المعيار (الرياضيات)

إذا كان معيارًا${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يتم إعطاؤها على فضاء متجهي${\displaystyle X,}$ثم معيار المتجه${\displaystyle z\in X}$يُشار إليه عادةً بوضعه بين خطين رأسيين مزدوجين:${\displaystyle \|z\|=p(z)}$كما اقترح ستيفان باناش في أطروحته للدكتوراه عام 1920. ويُستخدم هذا الترميز أحيانًا أيضًا إذا${\displaystyle p}$هو مجرد شبه معيار. بالنسبة لطول متجه في الفضاء الإقليدي (وهو مثال على المعيار، كما هو موضح أدناه )، فإن الترميز${\displaystyle |x|}$كما أن استخدام الخطوط العمودية المفردة منتشر على نطاق واسع.

القيمة المطلقة${\displaystyle |x|}$ القيمة المطلقة هي معيار على الفضاء المتجهي المُشكَّل من الأعداد الحقيقية أو المركبة . تُشكِّل الأعداد المركبة فضاءً متجهيًا أحادي البُعد فوقها، وفضاءً متجهيًا ثنائي البُعد فوق الأعداد الحقيقية، والقيمة المطلقة هي معيار لهذين البنيتين. على سبيل المثال، يُشكِّل العدد 1 كأساس والأعداد المركبة كأعداد قياسية فضاءً متجهيًا أحادي البُعد، بينما${\textstyle \{1,i\}}$تشكل الأعداد الحقيقية، كأساس، والأعداد الحقيقية ككميات قياسية، فضاءً متجهيًا ثنائي الأبعاد، والقيمة المطلقة${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$من عدد مركب${\displaystyle z=x+iy}$، أين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$الأعداد الحقيقية تشكل معيارًا.

أي معيار${\displaystyle p}$في فضاء متجهي أحادي البعد${\displaystyle X}$يكافئ (حتى تغيير المقياس) معيار القيمة المطلقة، مما يعني وجود تماثل يحافظ على المعيار بين الفضاءات المتجهة${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$أين${\displaystyle \mathbb {F} }$إما${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ويعني الحفاظ على المعايير أن${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$ يتم الحصول على هذا التشاكل عن طريق إرسال${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$إلى متجه معياري${\displaystyle 1,}$وهو موجود لأن مثل هذا المتجه يتم الحصول عليه عن طريق ضرب أي متجه غير صفري في معكوس معياره.

في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$المفهوم البديهي لطول المتجه${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$يتم التعبير عنها بالصيغة ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

هذا هو المعيار الإقليدي ، الذي يعطي المسافة العادية من نقطة الأصل إلى النقطة X ، وهو نتيجة لنظرية فيثاغورس . ويمكن الإشارة إلى هذه العملية أيضًا باسم "SRSS" ^، وهو اختصار للجذر التربيعي لمجموع مربعات الأعداد . [ ^{10 ]}

يُعد المعيار الإقليدي المعيار الأكثر استخدامًا على الإطلاق${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$^{[ 9 ]} ولكن توجد معايير أخرى على هذا الفضاء المتجهي كما سيتبين لاحقًا. ومع ذلك، فإن جميع هذه المعايير متكافئة بمعنى أنها جميعًا تُعرّف نفس الطوبولوجيا على الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة.

الضرب الداخلي لمتجهين في فضاء متجهي إقليدي هو الضرب القياسي لمتجهي إحداثياتهما على أساس متعامد . وبالتالي، يمكن كتابة المعيار الإقليدي بطريقة لا تعتمد على الإحداثيات كما يلي: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

يُطلق على المعيار الإقليدي أيضًا اسم المعيار التربيعي ،${\displaystyle L^{2}}$المعيار ، ^{[ 11 ]}${\displaystyle \ell ^{2}}$المعيار ، أو المعيار 2 ، أو المعيار التربيعي ؛ انظر${\displaystyle L^{p}}$الفضاء . وهو يُعرّف دالة مسافة تُسمى الطول الإقليدي ،${\displaystyle L^{2}}$المسافة ، أو${\displaystyle \ell ^{2}}$مسافة .

