التبادر المحوري

في علم الفلك ، يُعرف التبادر المحوري بأنه تغير بطيء ومستمر في اتجاه محور دوران الجسم الفلكي، ناتج عن الجاذبية . في غياب التبادر، يكون مدار الجسم الفلكي متوازياً محورياً . ^{[ 2 ]} وعلى وجه الخصوص، يُعد التبادر المحوري للأرض تحولاً تدريجياً في اتجاه محور دورانها. وتبلغ دورته حوالي 26000 عام، راسماً مخروطاً مزدوجاً بنصف فتحة يبلغ حوالي 23.4 درجة، وهي زاوية تُعرف بميل دائرة البروج . ^{[ 1 ]} وهذا يُشبه تبادر البلبل الدوار. ويشير مصطلح "التبادر" عادةً إلى هذا الجزء الأكبر من الحركة فقط؛ أما التغيرات الأخرى في محاذاة محور الأرض - كالتمايل والحركة القطبية - فهي أصغر بكثير.

كان يُطلق على ترنح الأرض تاريخيًا اسم ترنح الاعتدالين ، لأن الاعتدالين يتحركان غربًا على طول مسار الشمس الظاهري بالنسبة للنجوم الثابتة ، في عكس الحركة السنوية للشمس على طول مسار الشمس الظاهري. تاريخيًا، ^{[ 3 ]} يُنسب اكتشاف ترنح الاعتدالين عادةً في الغرب إلى الفلكي هيبارخوس الذي عاش في القرن الثاني قبل الميلاد . مع تحسن القدرة على حساب قوة الجاذبية بين الكواكب خلال النصف الأول من القرن التاسع عشر، تم إدراك أن مسار الشمس الظاهري نفسه يتحرك قليلًا، وهو ما سُمي بالترنح الكوكبي ، في وقت مبكر من عام 1863، بينما سُمي المكون المهيمن بالترنح القمري الشمسي . ^{[ 4 ]} سُمي مزيجهما بالترنح العام ، بدلًا من ترنح الاعتدالين.

ينتج التبادر القمري الشمسي عن قوى جاذبية القمر والشمس على انتفاخ الأرض الاستوائي ، مما يؤدي إلى تحرك محور الأرض بالنسبة للفضاء المرجعي . أما التبادر الكوكبي (التقدم) فينتج عن الزاوية الصغيرة بين قوة جاذبية الكواكب الأخرى على الأرض ومستوى مدارها (دائرة البروج)، مما يتسبب في انزياح طفيف لمستوى دائرة البروج بالنسبة للفضاء المرجعي. ويُعدّ التبادر القمري الشمسي أكبر بنحو 500 مرة من التبادر الكوكبي. ^{[ 5 ]} بالإضافة إلى القمر والشمس، تُحدث الكواكب الأخرى أيضًا حركة طفيفة لمحور الأرض في الفضاء المرجعي، مما يجعل التمييز بين مصطلحي "التبادر القمري الشمسي" و"التبادر الكوكبي" مُضللاً. لذلك، أوصى الاتحاد الفلكي الدولي في عام 2006 بإعادة تسمية المكون الرئيسي إلى " تبادر خط الاستواء" ، والمكون الثانوي إلى " تبادر دائرة البروج" ، ولكن لا يزال يُطلق على مجموعهما اسم "التبادر العام". ^{[ 6 ]} توجد العديد من الإشارات إلى المصطلحات القديمة في المنشورات التي سبقت التغيير.

يُستخدم مصطلح "الترنح" في علم الفلك لوصف التغير الملحوظ، وإن كان بطيئًا للغاية،  لموقع الشمس بالنسبة للنجوم الخلفية خلال رحلتها شمالًا عبر خط الاستواء ، لحظة الاعتدال الربيعي . ويبدو أن النجوم تتحرك حركةً عكسيةً في السماء، مما يوحي بأن مواقع الاعتدال هي التي تتحرك. أما في الفيزياء، فيُستخدم مصطلح "الترنح" بشكل مختلف قليلًا لوصف العملية الميكانيكية المشابهة، وهي تغير اتجاه البلابل الدوارة بالنسبة لمحيطها عند إمالتها قليلًا أثناء دورانها.

يُشتق مصطلح " الترنح " من الكلمة اللاتينية praecedere (أي يسبق، يأتي قبل، يكون أبكر). عند النظر من الأرض، تُرى النجوم وهي تتحرك بسرعة أكبر قليلاً من دورة كاملة عبر السماء من الشرق إلى الغرب، بمعدل 15 درجة في الساعة تقريبًا ، وذلك بسبب الحركة اليومية  للأرض في الاتجاه المعاكس. كما تدور النجوم حول محور الأرض ببطء أكبر، مرة واحدة كل عام (بمعدل درجة واحدة تقريبًا في اليوم)، وهو ما يُعد انعكاسًا لحركة الأرض المدارية حول الشمس. في الوقت نفسه، يمكن ملاحظة النجوم وهي تتحرك مرة أخرى ببطء أكبر في نفس اتجاه دورانها السنوي حول محور الأرض القطبي، بسرعة أكبر قليلاً من حركتها السنوية المعتادة. يبلغ هذا المعدل الأخير حوالي 50 ثانية قوسية في السنة - أي درجة واحدة كل 72 عامًا أو دورة كاملة كل 26000 عام تقريبًا - وهي ظاهرة تُعرف باسم "ترنح الاعتدالين".     

