اختبار t للطالب

اختبار t للطالب لعينة واحدة هو اختبار لتحديد ما إذا كان متوسط ​​المجتمع له قيمة محددة في الفرضية الصفرية . عند اختبار الفرضية الصفرية التي تنص على أن متوسط ​​المجتمع يساوي قيمة محددة μ₀ _، يتم استخدام الإحصائية t.

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

أين${\displaystyle {\bar {x}}}$يمثل متوسط ​​العينة، و s الانحراف المعياري للعينة ، و n حجم العينة. درجات الحرية المستخدمة في هذا الاختبار هي n  -  1. على الرغم من أن توزيع المجتمع الأصلي ليس بالضرورة أن يكون طبيعيًا، إلا أن توزيع متوسطات العينات في هذا المجتمع يكون طبيعيًا أيضًا.${\displaystyle {\bar {x}}}$يفترض أن يكون طبيعياً.

بحسب نظرية النهاية المركزية ، إذا كانت المشاهدات مستقلة وكان العزم الثاني موجودًا، فإن${\displaystyle t}$سيكون الوضع طبيعياً تقريباً${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$هذا مجرد تقريب، إذ تنطبق نظرية النهاية المركزية على t إذا كان s هو الانحراف المعياري الفعلي لـ x ، بينما هو في الواقع الانحراف المعياري للعينة لأن الانحراف المعياري الفعلي غير معروف عمومًا. لذلك، يتبع t توزيع t للطالب تقاربًا.

اختبار موقع عينتين لفرضية العدم القائلة بأن متوسطي مجتمعين متساويان. تُسمى جميع هذه الاختبارات عادةً باختبارات t للطالب ، مع أن هذا الاسم يُستخدم تحديدًا فقط إذا افترضنا أيضًا تساوي تباينات المجتمعين؛ ويُطلق على شكل الاختبار المستخدم عند إسقاط هذا الافتراض أحيانًا اختبار t لـ Welch . غالبًا ما يُشار إلى هذه الاختبارات باختبارات t للعينات غير المقترنة أو المستقلة ، لأنها تُطبق عادةً عندما تكون الوحدات الإحصائية التي تقوم عليها العينتان المُقارنتان غير متداخلة. ^{[ 14 ]}

تتضمن اختبارات t لعينتين مستقلتين (عينات غير مقترنة) أو مقترنة عينات مستقلة (عينات غير مقترنة ). تُعد اختبارات t المقترنة شكلاً من أشكال التجميع ، وتتمتع بقوة إحصائية أكبر (احتمالية تجنب الخطأ من النوع الثاني، المعروف أيضًا بالنتيجة السلبية الكاذبة) من الاختبارات غير المقترنة عندما تكون الوحدات المقترنة متشابهة فيما يتعلق بـ "عوامل التشويش" (انظر: المتغير المربك ) المستقلة عن الانتماء إلى المجموعتين قيد المقارنة. ^{[ 15 ]} في سياق مختلف، يمكن استخدام اختبارات t المقترنة للحد من تأثير العوامل المربكة في الدراسات الرصدية .

لنفترض أن أحدهم يقوم بملاءمة النموذج

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

حيث x معلومة، و α و β مجهولتان، و ε متغير عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​0 وتباين مجهول σ² ^، و Y هو المتغير التابع محل الاهتمام. نريد اختبار الفرضية الصفرية التي تنص على أن الميل β يساوي قيمة محددة β₀ ₍ والتي غالبًا ما تُعتبر صفرًا، وفي هذه الحالة تكون الفرضية الصفرية هي أن x و y غير مرتبطين).

يترك

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{least-squares estimators}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{the standard errors of least-squares estimators}}.\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

يتبع التوزيع الاحتمالي توزيع t بدرجات حرية n − 2 إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة. الخطأ المعياري لمعامل الميل :

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

يمكن كتابتها بدلالة البواقي. ليكن

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

ثم يتم حساب _قيمة t بواسطة

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

هناك طريقة أخرى لتحديد _قيمة t وهي

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

حيث r هو معامل ارتباط بيرسون .