مجموعة المتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$يشكل معيارها الإقليدي ثابتًا موجبًا معطى${\displaystyle n}$-جسم كروي .

يوجد أربعة جبر هورويتز إقليدي بالضبط على الأعداد الحقيقية . هذه هي الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} ,}$الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} ,}$الرباعيات​${\displaystyle \mathbb {H} ,}$وأخيرًا الأوكتونيونات${\displaystyle \mathbb {O} ,}$حيث تكون أبعاد هذه الفضاءات على الأعداد الحقيقية${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$على التوالي. المعايير المتعارف عليها بشأن${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$وهي دوال القيمة المطلقة الخاصة بها ، كما نوقش سابقاً.

المعيار المتعارف عليه بشأن${\displaystyle \mathbb {H} }$يتم تعريف الرباعيات بواسطة$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$ لكل رباعي${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$في${\displaystyle \mathbb {H} .}$هذا هو نفسه المعيار الإقليدي على${\displaystyle \mathbb {H} }$يُعتبر فضاءً متجهيًا${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$وبالمثل، فإن المعيار الكنسي على الأوكتونيونات هو ببساطة المعيار الإقليدي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

في${\displaystyle n}$فضاء معقد ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$المعيار الأكثر شيوعًا هو $${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

في هذه الحالة، يمكن التعبير عن المعيار على أنه الجذر التربيعي للجداء الداخلي للمتجه ونفسه: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$يتم تمثيلها كمتجه عمودي${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$و${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$يشير إلى منقوله المرافق .

هذه الصيغة صالحة لأي فضاء حاصل ضرب داخلي ، بما في ذلك الفضاءات الإقليدية والفضاءات المركبة. في الفضاءات المركبة، يكون حاصل الضرب الداخلي مكافئًا لحاصل الضرب النقطي المركب . لذا، يمكن كتابة الصيغة في هذه الحالة باستخدام الترميز التالي: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$ يرتبط الاسم بالمسافة التي يتعين على سيارة الأجرة قطعها في شبكة شوارع مستطيلة (مثل تلك الموجودة في حي مانهاتن بمدينة نيويورك ) للوصول من نقطة الانطلاق إلى النقطة المحددة.${\displaystyle x.}$

تشكل مجموعة المتجهات التي يكون معيارها 1 ثابتًا معينًا سطح متعدد السطوح المتقاطع ، والذي يساوي بُعد فضاء المتجهات ناقص 1. ويُطلق على معيار سيارة الأجرة أيضًا اسم${\displaystyle \ell ^{1}}$المعيار . تُسمى المسافة المشتقة من هذا المعيار مسافة مانهاتن أو${\displaystyle \ell ^{1}}$مسافة .

المعيار 1 هو ببساطة مجموع القيم المطلقة للأعمدة.

في المقابل، $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$ ليس هذا هو الوضع الطبيعي لأنه قد يؤدي إلى نتائج سلبية.

يترك${\displaystyle p\geq 1}$أن يكون عددًا حقيقيًا.${\displaystyle p}$-norm (يسمى أيضًا)${\displaystyle \ell ^{p}}$المعيار- للمتجه${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$هو ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$ ل${\displaystyle p=1,}$نحصل على معيار سيارات الأجرة ، لـ${\displaystyle p=2}$نحصل على المعيار الإقليدي ، و${\displaystyle p}$الأساليب${\displaystyle \infty }$ال${\displaystyle p}$يقترب المعيار -norm من معيار اللانهاية أو المعيار الأقصى : $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$ ال${\displaystyle p}$يرتبط المعيار -norm بالمتوسط ​​العام أو المتوسط ​​الأسي.

