خط العرض

في الملاحة الفلكية ، يُحدد خط العرض باستخدام طريقة ارتفاع خط الزوال . ويتطلب قياس خط العرض بدقة أكبر فهم مجال جاذبية الأرض، سواءً لتركيب أجهزة قياس الزوايا أو لتحديد مدارات أقمار نظام تحديد المواقع العالمي (GPS). ويُعرف علم الجيوديسيا بدراسة شكل الأرض ومجال جاذبيتها .

تتكون شبكة الإحداثيات من خطوط العرض والطول الثابتة، والتي تُنشأ بالرجوع إلى محور دوران الأرض. وتُعدّ القطبين نقطتي المرجع الأساسيتين، حيث يتقاطع محور دوران الأرض مع سطح الأرض. تتقاطع المستويات التي تحتوي على محور الدوران مع سطح الأرض عند خطوط الطول ؛ وتُحدد الزاوية بين أي مستوى من مستويات خط الطول والمستوى المار بخط غرينتش خط الطول؛ فخطوط الطول هي خطوط ذات خطوط طول ثابتة. يتقاطع المستوى المار بمركز الأرض والعمودي على محور الدوران مع سطح الأرض عند دائرة عظمى تُسمى خط الاستواء . تتقاطع المستويات الموازية لمستوى خط الاستواء مع سطح الأرض في دوائر ذات خطوط عرض ثابتة؛ وهذه هي دوائر العرض. يقع خط الاستواء عند خط عرض 0°، ويقع القطب الشمالي عند خط عرض 90° شمالاً (يُكتب 90°  شمالاً أو +90°)، ويقع القطب الجنوبي عند خط عرض 90° جنوباً (يُكتب 90°  جنوباً أو -90°). خط عرض أي نقطة هو الزاوية بين مستوى خط الاستواء والعمودي على سطح الكرة عند تلك النقطة؛ ويكون العمودي على سطح الكرة موازياً للمتجه القطري.

يُطلق على خط العرض، كما هو محدد بهذه الطريقة للكرة، غالبًا اسم خط العرض الكروي، لتجنب الالتباس مع خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة المحددة في الأقسام اللاحقة من هذه المقالة.

إلى جانب خط الاستواء، هناك أربعة خطوط عرض أخرى ذات أهمية:

الدائرة القطبية الشمالية	66° 34′ (66.57°) شمالاً
مدار السرطان	23° 26′ (23.43°) شمالاً
مدار الجدي	23° 26′ (23.43°) جنوباً
الدائرة القطبية الجنوبية	66° 34′ (66.57°) جنوباً

يُطلق على مستوى مدار الأرض حول الشمس اسم دائرة البروج ، بينما يُطلق على المستوى العمودي على محور دوران الأرض اسم المستوى الاستوائي. تُسمى الزاوية بين دائرة البروج والمستوى الاستوائي بأسماء مختلفة، منها ميل دائرة البروج، أو انحرافها، أو ميل محورها، ويُرمز لها اصطلاحًا بالرمز i . يساوي خط عرض الدوائر المدارية قيمة i، بينما يساوي خط عرض الدوائر القطبية مكملها (90° - i ). يتغير محور الدوران ببطء مع مرور الوقت، والقيم المذكورة هنا هي قيم الحقبة الحالية . يُناقش التغير الزمني بمزيد من التفصيل في مقال ميل محور الأرض . ^{[ أ ]}

يوضح الشكل هندسة مقطع عرضي للمستوى العمودي على مسار الشمس الظاهري، والذي يمر بمركزي الأرض والشمس عند الانقلاب الشتوي في ديسمبر، عندما تكون الشمس فوق مدار الجدي . تكون خطوط العرض القطبية الجنوبية الواقعة أسفل الدائرة القطبية الجنوبية نهارية، بينما تكون خطوط العرض القطبية الشمالية الواقعة فوق الدائرة القطبية الشمالية ليلية. ينعكس الوضع عند الانقلاب الشتوي في يونيو، عندما تكون الشمس فوق مدار السرطان. فقط عند خطوط العرض الواقعة بين المدارين يكون من الممكن أن تكون الشمس فوق الرأس مباشرة (عند سمت الرأس ).