عند وصف الحركة التي يرصدونها، يختصر علماء الفلك عادةً المصطلح إلى "الترنح" . كما يستخدم الفيزيائيون مصطلح "الترنح" لوصف سبب الحركة، مما أدى إلى بعض الالتباس بين الظاهرة المرصودة في السماء وعدم توازن العزوم الذي يُسبب تذبذب الأجسام . هذا التمييز مهم في علم الفلك، لأن بعض حركات الترنح حقيقية، بينما البعض الآخر مجرد حركة ظاهرية ناتجة عن الاعتقاد الخاطئ بأن النجوم الخلفية تنجرف وأن اعتدالي الأرض ثابتان، نتيجةً لرؤية السماء من منظور إطار مرجعي يتحرك ببطء شديد (محور دوران الأرض ومحورها المداري). ويزداد الأمر تعقيدًا لأن علماء الفلك المعاصرين هم في غالبيتهم فيزيائيون ، ويخلطون بين المصطلحات الفلكية والفيزيائية، والتي قد يكون من الأسهل فهم الفروق الدقيقة بينها لو تم فصلها.

يُحدث ترنح محور الأرض عددًا من التأثيرات الملحوظة. أولًا، يبدو أن موقعي القطبين السماويين الشمالي والجنوبي يتحركان في دوائر على خلفية النجوم الثابتة في الفضاء، مُكملين دورة كاملة كل 26,000 سنة تقريبًا. لذا، فبينما يقع نجم القطب الشمالي (بولاريس) اليوم تقريبًا عند القطب السماوي الشمالي، سيتغير هذا الموقع بمرور الوقت، وستصبح نجوم أخرى هي " نجم الشمال ". ^{[ 3 ]} في غضون 3,200 سنة تقريبًا، سيخلف نجم غاما قيفاوس (غاما سيفي) في كوكبة قيفاوس (سيفاوس) نجم القطب الشمالي في هذا الموقع. يفتقر القطب السماوي الجنوبي حاليًا إلى نجم ساطع يُحدد موقعه، ولكن بمرور الوقت، سيؤدي الترنح أيضًا إلى تحول نجوم ساطعة إلى نجوم جنوبية . ومع تحرك الأقطاب السماوية، يحدث تحول تدريجي مُقابل في الاتجاه الظاهري لحقل النجوم بأكمله، كما يُرى من موقع مُحدد على الأرض.

ثانيًا، يتغير موقع الأرض في مدارها حول الشمس ببطء عند الانقلابين الشمسيين ، والاعتدالين ، أو أي وقت آخر محدد بالنسبة للفصول. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، لنفترض أن موقع الأرض المداري مُحدد عند الانقلاب الصيفي، عندما يكون ميل محور الأرض مُوجهًا نحو الشمس تقريبًا. بعد دورة كاملة، عندما تعود الشمس إلى نفس الموقع الظاهري بالنسبة للنجوم، لا يكون ميل محور الأرض مُوجهًا نحو الشمس مباشرةً: بسبب تأثيرات التبادر، يكون مُتجهًا "خلف" هذا الموقع قليلًا. بعبارة أخرى، حدث الانقلاب الشمسي مُبكرًا قليلًا في المدار. وبالتالي، فإن السنة المدارية ، التي تقيس دورة الفصول (على سبيل المثال، الوقت من انقلاب إلى انقلاب، أو من اعتدال إلى اعتدال)، أقصر بحوالي 20 دقيقة من السنة النجمية ، التي تُقاس بالموقع الظاهري للشمس بالنسبة للنجوم. بعد حوالي  26000 عام، يصل الفرق إلى عام كامل، لذا تعود مواقع الفصول بالنسبة للمدار إلى "موقعها الأصلي". (تُغيّر عوامل أخرى شكل مدار الأرض واتجاهه ببطء، وهذه العوامل، بالإضافة إلى التبادر، تُنشئ دورات مختلفة ذات فترات زمنية متباينة؛ انظر أيضًا دورات ميلانكوفيتش . كما يتغير مقدار ميل محور الأرض، وليس اتجاهه فقط، ببطء مع مرور الوقت، ولكن هذا التأثير لا يُعزى مباشرةً إلى التبادر).

ولأسباب مماثلة، فإن الموقع الظاهري للشمس بالنسبة لخلفية النجوم في وقت محدد موسميًا يتراجع ببطء بمقدار 360 درجة كاملة عبر جميع الأبراج الاثني عشر التقليدية للأبراج ، بمعدل حوالي 50.3 ثانية قوسية في السنة، أو درجة واحدة كل 71.6 سنة.

في الوقت الحاضر، يتوافق معدل التبادر مع فترة 25772 سنة، لذا فإن السنة المدارية أقصر من السنة النجمية بمقدار 1224.5 ثانية (20 دقيقة 24.5 ثانية ≈ (365.24219 × 86400) / 25772).

يختلف المعدل نفسه إلى حد ما مع مرور الوقت (انظر القيم أدناه)، لذلك لا يمكن القول أنه في غضون 25772 عامًا بالضبط سيعود محور الأرض إلى ما هو عليه الآن.

لمزيد من التفاصيل، انظر إلى تغير النجوم القطبية والتحول القطبي وتحول الاعتدالين ، أدناه.

