الانحطاط (الرياضيات)

في الرياضيات ، تُعرَّف الحالة المنحلة بأنها حالة حدية لفئة من الكائنات، تبدو مختلفة نوعيًا عن بقية أفراد تلك الفئة (وعادةً ما تكون أبسط منها)؛ ^{[ 1 ]} و " الانحلال " هو شرط كون الكائن حالة منحلة. ^{[ 2 ]} يمكن تعريف فئة معينة من الكائنات بعدة أنظمة معادلات مختلفة في معظم الحالات، وقد تؤدي هذه الأنظمة المختلفة إلى حالات منحلة مختلفة، مع أنها تُشير إلى نفس الحالات غير المنحلة. ولعل هذا هو السبب في عدم وجود تعريف عام للانحلال، على الرغم من شيوع استخدام هذا المفهوم وتعريفه (عند الحاجة) في كل حالة على حدة.

غالبًا ما تكون الحالات المنحلة هي الحالات الاستثنائية التي تطرأ فيها تغييرات على البُعد المعتاد أو عدد عناصر الكائن (أو جزء منه). على سبيل المثال، المثلث كائن ثنائي البُعد، والمثلث المنحل هو مثلث مُضمن في خط مستقيم ، ^{[ 3 ]} مما يجعل بُعده واحدًا. وهذا يُشبه حالة الدائرة، التي يتقلص بُعدها من اثنين إلى صفر عندما تتحول إلى نقطة. ^{[ 1 ]} كمثال آخر، مجموعة حلول نظام المعادلات الذي يعتمد على مُعاملات لها عمومًا عدد عناصر وبُعد ثابتان، ولكن قد يختلف عدد العناصر و/أو البُعد في بعض القيم الاستثنائية، والتي تُسمى الحالات المنحلة. في مثل هذه الحالة المنحلة، يُقال إن مجموعة الحلول منحلة.

وبالتالي، تتميز الحالة المنحلة بخصائص تجعلها غير عامة ، أو حالة خاصة . مع ذلك، ليست كل الحالات غير العامة أو الخاصة منحلة. على سبيل المثال، المثلثات القائمة الزاوية ، والمثلثات متساوية الساقين ، والمثلثات متساوية الأضلاع ليست عامة وغير منحلة. في الواقع، غالبًا ما تتوافق الحالات المنحلة مع نقاط تفرد ، سواء في الشكل نفسه أو في فضاء التكوين . على سبيل المثال، يكون القطع المخروطي منحلًا إذا وفقط إذا كان يحتوي على نقاط تفرد (مثل نقطة، أو خط، أو خطوط متقاطعة). ^{[ 4 ]}

غالبًا ما تتضمن تعريفات العديد من فئات الأجسام المركبة أو المهيكلة ضمنيًا متباينات. على سبيل المثال، يُفترض أن تكون زوايا المثلث وأطوال أضلاعه موجبة. تُعرف الحالات الحدية، حيث تتحول واحدة أو أكثر من هذه المتباينات إلى معادلات، بالحالات المنحلة. فالمثلث، على سبيل المثال، يكون منحلًا إذا كان طول ضلع واحد على الأقل أو زاوية واحدة منه يساوي صفرًا. وبصورة مكافئة، يصبح قطعة مستقيمة . ^{[ 3 ]} بالنسبة لبعض فئات الأجسام المركبة، تعتمد الحالات المنحلة على الخصائص التي تُدرس تحديدًا. وعلى وجه الخصوص، غالبًا ما تُعرَّف فئة الأجسام أو تُوصَف بأنظمة من المعادلات.

مثلث

المثلث المنحط هو مثلث "مسطح" بمعنى أنه يقع داخل قطعة مستقيمة . بعبارة أخرى، المثلث المنحط هو مثلث لا يحقق متباينة المثلث الصارمة.${\displaystyle a+b>c}$بل إنها تُرضي:${\displaystyle a+b=c}$^{[ 5 ]} . بالتالي،رؤوسهعلى استقامة واحدة ^{[ 3 ]} ومساحته صفر. إذا كانت الرؤوس الثلاثة مختلفة، فله زاويتان قياسهما 0° وزاوية قياسها 180°. إذا كان رأسان متساويين، فله زاوية قياسها 0° وزاويتان غير معرفتين. إذا كانت الرؤوس الثلاثة متساوية، فإن الزوايا الثلاثة غير معرفتين.

• المجموعة التي تحتوي على نقطة واحدة هي سلسلة متصلة متدهورة .
• يمكن اعتبار أشياء مثل المضلع الثنائي والمضلع الأحادي حالات متدهورة من المضلعات : صالحة بمعنى رياضي مجرد عام، ولكنها ليست جزءًا من المفهوم الإقليدي الأصلي للمضلعات.
• المتغير العشوائي الذي لا يمكن أن يأخذ إلا قيمة واحدة له توزيع منحط ؛ إذا كانت تلك القيمة هي العدد الحقيقي 0، فإن كثافة احتماله هي دالة ديراك دلتا .
• يُقال أحيانًا إن جذرًا لكثير الحدود مُنحط إذا كان جذرًا مُضاعفًا ، لأن الجذور n لكثير الحدود من الدرجة n تكون جميعها مُختلفة بشكل عام. ^{[ 1 ]} وينطبق هذا الاستخدام على مسائل القيم الذاتية: فالقيمة الذاتية المُنحطة هي جذر مُضاعف لكثير الحدود المميز .
• في ميكانيكا الكم ، يؤدي أي تعدد من هذا القبيل في القيم الذاتية لمؤثر هاميلتوني إلى ظهور مستويات طاقة متماثلة . وعادةً ما يشير أي تماثل من هذا القبيل إلى وجود تناظر كامن في النظام.

• الانحطاط (نظرية الرسم البياني)
• شكل ثنائي الخطية متدهور
• تافه (رياضيات)
• علم الأمراض (الرياضيات)
• حقيقة فارغة