ل${\displaystyle p=2,}$ال${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$يتم استنباط المعيار - حتى من خلال الضرب الداخلي المتعارف عليه${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$وهذا يعني أن${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$لجميع المتجهات${\displaystyle \mathbf {x} .}$يمكن التعبير عن هذا المنتج الداخلي بدلالة المعيار باستخدام متطابقة الاستقطاب .${\displaystyle \ell ^{2},}$هذا المنتج الداخلي هوالضرب الداخلي الإقليدي مُعرَّف بواسطة $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$ أما بالنسبة للمساحة${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$مرتبط بمساحة قياس${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$والتي تتكون من جميع الدوال القابلة للتكامل التربيعي ، فإن هذا الضرب الداخلي هو $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

لا يزال هذا التعريف ذا أهمية إلى حد ما لـ${\displaystyle 0<p<1,}$لكن الدالة الناتجة لا تُعرّف معيارًا، ^{[ 12 ]} لأنها تُخالف مُتباينة المثلث . ما هو الصحيح في هذه الحالة من${\displaystyle 0<p<1,}$حتى في التناظر القابل للقياس، هل المقابل هو${\displaystyle L^{p}}$الفئة هي فضاء متجهي، ومن الصحيح أيضاً أن الدالة $${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$ (بدون${\displaystyle p}$يُعرّف الجذر النوني مسافة تجعل${\displaystyle L^{p}(X)}$إلى فضاء متجهي طوبولوجي متري كامل . تحظى هذه الفضاءات بأهمية بالغة في التحليل الوظيفي ، ونظرية الاحتمالات ، والتحليل التوافقي . مع ذلك، باستثناء الحالات البسيطة، فإن هذا الفضاء المتجهي الطوبولوجي ليس محدبًا محليًا، ولا يحتوي على أشكال خطية غير صفرية متصلة. وبالتالي، فإن الفضاء الثنائي الطوبولوجي لا يحتوي إلا على الدالة الصفرية.

المشتق الجزئي لـ${\displaystyle p}$يُعطى المعيار -norm بواسطة $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

المشتق بالنسبة إلى${\displaystyle x,}$لذلك، هو $${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$ أين${\displaystyle \circ }$يشير إلى منتج هادامارد و${\displaystyle |\cdot |}$يُستخدم لحساب القيمة المطلقة لكل عنصر من عناصر المتجه.

في الحالة الخاصة لـ${\displaystyle p=2,}$يصبح هذا $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$ أو $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

لو${\displaystyle \mathbf {x} }$هو متجه ما بحيث${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ثم: $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

مجموعة المتجهات التي يكون معيارها اللانهائي ثابتًا معطى،${\displaystyle c,}$يشكل سطح مكعب فائق بطول حافة${\displaystyle 2c.}$

معيار الطاقة ^{[ 13 ]} للمتجه${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$يتم تعريفها بدلالة مصفوفة متناظرة موجبة التحديد${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$مثل

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

من الواضح أنه إذا${\displaystyle A}$إذا كانت مصفوفة الوحدة ، فإن هذا المعيار يتوافق مع المعيار الإقليدي .${\displaystyle A}$إذا كان قطريًا، يُطلق على هذا المعيار أيضًا اسم المعيار الموزون . ويُستنتج معيار الطاقة من الضرب الداخلي المعطى بواسطة${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$ل${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$.