قدّم هيبارخوس وصفًا لاكتشافه في كتابه " في إزاحة نقطتي الانقلاب الشمسي والاعتدال" (الموصوف في كتاب المجسطي، الفصل الثالث، 1، والفصل السابع، 2). قاس هيبارخوس خط طول نجم السماك الأعزل على دائرة البروج أثناء خسوف القمر، ووجد أنه يقع على بعد حوالي 6 درجات غرب الاعتدال الخريفي . وبمقارنة قياساته مع قياسات تيموخاريس الإسكندري (المعاصر لإقليدس ، والذي عمل مع أريستيلوس في أوائل القرن الثالث قبل الميلاد)، وجد أن خط طول السماك الأعزل قد انخفض بمقدار درجتين تقريبًا خلال تلك الفترة (لم تُذكر السنوات بالتحديد في كتاب المجسطي ). في الفصل السابع، الفقرة الثانية، يُقدّم بطليموس ملاحظاتٍ أكثر دقةً لنجمين، أحدهما السماك الأعزل، ويخلص إلى حدوث تغييرٍ مقداره 2° 40' في كلٍّ منهما بين عامي 128 قبل الميلاد و139 ميلادي. أي بمعدل درجة واحدة في القرن، أو دورة كاملة في 36000 سنة، وهي فترة التبادر المحوري التي ذكرها بطليموس (انظر الصفحة 328 في ترجمة تومر لكتاب المجسطي، طبعة 1998). وقد لاحظ بطليموس هذه الحركة في نجومٍ أخرى أيضًا، وتكهّن بأنّ النجوم القريبة من دائرة البروج فقط هي التي تتحرّك مع مرور الوقت. أطلق بطليموس على هذه الفرضية اسم "فرضيته الأولى" ( المجسطي، الفصل السابع، الفقرة الأولى)، لكنه لم يذكر أيّ فرضية لاحقة قد يكون بطليموس قد وضعها. ويبدو أن بطليموس قد حدّد نطاق تكهّناته، نظرًا لقلة الملاحظات القديمة التي كانت لديه، والتي لم تكن موثوقةً تمامًا.

لأن نقاط الاعتدال غير مُحددة في السماء، احتاج هيبارخوس إلى القمر كنقطة مرجعية؛ فاستخدم خسوفًا قمريًا لقياس موقع نجم. وكان هيبارخوس قد طور بالفعل طريقة لحساب خط طول الشمس في أي لحظة. يحدث الخسوف القمري أثناء اكتمال القمر ، عندما يكون القمر في وضع التقابل ، على بُعد 180 درجة بالضبط من الشمس. يُعتقد أن هيبارخوس قاس القوس الطولي الذي يفصل نجم السماك الأعزل عن القمر. وأضاف إلى هذه القيمة خط طول الشمس المحسوب، بالإضافة إلى 180 درجة لخط طول القمر. وقد اتبع الإجراء نفسه مع بيانات تيموخاريس. ^{[ 24 ]} ومن الجدير بالذكر أن ملاحظات مثل هذه الخسوفات تُعد المصدر الرئيسي للبيانات حول الفترة التي عمل فيها هيبارخوس، نظرًا لقلة المعلومات البيوغرافية الأخرى عنه. فعلى سبيل المثال، حدثت خسوفات القمر التي رصدها في 21 أبريل عام 146 قبل الميلاد، وفي 21 مارس عام 135 قبل الميلاد. ^{[ 25 ]}

درس هيبارخوس أيضًا ظاهرة التبادر في كتابه " في طول السنة" . يُعدّ نوعان من السنوات مهمين لفهم عمله. السنة المدارية هي المدة التي تستغرقها الشمس، كما تُرى من الأرض، للعودة إلى نفس الموضع على طول مسارها الظاهري (مسارها بين النجوم على الكرة السماوية). أما السنة النجمية فهي المدة التي تستغرقها الشمس للعودة إلى نفس الموضع بالنسبة لنجوم الكرة السماوية. يتسبب التبادر في تغيير النجوم لخطوط طولها قليلاً كل عام، لذا فإن السنة النجمية أطول من السنة المدارية. باستخدام ملاحظات الاعتدالين والانقلابين، وجد هيبارخوس أن طول السنة المدارية هو 365 + 1/4 - 1/300 يوم، أو 365.24667 يومًا (إيفانز 1998، ص  209). وبمقارنة هذا مع طول السنة النجمية، حسب أن معدل التبادر لا يقل عن درجة واحدة في القرن. انطلاقاً من هذه المعلومات، يمكن حساب أن قيمته للسنة النجمية كانت 365 + 1/4 + 1/144 يوماً. ^{[ 26 ]} وبإعطائه معدلاً أدنى، ربما كان يأخذ في الحسبان أخطاء الرصد.

لتقريب سنته الاستوائية، ابتكر هيبارخوس تقويمه القمري الشمسي الخاص بتعديل تقويمي ميتون وكاليبوس في كتابه " في الأشهر والأيام الكبيسة" (المفقود الآن)، كما وصفه بطليموس في كتاب المجسطي 3.1. ^{[ 27 ]} استخدم التقويم البابلي دورة من 235 شهرًا قمريًا في 19 عامًا منذ عام 499 قبل الميلاد (باستثناء ثلاث سنوات فقط قبل عام 380 قبل الميلاد)، ولكنه لم يستخدم عددًا محددًا من الأيام. خصصت دورة ميتون (432 قبل الميلاد) 6940 يومًا لهذه السنوات الـ 19، مما أنتج سنة متوسطة قدرها 365 + 1/4 + 1/76 أو 365.26316 يومًا. أما دورة كاليبوس (330 قبل الميلاد) فقد حذفت يومًا واحدًا من أربع دورات ميتونية (76 عامًا) ليصبح متوسط ​​السنة 365 + 1/4 أو 365.25 يومًا. أسقط هيبارخوس يومًا إضافيًا من دورات كاليبيك الأربع (304 سنوات)، مما أدى إلى إنشاء دورة هيبارخوس بمتوسط ​​سنة يبلغ 365+1/4−1/304 أو 365.24671 يومًا، وهو ما كان قريبًا من سنته الاستوائية البالغة 365+1/4−1/300 أو 365.24667 يومًا.

