المجموعة الخطية الإسقاطية

مجموعة ذات صلة هي مجموعة التوازي ، والتي تُعرَّف بديهيًا. التوازي هو دالة قابلة للعكس (أو بشكل أعم، دالة أحادية) تُحوِّل النقاط المتوازية إلى نقاط متوازية أخرى. يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي بديهيًا بدلالة بنية وقوع (مجموعة من النقاط P ، وخطوط L ، وعلاقة وقوع I تُحدِّد أي النقاط تقع على أي خطوط) تُحقِّق بديهيات معينة - يكون التشاكل الذاتي للفضاء الإسقاطي المُعرَّف بهذه الطريقة هو تشاكل ذاتي f لمجموعة النقاط وتشاكل ذاتي g لمجموعة الخطوط، مع الحفاظ على علاقة الوقوع، ^{[ ملاحظة 2 ]} وهو بالضبط توازي الفضاء مع نفسه. التحويلات الخطية الإسقاطية هي توازيات (المستويات في فضاء متجهي تُقابل خطوطًا في الفضاء الإسقاطي المرتبط بها، والتحويلات الخطية تُحوِّل المستويات إلى مستويات، لذا فإن التحويلات الخطية الإسقاطية تُحوِّل الخطوط إلى خطوط)، ولكن بشكل عام، ليست كل التوازيات تحويلات خطية إسقاطية - PGL هي بشكل عام مجموعة فرعية فعلية من مجموعة التوازي.

على وجه التحديد، بالنسبة لـ n = 2 (خط إسقاطي)، تكون جميع النقاط على خط مستقيم، لذا فإن مجموعة التوازي هي بالضبط المجموعة المتناظرة لنقاط الخط الإسقاطي، وباستثناء F ₂ و F ₃ (حيث PGL هي المجموعة المتناظرة الكاملة)، فإن PGL هي مجموعة فرعية مناسبة من المجموعة المتناظرة الكاملة على هذه النقاط.

بالنسبة لـ n ≥ 3 ، فإن زمرة التوازي هي الزمرة شبه الخطية الإسقاطية ، PΓL – وهي PGL، مُلتوية بتشاكلات الحقول الذاتية ؛ رسميًا، PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) ، حيث k هو الحقل الأولي لـ K ؛ هذه هي النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية . بالتالي، بالنسبة لـ _K حقل أولي ( Fp أو Q )، فإن _PGL = PΓL ، ولكن بالنسبة لـ K حقل ذو تشاكلات غالوا ذاتية غير تافهة (مثل Fpn لـ ^_n ≥ 2 أو C )، فإن الزمرة الخطية الإسقاطية هي زمرة جزئية فعلية من زمرة التوازي، والتي يمكن اعتبارها "تحويلات تحافظ على بنية شبه خطية إسقاطية". وبالمثل، فإن زمرة القسمة PΓL / PGL = Gal( K / k ) تُقابل "خيارات البنية الخطية"، حيث تكون نقطة التطابق (النقطة الأساسية) هي البنية الخطية الموجودة.

يمكن أيضًا تعريف مجموعات التوازي للفضاءات الإسقاطية المُعرَّفة بديهيًا، حيث لا يوجد مفهوم طبيعي للتحويل الخطي الإسقاطي . مع ذلك، وباستثناء المستويات غير الديزارجية ، فإن جميع الفضاءات الإسقاطية هي إسقاط لفضاء خطي على حلقة قسمة، على الرغم من وجود خيارات متعددة للبنية الخطية، كما ذُكر أعلاه، وتحديدًا مُلتوي على Gal( K / k ) (لـ n ≥ 3 ).

بالنسبة لتحويلات موبيوس ، يمكن تفسير المجموعة PGL(2, K ) على أنها تحويلات خطية كسرية بمعاملات في K. تتوافق النقاط على الخط الإسقاطي فوق K مع أزواج من K² ، حيث يكون الزوجان متكافئين عندما يكونان متناسبين. عندما يكون الإحداثي الثاني غير صفري، يمكن تمثيل النقطة بـ [ z , 1] . عندئذٍ، عندما يكون ^ad − bc ≠ 0 ، يكون تأثير PGL(2, K ) تحويلاً خطياً.