يمكن تحديد قيمة t _{، والتقاطع من قيمة} t _{، والميل} :

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

حيث s _x ² هو تباين العينة.

يتناول الاختبار ^{[ 25 ]} مشكلة بيرنز-فيشر الشهيرة ، أي مقارنة الفرق بين متوسطات مجموعتين موزعتين توزيعًا طبيعيًا عندما لا يُفترض أن تكون تباينات المجموعتين متساوية، وذلك بناءً على عينتين مستقلتين.

تم تطوير هذا الاختبار كاختبار دقيق يسمح بأحجام عينات غير متساوية وتباينات غير متساوية بين مجموعتين. وتبقى خاصية الدقة قائمة حتى مع أحجام العينات الصغيرة للغاية وغير المتوازنة (مثل${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$مقابل${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$).

يمكن حساب الإحصائية لاختبار ما إذا كانت المتوسطات مختلفة على النحو التالي:

يترك${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$و${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$لتكن متجهات العينة المستقلة والمتطابقة التوزيع (لـ${\displaystyle \ m\geq n\ }$) من${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$و${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$بشكل منفصل.

يترك${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$كن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة متعامدة عناصر صفها الأول جميعها${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$وبالمثل، دع${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$كن الأول${\displaystyle \ n\ }$صفوف من${\displaystyle \ m\times m\ }$المصفوفة المتعامدة (التي تكون عناصر صفها الأول جميعها${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$).

ثم${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$هو متجه عشوائي طبيعي ذو أبعاد n :

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

من التوزيع أعلاه نرى أن العنصر الأول من المتجه Z هو

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

وبالتالي يتم توزيع العنصر الأول على النحو التالي

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

ومربعات العناصر المتبقية من Z موزعة وفقًا لتوزيع كاي تربيع.

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

وبإنشاء المصفوفات المتعامدة P و Q لدينا

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

إذن، _Z1 ، العنصر الأول من Z ، مستقل إحصائيًا عن العناصر المتبقية بسبب خاصية التعامد. أخيرًا، نأخذ إحصائية الاختبار .

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

يُستخدم هذا الاختبار عندما تكون العينات مترابطة؛ أي عندما تكون هناك عينة واحدة فقط تم اختبارها مرتين (قياسات متكررة) أو عندما تكون هناك عينتان متطابقتان أو "مزدوجتان". هذا مثال على اختبار الفرق المزدوج . يتم حساب إحصائية t كما يلي:

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

أين${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$و${\displaystyle s_{D}}$يمثل المتوسط ​​والانحراف المعياري للفروق بين جميع الأزواج. وتشمل هذه الأزواج، على سبيل المثال، درجات الاختبار القبلي والبعدي لشخص واحد، أو أزواجًا من الأشخاص المتطابقين في مجموعات ذات دلالة (على سبيل المثال، من نفس العائلة أو الفئة العمرية: انظر الجدول). ويكون الثابت _μ₀ مساويًا للصفر إذا أردنا اختبار ما إذا كان متوسط ​​الفرق مختلفًا بشكلٍ دال إحصائيًا. درجة الحرية المستخدمة هي n - 1 ، حيث يمثل n عدد الأزواج.

مثال على الأزواج المتطابقة زوج اسم عمر امتحان 1 جون 35 250 1 جين 36 340 2 جيمي 22 460 2 جيسي 21 200

مثال على القياسات المتكررة رقم اسم الاختبار 1 الاختبار الثاني 1 مايك 35% 67% 2 ميلاني 50% 46% 3 ميليسا 90% 86% 4 ميتشل 78% 91%

إذا تم اتباع النهج الخاص بالتباينات غير المتساوية (المناقش أعلاه)، فإن النتائج ستكون

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

ودرجات الحرية

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

تبلغ قيمة إحصائية الاختبار حوالي 1.959، مما يعطي قيمة p لاختبار ذي طرفين تبلغ 0.09077.

