النموذج الرياضي

الموسوعة الحرة

النموذج الرياضي هو وصف مجرد لنظام ملموس باستخدام المفاهيم واللغة الرياضية . وتُسمى عملية تطوير النموذج الرياضي بالنمذجة الرياضية . تُستخدم النماذج الرياضية في العديد من المجالات، بما في ذلك الرياضيات التطبيقية والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية [ 1 ] [ 2 ] والهندسة . وعلى وجه الخصوص، يدرس مجال بحوث العمليات استخدام النمذجة الرياضية والأدوات ذات الصلة لحل المشكلات في العمليات التجارية أو العسكرية . قد يساعد النموذج في توصيف النظام من خلال دراسة تأثيرات المكونات المختلفة، مما يُمكن استخدامه للتنبؤ بالسلوك أو حل مشكلات محددة.

مبادئ

تتخذ النماذج الرياضية أشكالًا عديدة، منها الأنظمة الديناميكية ، والنماذج الإحصائية ، والمعادلات التفاضلية ، ونماذج نظرية الألعاب . وقد تتداخل هذه النماذج وغيرها، إذ يتضمن النموذج الواحد مجموعة متنوعة من البنى المجردة. وفي كثير من الأحيان، تعتمد جودة أي مجال علمي على مدى توافق النماذج الرياضية المُطوَّرة نظريًا مع نتائج التجارب القابلة للتكرار. وغالبًا ما يؤدي عدم التوافق بين النماذج الرياضية النظرية والقياسات التجريبية إلى تطورات مهمة مع تطوير نظريات أفضل. في العلوم الفيزيائية ، يحتوي النموذج الرياضي التقليدي على معظم العناصر التالية:

  1. المعادلات الحاكمة
  2. نماذج فرعية تكميلية
    1. تعريف المعادلات
    2. المعادلات التكوينية
  3. الافتراضات والقيود
    1. الشروط الابتدائية والحدودية
    2. القيود الكلاسيكية والمعادلات الحركية

التصنيفات

تتنوع النماذج الرياضية في أنواعها:

الخطي مقابل غير الخطي

إذا أظهرت جميع المعاملات في نموذج رياضي خاصية الخطية ، يُعرَّف النموذج الرياضي الناتج بأنه خطي. أما النماذج الأخرى فتُعتبر غير خطية. ويعتمد تعريف الخطية واللاخطية على السياق، وقد تحتوي النماذج الخطية على تعابير غير خطية. على سبيل المثال، في نموذج إحصائي خطي ، يُفترض أن العلاقة خطية في المعاملات، ولكنها قد تكون غير خطية في المتغيرات التنبؤية. وبالمثل، يُقال إن المعادلة التفاضلية خطية إذا أمكن كتابتها باستخدام معاملات تفاضلية خطية ، ولكنها قد تحتوي على تعابير غير خطية. في نموذج البرمجة الرياضية ، إذا مُثِّلت دوال الهدف والقيود بالكامل بمعادلات خطية ، يُعتبر النموذج خطيًا. أما إذا مُثِّلت دالة هدف واحدة أو أكثر أو قيود واحدة أو أكثر بمعادلة غير خطية ، فيُعرف النموذج بأنه غير خطي.

يشير الهيكل الخطي إلى أنه يمكن تقسيم المشكلة إلى أجزاء أبسط يمكن معالجتها بشكل مستقل أو تحليلها على نطاق مختلف، وبالتالي فإن النتائج ستظل صالحة إذا تم إعادة تكوين أو تغيير حجم النموذج الأولي.

غالباً ما ترتبط اللاخطية، حتى في الأنظمة البسيطة نسبياً، بظواهر مثل الفوضى وعدم الانعكاسية . ورغم وجود استثناءات، فإن دراسة الأنظمة والنماذج اللاخطية تميل إلى أن تكون أصعب من دراسة الأنظمة والنماذج الخطية. يُعدّ التخطيط الخطي أحد الأساليب الشائعة لحلّ المشكلات اللاخطية ، لكن هذا الأسلوب قد يُشكّل إشكالية عند محاولة دراسة جوانب مثل عدم الانعكاسية، المرتبطة ارتباطاً وثيقاً باللاخطية.

ثابت مقابل ديناميكي

يأخذ النموذج الديناميكي في الاعتبار التغيرات الزمنية في حالة النظام، بينما يحسب النموذج الساكن (أو نموذج الحالة المستقرة) النظام في حالة توازن، وبالتالي فهو غير متغير مع الزمن. وعادةً ما تُمثَّل النماذج الديناميكية بمعادلات تفاضلية أو معادلات فرقية .