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

وبهذه الطريقة يمكن كتابة التحويلات المتتالية كضرب من اليمين بواسطة هذه المصفوفات، ويمكن استخدام ضرب المصفوفات لضرب المجموعة في PGL(2, K ) .

قام إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر ببناء مجموعات PSL(2, p ) لأي عدد أولي p ، وكانت هذه المجموعة هي العائلة الثانية من المجموعات البسيطة المنتهية ، بعد المجموعات المتناوبة . ^{[ 3 ]} وقد بناها غالوا كتحويلات خطية كسرية، ولاحظ أنها بسيطة إلا إذا كان p يساوي 2 أو 3؛ وهذا ما ورد في رسالته الأخيرة إلى شوفالييه. ^{[ 4 ]} وفي الرسالة نفسها والمخطوطات المرفقة، بنى غالوا أيضًا المجموعة الخطية العامة على حقل أولي ، GL( ν , p ) ، عند دراسة مجموعة غالوا للمعادلة العامة من الدرجة pν ^.

ثم تم بناء المجموعات PSL( n , q ) (عام n ، حقل منتهٍ عام) لأي قوة أولية q في النص الكلاسيكي لعام 1870 لكاميل جوردان ، Traité des substitutions et des équations algébriques .

رتبة PGL( n , q ) هي

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n 2 −1} − O( q ^{n 2 −3} )،

وهذا يُطابق رتبة GL( n , q ) مقسومةً على q − 1 للتحويل الإسقاطي؛ انظر نظير q لمناقشة هذه الصيغ. الدرجة هي n² ⁻ 1 ، وهو ما يتوافق مع البُعد كمجموعة جبرية. يشير الحرف "O" إلى ترميز Big O ، أي "الحدود التي تتضمن رتبةً أدنى". وهذا يُساوي أيضًا رتبة SL( n , q ) ؛ حيث إن القسمة على q − 1 ناتجة عن المحدد.

رتبة PSL( n , q ) هي رتبة PGL( n , q ) المذكورة أعلاه، مقسومة على القاسم المشترك الأكبر ( n , q - 1) . وهذا يساوي | SZ( n , q ) | ، وهو عدد المصفوفات العددية ذات المحدد 1؛ و | F ^× / ( F ^× ) ⁿ | ، وهو عدد فئات العناصر التي ليس لها جذر من الرتبة n ؛ وهو أيضًا عدد الجذور من الرتبة n للوحدة في F _q . ^{[ ملاحظة 4 ]}

بالإضافة إلى التماثلات

L ₂ (2) ≅ S ₃ ، L ₂ (3) ≅ A ₄ ، و PGL(2, 3) ≅ S ₄ ،

توجد تماثلات استثنائية أخرى بين المجموعات الخطية الخاصة الإسقاطية والمجموعات المتناوبة (جميع هذه المجموعات بسيطة، لأن المجموعة المتناوبة على 5 أحرف أو أكثر بسيطة):

L ₂ (4) ≅ A ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ (انظر §  التأثير على p نقطة للحصول على برهان)

L ₂ (9) ≅ A ₆

L ₄ (2) ≅ A ₈ ^{[ 5 ]}

يُتيح التشاكل L ₂ (9) ≅ A ₆ رؤية التشاكل الخارجي الغريب لـ A ₆ من حيث تشاكل الحقول وعمليات المصفوفات. ويُعدّ التشاكل L ₄ (2) ≅ A ₈ ذا أهمية في بنية زمرة ماثيو M ₂₄ .

إن الامتدادات المرتبطة SL( n , q ) → PSL( n , q ) هي مجموعات تغطية للمجموعات المتناوبة ( امتدادات مركزية كاملة شاملة ) لـ A ₄ ، A ₅ ، من خلال تفرد الامتداد المركزي الكامل الشامل ؛ بالنسبة لـ L ₂ (9) ≅ A ₆ ، فإن الامتداد المرتبط هو امتداد مركزي كامل ، ولكنه ليس شاملاً: هناك مجموعة تغطية ثلاثية .

