التحديد الكمي بصيغة الجمع

جمل مثل

أليس وبوب يتعاونان.

تتعاون أليس وبوب وكارول.

يُقال إنها تتضمن مسندًا أو علاقة متعددة المستويات (تُعرف أيضًا باسم المسند متعدد الوسائط المتغير ، أو المسند الأنادي ) ("يتعاون" في هذا المثال)، مما يعني أنها تُشير إلى المفهوم نفسه على الرغم من عدم وجود عدد ثابت من الوسائط (انظر: Linnebo & Nicolas 2008). ظهر مفهوم العلاقة/المسند متعدد المستويات في وقت مبكر من أربعينيات القرن العشرين، وقد استخدمه كواين بشكل ملحوظ (انظر: Morton 1975). يتناول التحديد الكمي الجمعي صياغة التحديد الكمي على الوسائط ذات الطول المتغير لهذه المسندات، على سبيل المثال " يتعاون xx " حيث xx متغير جمع. تجدر الإشارة إلى أنه في هذا المثال، لا معنى، من الناحية الدلالية، لربط xx باسم شخص واحد.

بشكل عام، ينكر المذهب الاسمي وجود الكليات ( الكيانات المجردة )، مثل المجموعات والفئات والعلاقات والخصائص وما إلى ذلك. وهكذا تم تطوير منطق الجمع كمحاولة لإضفاء الطابع الرسمي على التفكير حول الجمع، مثل تلك التي تنطوي عليها المحمولات متعددة الدرجات، على ما يبدو دون اللجوء إلى المفاهيم التي ينكرها الاسميون، مثل المجموعات.

يواجه منطق الرتبة الأولى القياسي صعوبات في تمثيل بعض الجمل التي تحتوي على صيغة الجمع. ولعل أشهرها جملة جيتش-كابلان : "بعض النقاد لا يُعجبون إلا ببعضهم البعض". وقد أثبت كابلان أنها غير قابلة للتحويل إلى منطق الرتبة الأولى (يمكن الاطلاع على البرهان في تلك المقالة). لذا، فإن إعادة صياغتها بلغة رسمية يُلزمنا بالقياس الكمي على المجموعات (أي وجودها).

جادل بولوس بأن التكميم الأحادي من الدرجة الثانية يمكن تفسيره بشكل منهجي من حيث التكميم الجمعي، وبالتالي فإن التكميم الأحادي من الدرجة الثانية "بريء وجودياً". ^{[ 1 ]}

وفي وقت لاحق، جادل كل من أوليفر وسمايلي (2001)، ورايو (2002)، ويي (2005)، وماكاي (2006) بأن جملًا مثل

إنهم رفاق سفينة

إنهم يجتمعون معاً

رفعوا بيانو

إنهم يحيطون بمبنى

إنهم لا يُعجبون إلا ببعضهم البعض

لا يمكن تفسيرها أيضًا في منطق الرتبة الثانية الأحادي. ذلك لأن محمولات مثل "رفاق سفينة"، و"يجتمعون معًا"، و"يحيطون بمبنى" ليست توزيعية . يكون المحمول F توزيعيًا إذا كان كل شيء من الأشياء F. ولكن في المنطق القياسي، كل محمول أحادي هو توزيعي . ومع ذلك، تبدو هذه الجمل خالية من أي افتراضات وجودية، ولا تتضمن تحديدًا كميًا.

لذلك يمكن للمرء أن يقترح تفسيراً موحداً للمصطلحات الجمع يسمح بتحقيق الإشباع التوزيعي وغير التوزيعي للمسندات، مع الدفاع عن هذا الموقف ضد الافتراض "التفردي" بأن هذه المسندات هي مسندات لمجموعات من الأفراد (أو للمجاميع الميرولوجية).

وقد أشار العديد من الكتاب إلى أن المنطق التعددي يفتح آفاق تبسيط أسس الرياضيات ، وتجنب مفارقات نظرية المجموعات، وتبسيط مجموعات البديهيات المعقدة وغير البديهية اللازمة لتجنبها.

في الآونة الأخيرة، اقترح لينيبو ونيكولاس (2008) أن اللغات الطبيعية غالباً ما تحتوي على متغيرات جمع فائقة (ومحددات كمية مرتبطة بها) مثل "هؤلاء الأشخاص، وهؤلاء الأشخاص، وهؤلاء الأشخاص الآخرون يتنافسون ضد بعضهم البعض" (على سبيل المثال كفرق في لعبة عبر الإنترنت)، بينما جادل نيكولاس (2008) بأنه ينبغي استخدام منطق الجمع لتفسير دلالات الأسماء غير المعدودة، مثل "النبيذ" و"الأثاث".

تُعرَّف الوحدات الفرعية للجملة على النحو التالي:

• رموز المسند${\displaystyle F}$،${\displaystyle G}$إلخ. (مع عدد المعاملات المناسب، والذي يُترك ضمنيًا)
• رموز المتغيرات المفردة${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، إلخ.
• رموز المتغيرات الجمع${\displaystyle {\bar {x}}}$،${\displaystyle {\bar {y}}}$، إلخ.

