نظرية لاغرانج الرباعية

يكفي إثبات النظرية لكل عدد أولي فردي p . وهذا يتبع مباشرة من متطابقة أويلر للمربعات الأربعة (ومن حقيقة أن النظرية صحيحة للأعداد 1 و 2).

تكون بواقي العدد a² modulo p ^مختلفة لكل قيمة ^{a بين 0 و (p - 1)/2 (شاملةً). ولتوضيح ذلك، لنأخذ قيمة a ونعرّف c على أنها a²} modulo p . a هو جذر لكثير الحدود x² - c على الحقل Z / pZ . وكذلك p - a ( وهو يختلف عن a ) . في الحقل K ، أي كثير حدود من الدرجة n له على الأكثر n جذرًا مختلفًا ( نظرية لاغرانج (نظرية الأعداد) ⁾ ، لذا لا توجد قيم أخرى لـ a بهذه الخاصية، وخاصةً بين 0 و ( p - 1)/2 .

وبالمثل، بالنسبة لقيم b الصحيحة بين 0 و ( p - 1)/2 (شاملة)، فإن قيم −b² - 1 تكون مختلفة. وبحسب مبدأ خانة الحمام ، توجد قيمتان ^a و b في هذا النطاق، بحيث تكون ^{قيمتا a²} و −b² - 1 ^{متطابقتين} بتردد p ، أي أن $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$$

لنفترض الآن _أن m هو أصغر عدد صحيح موجب بحيث يكون _{mp هو مجموع أربعة مربعات، x₁² + x₂² + x₃² + x₄² ( لقد} أثبتنا للتو وجود ^m ( ^وهو n ) ^بهذه الخاصية ، لذا يوجد على الأقل m واحد أصغر من p ) . سنبرهن بالتناقض أن m يساوي 1: بافتراض عدم صحة ذلك، نثبت وجود عدد صحيح موجب ^r أصغر من m ، بحيث يكون rp أيضًا مجموع أربعة مربعات (وهذا يتماشى مع طريقة فيرما للنزول اللانهائي ^{[ 7 ]} ).

^{لهذا الغرض ،} نعتبر لكل xᵢ قيمة _yᵢ التي تنتمي إلى نفس فئة البواقي بتردد _m وتقع بين (–m + 1 ) / 2 و m ^/ 2 ( _مع إمكانية تضمينها). وبالتالي، فإن y₁² + _y₂² + y₃² ₊ y₄² ⁼ _mr ، حيث r عدد صحيح موجب تمامًا أصغر ^من m . 

وأخيرًا ، يُظهر تطبيق آخر _لهوية أويلر للمربعات الأربعة أن mpmr = z₁² ₊ z₂² + ^z₃² ₊ ^{z₄² .} لكن حقيقة أن كل xᵢ _متطابق مع yᵢ المقابل له _تعني أن جميع zᵢ _قابلة للقسمة على m . _في الواقع ^،$${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}&\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m}},\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\equiv x_{1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3}&=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_{2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}-x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لـ w _i = z _i / m ، فإن w ₁ ² + w ₂ ² + w ₃ ² + w ₄ ² = rp ، وهذا يتناقض مع الحد الأدنى لـ m . 

في عملية النزول المذكورة أعلاه، يجب استبعاد الحالتين التاليتين: _y₁ = y₂ = y₃ ₌ y₄ = m / 2 ₍ والتي ستؤدي إلى r = m وبالتالي لن _{يكون هناك} نزول)، وكذلك الحالة y₁ = _y₂ = y₃ = _y₄ = 0 ( والتي ستؤدي إلى _r = 0 بدلاً من قيمة موجبة). في كلتا الحالتين، يمكن التحقق من أن mp ₌ x₁² + x₂² ₊ ^{x₃² +} x₄² هو ^مضاعف لـ m² _، مما يناقض حقيقة أن p _عدد أولي ^أكبر من ^m .

