حركة المقذوفات

بما أن التسارع موجود فقط في الاتجاه الرأسي، فإن السرعة في الاتجاه الأفقي ثابتة، وتساوي${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$الحركة الرأسية للمقذوف هي حركة جسيم أثناء سقوطه الحر. هنا، يكون التسارع ثابتًا، ويساوي g . ^{[ ملاحظة 1 ]} مركبات التسارع هي:

${\displaystyle a_{x}=0}$،

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*يمكن الإشارة إلى تسارع المحور y أيضًا باسم قوة الأرض${\textstyle (-F_{g}/m)}$على الشيء (الأشياء) محل الاهتمام.

لنفترض أن المقذوف قد أُطلق بسرعة ابتدائية${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$والتي يمكن التعبير عنها كمجموع المكونات الأفقية والرأسية على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

المكونات${\displaystyle v_{0x}}$و${\displaystyle v_{0y}}$يمكن إيجادها إذا كانت زاوية الإطلاق الأولية θ معروفة:

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$،

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

يظل المركب الأفقي لسرعة الجسم ثابتًا طوال حركته. أما المركب الرأسي للسرعة فيتغير خطيًا، ^{[ ملاحظة 2 ]} لأن تسارع الجاذبية الأرضية ثابت. ويمكن حساب مركبات السرعة عند أي لحظة زمنية t بتكامل التسارعين في الاتجاهين x و y ، كما يلي:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$،

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

مقدار السرعة (وفقًا لنظرية فيثاغورس ، والمعروفة أيضًا بقانون المثلث):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

في أي وقت${\displaystyle t}$، الإزاحة الأفقية والرأسية للمقذوف هي:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$،

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

مقدار الإزاحة هو:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

ضع في اعتبارك المعادلات،

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$و${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$[ ^{4 ]​}

إذا تم حذف t بين هاتين المعادلتين، فسيتم الحصول على المعادلة التالية:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

هنا R هو مدى المقذوف .

بما أن g و θ و v₀ ثوابت، فإن المعادلة أعلاه تأخذ الشكل التالي _:

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$،

حيث a و b ثابتان. هذه معادلة قطع مكافئ، لذا فإن المسار قطع مكافئ. محور القطع المكافئ رأسي.

إذا كان موضع المقذوف (x,y) وزاوية الإطلاق ( θ أو α ) معروفين، فيمكن إيجاد السرعة الابتدائية عن طريق حل المعادلة القطعية المذكورة أعلاه لإيجاد v _{0 :}

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

يمكن أيضًا التعبير عن المسار المكافئ لمقذوف باستخدام الإحداثيات القطبية بدلًا من الإحداثيات الديكارتية . في هذه الحالة، يكون للموضع الصيغة العامة التالية:

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

في هذه المعادلة، تمثل نقطة الأصل منتصف المدى الأفقي للمقذوف، وإذا كانت الأرض مستوية، يتم رسم القوس المكافئ في هذا المدى.${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$يمكن الحصول على هذا التعبير بتحويل المعادلة الديكارتية كما هو مذكور أعلاه بواسطة${\displaystyle y=r\sin \phi }$و${\displaystyle x=r\cos \phi }$.

يُطلق على إجمالي الزمن t الذي يبقى فيه المقذوف في الهواء اسم زمن التحليق. أما المركبة y للمسار فهي

${\displaystyle y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

بعد انتهاء الرحلة، يعود المقذوف إلى المحور الأفقي (المحور السيني)، لذلك${\displaystyle y=0}$.

${\displaystyle y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=0}$

حل هذه المسألة باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية ينتج عنه

${\displaystyle t={\frac {v_{0y}\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

لاحظ أننا نريد الجذر التربيعي الموجب في هذه الحالة. بافتراض أن المقذوف يبدأ من 0 (${\displaystyle y_{0}=0}$) وباستخدام${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$وهذا يعطي:

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

لاحظ أننا أهملنا مقاومة الهواء على المقذوف.

إذا كانت نقطة البداية على ارتفاع y ₀ بالنسبة لنقطة الاصطدام، فإن زمن الطيران هو:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

كما سبق، يمكن اختزال هذا التعبير ( y ₀ يساوي 0) إلى

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}},}$=${\displaystyle {\frac {2v\sin {(45^{\circ })}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

إذا كانت θ تساوي 45 درجة.