إذا تم اتباع نهج التباينات المتساوية (المناقش أعلاه)، فإن النتائج ستكون

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

ودرجات الحرية

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

إحصائية الاختبار تساوي تقريبًا 1.959، مما يعطي قيمة p ذات طرفين تبلغ 0.07857.

يُوفّر اختبار t اختبارًا دقيقًا لتساوي متوسطات مجموعتين عشوائيتين مستقلتين ومتطابقتين التوزيع، ذات تباينات غير معروفة ولكنها متساوية. ( يُعدّ اختبار t لـ Welch اختبارًا دقيقًا تقريبًا في حالة كون البيانات طبيعية التوزيع ولكن قد تختلف التباينات). بالنسبة للعينات الكبيرة نسبيًا والاختبار أحادي الطرف، يكون اختبار t قويًا نسبيًا في مواجهة الانتهاكات المتوسطة لفرضية التوزيع الطبيعي. ^{[ 26 ]} في العينات الكبيرة بما يكفي، يقترب اختبار t تقاربًا من اختبار z ، ويصبح قويًا حتى في مواجهة الانحرافات الكبيرة عن التوزيع الطبيعي. ^{[ 18 ]}

إذا كانت البيانات غير طبيعية بشكل كبير وكان حجم العينة صغيرًا، فقد يُعطي اختبار t نتائج مُضللة. راجع اختبار الموقع لتوزيعات خليط المقياس الغاوسي للاطلاع على بعض النظريات المتعلقة بفئة مُحددة من التوزيعات غير الطبيعية.

عندما لا يتحقق افتراض التوزيع الطبيعي، قد يكون للبديل غير البارامتري لاختبار t قوة إحصائية أفضل . مع ذلك، عندما تكون البيانات غير طبيعية مع اختلاف التباينات بين المجموعات، قد يكون لاختبار t تحكم أفضل في الخطأ من النوع الأول مقارنةً ببعض البدائل غير البارامترية. ^{[ 27 ]} علاوة على ذلك، فإن الطرق غير البارامترية، مثل اختبار مان-ويتني U المذكور أدناه، لا تختبر عادةً فرق المتوسطات، لذا ينبغي استخدامها بحذر إذا كان فرق المتوسطات ذا أهمية علمية أساسية. ^{[ 18 ]} على سبيل المثال، سيحافظ اختبار مان-ويتني U على الخطأ من النوع الأول عند المستوى المطلوب ألفا إذا كان للمجموعتين نفس التوزيع. كما أنه يتمتع بقوة في الكشف عن بديل يكون فيه للمجموعة B نفس توزيع المجموعة A ولكن بعد إزاحة بمقدار ثابت (في هذه الحالة سيكون هناك بالفعل فرق في متوسطات المجموعتين). مع ذلك، قد توجد حالات يكون فيها للمجموعتين (أ) و(ب) توزيعات مختلفة ولكن بمتوسطات متساوية (مثل توزيعين، أحدهما ذو التواء موجب والآخر ذو التواء سالب، ولكنهما مُزاحان بحيث يكون لهما نفس المتوسطات). في مثل هذه الحالات، قد يكون لاختبار مان-ويتني قوة إحصائية تتجاوز مستوى ألفا في رفض الفرضية الصفرية، ولكن تفسير اختلاف المتوسطات بناءً على هذه النتيجة سيكون غير صحيح.

في حال وجود قيمة متطرفة ، لا يكون اختبار t قويًا. على سبيل المثال، بالنسبة لعينتين مستقلتين عندما تكون توزيعات البيانات غير متماثلة (أي ملتوية ) أو ذات ذيول طويلة، فإن اختبار ويلكوكسون لجمع الرتب (المعروف أيضًا باسم اختبار مان-ويتني U ) قد يكون أكثر قوة بثلاث إلى أربع مرات من اختبار t . ^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]} ويُعدّ اختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة للعينات المزدوجة هو المقابل غير البارامتري لاختبار t للعينات المزدوجة. للاطلاع على مناقشة حول اختيار الاختبار المناسب بين اختبار t والبدائل غير البارامترية، انظر Lumley وآخرون (2002). ^{[ 18 ]}

يُعمم تحليل التباين أحادي الاتجاه (ANOVA) اختبار t لعينتين عندما تنتمي البيانات إلى أكثر من مجموعتين.