تُعرَّف الجمل الكاملة على النحو التالي:

• لو${\displaystyle F}$هو رمز مسند من الرتبة n ، و${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$إذا كانت رموز المتغيرات مفردة،${\displaystyle F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$هي جملة.
• لو${\displaystyle P}$إذا كانت جملة، فكذلك${\displaystyle \neg P}$
• لو${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$إذا كانت الجمل كذلك، فكذلك${\displaystyle P\land Q}$
• لو${\displaystyle P}$هي جملة و${\displaystyle x}$إذا كان رمز متغير مفرد،${\displaystyle \exists xP}$هي جملة
• لو${\displaystyle x}$هو رمز متغير مفرد و${\displaystyle {\bar {y}}}$إذا كان رمز متغير جمع، فإن${\displaystyle x\prec {\bar {y}}}$هي جملة (حيث يتم تفسير ≺ عادةً على أنها علاقة "هو واحد من").
• لو${\displaystyle P}$هي جملة و${\displaystyle {\bar {x}}}$إذا كان رمز متغير جمع، فإن${\displaystyle \exists {\bar {x}}.P}$هي جملة

السطران الأخيران هما المكون الجديد الوحيد في صيغة منطق الجمع. ويمكن استخدام الرموز المنطقية الأخرى التي يمكن تعريفها باستخدام هذين السطرين بحرية كاختصارات دلالية.

اتضح أن هذا المنطق قابل للتفسير بنفس القدر مع منطق الدرجة الثانية الأحادي .

تُفسر نظرية النماذج/الدلالات في منطق الجمع غياب المجموعات في هذا المنطق. يُعرَّف النموذج بأنه مجموعة مرتبة.${\displaystyle (D,V,s,R)}$أين${\displaystyle D}$هو المجال،${\displaystyle V}$هي مجموعة من التقييمات${\displaystyle V_{F}}$لكل اسم مسند${\displaystyle F}$بالمعنى المعتاد، و${\displaystyle s}$هي متتالية تارسكية (إسناد قيم للمتغيرات) بالمعنى المعتاد (أي خريطة من رموز المتغيرات المفردة إلى عناصر${\displaystyle D}$المكون الجديد${\displaystyle R}$هي علاقة ثنائية تربط القيم في المجال برموز متغيرات متعددة.

يُعطى الرضا على النحو التالي

• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models F(x_{0},\ldots ,x_{n})}$إذا${\displaystyle (s_{x_{0}},\ldots ,s_{x_{n}})\in V_{F}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \neg P}$إذا${\displaystyle (D,V,s,R)\nvDash P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models P\land Q}$إذا${\displaystyle (D,V,s,R)\models P}$و${\displaystyle (D,V,s,R)\models Q}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists x.P}$إذا كان هناك${\displaystyle s'\approx _{x}s}$بحيث${\displaystyle (D,V,s',R)\models P}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models x\prec {\bar {y}}}$إذا${\displaystyle s_{x}R{\bar {y}}}$
• ${\displaystyle (D,V,s,R)\models \exists {\bar {x}}.P}$إذا كان هناك${\displaystyle R'\approx _{\bar {x}}R}$بحيث${\displaystyle (D,V,s,R')\models P}$

بالنسبة لرموز المتغيرات المفردة،${\displaystyle s\approx _{x}s'}$يعني ذلك أنه بالنسبة لجميع رموز المتغيرات المفردة${\displaystyle y}$بخلاف${\displaystyle x}$ويرى ذلك أن${\displaystyle s_{y}=s'_{y}}$وبالنسبة لرموز المتغيرات الجمع،${\displaystyle R\approx _{\bar {x}}R'}$يعني ذلك أنه بالنسبة لجميع رموز المتغيرات الجمع${\displaystyle {\bar {y}}}$بخلاف${\displaystyle {\bar {x}}}$وكذلك بالنسبة لجميع عناصر المجال${\displaystyle d}$ويرى ذلك أن${\displaystyle dR{\bar {y}}=dR'{\bar {y}}}$.

كما هو الحال في بناء الجملة، فإن آخر عنصرين فقط جديدان حقًا في منطق الجمع. ويلاحظ بولوس أنه باستخدام علاقات الإسناد${\displaystyle R}$لا يشترط أن يشمل المجال مجموعات، وبالتالي يحقق المنطق الجمعي البراءة الأنطولوجية مع الاحتفاظ بالقدرة على الحديث عن امتدادات المسند. ومن ثم، فإن مخطط فهم المنطق الجمعي${\displaystyle \exists {\bar {x}}.\forall y.y\prec {\bar {x}}\leftrightarrow F(y)}$لا يؤدي ذلك إلى مفارقة راسل لأن تحديد كمية المتغيرات المتعددة لا يُحدد الكمية على المجال. جانب آخر من المنطق، كما يُعرّفه بولوس، وهو أمر بالغ الأهمية لتجاوز مفارقة راسل هذه، هو أن الجمل من الشكل${\displaystyle F({\bar {x}})}$ليست سليمة التكوين: لا يمكن أن تتحد أسماء المسند إلا مع رموز المتغيرات المفردة، وليس مع رموز المتغيرات الجمع.

يمكن اعتبار هذا أبسط وأوضح حجة مفادها أن المنطق الجمعي كما عرّفه بولوس بريء من الناحية الوجودية.