الصريح مقابل الضمني

إذا كانت جميع مُدخلات النموذج معروفة، ويمكن حساب مُخرجاته بسلسلة محدودة من العمليات الحسابية، يُقال إن النموذج صريح . ولكن في بعض الأحيان، تكون مُخرجات النموذج هي المعروفة فقط، ويجب إيجاد مُدخلاته المُقابلة باستخدام إجراء تكراري، مثل طريقة نيوتن أو طريقة برودن. في هذه الحالة، يُقال إن النموذج ضمني. على سبيل المثال ، يمكن حساب الخصائص الفيزيائية لمحرك نفاث، مثل مساحة التوربين ومساحة عنق الفوهة، بشكل صريح بمعرفة دورة الديناميكا الحرارية التصميمية (معدلات تدفق الهواء والوقود، والضغوط، ودرجات الحرارة) عند ظروف طيران مُحددة وإعدادات طاقة مُعينة، ولكن لا يمكن حساب دورات تشغيل المحرك بشكل صريح عند ظروف طيران وإعدادات طاقة أخرى انطلاقًا من الخصائص الفيزيائية الثابتة.

منفصل مقابل متصل

يعامل النموذج المنفصل الأشياء على أنها منفصلة، ​​مثل الجسيمات في النموذج الجزيئي أو الحالات في النموذج الإحصائي ؛ بينما يمثل النموذج المستمر الأشياء بطريقة مستمرة، مثل مجال سرعة السائل في تدفقات الأنابيب، ودرجات الحرارة والإجهادات في مادة صلبة، والمجال الكهربائي الذي ينطبق بشكل مستمر على النموذج بأكمله بسبب شحنة نقطية.

الحتمية مقابل الاحتمالية (العشوائية)

النموذج الحتمي هو نموذج تُحدد فيه كل مجموعة من حالات المتغيرات بشكل فريد بواسطة معلمات النموذج ومجموعات الحالات السابقة لهذه المتغيرات؛ ولذلك، يتصرف النموذج الحتمي دائمًا بنفس الطريقة لمجموعة معينة من الشروط الابتدائية. في المقابل، في النموذج العشوائي - والذي يُسمى عادةً " النموذج الإحصائي " - توجد العشوائية، ولا تُوصف حالات المتغيرات بقيم فريدة، بل بتوزيعات احتمالية .

استنتاجي، استقرائي، أو عائم

أالنموذج الاستنتاجي هو بنية منطقية قائمة على نظرية. أما النموذج الاستقرائي فينشأ من نتائج تجريبية وتعميمات مستمدة منها. وإذا لم يستند النموذج إلى نظرية أو ملاحظة، فيمكن وصفه بأنه نموذج "عائم". وقد وُجهت انتقادات لتطبيق الرياضيات في العلوم الاجتماعية خارج نطاق الاقتصاد بسبب نماذجها غير المؤسسة. [ 3 ] كما وُصفتطبيق نظرية الكوارث في العلوم بأنه نموذج عائم. [ 4 ]

الاستراتيجي مقابل غير الاستراتيجي

تتميز النماذج المستخدمة في نظرية الألعاب بكونها تُحاكي فاعلين ذوي حوافز غير متوافقة، مثل الأنواع المتنافسة أو المزايدين في مزاد. تفترض النماذج الاستراتيجية أن اللاعبين صانعو قرارات مستقلون يختارون بعقلانية الإجراءات التي تُعظم دالة هدفهم. يتمثل أحد التحديات الرئيسية لاستخدام النماذج الاستراتيجية في تعريف وحساب مفاهيم الحلول ، مثل توازن ناش . ومن الخصائص المهمة للنماذج الاستراتيجية أنها تفصل بين التفكير في قواعد اللعبة والتفكير في سلوك اللاعبين. [ 5 ]

بناء

في مجالي الأعمال والهندسة ، تُستخدم النماذج الرياضية لتحقيق أقصى قدر من المخرجات. يتطلب النظام قيد الدراسة مدخلات محددة. ويعتمد النظام الذي يربط المدخلات بالمخرجات على متغيرات أخرى أيضًا: متغيرات القرار ، ومتغيرات الحالة ، والمتغيرات الخارجية ، والمتغيرات العشوائية . تُعرف متغيرات القرار أحيانًا بالمتغيرات المستقلة، بينما تُعرف المتغيرات الخارجية أحيانًا بالمعاملات أو الثوابت . لا تُعد هذه المتغيرات مستقلة عن بعضها البعض، إذ تعتمد متغيرات الحالة على متغيرات القرار، والمدخلات، والمتغيرات العشوائية، والمتغيرات الخارجية. علاوة على ذلك، تعتمد متغيرات المخرجات على حالة النظام (الممثلة بمتغيرات الحالة).

