هندسة كلاين

في الرياضيات ، تُعدّ هندسة كلاين نوعًا من الهندسة التي استوحاها فيليكس كلاين في برنامجه المؤثر في إرلانجن . وبشكل أكثر تحديدًا، هي فضاء متجانس X مصحوبًا بفعل متعدٍّ على X بواسطة زمرة لي G ، التي تعمل كزمرة تناظر للهندسة.

للاطلاع على المعلومات الأساسية والدوافع، انظر المقال الخاص ببرنامج إرلانجن .

الهندسة الكلاينية هي زوج ( G , H ) حيث G زمرة لي و H زمرة لي مغلقة جزئية من G بحيث يكون فضاء المشاركة (الأيسر) G / H متصلاً . تُسمى الزمرة G الزمرة الرئيسية للهندسة، ويُسمى G / H فضاء الهندسة (أو، بتعبير مبسط، ببساطة الهندسة الكلاينية ). الفضاء X = G / H للهندسة الكلاينية هو متعدد شعب أملس ذو بُعد

dim X = dim G − dim H .

يوجد تأثير طبيعي سلس لليسار للدالة G على X معطى بواسطة

${\displaystyle g\cdot (aH)=(ga)H.}$

من الواضح أن هذا الفعل متعدٍ (لنأخذ a = 1 )، لذا يمكن اعتبار X فضاءً متجانسًا لفعل G. ومثبت مجموعة المشاركة المحايد H ∈ X هو تحديدًا المجموعة H.

بفرض وجود أي مشعب أملس متصل X وتأثير متعدٍ أملس من زمرة لي G على X ، يمكننا إنشاء هندسة كلاين مرتبطة ₍ G , H ) بتثبيت نقطة أساسية x₀ في X وجعل H الزمرة الجزئية المثبتة لـ x₀ في G. الزمرة H هي بالضرورة زمرة جزئية مغلقة من G، _و X متماثلة تماثلاً طبيعياً مع G / H .

تكون هندستان _{من نوع} كلاين ( G1 _, H1 ) و ( G2 , H2 ) متماثلتين هندسيًا إذا وُجد تماثل زمرة لي φ  : _{G1 →} G2 بحيث يكون φ ( H1 ) = _H2 . _{وبالتحديد} ، إذا كان φ هو الاقتران بعنصر g ∈ G ، فإننا نرى أن ( G , H ₎ و ( G , gHg ⁻¹ ) متماثلتان . تكون هندسة كلاين المرتبطة بفضاء متجانس X فريدة حتى التماثل (أي أنها مستقلة عن نقطة الأساس المختارة _x0 ) .

بفرض وجود زمرة لي G وزمرة جزئية مغلقة H ، يوجد تأثير يميني طبيعي لـ H على G يُعطى بالضرب من اليمين. هذا التأثير حر ومناسب . المدارات هي ببساطة المشاركات اليسرى لـ H في G. نستنتج أن G لها بنية حزمة رئيسية ملساء H على فضاء المشاركات اليسرى G / H.

${\displaystyle H\to G\to G/H.}$

يحتوي الجدول التالي على وصف للهندسات الكلاسيكية، التي تم تصميمها كهندسات كلاين.

	المساحة الأساسية	مجموعة التحويل G	المجموعة الفرعية H	الثوابت
الهندسة الإسقاطية	الفضاء الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$	المجموعة الإسقاطية${\displaystyle \mathrm {PGL} (n+1)}$	مجموعة فرعية${\displaystyle P}$تثبيت علم${\displaystyle \{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}}$	الخطوط الإسقاطية ، النسبة العرضية
الهندسة المطابقة على الكرة	جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$	مجموعة لورنتز من${\displaystyle (n+2)}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle \mathrm {O} (n+1,1)}$	مجموعة فرعية${\displaystyle P}$تثبيت خط في المخروط الصفري لمقياس مينكوفسكي	الدوائر المعممة ، الزوايا
الهندسة الزائدية	الفضاء الزائدي${\displaystyle H(n)}$، على سبيل المثال، يتم نمذجتها كخطوط زمنية تمر عبر نقطة الأصل في فضاء مينكوفسكي${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,n}}$	مجموعة لورنتز المتزامنة${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/\mathrm {O} (1)}$	${\displaystyle \mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)}$	الخطوط، الدوائر، المسافات، الزوايا
الهندسة الإهليلجية	الفضاء الإهليلجي، الذي يُنمذج على سبيل المثال كخطوط تمر عبر نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$	${\displaystyle \mathrm {O} (n+1)/\mathrm {O} (1)}$	${\displaystyle \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (1)}$	الخطوط، الدوائر، المسافات، الزوايا
الهندسة الكروية	جسم كروي${\displaystyle S^{n}}$	المجموعة المتعامدة${\displaystyle \mathrm {O} (n+1)}$	المجموعة المتعامدة${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$	الخطوط (الدوائر العظمى)، الدوائر، المسافات بين النقاط، الزوايا
الهندسة الأفينية	الفضاء الأفيني${\displaystyle A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}}$	مجموعة أفينية${\displaystyle \mathrm {Aff} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {GL} (n)}$	المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$	الخطوط، حاصل قسمة مساحات أسطح الأشكال الهندسية، مركز كتلة المثلثات
الهندسة الإقليدية	الفضاء الإقليدي${\displaystyle E(n)}$	المجموعة الإقليدية${\displaystyle \mathrm {Euc} (n)\simeq \mathbb {R} ^{n}\rtimes \mathrm {O} (n)}$	المجموعة المتعامدة${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$	المسافات بين النقاط ، زوايا المتجهات ، المساحات

• آر دبليو شارب (1997). الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن كلاين . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-94732-9.