لا توجد قاعدة عامة في إسقاطات الخرائط تحدد كيفية ظهور خطوط الطول ودوائر العرض. توضح الأمثلة أدناه خطوط العرض المحددة (كخطوط حمراء) في إسقاط ميركاتور الشائع الاستخدام وإسقاط ميركاتور المستعرض . في الأول، تكون خطوط العرض أفقية وخطوط الطول رأسية، بينما في الثاني، لا توجد علاقة دقيقة بين خطوط العرض وخطوط الطول والأفقي والرأسي: فكلاهما منحنيات معقدة.

	ميركاتور العادي		ميركاتور المستعرض
		\

في عام ١٦٨٧، نشر إسحاق نيوتن كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، حيث أثبت فيه أن الجسم السائل الدوار الذي يخضع لجاذبية ذاتية في حالة اتزان يتخذ شكل قطع ناقص مفلطح. ^{[ ٣ ]} (يستخدم هذا المقال مصطلح " القطع الناقص" بدلاً من المصطلح الأقدم " الجسم الكروي "). وقد تأكدت نتيجة نيوتن من خلال القياسات الجيوديسية في القرن الثامن عشر. (انظر: قوس الزوال ). القطع الناقص المفلطح هو السطح ثلاثي الأبعاد الناتج عن دوران القطع الناقص حول محوره الأصغر. ويُختصر مصطلح "القطع الناقص الدوراني المفلطح" إلى "القطع الناقص" في بقية هذا المقال. (تُسمى القطع الناقصة التي لا تمتلك محور تناظر بالقطع الناقص ثلاثي المحاور ).

استُخدمت العديد من الأشكال الإهليلجية المرجعية المختلفة في تاريخ علم الجيوديسيا . في عصر ما قبل الأقمار الصناعية، صُممت هذه الأشكال لتوفير مطابقة جيدة للجيود على مساحة محدودة من المسح، ولكن مع ظهور نظام تحديد المواقع العالمي (GPS )، أصبح من الطبيعي استخدام أشكال إهليلجية مرجعية (مثل WGS84 ) مركزها مركز كتلة الأرض ومحورها الثانوي محاذٍ لمحور دوران الأرض. عادةً ما تقع هذه الأشكال الإهليلجية المتمركزة حول الأرض ضمن نطاق 100 متر (330 قدمًا) من الجيود. بما أن خط العرض يُحدد بالنسبة إلى شكل إهليلجي، فإن موقع أي نقطة معينة يختلف على كل شكل إهليلجي: لا يمكن تحديد خطي العرض والطول لمعلم جغرافي بدقة دون تحديد الشكل الإهليلجي المستخدم. تعتمد العديد من الخرائط التي تحتفظ بها الهيئات الوطنية على أشكال إهليلجية قديمة، لذا يجب معرفة كيفية تحويل قيم خطي العرض والطول من شكل إهليلجي إلى آخر. تتضمن أجهزة تحديد المواقع العالمية (GPS) برامج لإجراء تحويلات البيانات التي تربط نظام WGS84 بالقطع الناقص المرجعي المحلي مع الشبكة المرتبطة به.  

يتحدد شكل القطع الناقص الدوراني بشكل القطع الناقص الذي يدور حول محوره الأصغر (الأقصر). ويتطلب ذلك معيارين. الأول هو دائمًا نصف القطر الاستوائي، وهو المحور شبه الأكبر ، ويرمز له بـ a . أما المعيار الثاني فهو عادةً: (1)  نصف القطر القطبي أو المحور شبه الأصغر ، ويرمز له بـ b ؛ أو (2) التسطح  (الأول) ، ويرمز له بـ f ؛ أو (3) اللامركزية ، ويرمز لها بـ e . هذه المعايير ليست مستقلة، بل ترتبط ببعضها البعض. 