تُوجد بصمات هيبارخوس الرياضية في آلية أنتيكيثيرا ، وهي حاسوب فلكي قديم يعود إلى القرن الثاني قبل الميلاد. تعتمد هذه الآلية على السنة الشمسية، ودورة ميتونيك، وهي الفترة التي يعود فيها القمر للظهور في نفس المكان في السماء بنفس الطور (يظهر البدر في نفس الموضع في السماء كل 19 عامًا تقريبًا)، ودورة كاليبس (وهي أربع دورات ميتونيك وأكثر دقة)، ودورة ساروس ، ودورات إكسيليغموس (ثلاث دورات ساروس للتنبؤ الدقيق بالكسوف). وقد أظهرت دراسة آلية أنتيكيثيرا أن القدماء استخدموا تقاويم دقيقة للغاية تعتمد على جميع جوانب حركة الشمس والقمر في السماء. في الواقع، تُصوّر الآلية القمرية، وهي جزء من آلية أنتيكيثيرا، حركة القمر ومراحله، لفترة زمنية محددة، باستخدام سلسلة من أربعة تروس مزودة بآلية دبوس وفتحة، مما يُعطي سرعة قمرية متغيرة قريبة جدًا من قانون كبلر الثاني . أي أنها تأخذ في الحسبان الحركة السريعة للقمر عند نقطة الحضيض والحركة الأبطأ عند نقطة الأوج .

من نتائج التبادر تغير موقع النجم القطبي . حاليًا، يُعد نجم القطب الشمالي (بولاريس) مناسبًا للغاية لتحديد موقع القطب السماوي الشمالي، فهو نجم متوسط ​​السطوع بقدر ظاهري 2.1 (متغير)، ويقع على بُعد درجة واحدة تقريبًا من القطب، ولا توجد نجوم أخرى ذات سطوع مماثل قريبة منه. ^{[ 28 ]}

كان نجم القطب السابق هو كوكب (بيتا الدب الأصغر، β UMi، β Ursae Minoris)، وهو ألمع نجم في حوض الدب الأصغر، ويقع على بُعد 16 درجة من نجم القطب الشمالي. وقد شغل هذا الدور من عام 1500 قبل الميلاد إلى عام 500 ميلادي. ^{[ 29 ]} لم يكن دقيقًا في ذلك الوقت كما هو الحال مع نجم القطب الشمالي اليوم. ^{[ 29 ]} يُشار اليوم إلى كوكب وجاره فيركاد باسم "حارسي القطب" (أي نجم القطب الشمالي). ^{[ 29 ]}

من ناحية أخرى، فإن نجم ثعبان في كوكبة التنين ، الذي كان النجم القطبي في عام 3000 قبل الميلاد، أقل وضوحًا بكثير عند القدر الظاهري 3.67 (خمس سطوع نجم القطب الشمالي)؛ واليوم هو غير مرئي في سماء المدن الملوثة بالضوء .

عندما يصبح نجم الشمال مرة أخرى حوالي عام 27800، سيكون حينها أبعد عن القطب مما هو عليه الآن بسبب حركته الذاتية ، بينما في عام 23600 قبل الميلاد كان أقرب إلى القطب.

يصعب حاليًا تحديد موقع القطب السماوي الجنوبي في السماء، إذ تُعدّ تلك المنطقة جزءًا باهتًا منها. النجم الذي يُفترض أنه يُمثّل القطب الجنوبي هو سيجما أوكتانتيس ، والذي يبلغ قدره الظاهري 5.5، وهو بالكاد يُرى بالعين المجردة حتى في الظروف المثالية. لكن هذا سيتغير بين القرنين الثمانين والتسعين، عندما يمرّ القطب السماوي الجنوبي عبر كوكبة الصليب الزائف .

يظهر هذا الوضع أيضًا على خريطة النجوم، حيث يتحرك اتجاه القطب الجنوبي نحو كوكبة الصليب الجنوبي . وعلى مدى الألفي عام الماضية تقريبًا، ظل الصليب الجنوبي يشير إلى القطب السماوي الجنوبي. ونتيجة لذلك، يصعب رؤية هذه الكوكبة من خطوط العرض الشمالية شبه الاستوائية، على عكس ما كان عليه الحال في زمن الإغريق القدماء . ويمكن رؤية الصليب الجنوبي من أقصى الشمال حتى ميامي (حوالي 25 درجة  شمالًا)، ولكن فقط خلال فصل الشتاء وبداية الربيع.

تحاول الصور على اليمين شرح العلاقة بين ترنح محور الأرض وتغير الاعتدالين. تُظهر هذه الصور موقع محور الأرض على الكرة السماوية ، وهي كرة افتراضية تُحدد مواقع النجوم وفقًا لمواقعها كما تُرى من الأرض، بغض النظر عن بُعدها الفعلي. تُظهر الصورة الأولى الكرة السماوية من الخارج، مع انعكاس صور الأبراج. أما الصورة الثانية فتُظهر منظورًا من موقع قريب من الأرض كما يُرى من خلال عدسة واسعة الزاوية جدًا (وهو ما يُفسر التشوه الظاهر).

يُصوّر محور دوران الأرض، على مدى 25700 عام، دائرة زرقاء  صغيرة بين النجوم قرب أعلى الرسم التخطيطي، مركزها القطب الشمالي لدائرة البروج ( الحرف الأزرق E )، ونصف قطرها الزاوي حوالي 23.4 درجة، وهي زاوية تُعرف بميل دائرة البروج . ويكون اتجاه التبادر معاكساً لاتجاه دوران الأرض اليومي حول محورها. كان المحور البني هو محور دوران الأرض قبل 5000 عام، عندما كان يشير إلى نجم الثعبان . أما المحور الأصفر، الذي يشير إلى نجم القطب الشمالي، فيُمثّل المحور الحالي. 