لو${\displaystyle v_{y0}=0}$مثال على ذلك بالنسبة لجسم يسقط من حالة السكون (الرأسي) على ارتفاع${\displaystyle y_{0}}$وعند السقوط الحر تحت تأثير الجاذبية، يصبح زمن التحليق،

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2y_{0}}{g}}}}$

هذه النتيجة مستقلة عن أي سرعة أفقية ابتدائية، كما هو موضح في الرسوم المتحركة أعلاه.

كما هو موضح أعلاه في قسم الإزاحة ، فإن السرعة الأفقية والرأسية للمقذوف مستقلة عن بعضها البعض.

ولهذا السبب، يمكننا إيجاد الوقت اللازم للوصول إلى هدف ما باستخدام صيغة الإزاحة للسرعة الأفقية:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

ستعطي هذه المعادلة إجمالي الوقت t الذي يجب أن يقطعه المقذوف للوصول إلى الإزاحة الأفقية للهدف، مع إهمال مقاومة الهواء.

يُعرف أقصى ارتفاع سيبلغه الجسم بذروة حركته. وسيستمر ازدياد الارتفاع حتى${\displaystyle v_{y}=0}$، إنه،

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

الوقت اللازم للوصول إلى أقصى ارتفاع (h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

يتوافق هذا مع الصيغة المذكورة أعلاه (زمن التحليق)، حيث يقع أقصى ارتفاع (في القطع المكافئ) في منتصف جذوره. وهذا يعني أن المقذوف يصل إلى الارتفاع h في منتصف مساره، وبالتالي، في نصف الزمن.

لحساب الإزاحة الرأسية لأقصى ارتفاع للمقذوف:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

يتم الحصول على أقصى ارتفاع يمكن الوصول إليه عند θ = 90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

إذا كان موضع المقذوف (x,y) وزاوية الإطلاق (θ) معروفين، فيمكن إيجاد أقصى ارتفاع عن طريق حل المعادلة التالية لإيجاد قيمة h:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

زاوية الارتفاع (φ) عند أقصى ارتفاع تُعطى بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

العلاقة بين المدى d على المستوى الأفقي والارتفاع الأقصى h الذي تم بلوغه عند${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$يكون:

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

لا يعتمد مدى المقذوف وارتفاعه الأقصى على كتلته. لذا، يتساوى المدى والارتفاع الأقصى لجميع الأجسام التي تُقذف بنفس السرعة والاتجاه. المدى الأفقي (d) للمقذوف هو المسافة الأفقية التي يقطعها عند عودته إلى ارتفاعه الابتدائي.${\textstyle y=0}$).

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

حان وقت الوصول إلى الأرض:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

من الإزاحة الأفقية، أقصى مسافة للمقذوف: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$،

لذا ^{[ ملاحظة 3 ]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta ).}$

لاحظ أن قيمة d تصل إلى أقصى قيمة لها عندما

${\displaystyle \sin(2\theta )=1,}$

وهو ما يتوافق بالضرورة مع${\textstyle 2\theta =90^{\circ }}$، أو${\textstyle \theta =45^{\circ }}$.

المسافة الأفقية الكلية (d) المقطوعة. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

عندما يكون السطح مستوياً (الارتفاع الأولي للجسم يساوي صفرًا)، تكون المسافة المقطوعة: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

وبالتالي، تُحقق أقصى مسافة عندما تكون الزاوية θ تساوي 45 درجة. وهذه المسافة هي:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

وفقًا لنظرية الشغل والطاقة، فإن المركبة الرأسية للسرعة هي:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

تتجاهل هذه الصيغ مقاومة الهواء الديناميكية وتفترض أيضًا أن منطقة الهبوط تقع على ارتفاع موحد 0.

"زاوية الوصول" هي الزاوية ( θ ) التي يجب إطلاق المقذوف عندها من أجل قطع مسافة d ، بالنظر إلى السرعة الابتدائية v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

هناك حلان:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(مسار ضحل)

ولأن${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$،

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(مسار حاد)

لإصابة هدف على مسافة x وارتفاع y عند إطلاقه من (0,0) وبسرعة ابتدائية v، فإن زاوية (زوايا) الإطلاق المطلوبة θ هي:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

يمثل الجذران للمعادلة زاويتي الإطلاق المحتملتين، ما لم تكونا تخيليتين، وفي هذه الحالة لن تكون السرعة الابتدائية كافية للوصول إلى النقطة ( س ، ص ) المختارة. تسمح هذه الصيغة بإيجاد زاوية الإطلاق المطلوبة دون التقيد بـ${\textstyle y=0}$.