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.}$

تظهر العديد من المعاملات الأخرى (انظر القطع الناقص ، الإهليلج ) في دراسة الجيوديسيا والجيوفيزياء وإسقاطات الخرائط، ولكن يمكن التعبير عنها جميعًا بدلالة عنصر واحد أو عنصرين من المجموعة a و b و f و e . كل من f و e صغيران ويظهران غالبًا في متسلسلات العمليات الحسابية؛ وهما من رتبة 1/298 و 0.0818 على التوالي . ترد قيم عدد من الإهليلجات في شكل الأرض . عادةً ما تُعرَّف الإهليلجات المرجعية بواسطة نصف المحور الأكبر ومعامل التسطح العكسي ، 1 / f . على سبيل المثال ، القيم المحددة لإهليلج WGS84 ، المستخدم في جميع أجهزة GPS، هي ^{[ 4 ]} .

• أ (نصف القطر الاستوائي):6378137.0 متر  بالضبط​​​
• 1 / f ( التسطيح العكسي) :298.257 223 563 بالضبط

والتي تُشتق منها

• ب (نصف القطر القطبي):6356752.31425 مترًا​​​ ​
• e ² (مربع اللامركزية):0.006 694 379 990 14

يبلغ الفرق بين المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي حوالي 21 كيلومترًا (13 ميلًا) ، ويساوي هذا الفرق نسبة التسطح من المحور شبه الرئيسي. على شاشة الحاسوب، يمكن أن يكون حجم القطع الناقص 300 × 299 بكسل. وهذا الحجم يكاد يكون غير قابل للتمييز عن كرة بحجم 300 × 300 بكسل، لذا عادةً ما تُبالغ الرسوم التوضيحية في إظهار التسطح. 

تُنشأ شبكة الإحداثيات على سطح القطع الناقص بنفس طريقة إنشائها على سطح الكرة. لا يمر العمودي عند أي نقطة على سطح القطع الناقص بمركزه، باستثناء النقاط الواقعة على خط الاستواء أو عند القطبين، لكن تعريف خط العرض يبقى كما هو، أي الزاوية بين العمودي ومستوى خط الاستواء. يجب أن تكون مصطلحات خط العرض أكثر دقة من خلال التمييز بين:

• خط العرض الجيوديسي : الزاوية بين العمودي على السطح ومستوى خط الاستواء. يُستخدم الرمز ϕ في المنشورات الإنجليزية . هذا هو التعريف المُعتمد عند استخدام كلمة "خط العرض" دون تحديد. يجب أن يُرفق التعريف بتحديد شكل القطع الناقص.
• خط العرض الجيومركزي (المعروف أيضًا بخط العرض الكروي ، نسبةً إلى الزاوية القطبية ثلاثية الأبعاد ): هو الزاوية المحصورة بين نصف القطر (من المركز إلى النقطة على السطح) والمستوى الاستوائي. (انظر الشكلأدناه ) . لا يوجد رمز موحد: تتضمن الأمثلة من نصوص مختلفة الرموز θ و ψ و q و ϕ′ و ϕc _و ϕg _. يستخدم هذا المقال الرمز θ .

يجب استخدام مصطلح "خط العرض الجغرافي" بحذر، إذ يستخدمه بعض المؤلفين كمرادف لخط العرض الجيوديسي، بينما يستخدمه آخرون كبديل لخط العرض الفلكي . ويُفترض أن يشير مصطلح "خط العرض" (بدون تحديد) عادةً إلى خط العرض الجيوديسي.

تتضح أهمية تحديد المرجع الإحداثي من خلال مثال بسيط. على سطح الإهليلج المرجعي لنظام WGS84، يقع مركز برج إيفل عند خط عرض جيوديسي 48°  51′  29″  شمالًا، أو 48.8583°  شمالًا، وخط طول 2°  17′  40″  شرقًا، أو 2.2944° شرقًا. وتُحدد الإحداثيات نفسها على سطح الإهليلج ED50 نقطة على الأرض تبعد 140 مترًا (460 قدمًا) عن البرج. قد يُظهر البحث على الإنترنت عدة قيم مختلفة لخط عرض البرج؛ ونادرًا ما يُحدد سطح الإهليلج المرجعي.