يمكن تمثيل أهداف النظام وقيوده ، بالإضافة إلى قيود مستخدميه، كدوال لمتغيرات المخرجات أو متغيرات الحالة. وتعتمد دوال الهدف على منظور مستخدم النموذج. وتبعًا للسياق، تُعرف دالة الهدف أيضًا بمؤشر الأداء ، لأنها تمثل مقياسًا يهم المستخدم. ورغم عدم وجود حد أقصى لعدد دوال الهدف والقيود التي يمكن أن يتضمنها النموذج، إلا أن استخدام النموذج أو تحسينه يصبح أكثر تعقيدًا (من الناحية الحسابية) مع ازدياد هذا العدد. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما يستخدم الاقتصاديون الجبر الخطي عند استخدام نماذج المدخلات والمخرجات . ويمكن تبسيط النماذج الرياضية المعقدة التي تحتوي على العديد من المتغيرات باستخدام المتجهات، حيث يمثل كل رمز عدة متغيرات.

معلومات مسبقة

لتحليل شيء ما باستخدام "نهج الصندوق الأسود" التقليدي، يُؤخذ سلوك المحفز/الاستجابة فقط في الاعتبار، لاستنتاج الصندوق (المجهول) . التمثيل المعتاد لهذا النظام ذي الصندوق الأسود هو مخطط تدفق البيانات الذي يتمركز حول الصندوق.

تُصنَّف مسائل النمذجة الرياضية عادةً إلى نماذج الصندوق الأسود ونماذج الصندوق الأبيض ، وذلك بحسب كمية المعلومات المسبقة المتاحة عن النظام. نموذج الصندوق الأسود هو نظام لا تتوفر عنه أي معلومات مسبقة. أما نموذج الصندوق الأبيض (ويُسمى أيضًا الصندوق الزجاجي أو الصندوق الشفاف) فهو نظام تتوفر فيه جميع المعلومات الضرورية. عمليًا، تقع جميع الأنظمة في مكان ما بين نموذجي الصندوق الأسود والأبيض، لذا فإن هذا المفهوم مفيد فقط كدليل بديهي لتحديد النهج الأمثل.

عادةً، يُفضّل استخدام أكبر قدر ممكن من المعلومات المسبقة لتحسين دقة النموذج. ولذلك، تُعتبر نماذج الصندوق الأبيض أسهل في الغالب، لأنه إذا استُخدمت المعلومات بشكل صحيح، فسيعمل النموذج بشكل صحيح. غالبًا ما تأتي المعلومات المسبقة على شكل معرفة نوع الدوال التي تربط المتغيرات المختلفة. على سبيل المثال، إذا أنشأنا نموذجًا لكيفية عمل دواء ما في جسم الإنسان، فإننا نعلم أن كمية الدواء في الدم عادةً ما تكون دالة تتناقص أُسّيًا ، ولكن لا تزال لدينا عدة معايير مجهولة؛ ما مدى سرعة تناقص كمية الدواء، وما هي الكمية الأولية للدواء في الدم؟ لذلك، لا يُعد هذا المثال نموذج صندوق أبيض بالكامل. يجب تقدير هذه المعايير بطريقة ما قبل استخدام النموذج.

في نماذج الصندوق الأسود، يُسعى إلى تقدير كلٍّ من الشكل الوظيفي للعلاقات بين المتغيرات والمعاملات العددية في تلك الدوال. باستخدام معلومات مسبقة، قد نصل، على سبيل المثال، إلى مجموعة من الدوال التي يُحتمل أن تصف النظام بشكلٍ كافٍ. في حال عدم توفر معلومات مسبقة، نسعى إلى استخدام دوال عامة قدر الإمكان لتغطية جميع النماذج المختلفة. من الأساليب الشائعة في نماذج الصندوق الأسود الشبكات العصبية ، التي لا تفترض عادةً أي افتراضات حول البيانات الواردة. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام خوارزميات NARMAX (نموذج المتوسط ​​المتحرك التلقائي غير الخطي مع مدخلات خارجية)، التي طُوِّرت كجزء من تحديد الأنظمة غير الخطية [ 6 ] ، لاختيار حدود النموذج، وتحديد بنيته، وتقدير المعاملات المجهولة في وجود ضوضاء مترابطة وغير خطية. تتمثل ميزة نماذج NARMAX مقارنةً بالشبكات العصبية في أن NARMAX تُنتج نماذج يمكن كتابتها وربطها بالعملية الأساسية، بينما تُنتج الشبكات العصبية تقريبًا غير واضح.

