الإجهاد الإشعاعي

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة
تُحدث الأمواج المتكسرة على الشواطئ تغيرات في الإجهاد الإشعاعي، مما يؤدي إلى تيارات ساحلية. ويؤدي نقل الرواسب الساحلية الناتج إلى تشكيل الشواطئ، وقد ينتج عنه تآكل الشواطئ أو تراكم الرواسب.

في ديناميكا الموائع ، يُعرَّف إجهاد الإشعاع بأنه تدفق الزخم الزائد المتكامل على العمق - ثم المتوسط ​​الطوري - الناتج عن وجود موجات الجاذبية السطحية ، والذي يؤثر على التدفق المتوسط . ويتصرف إجهاد الإشعاع كموتر من الدرجة الثانية .

يصف موتر إجهاد الإشعاع القوة الإضافية الناتجة عن وجود الأمواج، والتي تُغير متوسط ​​الزخم الأفقي المتكامل على عمق طبقة السائل. ونتيجة لذلك، تُحدث إجهادات الإشعاع المتغيرة تغيرات في متوسط ​​ارتفاع السطح ( ارتفاع الأمواج ) ومتوسط ​​التدفق (التيارات الناتجة عن الأمواج).

بالنسبة لمتوسط ​​كثافة الطاقة في الجزء المتذبذب من حركة السائل، فإن موتر إجهاد الإشعاع مهم لديناميكياته ، في حالة وجود مجال تدفق متوسط ​​غير متجانس .

تم صياغة موتر الإجهاد الإشعاعي، بالإضافة إلى العديد من آثاره على فيزياء موجات الجاذبية السطحية والتدفقات المتوسطة، في سلسلة من الأوراق البحثية التي نشرها لونغيت هيغينز وستيوارت في الفترة من 1960 إلى 1964.

يستمد الإجهاد الإشعاعي اسمه من التأثير المماثل لضغط الإشعاع على الإشعاع الكهرومغناطيسي .

الأهمية الفيزيائية

يلعب الإجهاد الإشعاعي - متوسط ​​تدفق الزخم الزائد بسبب وجود الأمواج - دورًا مهمًا في تفسير ونمذجة العمليات الساحلية المختلفة: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

التعريفات والقيم المستمدة من نظرية الموجة الخطية

انتشار الموجات أحادي البعد

بالنسبة لانتشار الموجات أحادي الاتجاه - لنقل في اتجاه الإحداثي x - فإن مكون موتر إجهاد الإشعاع ذو الأهمية الديناميكية هو S xx . ويتم تعريفه على النحو التالي: [ 4 ]

Sxx=∫-حη(ص+ρu~2)دz¯-12ρز(ح+η¯)2،{\displaystyle S_{xx}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},}

حيث يمثل p ( x , z , t ) ضغط السائل ،u~(x،z،ت){\displaystyle {\tilde {u}}(x,z,t)}يمثل ρ المركبة الأفقية x للجزء التذبذبي من متجه سرعة التدفق ، و z الإحداثي الرأسي، و t الزمن، و z = −h ( x ) ارتفاع قاع طبقة السائل، و z = η ( x , t ) ارتفاع السطح. كما أن ρ هي كثافة السائل و g تسارع الجاذبية الأرضية ، بينما يشير الخط العلوي إلى متوسط ​​الطور . أما الحد الأخير على الجانب الأيمن، ½ρg ( h + η ) ² ، فهو تكامل الضغط الهيدروستاتيكي على عمق الماء الساكن.    

إلى أدنى رتبة (الثانية)، يمكن تحديد إجهاد الإشعاع S xx للموجات الدورية المتحركة من خصائص موجات الجاذبية السطحية وفقًا لنظرية موجات آيري : [ 5 ] [ 6 ]

Sxx=(2جزجص-12)هـ،{\displaystyle S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E,}

حيث c<sub> p</sub> هي سرعة الطور و c<sub> g</sub> هي سرعة المجموعة للموجات. كذلك، E هي متوسط ​​كثافة طاقة الموجة المتكاملة على العمق (مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة ) لكل وحدة مساحة أفقية. وبناءً على نتائج نظرية موجات آيري، حتى الرتبة الثانية، فإن متوسط ​​كثافة الطاقة E يساوي: [ 7 ]