تتكون رباعيات هورويتز من جميع الرباعيات ذات المكونات الصحيحة وجميع الرباعيات ذات المكونات نصف الصحيحة . ويمكن دمج هاتين المجموعتين في صيغة واحدة. $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}E_{0}(1+\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} )+E_{1}\mathbf {i} +E_{2}\mathbf {j} +E_{3}\mathbf {k} =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$$ أين${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$هي أعداد صحيحة. وبالتالي، فإن مكونات الكواترنيون${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$إما أن تكون جميعها أعدادًا صحيحة أو جميعها أنصاف أعداد صحيحة، وذلك حسب ما إذا${\displaystyle E_{0}}$يكون زوجيًا أو فرديًا، على التوالي. تشكل مجموعة رباعيات هورويتز حلقة ؛ أي أن مجموع أو حاصل ضرب أي رباعيين من رباعيات هورويتز هو أيضًا رباعي هورويتز.

المعيار (الحسابي أو معيار المجال)${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$من رباعي عقلاني${\displaystyle \alpha }$هو عدد نسبي غير سالب$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha }}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$$ أين${\displaystyle {\bar {\alpha }}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$هو مرافق لـ${\displaystyle \alpha }$لاحظ أن معيار الكواترنيون الهورويتز هو دائمًا عدد صحيح. (إذا كانت المعاملات أنصاف أعداد صحيحة، فإن مربعاتها تكون على الصورة${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in \mathbb {Z} }$ومجموع أربعة من هذه الأعداد هو عدد صحيح.

بما أن ضرب الكواترنيونات عملية تجميعية، والأعداد الحقيقية تتبادل مع الكواترنيونات الأخرى، فإن معيار حاصل ضرب الكواترنيونات يساوي حاصل ضرب المعايير: $${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha \beta )=\alpha \beta ({\overline {\alpha \beta }})=\alpha \beta {\bar {\beta }}{\bar {\alpha }}=\alpha \mathrm {N} (\beta ){\bar {\alpha }}=\alpha {\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta ).}$$

لأي${\displaystyle \alpha \neq 0}$،${\displaystyle \alpha ^{-1}={\bar {\alpha }}\mathrm {N} (\alpha )^{-1}}$ويترتب على ذلك بسهولة أن${\displaystyle \alpha }$تكون وحدة في حلقة رباعيات هورويتز إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=1}$.

يبدأ برهان النظرية الرئيسية بالاختزال إلى حالة الأعداد الأولية. تنص متطابقة أويلر للمربعات الأربعة على أنه إذا كانت نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة صحيحة لعددين، فإنها صحيحة أيضًا لحاصل ضرب هذين العددين. وبما أن أي عدد طبيعي يمكن تحليله إلى عوامله الأولية، يكفي إثبات النظرية للأعداد الأولية. وهي صحيحة لـ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$ولإثبات ذلك بالنسبة لعدد أولي فردي p ، مثّله على شكل رباعي${\displaystyle (p,0,0,0)}$ولنفترض الآن (كما سنبين لاحقًا) أنه ليس عددًا غير قابل للاختزال وفقًا لمعيار هورويتز ؛ أي أنه يمكن تحليله إلى عددين رباعيين غير وحدويين وفقًا لمعيار هورويتز. $${\displaystyle p=\alpha \beta .}$$

معايير${\displaystyle p,\alpha ,\beta }$هي أعداد صحيحة بحيث $${\displaystyle \mathrm {N} (p)=p^{2}=\mathrm {N} (\alpha \beta )=\mathrm {N} (\alpha )\mathrm {N} (\beta )}$$ و${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha ),\mathrm {N} (\beta )>1}$وهذا يدل على أن كليهما${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$و${\displaystyle \mathrm {N} (\beta )}$تساوي p (لأنها أعداد صحيحة)، و p هو مجموع أربعة مربعات $${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.}$$