معلومات ذاتية

أحيانًا يكون من المفيد دمج المعلومات الذاتية في النموذج الرياضي. يمكن القيام بذلك بناءً على الحدس أو الخبرة أو رأي الخبراء ، أو بناءً على سهولة الصيغة الرياضية. يوفر الإحصاء البايزي إطارًا نظريًا لدمج هذه الذاتية في تحليل دقيق: نحدد توزيعًا احتماليًا مسبقًا (قد يكون ذاتيًا)، ثم نُحدِّث هذا التوزيع بناءً على البيانات التجريبية.

من الأمثلة على الحالات التي تستدعي هذا النهج، قيام الباحث بثني قطعة نقدية قليلاً ورميها مرة واحدة، وتسجيل ما إذا كانت النتيجة صورة أم لا، ثم تكليفه بتوقع احتمال ظهور الصورة في الرمية التالية. بعد ثني القطعة النقدية، يبقى الاحتمال الحقيقي لظهور الصورة غير معروف؛ لذا سيحتاج الباحث إلى اتخاذ قرار (ربما بالنظر إلى شكل القطعة) بشأن التوزيع الاحتمالي المسبق الذي سيستخدمه. قد يكون دمج هذه المعلومات الذاتية مهمًا للحصول على تقدير دقيق للاحتمال.

تعقيد

بشكل عام، ينطوي تعقيد النموذج على مفاضلة بين بساطته ودقته. يُعدّ مبدأ أوكام ذا صلة وثيقة بالنمذجة، إذ تنص فكرته الأساسية على أنه من بين النماذج ذات القدرة التنبؤية المتساوية تقريبًا، يكون النموذج الأبسط هو الأفضل. في حين أن زيادة التعقيد عادةً ما تُحسّن واقعية النموذج، إلا أنها قد تجعل فهمه وتحليله صعبًا، وقد تُسبب أيضًا مشاكل حسابية، بما في ذلك عدم الاستقرار العددي . يرى توماس كون أنه مع تقدّم العلم، تميل التفسيرات إلى أن تصبح أكثر تعقيدًا قبل أن يُقدّم تحوّل نموذجي تبسيطًا جذريًا. [ 7 ]

For example, when modeling the flight of an aircraft, we could embed each mechanical part of the aircraft into our model and would thus acquire an almost white-box model of the system. However, the computational cost of adding such a huge amount of detail would effectively inhibit the usage of such a model. Additionally, the uncertainty would increase due to an overly complex system, because each separate part induces some amount of variance into the model. It is therefore usually appropriate to make some approximations to reduce the model to a sensible size. Engineers often can accept some approximations in order to get a more robust and simple model. For example, Newton'sclassical mechanics is an approximated model of the real world. Still, Newton's model is quite sufficient for most ordinary-life situations, that is, as long as particle speeds are well below the speed of light, and we study macro-particles only. Note that better accuracy does not necessarily mean a better model. Statistical models are prone to overfitting which means that a model is fitted to data too much and it has lost its ability to generalize to new events that were not observed before.

Training, tuning, and fitting

Any model which is not pure white-box contains some parameters that can be used to fit the model to the system it is intended to describe. If the modeling is done by an artificial neural network or other machine learning, the optimization of parameters is called training, while the optimization of model hyperparameters is called tuning and often uses cross-validation.[8] In more conventional modeling through explicitly given mathematical functions, parameters are often determined by curve fitting.

Evaluation and assessment

A crucial part of the modeling process is the evaluation of whether or not a given mathematical model describes a system accurately. This question can be difficult to answer as it involves several different types of evaluation.

Prediction of empirical data

Usually, the easiest part of model evaluation is checking whether a model predicts experimental measurements or other empirical data not used in the model development. In models with parameters, a common approach is to split the data into two disjoint subsets: training data and verification data. The training data are used to estimate the model parameters. An accurate model will closely match the verification data even though these data were not used to set the model's parameters. This practice is referred to as cross-validation in statistics.

