برية عام 1977، وشهادة القضاء على انتقال نوعين من أنواع فيروس شلل الأطفال البري الثلاثة محليًا (النوع 2 عام 2015، بعد آخر حالة مُبلغ عنها عام 1999، والنوع 3 عام 2019، بعد آخر حالة مُبلغ عنها عام 2012). [ 29 ]

سيُرمز لمستوى مناعة القطيع بالرمز q . تذكر أنه في حالة الاستقرار:

R0⋅S=1.{\displaystyle R_{0}\cdot S=1.}

بدوره،

R0=شمالS=μشمالهـ⁡(تيل)μشمالهـ⁡[مين(تيل،تيS)]=هـ⁡(تيل)هـ⁡[مين(تيل،تيS)]،{\displaystyle R_{0}={\frac {N}{S}}={\frac {\mu N\operatorname {E} (T_{L})}{\mu N\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}}={\frac {\operatorname {E} (T_{L})}{\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}},}

وهو ما يعادل تقريبًا:

هـ⁡(تيل)هـ⁡(تيS)=1+λμ=βشمالv.{\displaystyle {\frac {\operatorname {\operatorname {E} } (T_{L})}{\operatorname {\operatorname {E} } (T_{S})}}=1+{\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {\beta N}{v}}.}
رسم بياني يوضح العلاقة بين عتبة مناعة القطيع ومعدل التكاثر الأساسي مع أمراض مختارة

ستكون قيمة S  هي (1 − q )، لأن q هي نسبة السكان الذين يتمتعون بالمناعة، ويجب أن يكون مجموع q + S مساوياً للواحد (لأن في هذا النموذج المبسط، يكون الجميع إما عرضة للإصابة أو يتمتعون بالمناعة). إذن:   

R0⋅(1-q)=1،1-q=1R0،q=1-1R0.{\displaystyle {\begin{aligned}&R_{0}\cdot (1-q)=1,\\[6pt]&1-q={\frac {1}{R_{0}}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end{aligned}}}

تذكر أن هذا هو المستوى الحرج. ولن يحدث الموت بسبب انتقال العدوى إلا إذا تجاوزت نسبة الأفراد ذوي المناعة هذا المستوى نتيجة لبرنامج تطعيم جماعي.

لقد قمنا للتو بحساب عتبة التحصين الحرجة (المشار إليها بـ q c ). وهي الحد الأدنى من نسبة السكان الذين يجب تحصينهم عند الولادة (أو قرب الولادة) حتى يختفي المرض من المجتمع.

qج=1-1R0.{\displaystyle q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.}

لأن نسبة حجم السكان النهائي p التي لا تُصاب بالعدوى مطلقًا يمكن تعريفها على النحو التالي:

ليمت→∞S(ت)=هـ-∫0∞λ(ت)دت=1-ص.{\displaystyle \lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\lambda (t)\,dt}=1-p.}

لذلك،

ص=1-هـ-∫0∞βأنا(ت)دت=1-هـ-R0ص.{\displaystyle p=1-e^{-\int _{0}^{\infty }\beta I(t)\,dt}=1-e^{-R_{0}p}.}

حل لـR0{\displaystyle R_{0}}، فنحصل على:

R0=-ln⁡(1-ص)ص.{\displaystyle R_{0}={\frac {-\ln(1-p)}{p}}.}

عندما لا يمكن أن تتجاوز التطعيمات الجماعية مناعة القطيع

إذا لم يكن اللقاح المستخدم فعالاً بالقدر الكافي أو لم يتم الوصول إلى التغطية المطلوبة، فقد يفشل البرنامج في تجاوز q c . سيحمي هذا البرنامج الأفراد الملقحين من المرض، ولكنه قد يغير ديناميكيات انتقال العدوى.

لنفترض أن نسبة من السكان q (حيث q < q c ) يتم تحصينها عند الولادة ضد عدوى ذات R 0  >  1. يغير برنامج التطعيم R 0 إلى R q حيث

Rq=R0(1-q){\displaystyle R_{q}=R_{0}(1-q)}

يحدث هذا التغيير ببساطة لأن عدد الأفراد المعرضين للإصابة في المجتمع أصبح أقل. معدل التكاثر الأساسي ( Rq ) هو ببساطة R0 مطروحًا منه عدد الأفراد الذين كانوا سيصابون بالعدوى في الظروف العادية، ولكنهم الآن غير قادرين على الإصابة لأنهم يتمتعون بمناعة.

ونتيجة لانخفاض رقم التكاثر الأساسي هذا، سيتغير متوسط ​​عمر الإصابة A أيضًا إلى قيمة جديدة A q لدى أولئك الذين لم يتم تطعيمهم.