على سطح الكرة، يمر العمودي عبر المركز، وبالتالي فإن خط العرض ( ϕ ) يساوي الزاوية المحصورة عند المركز بواسطة قوس خط الزوال الواصل من خط الاستواء إلى النقطة المعنية. إذا رمزنا لمسافة خط الزوال بـ m ( ϕ )، فإن $${\displaystyle m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {درجة} }=R\phi _{\mathrm {راديان} }}$$ حيث يرمز R إلى متوسط ​​نصف قطر الأرض. R يساوي 6371 كم أو 3959 ميلاً . لا يُناسب استخدام قيمة أعلى لـ R، لأن الحصول على نتائج أكثر دقة يتطلب نموذجًا بيضاويًا. بهذه القيمة لـ R، يبلغ طول خط الزوال لدرجة واحدة من خط العرض على الكرة الأرضية 111.2 كم (69.1 ميلًا بريًا) (60.0 ميلًا بحريًا). يبلغ طول دقيقة واحدة من خط العرض 1.853 كم (1.151 ميلًا بريًا) (1.00 ميلًا بحريًا)، بينما يبلغ طول ثانية واحدة من خط العرض 30.8 مترًا أو 101 قدمًا (انظر الميل البحري ).  

In Meridian arc and standard texts^[5][6][7] it is shown that the distance along a meridian from latitude ϕ to the equator is given by (ϕ in radians)

$${\displaystyle m(\phi )=\int _{0}^{\phi}M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{- {\frac {3}{2}}}\,d\phi '}$$

where M(ϕ) is the meridional radius of curvature.

The quarter meridian distance from the equator to the pole is

$${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,}$$

For WGS84 this distance is 10001.965729 km.

The evaluation of the meridian distance integral is central to many studies in geodesy and map projection. It can be evaluated by expanding the integral by the binomial series and integrating term by term: see Meridian arc for details. The length of the meridian arc between two given latitudes is given by replacing the limits of the integral by the latitudes concerned. The length of a small meridian arc is given by^[6][7]

$${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$$

${\displaystyle \phi }$	Δ1lat	Δ1long
0°	110.574 km	111.320 km
15°	110.649 km	107.550 km
30°	110.852 km	96.486 km
45°	111.132 km	78.847 km
60°	111.412 km	55.800 km
75°	111.618 km	28.902 km
90°	111.694 km	0.000 km

When the latitude difference is 1 degree, corresponding to ⁠π/180⁠ radians, the arc distance is about $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

The distance in metres (correct to 0.01 metre) between latitudes ${\displaystyle \phi }$ − 0.5 degrees and ${\displaystyle \phi }$ + 0.5 degrees on the WGS84 spheroid is $${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$$

The variation of this distance with latitude (on WGS84) is shown in the table along with the length of a degree of longitude (east-west distance): $${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,}$$ A calculator for any latitude is provided by the U.S. Government's National Geospatial-Intelligence Agency (NGA).^[8]

خط العرض الجيومركزي هو الزاوية بين المستوى الاستوائي ونصف القطر من المركز إلى نقطة الاهتمام.

عندما تكون النقطة على سطح القطع الناقص، تكون العلاقة بين خط العرض الجيومركزي ( θ ) وخط العرض الجيوديسي ( ϕ ) كما يلي:

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

بالنسبة للنقاط التي لا تقع على سطح القطع الناقص، تتضمن العلاقة بالإضافة إلى ذلك ارتفاع القطع الناقص h :

${\displaystyle \theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)}$

حيث N هو نصف قطر الانحناء الرأسي الأساسي. تتساوى خطوط العرض الجيوديسية والجيومركزية عند خط الاستواء والقطبين، لكنها تختلف عند خطوط العرض الأخرى ببضع دقائق قوسية. بافتراض أن قيمة مربع الانحراف المركزي هي 0.0067 (وهي تعتمد على اختيار القطع الناقص)، فإن أقصى فرق هو${\displaystyle \phi {-}\theta }$يمكن إثبات أن المسافة تبلغ حوالي 11.5 دقيقة قوسية عند خط عرض جيوديسي يبلغ حوالي 45°  6′. ^{[ ب ]}