يُعدّ تحديد مقياس لقياس المسافات بين البيانات المرصودة والمتوقعة أداةً مفيدةً لتقييم مدى ملاءمة النموذج. وفي الإحصاء ونظرية القرار وبعض النماذج الاقتصادية ، تؤدي دالة الخسارة دورًا مشابهًا. وبينما يُعدّ اختبار ملاءمة المعلمات أمرًا بسيطًا نسبيًا، قد يكون اختبار صحة الشكل الرياضي العام للنموذج أكثر صعوبة. وبشكل عام، طُوّرت أدوات رياضية أكثر لاختبار مدى ملاءمة النماذج الإحصائية مقارنةً بالنماذج التي تتضمن معادلات تفاضلية . ويمكن أحيانًا استخدام أدوات من الإحصاءات اللامعلمية لتقييم مدى ملاءمة البيانات لتوزيع معروف أو للتوصل إلى نموذج عام لا يفترض سوى الحد الأدنى من الافتراضات حول الشكل الرياضي للنموذج.

نطاق النموذج

قد يكون تقييم نطاق النموذج، أي تحديد الحالات التي ينطبق عليها، أقل وضوحًا. فإذا بُني النموذج استنادًا إلى مجموعة بيانات، يجب تحديد الأنظمة أو الحالات التي تُعتبر فيها البيانات المعروفة مجموعة بيانات "نموذجية". يُطلق على مسألة ما إذا كان النموذج يصف خصائص النظام بدقة بين نقاط البيانات اسم الاستيفاء ، بينما يُطلق على المسألة نفسها بالنسبة للأحداث أو نقاط البيانات خارج نطاق البيانات المرصودة اسم الاستقراء .

كمثال على القيود النموذجية لنطاق أي نموذج، عند تقييم الميكانيكا الكلاسيكية النيوتونية ، نلاحظ أن نيوتن أجرى قياساته دون معدات متطورة، لذا لم يتمكن من قياس خصائص الجسيمات التي تتحرك بسرعات تقارب سرعة الضوء. كذلك، لم يقس حركات الجزيئات والجسيمات الصغيرة الأخرى، بل الجسيمات الكبيرة فقط. لذلك، ليس من المستغرب أن نموذجه لا ينطبق جيدًا على هذه المجالات، على الرغم من أن نموذجه كافٍ تمامًا لفيزياء الحياة اليومية.

اعتبارات فلسفية

تتضمن العديد من أنواع النمذجة ضمنيًا ادعاءات حول السببية . وينطبق هذا عادةً (ولكن ليس دائمًا) على النماذج التي تتضمن معادلات تفاضلية. ولأن الغرض من النمذجة هو تعزيز فهمنا للعالم، فإن صحة النموذج لا تعتمد فقط على مدى تطابقه مع الملاحظات التجريبية، بل أيضًا على قدرته على الاستقراء إلى حالات أو بيانات تتجاوز تلك الموصوفة في النموذج أصلاً. ويمكن اعتبار هذا بمثابة التمييز بين التنبؤات النوعية والكمية. كما يمكن القول إن النموذج عديم الفائدة ما لم يقدم رؤية تتجاوز ما هو معروف بالفعل من خلال البحث المباشر في الظاهرة قيد الدراسة.

من أمثلة هذا النقد الادعاء بأن النماذج الرياضية لنظرية البحث الأمثل عن الغذاء لا تقدم رؤى تتجاوز الاستنتاجات البديهية للتطور وغيرها من المبادئ الأساسية لعلم البيئة. [ 9 ] تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه على الرغم من أن النمذجة الرياضية تستخدم مفاهيم ومصطلحات رياضية، إلا أنها ليست فرعًا من فروع الرياضيات بحد ذاتها، ولا تخضع بالضرورة لأي منطق رياضي، بل هي عادةً فرع من فروع العلوم أو التخصصات التقنية الأخرى، ولها مفاهيمها ومعاييرها الاستدلالية الخاصة. [ 10 ]

الأهمية في العلوم الطبيعية

تُعدّ النماذج الرياضية ذات أهمية بالغة في العلوم الطبيعية، ولا سيما في الفيزياء . فالنظريات الفيزيائية تُعبّر عنها في أغلب الأحيان باستخدام النماذج الرياضية. وعلى مرّ التاريخ، تمّ تطوير نماذج رياضية أكثر دقة. تصف قوانين نيوتن بدقة العديد من الظواهر اليومية، ولكن في بعض الحالات، يصبح من الضروري استخدام نظرية النسبية وميكانيكا الكم .