تذكر العلاقة التي تربط R 0 و A و L. بافتراض أن متوسط ​​العمر المتوقع لم يتغير، الآن:

Rq=لأq،{\displaystyle R_{q}={\frac {L}{A_{q}}},}
أq=لRq=لR0(1-q).{\displaystyle A_{q}={\frac {L}{R_{q}}}={\frac {L}{R_{0}(1-q)}}.}

لكن R 0 = L / A لذا:

أq=ل(ل/أ)(1-q)=ألل(1-q)=أ1-q.{\displaystyle A_{q}={\frac {L}{(L/A)(1-q)}}={\frac {AL}{L(1-q)}}={\frac {A}{1-q}}.}

وبالتالي، قد يؤدي برنامج التطعيم إلى رفع متوسط ​​عمر الإصابة، وسيواجه الأفراد غير الملقحين انخفاضًا في معدل الإصابة بسبب وجود المجموعة الملقحة. بالنسبة لمرض يؤدي إلى أعراض أكثر حدة لدى كبار السن، قد يُصاب به غير الملقحين في سن متأخرة نسبيًا مقارنةً بما سيحدث في حال عدم وجود لقاح.

عندما يتجاوز التطعيم الجماعي مناعة القطيع

إذا أدى برنامج التطعيم إلى تجاوز نسبة الأفراد ذوي المناعة في مجتمع ما الحد الحرج لفترة طويلة، فسيتوقف انتقال المرض المعدي في ذلك المجتمع. وإذا حدث القضاء على المرض في كل مكان في الوقت نفسه، فقد يؤدي ذلك إلى استئصاله .

الاستبعاد
يتم تحقيق وقف انتقال الأمراض المعدية المتوطنة، والذي يحدث إذا قام كل فرد مصاب بنقل العدوى إلى أقل من فرد واحد آخر، من خلال الحفاظ على تغطية التطعيم للحفاظ على نسبة الأفراد المحصنين فوق عتبة التحصين الحرجة.
الاستئصال
القضاء على العامل المعدي في كل مكان في نفس الوقت بحيث يموت (على سبيل المثال الجدري وطاعون الماشية ).