يمكن أيضًا التساؤل عن زاوية الإطلاق التي تسمح بأقل سرعة إطلاق ممكنة. يحدث هذا عندما تتساوى الحلول المذكورة أعلاه، مما يعني أن المقدار الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي يساوي صفرًا. يتطلب هذا، tan θ = v² ^/ gx، حل معادلة تربيعية لـ${\displaystyle v^{2}}$[ ^{8 ]} ونجد^​

^{${\displaystyle v^{2}/g=(2gy\pm g{\sqrt {4y^{2}+4(1x)^{2}}})/2g=y\pm {\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$}

هذا يعطي

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

إذا رمزنا للزاوية التي ظلها y/x بالرمز α ، ^{[ 9 ]} فإن

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }},}$مقلوبه:

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}},}$^{[ 10 ]}

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

وهذا يعني

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

بمعنى آخر، يجب أن يكون الإطلاق بزاوية${\textstyle (\pi /2+\alpha )/2}$في منتصف المسافة بين الهدف وسمت الرأس (المتجه المعاكس للجاذبية).

يُعطى طول القوس المكافئ الذي يرسمه المقذوف، L ، بافتراض أن ارتفاع الإطلاق والهبوط متساويان (لا توجد مقاومة هواء)، بالصيغة التالية:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

أين${\displaystyle v_{0}}$هي السرعة الابتدائية،${\displaystyle \theta }$زاوية الإطلاق و${\displaystyle g}$يمثل التسارع الناتج عن الجاذبية قيمة موجبة. ويمكن الحصول على هذا التعبير بتقييم تكامل طول القوس للقطع المكافئ للارتفاع والمسافة بين حدود الإزاحة الابتدائية والنهائية (أي بين الصفر والمدى الأفقي للمقذوف) بحيث:

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

إذا كان زمن الرحلة هو t ،

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

سحب ستوكس، حيث${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$ينطبق هذا فقط عند السرعات المنخفضة جدًا في الهواء، وبالتالي فهو ليس الحالة النموذجية للمقذوفات. ومع ذلك، فإن الاعتماد الخطي لـ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$على${\displaystyle v}$ينتج عن ذلك معادلة تفاضلية بسيطة للغاية للحركة

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

حيث تصبح المركبتان الديكارتيتان مستقلتين تمامًا، وبالتالي يصبح حلها أسهل. ^{[ 12 ]} هنا،${\displaystyle v_{0}}$،${\displaystyle v_{x}}$و${\displaystyle v_{y}}$سيتم استخدام الرموز للدلالة على السرعة الابتدائية، والسرعة في اتجاه المحور x، والسرعة في اتجاه المحور y ، على التوالي. وسيتم استخدام الرمز m للدلالة على كتلة المقذوف.${\displaystyle \mu$ :=k/m} . بالنسبة للاشتقاق، الحالة الوحيدة هي حيث${\textstyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$يتم أخذ ذلك في الاعتبار. مرة أخرى، يتم إطلاق المقذوف من نقطة الأصل (0,0).

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1ب)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)(1-e^{-\mu t})}$(3ب)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W{\bigl (}-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})e^{-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})}{\bigr )}\right)}$.

إن الحالة الأكثر شيوعًا لمقاومة الهواء ، في حالة أرقام رينولدز التي تزيد عن 1000 تقريبًا، هي مقاومة نيوتن بقوة تتناسب مع مربع السرعة.${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$في الهواء، الذي تبلغ لزوجته الحركية حوالي 0.15  سم ² /ثانية، هذا يعني أن حاصل ضرب سرعة الجسم وقطره يجب أن يكون أكبر من حوالي 0.015 م ² /ثانية.

لسوء الحظ، لا يمكن حل معادلات الحركة تحليليًا بسهولة في هذه الحالة. لذلك، سيتم دراسة حل عددي.

تم وضع الافتراضات التالية:

• تسارع الجاذبية الثابت${\textstyle g}$
• تُعطى مقاومة الهواء بالصيغة التالية للسحب ،

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

أين:

• F _D هي قوة السحب،
• c هو معامل السحب ،
• ρ هي كثافة الهواء ،
• A هي مساحة المقطع العرضي للمقذوف. مرة أخرى${\displaystyle \mu =k/m:=}$${\displaystyle c\rho A/(2m)}$${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$قارن هذا بنظرية/ممارسة معامل المقذوفات .