الأعداد الحقيقية الموجبة

في الرياضيات ، مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ،${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية التي تزيد عن الصفر. الأعداد الحقيقية غير السالبة ،${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$وتشمل أيضاً الصفر. على الرغم من أن الرموز${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$تُستخدم هذه الرموز بشكل غامض للدلالة على أيٍّ من هذين الأمرين، والترميز${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ل${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$و${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$ل${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$كما أنه يُستخدم على نطاق واسع، ويتماشى مع الممارسة المتبعة في الجبر للدلالة على استبعاد العنصر الصفري باستخدام النجمة، وينبغي أن يكون مفهوماً لمعظم علماء الرياضيات الممارسين. ^{[ 1 ]}

في المستوى المركب ،${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$يُعرَّف المحور الحقيقي الموجب (أو نصف المحور الحقيقي الموجب ) بأنه المحور الحقيقي الموجب، ويُرسم عادةً كشعاع أفقي . يُستخدم هذا الشعاع كمرجع في الصيغة القطبية للعدد المركب . يتوافق المحور الحقيقي الموجب مع الأعداد المركبة .${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$مع الحجة${\displaystyle \varphi =0.}$

المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$هي مجموعة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب والقسمة. وهي ترث طوبولوجيا من خط الأعداد الحقيقية ، وبالتالي، فإن لها بنية مجموعة طوبولوجية ضربية أو شبه مجموعة طوبولوجية جمعية .

بالنسبة لعدد حقيقي موجب معين${\displaystyle x,}$التسلسل​${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$لقواها المتكاملة ثلاثة مصائر مختلفة: عندما${\displaystyle x\in (0,1),}$النهاية تساوي صفرًا؛ عندما${\displaystyle x=1,}$التسلسل ثابت؛ وعندما${\displaystyle x>1,}$التسلسل غير محدود .

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$وتقوم الدالة العكسية الضربية بتبديل الفترات. الدوال : الجزء الصحيح،${\displaystyle \operatorname {floor}$ :[1,\infty )\to \ mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,} والزيادة ،${\displaystyle \operatorname {excess}$ تم استخدام الرموز التالية لوصف عنصر : `[1,∞)→(0,1), x→x-∅x∅` ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ككسر مستمر${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$وهي سلسلة من الأعداد الصحيحة التي يتم الحصول عليها من دالة الجزء الصحيح بعد عكس الزيادة. بالنسبة للأعداد النسبية${\displaystyle x,}$تنتهي المتتالية بتعبير كسري دقيق لـ${\displaystyle x,}$وبالنسبة للأعداد غير النسبية التربيعية${\displaystyle x,}$يصبح التسلسل كسرًا دوريًا مستمرًا .

المجموعة المرتبة${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$يشكل ترتيبًا كليًا ولكنه ليس مجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا . المتتالية الهندسية اللانهائية المزدوجة${\displaystyle 10^{n},}$أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح ، ويقع بالكامل في${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ويُستخدم لتقسيمها لتسهيل الوصول إليها.${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$يشكل مقياسًا نسبيًا ، وهو أعلى مستوى من مستويات القياس . يمكن كتابة العناصر بالصيغة العلمية كما يلي:${\displaystyle a\times 10^{b},}$أين${\displaystyle 1\leq a<10}$و${\displaystyle b}$هو العدد الصحيح في المتتالية اللانهائية المزدوجة، ويُسمى العقد . في دراسة المقادير الفيزيائية، يوفر ترتيب العقود أعدادًا ترتيبية موجبة وسالبة تشير إلى مقياس ترتيبي ضمني في مقياس النسبة.

في دراسة المجموعات الكلاسيكية ، لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$يُعطي المحدد خريطة من${\displaystyle n\times n}$المصفوفات على الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية:${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$يؤدي الاقتصار على المصفوفات القابلة للعكس إلى الحصول على خريطة من المجموعة الخطية العامة إلى الأعداد الحقيقية غير الصفرية:${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$بتقييد المصفوفات ذات المحدد الموجب نحصل على الخريطة${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$تفسير الصورة على أنها مجموعة خارج القسمة بواسطة المجموعة الفرعية الطبيعية${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$تُسمى المجموعة الخطية الخاصة ، وتعبر عن الأعداد الحقيقية الموجبة كمجموعة لي .

من بين مستويات القياس ، يوفر مقياس النسبة أدق التفاصيل. تأخذ دالة القسمة القيمة واحد عندما يتساوى البسط والمقام . تُقارن النسب الأخرى بالواحد باستخدام اللوغاريتمات، وغالبًا اللوغاريتم العشري ذو الأساس 10. ثم يُقسّم مقياس النسبة إلى رتب مقدارية تُستخدم في العلوم والتكنولوجيا، ويُعبّر عنها بوحدات قياس مختلفة .

وقد تم التعبير عن مقياس النسبة مبكراً بشكل هندسي من قبل إيدوكسوس : "لقد تم تطوير النظرية العامة للنسبة لإيدوكسوس ... باللغة الهندسية ، وهي مكافئة لنظرية الأعداد الحقيقية الموجبة." ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$إذا كانت فترة زمنية ،${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$يحدد مقياسًا على مجموعات فرعية معينة من${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$وهو ما يُقابل سحب مقياس ليبيغ المعتاد على الأعداد الحقيقية تحت اللوغاريتم: إنه الطول على المقياس اللوغاريتمي . في الواقع، إنه مقياس ثابت بالنسبة للضرب.${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$بواسطة${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$تمامًا كما أن مقياس ليبيغ ثابت تحت الجمع. في سياق المجموعات الطوبولوجية، يُعد هذا المقياس مثالًا على مقياس هار .

تتجلى فائدة هذا المقياس في استخدامه لوصف سطوع النجوم ومستويات الضوضاء بالديسيبل ، بالإضافة إلى تطبيقات أخرى للمقياس اللوغاريتمي . ولأغراض المعيار الدولي ISO 80000-3 ، يُشار إلى الكميات غير البعدية باسم " المستويات" .

تُستخدم الأعداد الحقيقية غير السالبة كصورة للمقاييس والمعايير والقياسات في الرياضيات .

بما في ذلك الصفر، المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$يمتلك بنية شبه حلقة (حيث يمثل الصفر العنصر المحايد الجمعي )، تُعرف باسم شبه حلقة الاحتمالات ؛ وأخذ اللوغاريتمات (مع اختيار أساس يعطي وحدة لوغاريتمية ) يعطي تماثلاً مع شبه حلقة اللوغاريتمات (حيث يمثل الصفر ).${\displaystyle -\infty }$ووحداتها (الأعداد المحدودة، باستثناء${\displaystyle -\infty }$) تتوافق مع الأعداد الحقيقية الموجبة.

• شبه الحقل – البنية الجبرية 
• الإشارة (في الرياضيات) – خاصية العدد التي تدل على كونه موجبًا أو سالبًا 

• كيست، جوزيف؛ ليتسما ، سانفورد (1970). “مجموعات شبه مضافة من الأعداد الحقيقية الإيجابية”. الرياضيات أنالن . 188 (3): 214-218 . دوى : 10.1007 / BF01350237 .