يُعرَّف خط العرض البارامتري، أو خط العرض المُختزل ، β ، بأنه نصف القطر المرسوم من مركز القطع الناقص إلى النقطة Q على الكرة المحيطة (نصف قطرها a )، والتي تُمثل إسقاطًا موازيًا لمحور الأرض لنقطة P على القطع الناقص عند خط العرض ϕ . وقد طُوِّر هذا المفهوم بواسطة ليجندر ^{[ 11 ]} وبيسل ^{[ 12 ]} اللذين حلا مسائل الخطوط الجيوديسية على القطع الناقص بتحويلها إلى مسألة مكافئة للخطوط الجيوديسية الكروية باستخدام خط العرض الأصغر هذا. كما يُستخدم رمز بيسل، u ( ϕ ) ، في المراجع الحالية. ويرتبط خط العرض البارامتري بخط العرض الجيوديسي بالعلاقة التالية: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

ينشأ الاسم البديل من تحديد معلمات معادلة القطع الناقص الذي يصف مقطعًا من خط الزوال. بدلالة الإحداثيات الديكارتية p ، وهي المسافة من المحور الأصغر، و z ، وهي المسافة فوق المستوى الاستوائي، تكون معادلة القطع الناقص كما يلي:

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

يتم تحديد الإحداثيات الديكارتية للنقطة بواسطة

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

اقترح كايلي مصطلح خط العرض البارامتري بسبب شكل هذه المعادلات. ^{[ 13 ]}

لا يُستخدم خط العرض البارامتري في نظرية إسقاطات الخرائط. ويتمثل أهم تطبيقاته في نظرية الجيوديسيات الإهليلجية ( فينسنتي ، كارني ^{[ 14 ]} ).

خط العرض التصحيحي ، μ ، هو مسافة خط الزوال التي تم قياسها بحيث تكون قيمتها عند القطبين مساوية لـ 90 درجة أو π / 2 راديان :

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

حيث تكون المسافة الزوالية من خط الاستواء إلى خط العرض ϕ (انظر قوس الزوال )

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

وطول ربع دائرة خط الزوال من خط الاستواء إلى القطب ( المسافة القطبية ) هو

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

استخدام خط العرض المصحح لتحديد خط عرض على كرة نصف قطرها

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

يُعرّف هذا الإسقاط إسقاطًا من القطع الناقص إلى الكرة بحيث تكون جميع خطوط الطول ذات أطوال حقيقية ومقياس موحد. ويمكن بعد ذلك إسقاط الكرة على المستوى بإسقاط مستطيل متساوي الأبعاد للحصول على إسقاط مزدوج من القطع الناقص إلى المستوى بحيث تكون جميع خطوط الطول ذات أطوال حقيقية ومقياس موحد. ومن أمثلة استخدام خط العرض المصحح الإسقاط المخروطي متساوي المسافات (سنايدر، القسم 16). ^{[ 9 ]} كما أن لخط العرض المصحح أهمية بالغة في إنشاء إسقاط ميركاتور المستعرض .

خط العرض الذاتي (بعد الكلمة اليونانية التي تعني " نفس المنطقة ")، ξ ، يعطي إسقاطًا متساوي المساحة على الكرة.

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

ويُؤخذ نصف قطر الكرة على النحو التالي

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

من الأمثلة على استخدام خط العرض الذاتي إسقاط ألبرز المخروطي متساوي المساحة . ^{[ 9 ] : §14}

خط العرض المطابق ، χ ، يعطي تحويلاً يحافظ على الزاوية ( مطابقاً ) للكرة. ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

حيث gd( x ) هي دالة غودرمان . (انظر أيضًا إسقاط ميركاتور .)

يُعرّف خط العرض المطابق تحويلاً من القطع الناقص إلى كرة ذات نصف قطر اختياري ، بحيث تكون زاوية تقاطع أي خطين على القطع الناقص مساوية للزاوية المقابلة على الكرة (مما يحافظ على شكل العناصر الصغيرة ). ويُعطي تحويل مطابق آخر من الكرة إلى المستوى إسقاطًا مزدوجًا مطابقًا من القطع الناقص إلى المستوى. وهذه ليست الطريقة الوحيدة لإنشاء مثل هذا الإسقاط المطابق. فعلى سبيل المثال، النسخة "الدقيقة" من إسقاط ميركاتور المستعرض على القطع الناقص ليست إسقاطًا مزدوجًا. (إلا أنها تتضمن تعميمًا لخط العرض المطابق إلى المستوى المركب).