يحدث الاعتدالان عند نقطة تقاطع خط الاستواء السماوي مع دائرة البروج (الخط الأحمر)، أي عندما يكون محور الأرض عموديًا على الخط الواصل بين مركزي الشمس والأرض. يشير مصطلح "الاعتدال" هنا إلى نقطة على الكرة السماوية محددة بهذه الطريقة، وليس إلى اللحظة التي تكون فيها الشمس فوق خط الاستواء (مع أن المعنيين مرتبطان). عندما يتقدم محور الأرض من اتجاه إلى آخر، يتحرك مستوى خط استواء الأرض (المشار إليه بالشبكة الدائرية حول خط الاستواء). خط الاستواء السماوي هو ببساطة خط استواء الأرض مُسقطًا على الكرة السماوية، لذا فهو يتحرك مع حركة مستوى خط استواء الأرض، وتتحرك نقطة التقاطع مع دائرة البروج معه. لا تتغير مواقع القطبين وخط الاستواء على الأرض ، بل يتغير فقط اتجاه الأرض بالنسبة للنجوم الثابتة.

كما يُرى من الشبكة البنية ، قبل 5000  عام، كان الاعتدال الربيعي في شهر مارس قريبًا من نجم الدبران في برج الثور . أما الآن، وكما يُرى من الشبكة الصفراء، فقد انتقل (كما يشير السهم الأحمر ) إلى مكان ما في كوكبة الحوت .

الصور الثابتة مثل هذه ليست سوى تقريبات أولية، لأنها لا تأخذ في الاعتبار السرعة المتغيرة للترنح، والميل المتغير لدائرة البروج، وترنح الكواكب (وهو دوران بطيء لمستوى دائرة البروج نفسه، حاليًا حول محور يقع على المستوى، عند خط طول 174.8764 درجة) والحركات الذاتية للنجوم.

يتم إعطاء فترات التراجع لكل كوكبة، والمعروفة غالبًا باسم " الأشهر العظيمة "، بشكل تقريبي في الجدول أدناه: ^{[ 30 ]}

يحدث تقدم الاعتدالين بفعل قوى الجاذبية للشمس والقمر ، وبدرجة أقل بفعل أجرام أخرى، على الأرض. وقد شرحه إسحاق نيوتن لأول مرة . ^{[ 31 ]}

يشبه التبادر المحوري تبادرَ البلبل الدوار. في كلتا الحالتين، تنشأ القوة المؤثرة من الجاذبية. بالنسبة للبلبل الدوار، تميل هذه القوة إلى أن تكون شبه موازية لمحور الدوران في البداية، ثم تزداد مع تباطؤ البلبل. أما بالنسبة للجيروسكوب المثبت على حامل، فقد تصل هذه القوة إلى 90 درجة. أما بالنسبة للأرض، فإن القوى المؤثرة من الشمس والقمر تكون أقرب إلى التعامد على محور الدوران.

الأرض ليست كرة كاملة، بل هي شكل بيضاوي مفلطح ، يبلغ قطرها الاستوائي حوالي 43 كيلومترًا أكثر من قطرها القطبي. وبسبب ميل محور الأرض ، يكون نصف هذا الانتفاخ الأقرب إلى الشمس منحرفًا عن المركز خلال معظم أيام السنة، إما شمالًا أو جنوبًا، بينما يكون النصف الآخر منحرفًا عن المركز في الجهة المقابلة. وتكون قوة الجذب على النصف الأقرب أقوى، لأن الجاذبية تتناقص مع مربع المسافة، مما يُحدث عزم دوران صغيرًا على الأرض نتيجةً لقوة جذب الشمس لأحد جانبيها. ويكون محور هذا العزم عموديًا تقريبًا على محور دوران الأرض، مما يؤدي إلى ترنح محور الدوران . ولو كانت الأرض كرة كاملة، لما حدث هذا الترنح.

يكون عزم الدوران المتوسط ​​هذا عموديًا على اتجاه ميل محور الدوران بعيدًا عن قطب مسار الشمس، بحيث لا يُغير ميل المحور نفسه. تتغير قيمة عزم الدوران الناتج عن الشمس (أو القمر) بتغير الزاوية بين اتجاه محور دوران الأرض واتجاه جاذبيتها. ويقترب من الصفر عندما يكونان متعامدين. على سبيل المثال، يحدث هذا عند الاعتدالين في حالة التفاعل مع الشمس. ويتضح ذلك من خلال محاذاة النقطتين القريبة والبعيدة مع اتجاه الجاذبية، فلا يوجد عزم دوران ناتج عن اختلاف قوة الجاذبية.

على الرغم من أن التفسير السابق يتعلق بالشمس، إلا أنه ينطبق على أي جسم يدور حول الأرض، على طول مسار الشمس الظاهري أو بالقرب منه، ولا سيما القمر. يُطلق على التأثير المشترك للشمس والقمر اسم التبادر القمري الشمسي. بالإضافة إلى الحركة التقدمية المنتظمة (التي تُكمل دورة كاملة في حوالي 25700 سنة)، تُسبب الشمس والقمر أيضًا تغيرات دورية طفيفة، نتيجة لتغير مواقعهما. تُعرف هذه التذبذبات، في كل من سرعة التبادر وميل المحور، باسم التذبذب . يبلغ طول دورة أهم هذه التذبذبات 18.6 سنة، وسعتها 9.2 ثانية قوسية. ^{[ 32 ]}

إضافةً إلى التبادر القمري الشمسي، تتسبب حركة الكواكب الأخرى في المجموعة الشمسية بدوران دائرة البروج ببطء حول محور يبلغ طوله الظاهري حوالي 174 درجة، مُقاسًا على دائرة البروج اللحظية. يُعادل هذا التبادر الكوكبي دورانًا لمستوى دائرة البروج بمقدار 0.47 ثانية قوسية سنويًا (أصغر بأكثر من مئة مرة من التبادر القمري الشمسي). يُعرف مجموع التبادرين بالتبادر العام.