بشكل عام، تعتمد قيمة المعيار على نطاق${\displaystyle A}$: بالنسبة للمتجه${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$بمعيار إقليدي يساوي واحدًا، فإن قيمة${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$محصورة من الأسفل والأعلى بأصغر وأكبر القيم الذاتية المطلقة لـ${\displaystyle A}$على التوالي، حيث يتم تحقيق الحدود إذا${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$يتطابق مع المتجهات الذاتية (المُعَيَّرة) المناظرة. استنادًا إلى الجذر التربيعي للمصفوفة المتناظرة${\displaystyle A^{1/2}}$يمكن كتابة معيار الطاقة لمتجه بدلالة المعيار الإقليدي القياسي على النحو التالي:

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

في الاحتمالات والتحليل الوظيفي، يُنشئ المعيار الصفري طوبولوجيا مترية كاملة لفضاء الدوال القابلة للقياس وفضاء F للمتتاليات ذات المعيار F.${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$^{[ 14 ]} ونقصد هنابالمعيار Fدالة حقيقية القيمة${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$على مساحة F مع مسافة${\displaystyle d,}$بحيث${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$إن المعيار F الموصوف أعلاه ليس معيارًا بالمعنى المعتاد لأنه يفتقر إلى خاصية التجانس المطلوبة.

يؤدي تعميم المعايير المذكورة أعلاه إلى عدد لا نهائي من المكونات إلى${\displaystyle \ell ^{p}}$و${\displaystyle L^{p}}$مساحات لـ${\displaystyle p\geq 1\,,}$وفقًا للمعايير

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

بالنسبة للمتتاليات والدوال ذات القيم المركبة على${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$على التوالي، والتي يمكن تعميمها بشكل أكبر (انظر مقياس هار ). هذه المعايير صالحة أيضًا في النهاية كما${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$، مما يعطي معيارًا أعلى ، ويسمى${\displaystyle \ell ^{\infty }}$و${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

أي منتج داخلي يحفز بشكل طبيعي القاعدة${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

يمكن العثور على أمثلة أخرى للفضاءات المتجهة المعيارية ذات الأبعاد اللانهائية في مقالة فضاء باناخ .

عموماً، لا تُعطي هذه المعايير نفس البنى الطوبولوجية. على سبيل المثال، بنية لا نهائية الأبعاد${\displaystyle \ell ^{p}}$يُعطي الفضاء طوبولوجيا أدق بكثير من طوبولوجيا لا نهائية الأبعاد${\displaystyle \ell ^{q}}$مساحة عندما${\displaystyle p<q\,.}$

معايير أخرى بشأن${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن بناؤها من خلال الجمع بين ما سبق؛ على سبيل المثال $${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$ هو أمر طبيعي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

لأي معيار وأي تحويل خطي أحادي${\displaystyle A}$يمكننا تعريف معيار جديد لـ${\displaystyle x,}$يساوي $${\displaystyle \|Ax\|.}$$ في ثنائي الأبعاد، مع${\displaystyle A}$يؤدي تدويرها بمقدار 45 درجة وتغيير حجمها بشكل مناسب إلى تحويل معيار سيارة الأجرة إلى المعيار الأقصى.${\displaystyle A}$عند تطبيقها على معيار سيارة الأجرة، وصولاً إلى انعكاس وتبديل المحاور، فإنها تعطي كرة وحدة مختلفة: متوازي أضلاع ذو شكل وحجم واتجاه معين.

في الأبعاد الثلاثية، يكون هذا مشابهًا ولكنه مختلف بالنسبة للمعيار 1 ( الأوجه الثمانية ) والمعيار الأقصى ( الموشورات ذات القاعدة المتوازية الأضلاع).

توجد أمثلة على المعايير التي لا تُعرَّف بصيغ "مدخلية". على سبيل المثال، دالة مينكوفسكي لجسم محدب متناظر مركزيًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(متمركزة عند الصفر) تحدد معيارًا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(انظر §  تصنيف المعايير شبهية: مجموعات امتصاص محدبة مطلقة أدناه).

جميع الصيغ المذكورة أعلاه تعطي أيضًا معايير على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بدون تعديل.

توجد أيضًا معايير على فضاءات المصفوفات (ذات المدخلات الحقيقية أو المركبة)، والتي تسمى معايير المصفوفات .