من الشائع في الفيزياء استخدام نماذج مثالية لتبسيط الأمور. ومن بين هذه النماذج: الحبال عديمة الكتلة، والجسيمات النقطية، والغازات المثالية ، والجسيم في صندوق . تُمثَّل قوانين الفيزياء بمعادلات بسيطة كقوانين نيوتن، ومعادلات ماكسويل، ومعادلة شرودنغر . تُشكّل هذه القوانين أساسًا لبناء نماذج رياضية للمواقف الواقعية. ولأن العديد من المواقف الواقعية معقدة للغاية، يتم نمذجتها تقريبًا على الحاسوب، حيث يُبنى نموذج قابل للحساب من القوانين الأساسية أو من نماذج تقريبية مبنية عليها. على سبيل المثال، يمكن نمذجة الجزيئات بنماذج المدارات الجزيئية التي تُعدّ حلولًا تقريبية لمعادلة شرودنغر. أما في الهندسة ، فتُبنى نماذج الفيزياء غالبًا باستخدام أساليب رياضية كتحليل العناصر المحدودة .

تستخدم النماذج الرياضية المختلفة هندساتٍ متباينة لا تُعدّ بالضرورة وصفًا دقيقًا لهندسة الكون. تُستخدم الهندسة الإقليدية بكثرة في الفيزياء الكلاسيكية، بينما تُعدّ النسبية الخاصة والنسبية العامة مثالين على نظريات تستخدم هندساتٍ غير إقليدية. [ 11 ]

النماذج الحسابية هي نماذج رياضية تستخدم في عمليات المحاكاة الحاسوبية للأنظمة الفيزيائية. [ 12 ]

بعض التطبيقات

غالباً ما يستخدم المهندسون نموذجاً رياضياً عند تحليل نظامٍ ما للتحكم فيه أو تحسين أدائه. ففي التحليل، يستطيع المهندسون بناء نموذج وصفي للنظام كفرضية لكيفية عمله، أو محاولة تقدير تأثير حدث غير متوقع عليه. وبالمثل، في عملية التحكم بالنظام، يمكن للمهندسين تجربة أساليب تحكم مختلفة من خلال المحاكاة .

يصف النموذج الرياضي عادةً نظامًا ما بمجموعة من المتغيرات ومجموعة من المعادلات التي تحدد العلاقات بين هذه المتغيرات. قد تكون المتغيرات من أنواع عديدة؛ كالأعداد الحقيقية أو الصحيحة ، أو القيم المنطقية ، أو السلاسل النصية ، على سبيل المثال. تمثل هذه المتغيرات بعض خصائص النظام، مثل مخرجات النظام المقاسة التي غالبًا ما تكون على شكل إشارات ، أو بيانات توقيت ، أو عدادات، أو أحداث. أما النموذج الفعلي فهو مجموعة الدوال التي تصف العلاقات بين المتغيرات المختلفة.