يُستخدم خط العرض المتساوي القياس ، ψ ، في تطوير النسخ الإهليلجية من إسقاط ميركاتور العادي وإسقاط ميركاتور المستعرض . وتنشأ تسمية "متساوي القياس" من حقيقة أنه عند أي نقطة على سطح الإهليلج، تؤدي الزيادات المتساوية في ψ وخط الطول λ إلى إزاحات متساوية في المسافة على طول خطوط الطول وخطوط العرض على التوالي. وتقسم شبكة الإحداثيات، المحددة بخطوط ψ و λ الثابتة ، سطح الإهليلج إلى شبكة من المربعات (بأحجام متفاوتة). ويكون خط العرض المتساوي القياس صفرًا عند خط الاستواء، ولكنه يتباعد بسرعة عن خط العرض الجيوديسي، ويؤول إلى اللانهاية عند القطبين. ويُذكر الترميز التقليدي في سنايدر (صفحة 15): ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

بالنسبة للإسقاط المركاتوري العادي (على السطح الإهليلجي)، تحدد هذه الدالة تباعد خطوط العرض: إذا كان طول خط الاستواء على الإسقاط هو E (بوحدات الطول أو البكسل)، فإن المسافة y لخط عرض ذي خط عرض ϕ من خط الاستواء هي

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

يرتبط خط العرض المتساوي القياس ψ ارتباطًا وثيقًا بخط العرض المطابق χ :

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

تُعطي الصيغ الواردة في الأقسام السابقة خط العرض المساعد بدلالة خط العرض الجيوديسي. يمكن عكس تعابير خطوط العرض الجيومركزية والبارامترية مباشرةً، لكن هذا غير ممكن في الحالات الأربع المتبقية: خطوط العرض المصححة، والذاتية، والمتطابقة، والمتساوية القياس. توجد طريقتان للمضي قدمًا.

• تتمثل الطريقة الأولى في إجراء عملية عكس عددية للمعادلة الأساسية لكل قيمة محددة من قيم خط العرض المساعد. وتشمل الطرق المتاحة التكرار بنقطة ثابتة وإيجاد جذور نيوتن-رافسون .
  • عند التحويل من الإحداثيات المتساوية القياس أو الإحداثيات المطابقة إلى الإحداثيات الجيوديسية، فإن تكرارين لخوارزمية نيوتن-رافسون يعطيان دقة مضاعفة . ^{[ 16 ]}
• أما النهج الآخر، والأكثر فائدة، فهو التعبير عن خط العرض المساعد كمتسلسلة بدلالة خط العرض الجيوديسي، ثم عكس هذه المتسلسلة باستخدام طريقة لاغرانج العكسية . وقد قدم آدامز هذه المتسلسلات باستخدام متسلسلات تايلور، مع إعطاء المعاملات بدلالة الانحراف المركزي. ^{[ 10 ]} كما قدم أوريهويلا ^{[ 17 ]} متسلسلات للتحويلات بين جميع أزواج خطوط العرض المساعدة بدلالة التسطيح الثالث، n = ( a - b ) / ( a ​​+ b ) . وأثبت كارني ^{[ 18 ]} أن أخطاء القطع لهذه المتسلسلات أصغر باستمرار من أخطاء المتسلسلات المكافئة بدلالة الانحراف المركزي. ولا يمكن تطبيق طريقة المتسلسلات على خط العرض المتساوي القياس، ويتعين إيجاد خط العرض المطابق في خطوة وسيطة. ^{[ 6 ]}