تُعبّر قوة المد والجزر المؤثرة على الأرض بفعل جسم مُؤثر (الشمس، القمر، أو كوكب) عن نفسها بقانون نيوتن للجاذبية الكونية ، حيث يُقال إن قوة جاذبية الجسم المُؤثر على الجانب الأقرب من الأرض أكبر من قوة جاذبيته على الجانب الأبعد بمقدار يتناسب مع الفرق في مكعب المسافة بين الجانبين. إذا طُرحت قوة جاذبية الجسم المُؤثر المؤثرة على كتلة الأرض كنقطة مركزية (والتي تُوفر القوة المركزية المُسببة للحركة المدارية) من قوة جاذبية الجسم المُؤثر في أي مكان على سطح الأرض، فإن ما يتبقى يُمكن اعتباره قوة المد والجزر. يُعطي هذا المفهوم المُتناقض فكرة وجود قوة تعمل بعيدًا عن القمر الصناعي، ولكنها في الواقع مجرد قوة أقل باتجاه ذلك الجسم نتيجة لتدرج مجال الجاذبية. بالنسبة للترنح، يمكن تجميع قوة المد والجزر هذه في قوتين تؤثران فقط على انتفاخ خط الاستواء خارج نصف قطر كروي متوسط. يمكن تحليل هذا الزوج إلى زوجين من المركبات، زوج موازٍ لمستوى خط استواء الأرض باتجاه الجسم المؤثر وبعيدًا عنه، وهما يلغي أحدهما الآخر، وزوج آخر موازٍ لمحور دوران الأرض، وكلاهما باتجاه مستوى مسار الشمس . ^{[ 33 ]} يُنشئ الزوج الأخير من القوى متجه العزم التالي على انتفاخ خط استواء الأرض: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\overrightarrow {T}}={\frac {3GM}{r^{3}}}(CA)\sin \delta \cos \delta {\begin{pmatrix}\sin \alpha \\-\cos \alpha \\0\end{pmatrix}}}$

أين

GM ، معامل الجاذبية القياسي للجسم المؤثر

r ، المسافة الجيومركزية إلى الجسم المؤثر

جـ ، عزم القصور الذاتي حول محور دوران الأرض

أ ، عزم القصور الذاتي حول أي قطر استوائي للأرض

C − A ، عزم القصور الذاتي لانتفاخ الأرض الاستوائي ( C > A )

δ ، ميل الجسم المؤثر (شمال أو جنوب خط الاستواء)

α ، الصعود المستقيم للجسم المضطرب (شرق الاعتدال الربيعي ).

المتجهات الثلاثة للوحدة لعزم الدوران في مركز الأرض (من الأعلى إلى الأسفل) هي x على خط داخل مستوى مسار الشمس (تقاطع مستوى خط استواء الأرض مع مستوى مسار الشمس) موجه نحو الاعتدال الربيعي، و y على خط في مستوى مسار الشمس موجه نحو الانقلاب الصيفي (90 درجة شرق x )، و z على خط موجه نحو القطب الشمالي لمسار الشمس.

قيمة الحدود الجيبية الثلاثة في اتجاه x (sin δ cos δ sin α ) للشمس هي شكل موجة جيبية مربعة تتراوح من الصفر عند الاعتدالين (0°، 180°) إلى 0.36495 عند الانقلابين (90°، 270°). تمثل قيمة الموجة الشمسية في اتجاه المحور y (sin δ cos δ (−cos α )) موجة جيبية تتراوح من الصفر عند الاعتدالات الأربعة والانقلابات الشمسية إلى ±0.19364 (أكثر بقليل من نصف قيمة ذروة مربع الجيب) في منتصف المسافة بين كل اعتدال وانقلاب شمسي، مع انحراف طفيف في الذروة نحو الاعتدالات (43.37°(−)، 136.63°(+)، 223.37°(−)، 316.63°(+)). تتشابه الموجتان الشمسيتان تقريبًا في سعة الذروة إلى الذروة، وفي الدورة نفسها، أي نصف دورة كاملة أو نصف سنة. أما قيمتها في اتجاه المحور z فهي صفر.

يكون متوسط ​​عزم الدوران للموجة الجيبية في اتجاه المحور y صفرًا بالنسبة للشمس أو القمر، لذا فإن هذا المكون من عزم الدوران لا يؤثر على التبادر. متوسط ​​عزم الدوران لموجة الجيب التربيعية في اتجاه المحور x بالنسبة للشمس أو القمر هو:

${\displaystyle T_{x}={\frac {3}{2}}{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}(CA)\sin \epsilon \cos \epsilon }$

أين

${\displaystyle a}$نصف المحور الرئيسي لمدار الأرض (الشمس) أو مدار القمر

هـ ، انحراف مدار الأرض (الشمس) أو مدار القمر

ويمثل النصف متوسط ​​شكل الموجة الجيبية التربيعية،${\displaystyle a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}$يمثل متوسط ​​المسافة المكعبة للشمس أو القمر من الأرض على مدار الإهليلجي بأكمله، ^{[ 34 ]} و ε (الزاوية بين المستوى الاستوائي ومستوى مسار الشمس) هي القيمة القصوى لـ δ للشمس ومتوسط ​​القيمة القصوى للقمر على مدار دورة كاملة مدتها 18.6 سنة.