عند وجود كل من المشاهدات المزدوجة والمشاهدات المستقلة في تصميم العينتين، وبافتراض أن البيانات مفقودة تمامًا عشوائيًا (MCAR)، يمكن استبعاد المشاهدات المزدوجة أو المشاهدات المستقلة لإجراء الاختبارات القياسية المذكورة أعلاه. وبدلاً من ذلك، وباستخدام جميع البيانات المتاحة، وبافتراض التوزيع الطبيعي ووجود البيانات مفقودة تمامًا عشوائيًا، يمكن استخدام اختبار t المعمم للعينات المتداخلة جزئيًا. ^{[ 30 ]}

يُتيح تعميم إحصائية t للطالب ، المعروفة باسم إحصائية هوتلينغ t² ، اختبار الفرضيات على مقاييس متعددة (غالبًا ما تكون مترابطة) ضمن العينة نفسها. على سبيل المثال، قد يُخضع باحث عددًا من الأفراد لاختبار شخصية يتكون من مقاييس شخصية متعددة (مثل قائمة مينيسوتا متعددة الأوجه للشخصية ). ولأن هذا النوع من المقاييس عادةً ما يكون مترابطًا إيجابيًا، فإنه لا يُنصح بإجراء اختبارات t أحادية المتغير منفصلة لاختبار الفرضيات، لأن ذلك سيتجاهل التباين المشترك بين المقاييس ويزيد من احتمالية رفض فرضية واحدة على الأقل بشكل خاطئ ( الخطأ من النوع الأول ). في هذه الحالة ^، يُفضل إجراء اختبار متعدد المتغيرات واحد لاختبار الفرضيات. تُعد طريقة فيشر لدمج اختبارات متعددة مع تقليل قيمة ألفا للارتباط الإيجابي بين الاختبارات إحدى هذه ^الطرق . وهناك طريقة أخرى وهي إحصائية هوتلينغ T² التي تتبع توزيع T² . ومع ذلك، نادرًا ما يُستخدم هذا التوزيع عمليًا، نظرًا لصعوبة العثور على قيم مُجدولة لـ T² ^. عادةً، يتم تحويل T ² بدلاً من ذلك إلى إحصائية F.

في اختبار متعدد المتغيرات لعينة واحدة، تكون الفرضية أن متجه المتوسط ​​( μ ) يساوي متجهًا معطى ( μ₀ ). إحصائية الاختبار هي _اختبار هوتلينغ t² ^.

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

حيث n هو حجم العينة، و x هو متجه متوسطات الأعمدة و S هي مصفوفة التغاير العيني m × m .

في اختبار متعدد المتغيرات لعينتين، تنص الفرضية على أن متجهي المتوسط ​​( μ₁ , μ₂ ₎ للعينتين متساويان. إحصائية الاختبار هي _اختبار هوتلينغ t ^{لعينتين} .

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

يُعد اختبار t لعينتين حالة خاصة من الانحدار الخطي البسيط ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]} . ويوضح المثال التالي هذه العلاقة.

تُجرى تجربة سريرية على ستة مرضى، حيث يُعطى أحدهم دواءً فعلياً والآخر دواءً وهمياً. يتلقى ثلاثة مرضى صفر جرعة من الدواء (مجموعة الدواء الوهمي)، بينما يتلقى ثلاثة مرضى آخرون جرعة واحدة من الدواء الفعلي (مجموعة العلاج الفعلي). في نهاية فترة العلاج، يقيس الباحثون التغير في عدد الكلمات التي يستطيع كل مريض تذكرها في اختبار الذاكرة، مقارنةً بالوضع الأولي.

يُعرض أدناه جدول يوضح قيم استرجاع الكلمات وجرعات الأدوية لدى المرضى.