هـ=12ρزأ2=18ρزح2،{\displaystyle E={\frac {1}{2}}\rho ga^{2}={\frac {1}{8}}\rho gH^{2},}

حيث a سعة الموجة و H  =  2a ارتفاع الموجة . لاحظ أن هذه المعادلة خاصة بالموجات الدورية: في الموجات العشوائية، يجب استخدام متوسط ​​الجذر التربيعي لارتفاع الموجة H rms حيث H rms = H m0 / √2 ، حيث H m0 هو ارتفاع الموجة المهم . عندئذٍ E = 1 ⁄ 16 ρgH m0 2 .      

انتشار الموجات ثنائي الأبعاد

بالنسبة لانتشار الموجات في بعدين أفقيين، فإن إجهاد الإشعاعS{\displaystyle \mathbf {S} }هو موتر من الدرجة الثانية [ 8 ] [ 9 ] بمكونات:

S=(SxxSxySyxSyy).{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}.}

في نظام إحداثيات ديكارتية ( x ، y ، z ): [ 4 ]

Sxx=∫-حη(ص+ρu~2)دz¯-12ρز(ح+η¯)2،Sxy=∫-حη(ρu~v~)دz¯=Syx،Syy=∫-حη(ص+ρv~2)دz¯-12ρز(ح+η¯)2،{\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\\S_{xy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(\rho {\tilde {u}}{\tilde {v}}\right)\;{\text{d}}z}}=S_{yx},\\S_{yy}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {v}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},\end{aligned}}}

أينu~{\displaystyle {\tilde {u}}}وv~{\displaystyle {\tilde {v}}}يمثلان المركبتين الأفقيتين س و ص للجزء التذبذبيu~(x،y،z،ت){\displaystyle {\tilde {u}}(x,y,z,t)}متجه سرعة التدفق.

إلى الدرجة الثانية - في سعة الموجة a - تكون مكونات موتر إجهاد الإشعاع للموجات الدورية التقدمية كما يلي: [ 5 ]

Sxx=[كx2ك2جزجص+(جزجص-12)]هـ،Sxy=(كxكyك2جزجص)هـ=Syx،وSyy=[كy2ك2جزجص+(جزجص-12)]هـ،{\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&=\left[{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\\S_{xy}&=\left({\frac {k_{x}k_{y}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}\right)E=S_{yx},\quad {\text{and}}\\S_{yy}&=\left[{\frac {k_{y}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\end{aligned}}}

حيث يمثل kx و ky المركبتين x و y لمتجه العدد الموجي k ، بطول k = | k | = √ ( kx² + ky² ) ، ويكون المتجه k عموديًا على قمم الموجات . أما سرعتا الطور والمجموعة، cp و cg على التوالي ، فهما طولا متجهي سرعة الطور والمجموعة : cp = | cp | و cg = | cg | .        

الأهمية الديناميكية

يُعدّ موتر إجهاد الإشعاع كميةً مهمةً في وصف التفاعل الديناميكي المتوسط ​​بين الأمواج والتيارات المتوسطة. هنا، تُقدَّم معادلات الحفظ الديناميكي المتكاملة مع العمق، ولكن - من أجل نمذجة التيارات المتوسطة ثلاثية الأبعاد التي تُجبرها الأمواج السطحية أو تتفاعل معها - يلزم وصف ثلاثي الأبعاد لإجهاد الإشعاع فوق طبقة المائع. [ 10 ]

سرعة نقل الكتلة

تُحدث الموجات المنتشرة نقلًا متوسطًا للكتلة - صغيرًا نسبيًا - في اتجاه انتشار الموجة، ويُسمى أيضًا زخم الموجة (الزائف) . [ 11 ] في أبسط صورة، يكون زخم الموجة M<sub> w </sub> لكل وحدة مساحة أفقية كما يلي: [ 12 ]

مw=ككهـجص،{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{w}={\frac {\boldsymbol {k}}{k}}{\frac {E}{c_{p}}},}

وهذا ينطبق تماماً على الموجات التقدمية ذات الشكل الدائم في التدفق غير الدوراني . في الأعلى، c p هي سرعة الطور بالنسبة إلى التدفق المتوسط:

جص=σكمعσ=ω-ك⋅v¯،{\displaystyle c_{p}={\frac {\sigma }{k}}\qquad {\text{with}}\qquad \sigma =\omega -{\boldsymbol {k}}\cdot {\overline {\boldsymbol {v}}},}

حيث σ هي التردد الزاوي الذاتي ، كما يراه مراقب يتحرك بسرعة التدفق الأفقي المتوسطة v، بينما ω هو التردد الزاوي الظاهري لمراقب ساكن (بالنسبة للأرض). والفرق k ⋅ v هو انزياح دوبلر . [ 13 ]

متوسط ​​الزخم الأفقي M ، لكل وحدة مساحة أفقية، هو متوسط ​​قيمة تكامل الزخم على العمق:

م=∫-حηρvدz¯=ρ(ح+η¯)v¯+مw،{\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,{\boldsymbol {v}}\;{\text{d}}z}}=\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {v}}}+{\boldsymbol {M}}_{w},}

حيث v ( x , y , z , t ) هي سرعة التدفق الكلية عند أي نقطة أسفل السطح الحر z  = η ( x , y , t ). ويُعدّ متوسط ​​الزخم الأفقي M متوسط ​​تدفق الكتلة الأفقي المتكامل مع العمق، ويتكون من مساهمتين: إحداهما من التيار المتوسط ​​والأخرى ( Mw ) ناتجة عن الأمواج. 

يتم الآن تعريف سرعة نقل الكتلة u على النحو التالي: [ 14 ] [ 15 ]

u¯=مρ(ح+η¯)=v¯+مwρ(ح+η¯).{\displaystyle {\overline {\boldsymbol {u}}}={\frac {\boldsymbol {M}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}={\overline {\boldsymbol {v}}}+{\frac {{\boldsymbol {M}}_{w}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right)}}.}

لاحظ أنه يتم أولاً حساب متوسط ​​الزخم الأفقي المتكامل مع العمق، قبل إجراء القسمة على متوسط ​​عمق الماء ( h + η ).

قانون حفظ الكتلة والزخم

الترميز المتجهي

معادلة حفظ الكتلة المتوسطة هي، في الترميز المتجهي : [ 14 ]

∂∂ت[ρ(ح+η¯)]+∇⋅[ρ(ح+η¯)u¯]=0،{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]=0,}

مع تضمين u مساهمة زخم الموجة M w .

معادلة حفظ الزخم المتوسط ​​الأفقي هي: [ 14 ]

∂∂ت[ρ(ح+η¯)u¯]+∇⋅[ρ(ح+η¯)u¯⊗u¯+S+12ρز(ح+η¯)2أنا]=ρز(ح+η¯)∇ح+τw-τب،{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b},}

حيث يرمز u  ⊗ u إلى حاصل الضرب الموتري لـ u مع نفسه، و τw هو متوسط ​​إجهاد القص الناتج عن الرياح على السطح الحر، بينما τb هو إجهاد القص الناتج عن قاع النهر. كذلك، I هو موتر الوحدة، بمكوناته المعطاة بدالة كرونكر دلتا δij . تجدر الإشارة إلى أن الطرف الأيمن من معادلة الزخم يوفر المساهمات غير المحافظة لميل قاع النهر ∇h ، [ 16 ] بالإضافة إلى تأثير الرياح واحتكاك قاع النهر. 

وباستخدام الزخم الأفقي M تصبح المعادلات أعلاه كما يلي: [ 14 ]

∂∂ت[ρ(ح+η¯)]+∇⋅م=0،∂م∂ت+∇⋅[u¯⊗م+S+12ρز(ح+η¯)2أنا]=ρز(ح+η¯)∇ح+τw-τب.{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+\nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=0,\\&{\frac {\partial {\boldsymbol {M}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[{\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\boldsymbol {M}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)\nabla h+{\boldsymbol {\tau }}_{w}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}.\end{aligned}}}

الشكل المكون في الإحداثيات الديكارتية

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، تصبح معادلة حفظ الكتلة كما يلي:

∂∂ت[ρ(ح+η¯)]+∂∂x[ρ(ح+η¯)u¯x]+∂∂y[ρ(ح+η¯)u¯y]=0،{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]=0,}

حيث u x و u y هما المركبتان x و y لسرعة نقل الكتلة u على التوالي .