تحتوي المجموعات فوق F ₅ على عدد من التشاكلات الاستثنائية:

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I ، المجموعة المتناوبة على خمسة عناصر ، أو بشكل مكافئ المجموعة العشرية الوجوه ؛

PGL(2, 5) ≅ S ₅ ، المجموعة المتناظرة على خمسة عناصر؛

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I الغطاء المزدوج للمجموعة المتناوبة A ₅ ، أو بشكل مكافئ المجموعة الثنائية ذات العشرين وجهًا .

يمكن استخدامها أيضًا لإنشاء خريطة غريبة S ₅ → S ₆ ، كما هو موضح أدناه. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن GL(2, 5) ليس غطاءً مزدوجًا لـ S ₅ ، بل هو غطاء رباعي.

وهناك تماثل آخر هو:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) هي المجموعة البسيطة من الرتبة 168، وهي ثاني أصغر مجموعة بسيطة غير تبديلية، وليست مجموعة متناوبة؛ انظر PSL(2, 7) .

إن التشاكلات الاستثنائية المذكورة أعلاه والتي تتضمن الزمر الخطية الخاصة الإسقاطية هي تقريبًا جميع التشاكلات الاستثنائية بين عائلات الزمر البسيطة المنتهية؛ التشاكل الاستثنائي الآخر الوحيد هو PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3)، بين زمرة وحدوية خاصة إسقاطية وزمرة تماثلية إسقاطية . ^{[ 3 ]}

يمكن استخدام المجموعة PSL(3, 4) لإنشاء مجموعة ماثيو M ₂₄ ، وهي إحدى المجموعات البسيطة المتفرقة ؛ في هذا السياق، يُشار إلى PSL(3, 4) باسم M ₂₁ ، على الرغم من أنها ليست مجموعة ماثيو بحد ذاتها. نبدأ بالمستوى الإسقاطي فوق الحقل ذي العناصر الأربعة، وهو نظام شتاينر من النوع S(2, 5, 21) - أي أنه يحتوي على 21 نقطة، وكل خط ("كتلة"، في مصطلحات شتاينر) يحتوي على 5 نقاط، وأي نقطتين تحددان خطًا - والذي تؤثر عليه PSL(3, 4) . يُطلق على هذا النظام اسم نظام شتاينر W ₂₁ ("W" لـ Witt )، ثم يتم توسيعه إلى نظام شتاينر أكبر W ₂₄ ، مع توسيع مجموعة التناظر على طول الطريق: إلى المجموعة الخطية العامة الإسقاطية PGL(3, 4) ، ثم إلى المجموعة شبه الخطية الإسقاطية PΓL(3, 4) ، وأخيراً إلى مجموعة ماثيو M ₂₄ .

تحتوي M ₂₄ أيضًا على نسخ من PSL(2, 11) ، وهي قيمة عظمى في M ₂₂ ، و PSL(2, 23) ، وهي قيمة عظمى في M ₂₄ ، ويمكن استخدامها لإنشاء M _24. ^{[ 13 ]}

تنشأ مجموعات PSL كمجموعات هورويتز (مجموعات التشاكل الذاتي لأسطح هورويتز - منحنيات جبرية ذات مجموعة تناظر قصوى محتملة). سطح هورويتز ذو الجنس الأدنى، وهو سطح كلاين الرباعي (الجنس 3)، له مجموعة تشاكل ذاتي متماثلة مع PSL(2, 7) (أو GL(3, 2) )، بينما سطح هورويتز ذو الجنس الثاني الأدنى، وهو سطح ماكبيث (الجنس 7)، له مجموعة تشاكل ذاتي متماثلة مع PSL(2, 8) .

في الواقع، تنشأ العديد من المجموعات البسيطة، ولكن ليس كلها، كمجموعات هورويتز (بما في ذلك المجموعة الوحشية ، على الرغم من عدم وجود جميع المجموعات المتناوبة أو المجموعات المتفرقة)، على الرغم من أن PSL جديرة بالذكر لتضمينها أصغر هذه المجموعات.

تنشأ المجموعات PSL(2, Z / n Z ) عند دراسة المجموعة النمطية ، PSL(2, Z ) ، كحاصل قسمة عن طريق اختزال جميع العناصر mod n ؛ تسمى النوى مجموعات التطابق الرئيسية .

