الفئة العادية

في نظرية الفئات ، تُعرَّف الفئة المنتظمة بأنها فئة ذات حدود محدودة ومتساويات مشتركة لجميع أزواج التشكلات تُسمى أزواج النواة ، والتي تُحقق شروطًا محددة للدقة . وبهذا، تستعيد الفئات المنتظمة العديد من خصائص الفئات الأبيلية ، مثل وجود الصور ، دون اشتراط الجمعية. وفي الوقت نفسه، تُوفر الفئات المنتظمة أساسًا لدراسة جزء من منطق الرتبة الأولى ، يُعرف بالمنطق المنتظم.

تُسمى الفئة C منتظمة إذا كانت تحقق الخصائص الثلاث التالية: ^{[ 1 ]}

• C كاملة نهائياً .
• إذا كان f :  X → Y تشاكلاً في C ، و   

إذا كانت _{الدالة f} سحبًا عكسيًا ، فإنّ المُساوي المشترك بين p0 _و p1 موجود. يُسمى الزوج ( p0 , p1 ) زوج النواة للدالة f . ولأنها سحب عكسي ، _فإنّ زوج النواة يكون وحيدًا حتى تماثل وحيد . 

• إذا كان f  : X → Y تشاكلاً في C ، و   

هو سحب للخلف، وإذا كان f عبارة عن تحويل شامل منتظم ، فإن g هو تحويل شامل منتظم أيضًا.

تشمل أمثلة الفئات العادية ما يلي:

• المجموعة ، فئة المجموعات والدوال الموجودة بين المجموعات
• وبشكل أعم، كل طوبوغرافيا ابتدائية
• Grp ، فئة المجموعات وتشاكلات المجموعات
• فئة الحلقات وتشاكلات الحلقات
• وبشكل أعم، فئة النماذج من أي نوع
• كل شبكة تقاطع محدودة ، مع تشاكلات معطاة بعلاقة الترتيب
• كل فئة أبيلية

الفئات التالية غير منتظمة:

• Top ، فئة الفضاءات الطوبولوجية والدوال المتصلة
• القط ، فئة الفئات الصغيرة والدوال

في فئة منتظمة، تُشكّل التشاكلات الفوقية المنتظمة والتشاكلات الأحادية نظام تحليل . يمكن تحليل كل تشاكل f:X→Y إلى تشاكل فوقي منتظم e:X→E متبوعًا بتشاكل أحادي m:E→Y ، بحيث يكون f=me . هذا التحليل فريد بمعنى أنه إذا كان e':X→E' تشاكلًا فوقيًا منتظمًا آخر، و m ' :E'→Y تشاكلًا أحاديًا آخر بحيث يكون f=m'e' ، فإنه يوجد تشاكل h:E→E' بحيث يكون he=e' و m'h=m . يُسمى التشاكل الأحادي m صورة f .

في فئة منتظمة، رسم تخطيطي على شكل${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$يُقال إنها متتالية تامة إذا كانت مُساوية مشتركة وزوج نواة. هذا المصطلح هو تعميم للمتتاليات التامة في الجبر التماثلي : في فئة أبيلية ، مخطط

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

يكون دقيقاً بهذا المعنى إذا وفقط إذا${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$هي متتالية قصيرة ودقيقة بالمعنى المعتاد.

يُطلق على الدالة بين الفئات المنتظمة اسم دالة منتظمة إذا حافظت على النهايات المحدودة ومتساويات أزواج النوى. وتكون الدالة منتظمة إذا وفقط إذا حافظت على النهايات المحدودة والمتتابعات التامة. ولهذا السبب، تُسمى الدوال المنتظمة أحيانًا بالدوال التامة . أما الدوال التي تحافظ على النهايات المحدودة، فيُقال عنها غالبًا بالدوال التامة من اليسار .

المنطق المنتظم هو جزء من منطق الرتبة الأولى الذي يمكنه التعبير عن عبارات من الشكل التالي:

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$،

أين${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi }$هي صيغ منتظمة ، أي صيغ مبنية من صيغ ذرية ، وثابت الصدق، والاقتران الثنائي ، والتكميم الوجودي . يمكن تفسير هذه الصيغ ضمن فئة منتظمة، والتفسير هو نموذج لتسلسل .${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$، إذا كان تفسير${\displaystyle \phi }$العوامل من خلال تفسير${\displaystyle \psi }$[ ^{2 ]} يُعطي هذا لكل نظرية (مجموعة من المتتاليات) ^T ولكل فئة منتظمة C فئة Mod ( T , C) لنماذج T في C. يُعطي هذا البناء دالة Mod ( T , -): RegCat → Cat من فئة RegCat للفئات المنتظمة الصغيرة والدوال المنتظمة إلى الفئات الصغيرة. من النتائج المهمة أنه لكل نظرية T توجد فئة منتظمة R(T) ، بحيث يكون لكل فئة منتظمة C تكافؤ

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T,C)}$،

وهو أمر طبيعي في C. هنا، يُطلق على R(T) اسم فئة التصنيف للنظرية المنتظمة T. وبشرط التكافؤ، تنشأ أي فئة منتظمة صغيرة بهذه الطريقة كفئة تصنيف لنظرية منتظمة ما. ^{[ 2 ]}

نظرية علاقات التكافؤ هي نظرية منتظمة. علاقة التكافؤ على كائن ما${\displaystyle X}$إن أحد أنواع الفئات المنتظمة هو شكل أحادي إلى${\displaystyle X\times X}$التي تفي بتفسيرات شروط الانعكاسية والتناظر والتعدي.

كل زوج من النوى${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$يُعرّف علاقة التكافؤ${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$وعلى النقيض، يُقال إن علاقة التكافؤ فعّالة إذا نشأت كزوج نواة. ^{[ 3 ]} وتكون علاقة التكافؤ فعّالة إذا وفقط إذا كان لها مُساوٍ مشترك، وكان هو زوج النواة الخاص بها.

يُقال عن الفئة المنتظمة أنها تامة ، أو تامة بمعنى بار ، أو منتظمة فعّالة ، إذا كانت كل علاقة تكافؤ فعّالة. ^{[ 4 ]} (لاحظ أن مصطلح "الفئة التامة" يُستخدم أيضًا بشكل مختلف، للدلالة على الفئات التامة بمعنى كويلين ).

• الاستعارة (نظرية الفئات)
• فئة متماسكة
• توبوس
• إتمام دقيق