يترك${\displaystyle E}$ليكن امتدادًا محدودًا لحقل${\displaystyle k}$بدرجة لا تنفصم${\displaystyle p^{\mu },}$ودع${\displaystyle k}$لها إغلاق جبري${\displaystyle K.}$إذا كانت التضمينات المتميزة لـ${\displaystyle E}$نكون${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$ثم المعيار النظري لغالوا لعنصر ما${\displaystyle \alpha \in E}$هي القيمة${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$ بما أن تلك الدالة متجانسة الدرجة${\displaystyle [E:k]}$إن معيار نظرية غالوا ليس معيارًا بالمعنى المقصود في هذه المقالة. ومع ذلك، فإن${\displaystyle [E:k]}$الجذر النوني للمعيار (بافتراض أن هذا المفهوم منطقي) هو معيار. ^{[ 15 ]}

يختلف مفهوم دائرة الوحدة (مجموعة جميع المتجهات ذات المعيار 1) باختلاف المعايير: ففي المعيار 1، تكون دائرة الوحدة مربعًا موجهًا على شكل معين؛ وفي المعيار 2 (المعيار الإقليدي)، تكون دائرة الوحدة المعروفة؛ أما في معيار اللانهاية، فتكون مربعًا محاذيًا للمحاور.${\displaystyle p}$وفقًا لمعيار -norm، فهو قطع ناقص فائق ذو محاور متطابقة (انظر الرسم التوضيحي المرفق). وبسبب تعريف المعيار، يجب أن تكون دائرة الوحدة محدبة ومتناظرة مركزيًا (لذلك، على سبيل المثال، قد تكون كرة الوحدة مستطيلة ولكن لا يمكن أن تكون مثلثًا، و${\displaystyle p\geq 1}$لـ${\displaystyle p}$-norm).

في سياق الفضاء المتجهي، يُعرّف المعيار الجزئي طوبولوجيا على هذا الفضاء، وهي طوبولوجيا هاوسدورف تحديدًا عندما يستطيع المعيار الجزئي التمييز بين متجهات مختلفة، وهو ما يُكافئ كون المعيار الجزئي معيارًا. يمكن فهم الطوبولوجيا المُعرّفة بهذه الطريقة (سواءً بواسطة معيار أو معيار جزئي) إما من حيث المتتاليات أو المجموعات المفتوحة. متتالية من المتجهات${\displaystyle \{v_{n}\}}$يقال إنها تتقارب في المعيار إلى${\displaystyle v,}$لو${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty .}$بصورة مكافئة، تتكون الطوبولوجيا من جميع المجموعات التي يمكن تمثيلها كاتحاد كرات مفتوحة . إذا${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$إذا كان فضاءً معياريًا ^{[ 18 ]}${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

معياران${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$و${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$في فضاء متجهي${\displaystyle X}$تم الاتصال بـتكون متكافئة إذا أدت إلى نفس البنية الطوبولوجية، ^{[ 19 ]} وهو ما يحدث إذا وفقط إذا وُجدت أعداد حقيقية موجبة${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle p>r\geq 1}$على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ثم ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

بخاصة، $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$ إنه، $${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$ إذا كان الفضاء المتجهي حقيقيًا أو مركبًا محدود الأبعاد، فإن جميع المعايير تكون متكافئة. أما في حالة الفضاءات المتجهة غير المحدودة الأبعاد، فلا تكون جميع المعايير متكافئة.

تُعرّف المعايير المتكافئة نفس مفاهيم الاستمرارية والتقارب، ولا داعي للتمييز بينها في كثير من الأحيان. بتعبير أدق، فإن البنية المنتظمة التي تُعرّفها المعايير المتكافئة على فضاء المتجهات متماثلة بشكل منتظم . يجب ألا يُفهم من هذا التكافؤ أن المعايير قابلة للتبادل دائمًا. ففي سياق ملاءمة النماذج، على سبيل المثال، قد تؤدي المعايير المختلفة إلى نتائج ملاءمة مختلفة وكفاءات خوارزمية متباينة.