أمثلة

  • من الأمثلة الشائعة في علوم الحاسوب النماذج الرياضية للآلات المختلفة، ومنها الأوتوماتون الحتمي المحدود (DFA)، الذي يُعرَّف بأنه مفهوم رياضي مجرد، ولكن نظرًا لطبيعته الحتمية، يُمكن تنفيذه في الأجهزة والبرامج لحل مسائل محددة متنوعة. على سبيل المثال، فيما يلي نموذج DFA M بأبجدية ثنائية، يتطلب أن يحتوي المدخل على عدد زوجي من الأصفار:
مخطط الحالة لـم{\displaystyle M}
م=(سؤال،Σ،دلتا،q0،F){\displaystyle M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)}أين
0
1
S 1S2{\displaystyle S_{2}}S1{\displaystyle S_{1}}
S 2S1{\displaystyle S_{1}}S2{\displaystyle S_{2}}
الدولةS1{\displaystyle S_{1}}يمثل هذا أن عدد الأصفار في المدخلات حتى الآن كان زوجيًا، بينماS2{\displaystyle S_{2}}يشير إلى عدد فردي. لا يؤثر الرقم 1 في المدخلات على حالة الآلة. عند انتهاء المدخلات، ستُظهر الحالة ما إذا كانت المدخلات تحتوي على عدد زوجي من الأصفار أم لا. إذا كانت المدخلات تحتوي على عدد زوجي من الأصفار،م{\displaystyle M}سينتهي الأمر في الولايةS1،{\displaystyle S_{1},}حالة قبول، لذلك سيتم قبول سلسلة الإدخال.
اللغة المعترف بها من قبلم{\displaystyle M}اللغة المنتظمة المعطاة بالتعبير المنتظم 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*، حيث "*" هي نجمة كلين ، على سبيل المثال، 1* تشير إلى أي عدد غير سالب (ربما صفر) من الرموز "1".
  • تعتمد العديد من الأنشطة اليومية التي تُمارس دون تفكير على النماذج الرياضية. ويُعدّ إسقاط خريطة جغرافية لمنطقة من الأرض على سطح مستوٍ صغير نموذجًا يُمكن استخدامه لأغراض عديدة، مثل تخطيط السفر. [ 13 ]
  • من الأنشطة البسيطة الأخرى التنبؤ بموقع مركبة انطلاقًا من موقعها الابتدائي واتجاهها وسرعتها، باستخدام المعادلة التي تنص على أن المسافة المقطوعة هي حاصل ضرب الزمن في السرعة. يُعرف هذا الأسلوب بالملاحة التقديرية عند استخدامه بشكل أكثر رسمية. لا يتطلب النمذجة الرياضية بهذه الطريقة بالضرورة معرفة الرياضيات الرسمية؛ فقد ثبت أن الحيوانات تستخدم الملاحة التقديرية. [ 14 ] [ 15 ]
  • النمو السكاني . يُعد نموذج مالتوس نموذجًا بسيطًا (وإن كان تقريبيًا) للنمو السكاني . أما نموذج الدالة اللوجستية ، وامتداداته،فهو نموذج أكثر واقعية ويُستخدم على نطاق واسع
  • نموذج جسيم في مجال جهد . في هذا النموذج، نعتبر الجسيم نقطة كتلة تصف مسارًا في الفضاء، يُنمذج بدالة تُعطي إحداثياتها في الفضاء كدالة للزمن. ويُعطى مجال الجهد بدالة.V:R3→R{\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} }والمسار، أي دالةر:R→R3،{\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},}هو حل المعادلة التفاضلية:-د2ر(ت)دت2م=∂V[ر(ت)]∂xx^+∂V[ر(ت)]∂yy^+∂V[ر(ت)]∂zz^،{\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التاليمد2ر(ت)دت2=-∇V[ر(ت)].{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].}
لاحظ أن هذا النموذج يفترض أن الجسيم عبارة عن كتلة نقطية، وهو أمر معروف بالتأكيد بأنه خاطئ في العديد من الحالات التي نستخدم فيها هذا النموذج؛ على سبيل المثال، كنموذج لحركة الكواكب.
  • نموذج للسلوك العقلاني للمستهلك . في هذا النموذج، نفترض أن المستهلك يواجه خيارًا منن{\displaystyle n}السلع المصنفة1،2،...،ن{\displaystyle 1,2,\dots ,n}كل منها بسعر السوقص1،ص2،...،صن.{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.}يُفترض أن يكون لدى المستهلك دالة منفعة ترتيبيةيو{\displaystyle U}(ترتيبي بمعنى أن إشارة الفروق بين منفعتين فقط، وليس مستوى كل منفعة، هي ذات معنى)، اعتمادًا على كميات السلعx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}يستهلك. ويفترض النموذج كذلك أن المستهلك لديه ميزانيةم{\displaystyle M}والذي يُستخدم لشراء متجهx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}بطريقة تضمن تحقيق أقصى قدر منيو(x1،x2،...،xن).{\displaystyle U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).} تصبح مشكلة السلوك العقلاني في هذا النموذج مشكلة تحسين رياضي ، أي:الأعلىيو(x1،x2،...،xن){\displaystyle \max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}رهناً بما يلي:∑أنا=1نصأناxأنا≤م،{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M,}xأنا≥0 للجميع أنا=1،2،...،ن.{\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ for all }}i=1,2,\dots ,n.}وقد تم استخدام هذا النموذج في مجموعة متنوعة من السياقات الاقتصادية، مثل نظرية التوازن العام لإظهار وجود وكفاءة باريتو للتوازنات الاقتصادية.
  • نموذج استشعار الجوار هو نموذج يفسر تكوين الفطر من الشبكة الفطرية الفوضوية في البداية .
  • في علوم الحاسوب ، يمكن استخدام النماذج الرياضية لمحاكاة شبكات الحاسوب.
  • في علم الميكانيكا ، يمكن استخدام النماذج الرياضية لتحليل حركة نموذج صاروخي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سالتيلي، أندريا؛ وآخرون  . (يونيو 2020). "خمس طرق لضمان خدمة النماذج للمجتمع: بيان" . مجلة نيتشر . 582 (7813): 482-484 . Bibcode : 2020Natur.582..482S . doi : 10.1038/d41586-020-01812-9 . hdl : 1885/219031 . PMID 32581374 . 
  2. ↑ كورناي، أندراس (2008). اللغويات الرياضية . معالجة المعلومات والمعرفة المتقدمة. لندن: سبرينغر. ISBN 978-1-84628-985-9.
  3. ↑ أندرسكي، ستانيسلاف (1972). العلوم الاجتماعية كسحر . مطبعة سانت مارتن . ISBN 0-14-021816-5.
  4. ↑ تروسديل، كليفورد (1984). مقالات هارب أحمق عن العلم . سبرينغر. ص 121-127 . ISBN  3-540-90703-3.
  5. ↑ لي، سي.، شينغ، واي.، هي، إف.، وتشنغ، دي. (2018). خوارزمية تعلم استراتيجية للألعاب القائمة على الحالة. ArXiv.
  6. ↑ Billings SA (2013), Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatatio-Temporal Domains , Wiley.
  7. ↑ "توماس كون" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . 13 أغسطس 2004. تم الاطلاع عليه في 15 يناير 2019 .
  8. ↑ ثورنتون، كريس. "محاضرة في التعلم الآلي" . تم الاطلاع عليه في 6 فبراير 2019 .
  9. ↑ بايك، جي إتش (1984). "نظرية البحث الأمثل عن الغذاء: مراجعة نقدية". المراجعة السنوية لعلم البيئة والتصنيف . 15 (1): 523-575 . رمز Bibcode : 1984AnRES..15..523P . doi : 10.1146/annurev.es.15.110184.002515 .
  10. ↑ إدواردز، ديلوين؛ هامسون، مايك (2007). دليل النمذجة الرياضية ( الطبعة الثانية). نيويورك: دار النشر الصناعية. رقم ISBN  978-0-8311-3337-5.
  11. ↑ "فيزياء 225أ: النسبية العامة" (ملف PDF) . جامعة كاليفورنيا، سان دييغو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يونيو 2026 .
  12. ↑ "النمذجة الحاسوبية" . المعهد الوطني للتصوير الطبي الحيوي والهندسة الحيوية . مايو 2020. تم الاطلاع عليه في 27 يونيو 2023 .
  13. ↑ "تعريفات مصطلحات نظم المعلومات الجغرافية MP" . LAND INFO Worldwide Mapping . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2020 .
  14. ↑ جاليستيل (1990). تنظيم التعلم . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 0-262-07113-4.
  15. ↑ ويشاو، آي كيو؛ هاينز، دي جيه؛ والاس، دي جي (2001). "يتطلب التقدير المكاني (تكامل المسار) التكوين الحصيني: أدلة من الاستكشاف التلقائي ومهام التعلم المكاني في اختبارات الضوء (الخارجي) والظلام (الداخلي)". أبحاث الدماغ السلوكية . 127 ( 1-2 ): 49-69 . doi : 10.1016 / S0166-4328(01)00359-X . PMID 11718884. S2CID 7897256 .  