التبادر هو:

${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}={\frac {T_{x}}{C\omega \sin \epsilon }}}$

حيث ω هي السرعة الزاوية للأرض و Cω هي الزخم الزاوي للأرض . وبالتالي فإن المكون الأول للترنح الناتج عن الشمس هو: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {d\psi _{S}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{S}\left[{\frac {CA}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

أما ما يعود إلى القمر فهو:

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dt}}={\frac {3}{2}}\left[{\frac {GM\left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}{a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]_{L}\left[{\frac {CA}{C}}{\frac {\cos \epsilon }{\omega }}\right]_{E}}$

حيث i هي الزاوية بين مستوى مدار القمر ومستوى مسار الشمس الظاهري. في هاتين المعادلتين، توجد معلمات الشمس بين قوسين مربعين يحملان الرمز S، ومعلمات القمر بين قوسين مربعين يحملان الرمز L، ومعلمات الأرض بين قوسين مربعين يحملان الرمز E.${\displaystyle \left(1-1.5\sin ^{2}i\right)}$يُفسر هذا ميل مدار القمر بالنسبة لمستوى مسار الشمس الظاهري. يُمثل الحد ( C − A )/ C الإهليلجية الديناميكية للأرض أو تسطحها ، والتي تُعدّل وفقًا للترنح المرصود نظرًا لعدم معرفة التركيب الداخلي للأرض بتفاصيل كافية. لو كانت الأرض متجانسة، لكان هذا الحد مساويًا لمربع انحرافها المركزي الثالث ، ^{[ 35 ]}

${\displaystyle e''^{2}={\frac {\mathrm {a} ^{2}-\mathrm {c} ^{2}}{\mathrm {a} ^{2}+\mathrm {c} ^{2}}}}$

حيث a هو نصف القطر الاستوائي (6378137 م ) و c  هو نصف القطر القطبي (6 356 752  م )، لذا فإن e ² = 0.003358481 .

المعلمات المطبقة لـ J2000.0 مقربة إلى سبعة أرقام معنوية (باستثناء الرقم 1 في البداية) هي: ^{[ 36 ] [ 37 ]}

مما ينتج عنه

dψ _S /dt = 2.450183 × 10 ⁻¹² /s

dψ _L /dt = 5.334529 × 10 ⁻¹² /s

يجب تحويل كليهما إلى ″/a (ثانية قوسية/سنة) باستخدام عدد الثواني القوسية في 2π راديان ( 1.296 × 10⁶ ″/2π) وعدد الثواني في سنة واحدة ( سنة جوليانية ) (3.15576 × 10⁷ ثانية):

dψ _S /dt = 15.948788″/a  مقابل  15.948870″/a من ويليامز ^{[ 5 ]}

dψ _L /dt = 34.723638″/a  مقابل  34.457698″/a من ويليامز.

تُعدّ معادلة الشمس تمثيلاً جيداً لظاهرة التبادر الناتجة عن الشمس، لأن مدار الأرض قريب من شكل القطع الناقص، ولا يتأثر إلا قليلاً بالكواكب الأخرى. أما معادلة القمر، فلا تُعدّ تمثيلاً جيداً لظاهرة التبادر الناتجة عن القمر، لأن مدار القمر يتشوه بشكل كبير بفعل الشمس، ولا يكون نصف قطره ولا انحرافه ثابتين على مدار العام.

أعطى حساب سيمون نيوكومب في نهاية القرن التاسع عشر للترنح العام ( p ) في خط الطول قيمة 5025.64 ثانية قوسية لكل قرن استوائي، وكانت هذه القيمة مقبولة عمومًا حتى وفرت الأقمار الصناعية رصدًا أكثر دقة، وسمحت الحواسيب الإلكترونية بحساب نماذج أكثر تعقيدًا. طوّر جاي هنري ليسكي نظرية محدّثة عام 1976، حيث تساوي قيمة p 5029.0966 ثانية قوسية (أو 1.3969713 درجة) لكل قرن جولياني. سمحت التقنيات الحديثة مثل VLBI و LLR بمزيد من التحسينات، واعتمد الاتحاد الفلكي الدولي قيمة ثابتة جديدة عام 2000، وطرق حساب جديدة وتعبيرات متعددة الحدود عامي 2003 و2006؛ والترنح التراكمي هو: ^{[ 38 ]}

p _A = 5,028.796195 T + 1.1054348 T ² + حدود من الرتبة الأعلى، بالثواني القوسية، مع T ، الوقت بالقرون اليوليانية (أي 36,525 يومًا) منذ حقبة 2000 .

معدل التبادر هو مشتق ذلك :

p = 5,028.796195 + 2.2108696 T + حدود من الرتبة الأعلى.

يتوافق الحد الثابت لهذه السرعة (5028.796195 ثانية قوسية لكل قرن في المعادلة أعلاه) مع دورة ترنح كاملة واحدة في 25771.57534 سنة (دورة كاملة من 360 درجة مقسومة على 50.28796195 ثانية قوسية في السنة) ^{[ 38 ]} على الرغم من أن بعض المصادر الأخرى تضع القيمة عند 25771.4 سنة، مما يترك هامش خطأ صغير.

معدل التبادر ليس ثابتًا، بل هو (في الوقت الحالي) يتزايد ببطء مع مرور الوقت، كما يتضح من الحدود الخطية (والحدود ذات الرتبة الأعلى) في T. على أي حال، يجب التأكيد على أن هذه الصيغة صالحة فقط لفترة زمنية محدودة . إنها تعبير متعدد الحدود مُرتكز على مرجع J2000، مُطابق تجريبيًا مع البيانات الرصدية، وليس على نموذج حتمي للنظام الشمسي . من الواضح أنه إذا أصبحت T كبيرة بما يكفي (في المستقبل البعيد أو الماضي البعيد)، فإن الحد T² سيُهيمن، وستصل قيمة p إلى قيم كبيرة جدًا. في الواقع، تُظهر حسابات أكثر تفصيلًا على النموذج العددي للنظام الشمسي أن معدل التبادر له دورة تبلغ حوالي 41000 سنة، وهي نفس دورة ميل دائرة البروج.

p = A + BT + CT ² + …

هو تقريب لـ

p = a + b sin (2π T / P )، حيث P هي الفترة الزمنية البالغة 41000 سنة.