معادلات الزخم الأفقي هي:

∂∂ت[ρ(ح+η¯)u¯x]+∂∂x[ρ(ح+η¯)u¯xu¯x+Sxx+12ρز(ح+η¯)2]+∂∂y[ρ(ح+η¯)u¯xu¯y+Sxy]=ρز(ح+η¯)∂∂xح+τw،x-τب،x،∂∂ت[ρ(ح+η¯)u¯y]+∂∂x[ρ(ح+η¯)u¯yu¯x+Syx]+∂∂y[ρ(ح+η¯)u¯yu¯y+Syy+12ρز(ح+η¯)2]=ρز(ح+η¯)∂∂yح+τw،y-τب،y.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{x}+S_{xx}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}{\overline {u}}_{y}+S_{xy}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial x}}h+\tau _{w,x}-\tau _{b,x},\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{x}+S_{yx}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{y}+S_{yy}+{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\right]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial y}}h+\tau _{w,y}-\tau _{b,y}.\end{aligned}}}

ترشيد استهلاك الطاقة

في حالة التدفق غير اللزج، تبقى الطاقة الميكانيكية المتوسطة للتدفق الكلي - أي مجموع طاقة التدفق المتوسط ​​والحركة التذبذبية - محفوظة. [ 17 ] مع ذلك، فإن الطاقة المتوسطة للحركة التذبذبية نفسها غير محفوظة، وكذلك طاقة التدفق المتوسط. الطاقة المتوسطة E للحركة التذبذبية (مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة) تحقق المعادلة التالية: [ 18 ]

∂هـ∂ت+∇⋅[(u¯+جز)هـ]+S:(∇⊗u¯)=τw⋅u¯-τب⋅u¯-ε،{\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left({\overline {\boldsymbol {u}}}+{\boldsymbol {c}}_{g}\right)E\right]+\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)={\boldsymbol {\tau }}_{w}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-\varepsilon ,}

حيث يرمز ":" إلى الضرب النقطي المزدوج ، و ε إلى تبديد متوسط ​​الطاقة الميكانيكية (على سبيل المثال، عن طريق تكسر الأمواج ). المصطلحS:(∇⊗u¯){\displaystyle \mathbf {S} يمثل (∇ ⊗ ū) تبادل الطاقة مع الحركة المتوسطة، نتيجة لتفاعل الموجة والتيار . ويتكون متوسط ​​نقل طاقة الموجة الأفقية ( u  + c g ) E من مساهمتين:  

  • u E: نقل طاقة الأمواج بواسطة التدفق المتوسط، و  
  • c g E : متوسط ​​نقل الطاقة بواسطة الموجات نفسها، مع سرعة المجموعة c g كسرعة نقل طاقة الموجة.  

في نظام الإحداثيات الديكارتية، تصبح المعادلة أعلاه لمتوسط ​​الطاقة E لتقلبات التدفق كما يلي:

∂هـ∂ت+∂∂x[(u¯x+جز،x)هـ]+∂∂y[(u¯y+جز،y)هـ]+Sxx∂u¯x∂x+Sxy(∂u¯y∂x+∂u¯x∂y)+Syy∂u¯y∂y=(τw،x-τب،x)u¯x+(τw،y-τب،y)u¯y-ε.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\left({\overline {u}}_{x}+c_{g,x}\right)E\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left({\overline {u}}_{y}+c_{g,y}\right)E\right]\\&+S_{xx}{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial x}}+S_{xy}\left({\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\overline {u}}_{x}}{\partial y}}\right)+S_{yy}{\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial y}}\\&=\left(\tau _{w,x}-\tau _{b,x}\right){\overline {u}}_{x}+\left(\tau _{w,y}-\tau _{b,y}\right){\overline {u}}_{y}-\varepsilon .\end{aligned}}}

لذا فإن إجهاد الإشعاع يغير طاقة الموجة E فقط في حالة وجود مجال تيار غير متجانس مكانيًا ( u x , u y ).