تم توفير البيانات والبرمجيات اللازمة للتحليل باستخدام لغة البرمجة R، مع استخدام الدالتين t.testو lmلاختبار t والانحدار الخطي. فيما يلي نفس البيانات (الافتراضية) المذكورة أعلاه، والتي تم إنشاؤها باستخدام R.

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

قم بإجراء اختبار t . لاحظ أن افتراض تساوي التباين، var.equal=T، مطلوب لجعل التحليل مكافئًا تمامًا للانحدار الخطي البسيط.

> مع ( بيانات استدعاء الكلمة ، اختبار t ( استدعاء الكلمة ~ جرعة الدواء ، المتغير يساوي T ))

يؤدي تشغيل كود R إلى النتائج التالية.

• متوسط ​​استدعاء الكلمات في مجموعة جرعة الدواء 0 هو 2.
• متوسط ​​استدعاء الكلمات في مجموعة جرعة الدواء الواحدة هو 6.
• الفرق بين مجموعات العلاج في متوسط ​​استدعاء الكلمات هو 6 - 2 = 4.
• إن الفرق في استدعاء الكلمات بين جرعات الدواء كبير (p=0.00805).

قم بإجراء تحليل الانحدار الخطي لنفس البيانات. يمكن إجراء الحسابات باستخدام دالة R lm()للنموذج الخطي.

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

يوفر الانحدار الخطي جدولاً بالمعاملات وقيم الاحتمالية (p-values).

يُعطي جدول المعاملات النتائج التالية.

• القيمة التقديرية 2 للتقاطع هي متوسط ​​قيمة استدعاء الكلمات عندما تكون جرعة الدواء 0.
• تشير القيمة التقديرية 4 لجرعة الدواء إلى أنه مقابل كل تغيير بمقدار وحدة واحدة في جرعة الدواء (من 0 إلى 1)، يحدث تغيير بمقدار 4 وحدات في متوسط ​​استدعاء الكلمات (من 2 إلى 6). وهذا هو ميل الخط الواصل بين متوسطي المجموعتين.
• قيمة الاحتمالية (p-value) التي تشير إلى أن ميل الخط 4 يختلف عن 0 هي p = 0.00805.

تُحدد معاملات الانحدار الخطي ميل الخط الواصل بين متوسطي المجموعتين ومقطعه، كما هو موضح في الرسم البياني. المقطع هو 2 والميل هو 4.

قارن نتيجة الانحدار الخطي بنتيجة اختبار t .

• من خلال اختبار t ، فإن الفرق بين متوسطات المجموعات هو 6-2=4.
• من خلال الانحدار، فإن الميل هو أيضًا 4 مما يشير إلى أن تغييرًا بمقدار وحدة واحدة في جرعة الدواء (من 0 إلى 1) يعطي تغييرًا بمقدار 4 وحدات في متوسط ​​استدعاء الكلمات (من 2 إلى 6).
• قيمة اختبار t p للفرق بين المتوسطات، وقيمة الانحدار p للميل، كلاهما 0.00805. تعطي الطرق نتائج متطابقة.

يُبيّن هذا المثال أنه في الحالة الخاصة للانحدار الخطي البسيط حيث يوجد متغير x واحد له القيمتان 0 و1، فإن اختبار t يُعطي نفس نتائج الانحدار الخطي. ويمكن أيضًا إثبات هذه العلاقة جبريًا.

إن إدراك هذه العلاقة بين اختبار t والانحدار الخطي يُسهّل استخدام الانحدار الخطي المتعدد وتحليل التباين متعدد الاتجاهات . تسمح هذه البدائل لاختبارات t بإدراج متغيرات تفسيرية إضافية مرتبطة بالاستجابة. إن إدراج هذه المتغيرات التفسيرية الإضافية باستخدام الانحدار أو تحليل التباين يقلل من التباين غير المُفسَّر ، وعادةً ما يُعطي قدرة أكبر على كشف الفروق مقارنةً باختبارات t لعينتين . ^{[ 37 ]}