مصداقية

تتميز النماذج بقدرتها على دراسة نتائج متعددة في آن واحد، بدلاً من الاكتفاء بتوقع واحد. وقد أظهرت النماذج درجات عالية من الموثوقية في الأوبئة السابقة، مثل السارس ، وفيروس كورونا المستجد ( SARS-CoV-2 ) ، وإنفلونزا الخنازير ، ومتلازمة الشرق الأوسط التنفسية ( MERS ) ، والإيبولا .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 دالي وغاني 1999 ، ص. 
  2. ↑ هيثكوت، هـ. و. (2000). "رياضيات الأمراض المعدية". مجلة SIAM Review . 42 (4): 599-653 . Bibcode : 2000SIAMR..42..599H . doi : 10.1137/S0036144500371907 .
  3. ↑ بلوور إس، برنولي دي (2004). "محاولة لتحليل جديد للوفيات الناجمة عن الجدري ومزايا التطعيم للوقاية منه". مراجعات في علم الفيروسات الطبية . 14 (5): 275-288 . doi : 10.1002/rmv.443 . PMID 15334536 . 
  4. ↑ فوبا، آي إم (2017). "دي. برنولي: رائد في النمذجة الوبائية (1760)". مقدمة تاريخية للنمذجة الرياضية للأمراض المعدية . الصفحات 1-20 . doi : 10.1016/B978-0-12-802260-3.00001-8 . ISBN  978-0-12-802260-3.
  5. ↑ هامر 1929 ، ص. 
  6. ↑ روس 1910 ، ص. 
  7. 1 2 براور وكاستيلو -تشافيز 2012 ، ص. 
  8. ↑ إيسينجر د، ثولكه هـ هـ (أبريل 2008). "يُسهّل تشكيل الأنماط المكانية القضاء على الأمراض المعدية" . مجلة علم البيئة التطبيقية . 45 (2): 415-423 . Bibcode : 2008JApEc..45..415E . doi : 10.1111/ j.1365-2664.2007.01439.x . PMC 2326892. PMID 18784795 .  
  9. ↑ آدم د (أبريل 2020). "تقرير خاص: المحاكاة التي تقود استجابة العالم لجائحة كوفيد-19" . مجلة نيتشر . 580 (7803): 316-318 . Bibcode : 2020Natur.580..316A . doi : 10.1038/d41586-020-01003-6 . PMID 32242115 . 
  10. ↑ سكوازوني، ف.، بولهيل، ج. ج.، إدموندز، ب.، أهرويلر، ب.، أنتوز، ب.، شولز، ج.، وآخرون . (2020). "النماذج الحاسوبية المهمة خلال تفشي جائحة عالمية: دعوة للعمل" . مجلة المجتمعات الاصطناعية والمحاكاة الاجتماعية . 23 (2). doi : 10.18564/jasss.4298 . hdl : 10037/19057 . 
  11. ↑ سريدهار د، ماجومدار إم إس (أبريل 2020). "نمذجة الجائحة" . المجلة الطبية البريطانية . 369 m1567. doi : 10.1136/bmj.m1567 . PMID 32317328 . 
  12. ↑ مازيارز م، زاك م (أكتوبر 2020). "النمذجة القائمة على العوامل للتنبؤ بوباء فيروس كورونا المستجد (SARS-CoV-2) وتقييم التدخلات: تقييم منهجي" . مجلة التقييم في الممارسة السريرية . 26 (5): 1352-1360 . doi : 10.1111/jep.13459 . PMC 7461315. PMID 32820573 .  
  13. ↑ هوبيرت أ، كاتريل ج (2013). "النمذجة الرياضية والتنبؤ في وبائيات الأمراض المعدية" . علم الأحياء الدقيقة السريرية والعدوى . 19 (11): 999-1005 . doi : 10.1111/1469-0691.12308 . PMID 24266045 . 
  14. ↑ تيمبين، هـ. (3 نوفمبر 2020). "كوفيد-19: منظور لعبة من نوع المجال المتوسط ​​قائم على البيانات" . الألعاب . 11 (4): 51. doi : 10.3390/g11040051 . hdl : 10419/257469 .
  15. ↑ ناكامورا جي إم، مونتيرو إيه سي، كاردوسو جي سي، مارتينيز إيه إس (20 يناير 2017). "طريقة فعّالة للحساب الشامل لانتشار الأوبئة على مستوى العوامل في الشبكات" . التقارير العلمية . 7 (1) 40885. arXiv : 1606.07825 . Bibcode : 2017NatSR...740885N . doi : 10.1038/srep40885 . PMC 5247741. PMID 28106086 .  
  16. ↑ ناكامورا جي إم، كاردوسو جي سي، مارتينيز إيه إس (فبراير 2020). "معادلات وبائية محسّنة قابلة للإصابة - معدية - قابلة للإصابة بناءً على حالات عدم اليقين ووظائف الارتباط الذاتي" . مجلة الجمعية الملكية للعلوم المفتوحة . 7 (2) 191504. رمز Bibcode : 2020RSOS....791504N . doi : 10.1098/rsos.191504 . PMC 7062106. PMID 32257317 .  
  17. ↑ ديتز ك (1967). "الأوبئة والشائعات: دراسة استقصائية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية. السلسلة أ (عامة) . 130 (4): 505-528 . doi : 10.2307/2982521 . JSTOR 2982521 . 
  18. ↑ ألبي جي، بيرتاجليا جي، بوشيري دبليو، ديماركو جي، باريسكي إل ، توسكاني جي، وآخرون (2022). "النمذجة الحركية لديناميكيات الأوبئة: الاتصالات الاجتماعية، والتحكم في ظل بيانات غير مؤكدة، والديناميكيات المكانية متعددة المقاييس". التنبؤ بالأوبئة في عالم مترابط عالميًا، المجلد 1. النمذجة والمحاكاة في العلوم والهندسة والتكنولوجيا. الصفحات 43-108 . doi : 10.1007/978-3-030-96562-4_3 . ISBN   978-3-030-96561-7.
  19. ↑ ماير، ب. ف.، وبروكمان، د. (2020). "الاحتواء الفعال يفسر النمو دون الأسي في حالات الإصابة المؤكدة الأخيرة بفيروس كوفيد-19 في الصين" . مجلة ساينس . 368 (6492): 742-746 . Bibcode : 2020Sci...368..742M . doi : 10.1126/science.abb4557 . PMC 7164388. PMID 32269067 .  
  20. ↑ باراباسي 2016 ، ص. 
  21. ↑ كيناه إي، روبينز جيه إم (سبتمبر 2007). "نظرة ثانية على انتشار الأوبئة على الشبكات" . مجلة Physical Review E. 76 ( 3 الجزء 2 ) 036113. arXiv : q-bio/0610057 . Bibcode : 2007PhRvE..76c6113K . doi : 10.1103/PhysRevE.76.036113 . PMC 2215389. PMID 17930312 .  
  22. ↑ باستور-ساتوراس ر، كاستيلانو س، فان ميغيم ب، فيسبيغاني أ (31 أغسطس 2015). "العمليات الوبائية في الشبكات المعقدة" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 87 (3): 925-979 . arXiv : 1408.2701 . Bibcode : 2015RvMP...87..925P . doi : 10.1103/RevModPhys.87.925 .
  23. ↑ ريزي، أ.ك.، فقيه، أ.، بادي-مُديري، أ.، كيفيلا، م. (20 أبريل 2022). "انتشار الوباء وتتبع المخالطين رقميًا: آثار الاختلاط غير المتجانس وإخفاقات الحجر الصحي" . مجلة Physical Review E. 105 ( 4) 044313. arXiv : 2103.12634 . Bibcode : 2022PhRvE.105d4313R . doi : 10.1103/PhysRevE.105.044313 . PMID 35590624 . 
  24. ↑ ميلر إي (2003). "العبء العالمي للأمراض". كتاب اللقاحات . ص 37-50 . doi : 10.1016/B978-012107258-2/50005-6 . ISBN  978-0-12-107258-2.
  25. ↑ كوزما شاليزي (15 نوفمبر 2018). "البيانات عبر المكان والزمان؛ المحاضرة 21: نماذج الحجيرات" (ملف PDF) . جامعة كارنيجي ميلون . تم الاطلاع عليه في 19 سبتمبر 2020 .
  26. ↑ كيرماك، دبليو أو، وماكيندريك، إيه جي (1991). "مساهمات في النظرية الرياضية للأوبئة - الجزء الأول: 1927" . نشرة البيولوجيا الرياضية . 53 ( 1-2 ): 33-55 . Bibcode : 1927RSPSA.115..700K . doi : 10.1007/BF02464423 . JSTOR 94815. PMID 2059741 .  
  27. ↑Brauer F (2017). "Mathematical epidemiology: Past, present, and future". Infectious Disease Modelling. 2 (2): 113–127. doi:10.1016/j.idm.2017.02.001. PMC 6001967. PMID 29928732.
  28. ↑Britton T, Ball F, Trapman P (2020). "A mathematical model reveals the influence of population heterogeneity on herd immunity to SARS-CoV-2". Science. 369 (6505): 846–849. Bibcode:2020Sci...369..846B. doi:10.1126/science.abc6810. PMC 7331793. PMID 32576668.
  29. ↑Pollard AJ, Bijker EM (2021). "A guide to vaccinology: From basic principles to new developments". Nature Reviews Immunology. 21 (2): 83–100. doi:10.1038/s41577-020-00479-7. PMC 7754704. PMID 33353987.
  30. ↑Renz A, Widerspick L, Dräger A (30 December 2020). "FBA reveals guanylate kinase as a potential target for antiviral therapies against SARS-CoV-2". Bioinformatics. 36 (Supplement_2): i813–i821. doi:10.1093/bioinformatics/btaa813. PMC 7773487. PMID 33381848.
  31. ↑Costris-Vas C, Schwartz EJ, Smith? RJ (November 2020). "Predicting COVID-19 using past pandemics as a guide: how reliable were mathematical models then, and how reliable will they be now?". Mathematical Biosciences and Engineering. 17 (6): 7502–7518. doi:10.3934/mbe.2020383 (inactive 12 July 2025). PMID 33378907.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)