قد تحسب النماذج النظرية الثوابت (المعاملات) الموافقة للقوى الأعلى لـ T ، ولكن نظرًا لاستحالة مطابقة دالة دورية مع دالة متعددة الحدود على جميع الأعداد، فإن الفرق بين جميع هذه التقريبات سيزداد بلا حدود مع ازدياد T. يمكن الحصول على دقة كافية على مدى زمني محدود من خلال مطابقة دالة متعددة الحدود ذات رتبة عالية كافية مع بيانات الرصد، بدلًا من نموذج عددي ديناميكي غير مثالي بالضرورة. بالنسبة لحسابات مسار الطيران الحالية للأقمار الصناعية والمركبات الفضائية، تُعطي طريقة متعددة الحدود دقة أفضل. في هذا الصدد، اختار الاتحاد الفلكي الدولي أفضل نظرية متاحة ومتطورة. بالنسبة لبضعة قرون في الماضي والمستقبل، لا تتباعد أي من الصيغ المستخدمة كثيرًا. بالنسبة لبضعة آلاف من السنين في الماضي والمستقبل، تتفق معظمها على دقة معينة. بالنسبة للعصور الأبعد، تصبح التباينات كبيرة جدًا - قد لا يمكن حساب المعدل الدقيق وفترة التبادر باستخدام هذه كثيرات الحدود حتى لفترة تبادر كاملة واحدة.

يُعدّ ترنّح محور الأرض ظاهرة بطيئة للغاية، ولكن في ظلّ مستوى الدقة الذي يعمل به علماء الفلك، لا بدّ من أخذه في الحسبان بشكل يومي. ورغم أن ترنّح محور الأرض وميله (انحراف مسار الشمس الظاهري) يُحسبان وفقًا للنظرية نفسها، وبالتالي يرتبطان ببعضهما، إلا أن الحركتين تعملان بشكل مستقلّ، في اتجاهين متعاكسين.

يُظهر معدل التبادر انخفاضًا تدريجيًا نتيجةً لتبدد المد والجزر من 59 ثانية قوسية/سنة إلى 45 ثانية قوسية/سنة ( حيث a = سنة جوليانية ) خلال فترة 500 مليون سنة متمركزة حول الوقت الحاضر. بعد حساب متوسط ​​التقلبات قصيرة المدى ( عشرات آلاف السنين)، يمكن تقريب الاتجاه طويل المدى باستخدام كثيرات الحدود التالية للزمن السالب والموجب من الوقت الحاضر بوحدة ثانية قوسية/سنة، حيث T بمليارات السنين الجوليانية (Ga): ^{[ 39 ]}

p ⁻ = 50.475838 − 26.368583 T + 21.890862 T ²

p ⁺ = 50.475838 − 27.000654 T + 15.603265 T ²

وهذا يعطي متوسط ​​طول الدورة الآن 25676 سنة.

سيكون التبادر أكبر من p ⁺ بمقدار ضئيل قدره +0.135052"/سنة بين +30 مليون سنة و +130 مليون سنة . وستحدث هذه القفزة إلى هذا الفائض عن p ^{+ خلال} 20 مليون سنة فقط بدءًا من الآن، لأن الانخفاض التدريجي في التبادر بدأ يتقاطع مع رنين في مدار الأرض ناتج عن الكواكب الأخرى.

بحسب دبليو آر وارد، فإنه في غضون 1500 مليون سنة تقريبًا، عندما تزداد المسافة بين القمر والأرض، والتي تتزايد باستمرار بفعل تأثيرات المد والجزر، من 60.3 إلى حوالي 66.5 ضعف نصف قطر الأرض، ستؤدي الرنينات الناتجة عن تأثيرات الكواكب إلى دفع ترنح محور الأرض إلى 49000 سنة في البداية، ثم  إلى 69000 سنة عندما يصل القمر إلى 68 ضعف نصف قطر الأرض في غضون 2000 مليون سنة تقريبًا. وسيرتبط هذا بتقلبات حادة في ميل محور الأرض حول الشمس. مع ذلك، استخدم وارد القيمة الحديثة الكبيرة بشكل غير طبيعي لتبديد طاقة المد والجزر. ^{[ 40 ]} وباستخدام المتوسط ​​البالغ 620 مليون سنة، والمستمد من إيقاعات المد والجزر، والذي يبلغ نصف القيمة الحديثة تقريبًا، لن يتم الوصول إلى هذه الرنينات إلا بعد حوالي 3000 و4000 مليون سنة على التوالي. ومع ذلك، وبسبب زيادة سطوع الشمس تدريجياً، فإن محيطات الأرض ستتبخر قبل ذلك الوقت (حوالي 2100  مليون سنة من الآن).

• التذبذب الفلكي
• الميل المحوري
• زوايا أويلر
• خط طول الاعتدال الربيعي
• دورات ميلانكوفيتش
• الحركة القطبية
• السنة الفلكية
• التقدم الأذيني

• مناظرة دالمبير وأويلر حول حل معادلة تقدم الاعتدالين
• باولي، روجر؛ ميريفيلد، مايكل. "الترنح المحوري" . ستون رمزًا . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• التبادر القسري والترنح للأرض