يُظهر الرسم البياني على اليمين الفرق بين خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة الأخرى غير خط العرض المتساوي القياس (الذي يتباعد إلى ما لا نهاية عند القطبين) في حالة القطع الناقص WGS84. الفروق الموضحة في الرسم البياني مُقاسة بالدقائق القوسية. في نصف الكرة الشمالي (خطوط العرض الموجبة)، θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ ؛ أما في نصف الكرة الجنوبي (خطوط العرض السالبة)، فتنعكس هذه المتباينات، حيث تتساوى عند خط الاستواء والقطبين. على الرغم من أن الرسم البياني يبدو متناظرًا حول 45 درجة، إلا أن أدنى نقاط المنحنيات تقع فعليًا بين 45° 2′ و45° 6′. بعض نقاط البيانات التمثيلية مُدرجة في الجدول أدناه. تكاد خطوط العرض المطابقة والمركزية للأرض لا يمكن تمييزها، وهي حقيقة استُغلت في أيام الآلات الحاسبة اليدوية لتسريع إنشاء إسقاطات الخرائط. ^{[ 9 ] : 108}

بالنسبة للرتبة الأولى في التسطيح f ، يمكن التعبير عن خطوط العرض المساعدة على النحو التالي: ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕ حيث يأخذ الثابت C القيم [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] لـ ζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ].

عند نقطة عشوائية P، نعتبر الخط PN عموديًا على سطح الإهليلج المرجعي. الإحداثيات الجيوديسية P( ɸ , λ , h ) هي خط العرض وخط الطول للنقطة N على سطح الإهليلج، والمسافة PN . يختلف هذا الارتفاع عن الارتفاع فوق سطح الجيود أو عن ارتفاع مرجعي، مثل الارتفاع فوق مستوى سطح البحر المتوسط ​​في موقع محدد. كما يختلف اتجاه PN عن اتجاه خط الشاقول الرأسي. تتطلب العلاقة بين هذه الارتفاعات المختلفة معرفة شكل سطح الجيود ومجال جاذبية الأرض.

خط العرض الجيومركزي θ هو مكمل الزاوية القطبية أو خط العرض المترافق θ′ في الإحداثيات القطبية الكروية التقليدية ، حيث تكون إحداثيات النقطة P( r , θ ′, λ ) ، و r هي المسافة بين النقطة P والمركز O ، و θ′ هي الزاوية بين متجه نصف القطر والمحور القطبي، و λ هو خط الطول. ولأن العمودي عند أي نقطة على سطح القطع الناقص لا يمر بالمركز، فمن الواضح أن النقاط P' على هذا العمود، والتي لها جميعًا نفس خط العرض الجيوديسي، سيكون لها خطوط عرض جيومركزية مختلفة. تُستخدم أنظمة الإحداثيات القطبية الكروية في تحليل مجال الجاذبية.

يمكن أيضًا توسيع نطاق خط العرض البارامتري ليشمل نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد. بالنسبة لنقطة P لا تقع على القطع الناقص المرجعي (نصفا المحورين OA و OB )، يتم إنشاء قطع ناقص مساعد متطابق البؤرة (نفس البؤرتين F و F′ ) مع القطع الناقص المرجعي: الشرط الضروري هو أن يكون حاصل ضرب نصف المحور الأكبر في اللامركزية ae متساويًا لكلا القطعين الناقصين. ليكن u نصف المحور الأصغر ( OD ) للقطع الناقص المساعد. ولتكن β خط العرض البارامتري للنقطة P على القطع الناقص المساعد. تُعرّف المجموعة ( u , β , λ ) الإحداثيات التوافقية الإهليلجية ^{[ 19 ]} أو ببساطة الإحداثيات الإهليلجية ^{[ 5 ] : §4.2.2} (مع العلم أن هذا المصطلح يُستخدم أيضًا للإشارة إلى الإحداثيات الجيوديسية). تُعدّ هذه الإحداثيات الخيار الأمثل في نماذج مجال الجاذبية لجسم إهليلجي دوّار. ينطبق ما سبق على الإهليلج ثنائي المحور (الكروي، كما في إحداثيات الإكروي المفلطح )؛ وللحصول على تعميم، انظر إحداثيات الإهليلج ثلاثي المحور .

لم تُعرض هنا العلاقات بين أنظمة الإحداثيات المذكورة أعلاه، وكذلك الإحداثيات الديكارتية. يمكن إيجاد التحويل بين الإحداثيات الجيوديسية والديكارتية في تحويل الإحداثيات الجغرافية . تُبيّن العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية الكروية في نظام الإحداثيات الكروية . وتُناقش العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات الإهليلجية في مرجع تورج. ^{[ 5 ]}