إذا حدث أن${\displaystyle \alpha }$إذا كانت معاملات المختار نصف صحيحة، فيمكن استبداله برباعي هورويتز آخر. اختر${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$بطريقة تجعل${\displaystyle \gamma \equiv \omega +\alpha }$له معاملات عددية زوجية. إذن $${\displaystyle p=({\bar {\gamma }}-{\bar {\omega }})\omega {\bar {\omega }}(\gamma -\omega )=({\bar {\gamma }}\omega -1)({\bar {\omega }}\gamma -1).}$$

منذ${\displaystyle \gamma }$له معاملات عددية زوجية،${\displaystyle ({\bar {\omega }}\gamma -1)}$ستكون معاملاتها أعدادًا صحيحة ويمكن استخدامها بدلاً من الأصل${\displaystyle \alpha }$لإعطاء تمثيل لـ p كمجموع أربعة مربعات.

أما بالنسبة لإثبات أن p ليس عددًا غير قابل للاختزال وفقًا لـ Hurwitz، فقد أثبت لاغرانج أن أي عدد أولي فردي p يقسم عددًا واحدًا على الأقل من الشكل${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$حيث l و m عددان صحيحان. ^{[ 8 ]} ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي: بما أن p عدد أولي،${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$يمكن أن ينطبق على الأعداد الصحيحة${\displaystyle a,b}$فقط عندما${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$وبالتالي، فإن المجموعة${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$يحتوي المربعات${\displaystyle (p+1)/2}$البقايا المتميزة modulo p . وبالمثل،${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$يتضمن${\displaystyle (p+1)/2}$البقايا. بما أن هناك p بقايا فقط في المجموع، و${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$، يجب أن تتقاطع المجموعتان X و Y.

يمكن تحليل العدد u إلى عوامل في رباعيات هورويتز:$${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} ).}$$

يُحقق المعيار على رباعيات هورويتز شكلاً من أشكال الخاصية الإقليدية : لأي رباعي${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$باستخدام المعاملات النسبية، يمكننا اختيار رباعي هورويتز${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$لهذا السبب.${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha -\beta )<1}$عن طريق الاختيار أولاً${\displaystyle b_{0}}$لهذا السبب.${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$وثم${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$لهذا السبب.${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$ل${\displaystyle i=1,2,3}$ثم نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$$

ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي رباعيات هورويتز${\displaystyle \alpha ,\beta }$مع${\displaystyle \alpha \neq 0}$يوجد رباعي هورويتز${\displaystyle \gamma }$بحيث $${\displaystyle \mathrm {N} (\beta -\alpha \gamma )<\mathrm {N} (\alpha ).}$$

حلقة هورويتز الرباعية H ليست تبديلية، وبالتالي فهي ليست مجالًا إقليديًا حقيقيًا، ولا تملك تحليلًا وحيدًا بالمعنى المعتاد. ومع ذلك، فإن الخاصية المذكورة أعلاه تعني أن كل مثالي يميني هو مثالي رئيسي . وبالتالي، يوجد رباعي هورويتز${\displaystyle \alpha }$بحيث $${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H.}$$

بخاصة،${\displaystyle p=\alpha \beta }$بالنسبة لبعض رباعيات هورويتز${\displaystyle \beta }$. لو${\displaystyle \beta }$كانوا وحدة واحدة،${\displaystyle 1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} }$سيكون مضاعفًا لـ p ، لكن هذا مستحيل لأن${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ليس رباعي هورويتز لـ${\displaystyle p>2}$وبالمثل، إذا${\displaystyle \alpha }$لو كنا وحدة واحدة، لكنا قد $${\displaystyle (1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )H=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )pH+(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$$ إذن p يقسم${\displaystyle 1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} }$وهذا يتناقض مرة أخرى مع حقيقة أن${\displaystyle 1/p-l/p\;\mathbf {i} -m/p\;\mathbf {j} }$ليس رباعي هورويتز. وبالتالي، فإن p ليس غير قابل للاختزال وفقًا لمعيار هورويتز، كما هو مزعوم.