Sources

  • Barabási AL (2016). Network Science. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-07626-6.
  • Brauer F, Castillo-Chavez C (2012). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Texts in Applied Mathematics. Vol. 40. doi:10.1007/978-1-4614-1686-9. ISBN 978-1-4614-1685-2.
  • دالي دي جيه، غاني جيه إم (1999). نمذجة الأوبئة: مقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-01467-0.
  • هامر، دبليو إتش (1929). علم الأوبئة، القديم والجديد . ماكميلان. hdl : 2027/mdp.39015006657475 . OCLC 609575950 . 
  • روس ر (1910). الوقاية من الملاريا . داتون. hdl : 2027/uc2.ark:/13960/t02z1ds0q . OCLC 610268760 . 

للمزيد من القراءة

برمجة
  • برنامج بناء النماذج : برنامج تفاعلي (يعتمد على واجهة المستخدم الرسومية) لبناء نماذج المعادلات التفاضلية العادية ومحاكاتها وتحليلها.
  • محاكي GLEaMviz : يُمكّن من محاكاة الأمراض المعدية الناشئة التي تنتشر في جميع أنحاء العالم.
  • STEM : إطار عمل مفتوح المصدر لنمذجة الأوبئة متاح من خلال مؤسسة Eclipse.
  • حزمة R للمراقبة : النمذجة الزمنية والمكانية الزمنية ورصد الظواهر الوبائية