تُعدّ تناظرات المجموعة {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) [ملاحظة 6]، والمعروفة باسم المجموعة غير التوافقية، زمرةً فرعيةً جديرةً بالذكر من الزمرة الخطية العامة الإسقاطية PGL(2, Z ) (ومن الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL ^{( 2} , Z [ i ^] ) ) ، وتنشأ هذه الزمرة الفرعية كتناظرات للنسب التقاطعية الست . ويمكن التعبير عن هذه الزمرة الفرعية بتحويلات خطية كسرية ، أو تمثيلها (بشكل غير فريد) بواسطة المصفوفات، كما يلي:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1/(1-x)}$	${\displaystyle (x-1)/x}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle 1/x}$	${\displaystyle 1-x}$	${\displaystyle x/(x-1)}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&i\\0&i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\i&-i\end{pmatrix}}}$

الصف العلوي هو عنصر الوحدة ودورتان من الدرجة 3، وهي تحافظ على الاتجاه، وتشكل مجموعة فرعية في PSL(2, Z ) ، بينما الصف السفلي هو ثلاث دورات من الدرجة 2، وهي موجودة في PGL(2, Z ) و PSL(2, Z [ i ]) ، ولكن ليس في PSL(2, Z ) ، وبالتالي يتم تحقيقها إما كمصفوفات ذات محدد -1 ومعاملات صحيحة، أو كمصفوفات ذات محدد 1 ومعاملات صحيحة غاوسية .

يُقابل هذا تناظرات المجموعة {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) تحت الاختزال modulo n . والجدير بالذكر أنه بالنسبة لـ n = 2 ، تُقابل هذه المجموعة الفرعية بشكل متماثل PGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S ₃ ، ^{[ ملاحظة 7 ]} ، وبالتالي تُوفر تجزئة PGL(2, Z / 2 Z ).${\displaystyle \hookrightarrow }$PGL(2, Z ) لخريطة القسمة PGL(2, Z )${\displaystyle \twoheadrightarrow }$PGL(2, Z / 2 Z ) .

تُعتبر النقاط الثابتة لكلتا الدورتين الثلاثيتين هي النسب المتقاطعة "الأكثر تناظرًا".${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$حلول المعادلة x² ^- x + 1 ( الجذور السادسة الأولية للوحدة ). تُبدّل الدورات الثنائية هذه الحلول، كما تفعل مع أي نقاط أخرى غير نقاطها الثابتة، مما يُحقق تطبيق القسمة S³ → S² _بفعل المجموعة على هاتين النقطتين. أي أن المجموعة الجزئية C³ < S³ _{، المكونة} من عنصر المحايد والدورات الثلاثية {()، (0 ∞)، (0 ∞ 1)} _، تُثبّت هاتين النقطتين، بينما تُبدّلهما العناصر الأخرى.

النقاط الثابتة للدورات الثنائية الفردية هي -1، 1/2، 2 على التوالي، ويتم الحفاظ على هذه المجموعة وتبديلها بواسطة الدورات الثلاثية. يتوافق هذا مع تأثير S3 _على الدورات الثنائية ( مجموعاتها الفرعية الثنائية من نوع سيلو ) عن طريق الاقتران _، ويحقق التشاكل مع مجموعة التشاكلات الداخلية ، S3 ~ → Inn(S3 ₎ ≅ _S3 .

هندسيًا، يمكن تصور هذا على أنه مجموعة الدوران للهرم الثنائي المثلثي ، وهو متماثل مع مجموعة ثنائي السطوح للمثلث D ₃ ≅ S ₃ ؛ انظر المجموعة غير التوافقية .

على الأعداد الحقيقية والمركبة، تُعدّ الزمر الخطية الخاصة الإسقاطية هي أبسط تمثيلات زمر لي ( بدون مركز ) لجبر لي الخطي الخاص${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\colon }$كل زمرة لي متصلة يكون جبر لي الخاص بها${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)}$هي غطاء لـ PSL( n , F ) . على العكس من ذلك، فإن مجموعة التغطية الشاملة الخاصة بها هي العنصر الأقصى ( المتصل ببساطة )، وتشكل التحقيقات الوسيطة شبكة من مجموعات التغطية .

على سبيل المثال، SL(2, R ) لها مركز {±1} ومجموعة أساسية Z ، وبالتالي لها غطاء شامل SL(2, R ) وتغطي PSL(2, R ) بدون مركز .