معادلة شرودنغر غير الخطية

معادلة المجال الكلاسيكية (في شكل لا بعدي ) هي: ^{[ 10 ]}

بالنسبة للمجال المعقد${\displaystyle \psi (x,t)}$.

تنشأ هذه المعادلة من الهاميلتوني ^{[ 10 ]}

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

باستخدام أقواس بواسون

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

وعلى عكس نظيره الخطي، فإنه لا يصف أبدًا التطور الزمني للحالة الكمومية.

تُسمى الحالة ذات قيمة κ السالبة بالتركيز، وتتيح حلولًا من نوع السوليتون الساطع (المتمركزة في الفضاء، والتي تتلاشى مكانيًا باتجاه اللانهاية) بالإضافة إلى حلول الموجات النبضية . ويمكن حلها بدقة باستخدام تحويل التشتت العكسي ، كما أوضح زاخاروف وشابات (1972) (انظر أدناه ). أما الحالة الأخرى، ذات قيمة κ الموجبة، فهي معادلة شرودنغر غير الخطية (NLS) المُشتتة، والتي لها حلول من نوع السوليتون المظلم (ذات سعة ثابتة عند اللانهاية، وانخفاض مكاني موضعي في السعة). ^{[ 11 ]}

للحصول على النسخة الكمية ، ما عليك سوى استبدال أقواس بواسون بالمبدلات.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

والترتيب الطبيعي للهاميلتوني

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

تم حل النسخة الكمومية باستخدام فرضية بيث من قبل ليب ولينيجر . ووصف تشين-نينغ يانغ الديناميكا الحرارية . كما تم تقييم دوال الارتباط الكمومي بواسطة كوريبين في عام 1993. ^{[ 8 ]} يتميز النموذج بقوانين حفظ أعلى - وقد عبّر عنها ديفيز وكوريبين في عام 1989 بدلالة الحقول المحلية. ^{[ 12 ]}

في علم البصريات ، تظهر معادلة شرودنغر غير الخطية في نظام ماناكوف ، وهو نموذج لانتشار الموجات في الألياف البصرية. تمثل الدالة ψ الموجة، وتصف معادلة شرودنغر غير الخطية انتشارها عبر وسط غير خطي. يمثل المشتق من الرتبة الثانية التشتت، بينما يمثل الحد κ اللاخطية. تُحاكي هذه المعادلة العديد من تأثيرات اللاخطية في الألياف، بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر: تعديل الطور الذاتي ، ومزج أربع موجات ، وتوليد التوافقي الثاني ، وتشتت رامان المحفز ، والسوليتونات الضوئية ، والنبضات فائقة القصر ، وغيرها.

بالنسبة للأمواج المائية ، تصف معادلة شرودنغر غير الخطية تطور غلاف مجموعات الموجات المُعدَّلة . في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٦٨، وصف فلاديمير إي. زاخاروف البنية الهاميلتونية للأمواج المائية. وفي الورقة نفسها، بيّن زاخاروف أنه بالنسبة لمجموعات الموجات المُعدَّلة ببطء، فإن سعة الموجة تُحقق معادلة شرودنغر غير الخطية تقريبًا. ^{[ ١٦ ]} تعتمد قيمة معامل اللاخطية к على العمق النسبي للماء. ففي المياه العميقة، حيث يكون العمق كبيرًا مقارنةً بطول موجة الأمواج، تكون قيمة к سالبة، وقد تظهر موجات منفردة غلافية . إضافةً إلى ذلك، يمكن زيادة سرعة مجموعة هذه الموجات المنفردة الغلافية بفعل تسارع ناتج عن تدفق مائي خارجي متغير مع الزمن. ^{[ ١٧ ]}

في المياه الضحلة، حيث يزيد طول الموجة عن 4.6 ضعف عمق الماء، تكون قيمة معامل اللاخطية к موجبة، ولا توجد مجموعات موجية ذات سوليتونات غلافية . توجد في المياه الضحلة سوليتونات ارتفاع السطح أو موجات الانتقال ، لكنها لا تخضع لمعادلة شرودنغر اللاخطية.

يُعتقد أن معادلة شرودنغر غير الخطية مهمة لتفسير تكوين الأمواج الشاذة . ^{[ 18 ]}

المجال المعقد​${\displaystyle \psi }$يرتبط ، كما يظهر في معادلة شرودنغر غير الخطية، بسعة وطور موجات الماء. لنفترض موجة حاملة ذات تعديل بطيء مع ارتفاع سطح الماء η بالشكل التالي:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

أين${\displaystyle a(x_{0},t_{0})}$و${\displaystyle \theta (x_{0},t_{0})}$وهي السعة والطور المتغيران ببطء . علاوة على ذلك${\displaystyle \omega _{0}}$و${\displaystyle k_{0}}$يمثل التردد الزاوي (الثابت) والعدد الموجي للموجات الحاملة، والتي يجب أن تحقق علاقة التشتت${\displaystyle \omega _{0}=\Omega (k_{0})}$. ثم

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

إذن معامل المرونة${\displaystyle |\psi |}$سعة الموجة${\displaystyle a}$وحجتها​${\displaystyle \arg(\psi )}$هي المرحلة${\displaystyle \theta }$.

العلاقة بين الإحداثيات الفيزيائية${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$و${\displaystyle (x,t)}$تُعطى الإحداثيات، كما هو مستخدم في معادلة شرودنغر غير الخطية المذكورة أعلاه ، بالصيغة التالية:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

هكذا${\displaystyle (x,t)}$هو نظام إحداثيات مُحوَّل يتحرك بسرعة المجموعة${\displaystyle \Omega '(k_{0})}$انحناء علاقة التشتت للموجات الحاملة${\displaystyle \Omega ''(k_{0})}$- الذي يمثل تشتت سرعة المجموعة - يكون دائمًا سالبًا بالنسبة لموجات الماء تحت تأثير الجاذبية، لأي عمق مائي.

بالنسبة للأمواج على سطح الماء في المياه العميقة، فإن معاملات الأهمية لمعادلة شرودنغر غير الخطية هي:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$ لذا ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

حيث g هي التسارع الناتج عن الجاذبية على سطح الأرض.

في الأصل${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$تُكتب معادلة شرودنغر غير الخطية لأمواج الماء على النحو التالي: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

مع${\displaystyle A=\psi ^{*}}$(أي المرافق المعقد لـ${\displaystyle \psi }$) و${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$لذا${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$لأمواج المياه العميقة.

أظهر هاشيموتو (1972) أن عمل دا ريوس ( 1906 ) حول خيوط الدوامات يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمعادلة شرودنغر غير الخطية. وفي وقت لاحق، استخدم سلمان (2013) هذا التوافق ليُبين أن حلول التنفس يمكن أن تنشأ أيضًا لخيوط الدوامات. 

معادلة شرودنغر غير الخطية ثابتة المقياس بالمعنى التالي:

بافتراض وجود حل${\displaystyle \psi (x,t)}$يمكن الحصول على حل جديد عن طريق إعادة التحجيم${\displaystyle \psi }$،${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$بواسطة دالة لمعامل${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[\alpha ]}(x,t)=\alpha \psi (\alpha x,\alpha ^{2}t).}$

معادلة شرودنغر غير الخطية ثابتة وفقًا لنظرية غاليليو بالمعنى التالي:

بافتراض وجود حل${\displaystyle \psi (x,t)}$يمكن الحصول على حل جديد عن طريق الاستبدال${\displaystyle x}$مع${\displaystyle x+vt}$في كل مكان في${\displaystyle \psi (x,t)}$وبإضافة عامل طور من${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$