للمزيد من القراءة

الكتب

  • أريس، روثرفورد [1978] (1994). تقنيات النمذجة الرياضية ، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-68131-9
  • بيندر، إي. أ. [1978] (2000). مقدمة في النمذجة الرياضية ، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-41180-X
  • غاري شارتراند (1977) الرسوم البيانية كنماذج رياضية ، بريندل، ويبر وشميدت، رقم ISBN 0871502364
  • دوبوا، ج. (2018) "النمذجة والمحاكاة" ، تايلور وفرانسيس، مطبعة سي آر سي.
  • غيرشنفيلد، ن. (1998) طبيعة النمذجة الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-57095-6.
  • لين، سي سي وسيجل، إل إيه (1988). الرياضيات التطبيقية على المسائل الحتمية في العلوم الطبيعية ، فيلادلفيا: سيام. ISBN 0-89871-229-7
  • النماذج كوسائط: وجهات نظر حول العلوم الطبيعية والاجتماعية، حررتها ماري إس. مورغان ومارجريت موريسون، 1999. [ 1 ]
  • ماري إس. مورغان، العالم في النموذج: كيف يعمل الاقتصاديون ويفكرون ، 2012. [ 2 ]

تطبيقات محددة

مرجع عام

فلسفي

  1. ↑ مورغان إم إس، موريسون إم، محرران. (28 نوفمبر 1999). النماذج كوسيط: منظورات في العلوم الطبيعية والاجتماعية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-65097-7.
  2. ↑ مورغان، إم إس (17 سبتمبر 2012). العالم في النموذج: كيف يعمل الاقتصاديون ويفكرون . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-107-00297-5.