ملحوظات

  1. ↑ لونغيت-هيغينز وستيوارت (1964، 1962).
  2. ↑ فيليبس (1977)، ص 70-81.
  3. ↑ باتجيس، جيه إيه (1974). حساب ارتفاع الأمواج، والتيارات الساحلية، وارتفاع الأمواج، وتجاوز الأمواج بسبب الأمواج المتولدة عن الرياح (أطروحة). جامعة دلفت للتكنولوجيا . تم الاطلاع بتاريخ 25 نوفمبر 2010 .
  4. 1 2 مي (2003)، ص. 457.
  5. 1 2 مي (2003)، ص. 97.
  6. ↑ فيليبس (1977)، ص 68.
  7. ↑ فيليبس (1977)، ص 39.
  8. ↑ لونغيت-هيغينز وستيوارت (1961).
  9. ↑ دين، آر جي؛ والتون، تي إل (2009)، "تكوين الأمواج"، في يونغ سي كيم (محرر)، دليل هندسة السواحل والمحيطات ، وورلد ساينتيفيك، ص 1-23 ، ISBN  978-981-281-929-1.
  10. ↑ والسترا، دي جيه آر؛ رولفينك، جيه إيه؛ غرونويغ، جيه (2000)، "حساب التيارات المدفوعة بالأمواج في نموذج تدفق متوسط ​​ثلاثي الأبعاد"، وقائع المؤتمر الدولي السابع والعشرين للهندسة الساحلية ، سيدني: الجمعية الأمريكية للمهندسين المدنيين ، ص 1050-1063 ، doi : 10.1061/40549(276)81 
  11. ↑ ماكنتاير، م. إي. (1981)، "حول أسطورة 'زخم الموجة'"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 106 : 331-347 ، رمز Bibcode : 1981JFM...106..331M ، doi : 10.1017/S0022112081001626 ، S2CID 18232994 
  12. ↑ فيليبس (1977)، ص 40.
  13. ↑ فيليبس (1977)، ص 23-24.
  14. 1 2 3 4 فيليبس (1977)، ص 61-63.
  15. ^ مي (2003)، ص. 453.
  16. ↑ وفقًا لنظرية نوثر ، فإن الوسط غير المتجانس - في هذه الحالة طبقة غير أفقية، h ( x , y ) ليس ثابتًا - يؤدي إلى عدم حفظ الزخم الأفقي المتكامل مع العمق.
  17. ↑ فيليبس (1977)، ص 63-65.
  18. ↑ فيليبس (1977)، ص 65-66.

مراجع

المصادر الأولية
  • لونغيت-هيغينز، إم إس؛ ستيوارت، آر دبليو (1960)، "تغيرات في شكل موجات الجاذبية القصيرة على الموجات الطويلة والتيارات المدية"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 8 (4): 565-583 ، رمز Bibcode : 1960JFM.....8..565L ، doi : 10.1017/S0022112060000803 ، S2CID 124628167 
  • لونغيت-هيغينز، إم إس؛ ستيوارت، آر دبليو (1961)، "التغيرات في سعة موجات الجاذبية القصيرة على تيارات ثابتة غير منتظمة"، مجلة ميكانيكا الموائع ، 10 (4): 529-549 ، رمز Bibcode : 1961JFM....10..529L ، doi : 10.1017/S0022112061000342 ، S2CID 120585538 
  • Longuet-Higgins, MS; Stewart, RW (1962), "الإجهاد الإشعاعي ونقل الكتلة في موجات الجاذبية، مع تطبيق على "ضربات الأمواج"«، مجلة ميكانيكا الموائع ، 13 (4): 481-504 ، رمز Bibcode : 1962JFM....13..481L ، doi : 10.1017/S0022112062000877 ، S2CID 117932573 
  • لونغيت-هيغينز، إم إس؛ ستيوارت، آر دبليو (1964)، "إجهادات الإشعاع في أمواج الماء؛ مناقشة فيزيائية مع تطبيقات"، مجلة أبحاث أعماق البحار ، 11 (4): 529-562 ، رمز Bibcode : 1964DSRA...11..529L ، doi : 10.1016/0011-7471(64)90001-4
للمزيد من القراءة
  • مي، تشيانغ سي. (2003)، الديناميكا التطبيقية لأمواج سطح المحيط ، سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات، المجلد  1، وورلد ساينتيفيك، ISBN 9971-5-0789-7
  • فيليبس، أو إم (1977)، ديناميات المحيط العلوي (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-29801-6